2026年高考数学一轮复习：函数的单调性与最值（含解析）

・第7讲函数的单调性与最值

厩1知识点目录/

【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征..........................................2

【知识点2】定义法求解函数的单调性................................................5

【知识点3】求函数的单调区间.......................................................6

【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数..........................................8

【知识点5】复合函数的单调性.......................................................9

@揄出知识/

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数4r）的定义域为D,区间IED,如果切口，X26Z

当时，都有心1）＞加）,刃B

当时，都有那么

么就称函数«r）在区间/上单调

定就称函数人刘在区间/上单调递增，

递减，

义特别地，当函数yu）在它的定义域

特别地，当函数人划在它的定义

上单调递增时，我们就称它是增函

域上单调递减时，我们就称它是

数

减函数

尸於）浜刎

上什）

图象

砧

漏X07~~%~x

描述1~

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数），=/U）在区间/上单调递增或单调递减，那么就说函数），=/（幻在这一区间具有（严格

的）单调性，区间/叫做y=/w的单调区间.

2.函数的最值

前提一般地，设函数y=/U）的定义域为D,如果存在实数M满足

(l)VxGD,都有4033（DVAGD,都有危闫区

条件

(2)3^o6D,使得凡（2）3.voGD,使得加o）=M

结论M是函数了=/0）的最大值M是函数y=/（x）的最小值

【常用结论】

1.Vx,XG/且xA,有&L*⑵＞0（＜0）或（x—x）伏＞）一外）］＞0（＜0）=段）在区间/上单调递

1212…1212

增（减）.

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

1

3.函数），=/U）（/W＞0或7U）＜0）在公共定义域内与），=一式¥）,），=「的单调性相反.

危）

4.复合函数的单调性：同增异减.

@知识点1/

知识点

【知识点1］函数的单调性与函数图象的特征

1.从图象判断单调性

函数图象从左到右上力，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区间

单调递减.对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势.

2.图象特征与单调性的关系

极值点：图象的“峰”“谷”对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发

生改变.

渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性变

化.

对称性：偶函数关于），轴对称，在y轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单

调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性.

螂例题

【例1】（2024秋•双流区期中）已知函数片了⑴的图象如图所示，则该函数的减区间为（)

B.(-5,-3)U(-l,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(―5,—3),(-1.1)

【例2】（2024秋•金昌期中）如图是函数的图象，其定义域为［-2,+oo）,则函数/G）

C.[-1,0),[1,+oo)D.[-1,0)UIH-00)

【知识点2］定义法求解函数的单调性

1.基本步骤

设值：设E，石是给定区间内的任意两个值，且再＜%.

作差：计算/（3）/（占），通过因式分解、通分、配方等方法变形.

定号：结合为，々的取值范围判断/区）/（芍）的正负，进而确定函数单调性.

结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性.

2.注意事项

设值时强调再，々的任意性，确保结论适用于整个区间.

作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配

方.定号时充分考虑M，占取值范围对式子正负性的影响.

ax1++1

【例6】（2025春•花山区月考）已知函数/（》）=--------为奇函数，且f（1）=3.

（1）求/⑴的解析式;

（2）求证：/⑴在区间［1,+8）上单调递增.

【例7】（2024秋•邢台期末）已知函数/（x）=x-9.

x

（1）证明：函数/⑴在区间（0,内）上是增函数；

⑵当xe［2,6］,求函数人力的值域.

【例8】（2024秋•孝南区期末）已知函数/（x）=?3MR）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/

JT+a

（1）=1.

（1）求f（x）的解析式;

(2)判断/⑴的单调性，并利用定义证明你的结论.

【例9】(2025•山东模拟)已知定义域为R的奇函数f(x),且工<0时，

x

(1)求xwR时/(x)的解析式；

(2)求证：“0在［1,+力上为增函数.

【例10］(2025•扬州模拟)己知函数/(x)满足〃x+l)=3+2.

r+2x+2

(1)求.f(x)的解析式；

(2)用定义法证明/(x)在(1,田)上单调递减.

------------------------由知识点3一/-------------------

知识点

【知识点3］求函数的单调区间

1.基本初等函数

一次函数：y=/cK+b(k^0),k>0时在R上单调递增；k<0时在R上单调递减.

二次函数：)，=4/+也1+以。工())，先由对称轴公式x=-±-确定对称轴，再根据〃的正负判断

2a

单调区间.

指数函数：时在A上单调递增；0<々<1时在A上单调递减.

对数函数：)，=log“Ma〉0???"l),4〉1时在(0,+00)上单调递增；0<4<1时在(0,+8)上单

调递减.

2.复合函数

利用“同增异减”原则.设y=f(g(x))，令"=g(x),分别确定〃=g(x)和y=/(〃)的单调

区间，再根据原则判断)，=/(g(x))的单调区间.

3.复杂函数

对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区

间.对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调

区间.

雌例题

【例11】(2024秋•苏州期末)函数/U)=G7的单调递减区间为()

A.(一8,-1]B.(-00,0]C.[0>+oo)D.[1,+oo)

【例12】(2024秋•无锡期中)函数/(x)=-」一的单调增区间是()

x-2

A.(2,+oo)B.(-co,2)

C.(-2,2)D.(-oo,2),(2,-K»)

【例13】(2024秋•孝义市月考)函数&0=上1的单调增区间为()

x

A.(0,+O0)B.(-00,())

C.(一8,0)kJ(0,-HO)D.(-00,0),(0,+00)

【例14】(2024•江西模拟)函数八幻=3/加的一个单调递减区间为()

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,-+<»)

【例15】(2024秋•齐齐哈尔期中)函数y=j7+6x-失的单调递增区间为_H_3)

El知识点4/

知识点

【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数

1.求解函数值

已知函数单调性，若函数单调递增时/区)</(%)；单调递减时/区)>/小)，借此

比较函数值大小或求解不等式.

2.求解参数

M

根据单调性定义求解：函数在区间/上单调递增,则73)/(占)<0对任意，x2elRx}<x2

恒成立；单调递减则/区)/心)>0恒成立，建立不等式求解参数范围.

根据导数与单调性的关系求解：函数在区间/上可导且单调递增，则/'㈤2()在区间/上恒成

立(注意等号情况)；单调递减则恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围.

【例16】(2025•保定二模)若函数/(幻=|2'制在口,2]上单调，则加的取值范围是()

A.(0,2]B.[4,+oo)C.(-co,2]\J[4,-KO)D.(0,2]\J[4,y)

f|炉一3『+OT+2G-5,xWl,

【例17】(2025•河南模拟)若函数/a)=1&]ogx+2ax>}是定义在R上的增函数，则实

数。的取值范围为()

A.(1,8]B.[3,7]C.[4,7]D.(4,18]

【例18】(2025•黄冈模拟)设函数〃幻=；丁籍]20,对%，46版/%)有"?二?&)>0

成立，则实数a的取值范围是()

A.[0,1]B.(-8,1]C.D.(1,2]

【例19】(2025•南通模拟)已知函数/⑴J/+XxvO在区间(-1,+8)单调递增，则a的取值

H〃(x+a),x20

范围是()

A.(0,+x>)B.[0,-Ko)C.(0,1]D.[1,+oo)

【例20](2025春•清远期中)已知函数小)=|厂'JU。，若对R上的任意实数x,x(x工x),

1-2,^2

恒有因-小)[/(A,)-/(x2)]<0成立，那么实数a的取值范围是()

22

A.(0,2)B.(0,2JC.(0,-]D.[,2)

33

Q知识点5/------------------------------------

知识点

【知识点5】复合函数的单调性

1.确定函数构成

明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成.

2.分别分析内外函数单调性

根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间.

3.利用“同增异减"原则

结合内外函数的单调区间和“同增异减”原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层函

数的值域需满足外层函数的定义域要求.

蜘列题

【例21】（2025•南通模拟）已知函数〃劝=/〃8-洲在（1,2）内单调递增,则实数。的取值范围

是（）

A.a...2B.a...1C.a„2D.a„1

【例22】（2025•安丘市模拟）已知痴2-*=1,则函数/（工）=/3的单调递增区间为（）

A.（-00,0]B.（一8,I]C.[0,+oo）D.[1,-boo）

【例23】（2025春•湖北期中）己知函数/（x）=/〃（-1+2m+3）在区间[2,3]上单调递减，则实

数”的取值范围为（）

A.[I,2]B.（1,-+<©）C.（-00,2]D.（I,2]

【例24】（2025•枣庄模拟）若函数/（x）=（组"在“，+8）上单调递减，则实数”的取值范围

（）

A.an2B.a..2C.a„ID.a...I

【例25】（2025•广东模拟）已知函数产例在区间[1,+功上单调递增，则实数〃

的取值范围是（）

A・（』二]B.（一8』）

3

C11

L（-1,3D.（T,0）u（0,§）

・第7讲函数的单调性与最值

厩1知识点目录/

【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征..........................................2

【知识点2】定义法求解函数的单调性................................................6

【知识点3】求函数的单调区间......................................................11

【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数.........................................14

【知识点5】复合函数的单调性......................................................18

@揄出知识/

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数4r）的定义域为D,区间IED,如果切口，X26Z

当时，都有心1）＞加）,刃B

当时，都有那么

么就称函数«r）在区间/上单调

定就称函数人刘在区间/上单调递增，

递减，

义特别地，当函数yu）在它的定义域

特别地，当函数人划在它的定义

上单调递增时，我们就称它是增函

域上单调递减时，我们就称它是

数

减函数

尸於）浜刎

上什）

图象

砧

漏X07~~%~x

描述1~

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数），=/U）在区间/上单调递增或单调递减，那么就说函数），=/（幻在这一区间具有（严格

的）单调性，区间/叫做y=/w的单调区间.

2.函数的最值

前提一般地，设函数y=/U）的定义域为D,如果存在实数M满足

(l)VxGD,都有4033（DVAGD,都有危闫区

条件

(2)3^o6D,使得凡（2）3.voGD,使得加o）=M

结论M是函数了=/0）的最大值M是函数y=/（x）的最小值

【常用结论】

1.Vx,XG/且xA,有&L*⑵＞0（＜0）或（x—x）伏＞）一外）］＞0（＜0）=段）在区间/上单调递

1212…1212

增（减）.

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

1

3.函数），=/U）（/W＞0或7U）＜0）在公共定义域内与），=一式¥）,），=「的单调性相反.

危）

4.复合函数的单调性：同增异减.

@知识点1/

知识点

【知识点1］函数的单调性与函数图象的特征

1.从图象判断单调性

函数图象从左到右上力，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区间

单调递减.对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势.

2.图象特征与单调性的关系

极值点：图象的“峰”“谷”对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发

生改变.

渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性变

化.

对称性：偶函数关于），轴对称，在y轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单

调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性.

螂例题

【例1】（2024秋•双流区期中）已知函数片了⑴的图象如图所示，则该函数的减区间为（)

B.(-5,-3)U(-l,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(―5,—3),(-1.1)

【答案】C

【分析】由图象上升下降的情况判断即可.

【解答】解：函数），=/（x）的图象在区间（-3,-1）和（1,4）是下降的，在区间（-5,-3）和是上升

的，

故该函数的减区间为（-3,7）,（1,4）.

雌：C.

【例2】（2024秋•金昌期中）如图是函数），=/（©的图象，其定义域为［-2,+00）,则函数/⑴

的单调递减区间是（）

yA

A.[-1,0)B.[1,+oo)C.[-1,0),[I,+oo)D.[-1,0)IJ[1»-oo)

【答案】C

【分析】根据函数单调性的定义可解.

【解答】解：由函数单调递减的定义可知对应图象呈下降趋势，根据函数图象可知，/⑶的单

调递减区间为[-1,0)和[1,+8).

吉姬：C.

【例3】(2024春•嘉禾县期中)如图所示，函数)，=/(©在下列哪个区间上单调递增()

A.[-4,4]B.[-4,4]C.[-3,I]D.[-3,4J

【答案】C

【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可.

【解答】解：观察函数图象，在[~4,-3]、[1,4].印Sx的增大，函数y=/(x)的图象是下降的,

在[-3,I]上随x的增大，函数y=f(x)的图象是上升的,

因此函数)，=/(x)在［-4,-3b［1,4］上单调递减，在［-3,1］上单调递增,

所以函数y=/(x)在［-3,1］上是增函数.

C.

【例4】(2023秋•麒麟区期中)如图是函数y=.f(x)的图象，则函数/⑴的单调递减区间为(

A.(-2,0)B.(-2,2)C.(0,2)D.(2,-KO)

【答案】C

【分析】根据题意，由函数的图象分析即可得答案.

【解答】解：根据题意，函数图象在(0,2)上是下降趋势，则/⑶的单调递减区间为：(0,

2).故选：C.

【例5】(2023秋•富阳区月考)若定义在氏上的函数y=/(x)的图像如图所示，则其单调递减

【答案】［-3,1］和［3,+00).

【分析】根据题意，由函数的单调性的定义结合图像，分析可得到结果.

【解答】解：根据题意，y=/(x)的图象在［-3,1］和［3,+W上呈下降趋势，该函数单调递减,

则其单调递减区间是［-3,1］和［3,+QO).

故答案为：［-3,1］和［3,+oo).

Q知识点2/

知识点

【知识点2］定义法求解函数的单调性

1.基本步骤

设值：设占，占是给定区间内的任意两个值，且

作差：计算/3）/（占），通过因式分解、通分、配方等方法变形.

定号：结合为，々的取值范围判断了（项）/。2）的正负，进而确定函数单调性.

结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性.

2.注意事项

设值时强调屈，々的任意性，确保结论适用于整个区间.

作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配

方.定号时充分考虑由，々取值范围对式子正负性的影响.

ax~+bx+\

【例6】（2025春•花山区月考）已知函数/（#=--------为奇函数，且/（1）=3.

x

（1）求/（X）的解析式;

（2）求证：在区间［1,+8）上单调递增.

【答案】（1）/（x）=2X+L;

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据=（1）求出参数〃的值，再根据/（1）=3,求出参数〃的值，最

后检验即可.

(2)根据单调性的定义求出即可.

ax1+bx+\

【解答】解：(1)根据题意，函数/(])=，其定义域为(-8，0)U(0,+8),

X

若函数f(x)为奇函数,则有―f(1),即-3-方+1)=-3+"1),解得匕=0,

又/(1)=4+1=3,解得4=2,所以/(X)=2X+L,

X

若/(X)=2X+L,其定义域为(YO,0)U(0,+oo),关于原点对称，

x

且f(-x)=-2A-L=-f(x),则f(x)为奇函数，符合题意；

X

故fa)=2x+L

X

(2)证明：任意的为,X2€[1,+8),且为<必，

有f(x)-/(4)=2A-+-(2A-+)=2(x、.、(x,-x2)_(xt-X2){2X]X2-1)

I2\2T1~VXXX，

由：”再<均，可得2X|X2>1,X|-x2<0,

则)-/(.v2)<0,即f®)</(x2),

所以在区间n，+8)上单调递增.

【例7】(2024秋•邢台期末)己知函数/a)=x-9.

X

(1)证明：函数/(X)在区间Q+O0)上是增函数；

(2)当xe[2,6],求函数/(x)的值域.

【答案】(1)证明见解析；

(2)[-1,5].

【分析】(1)利用函数的单调性的定义证明即得；

(2)利用己证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域.

【解答】解：(1)证明：函数/(x)=x-L

任取再，x2e(0.+co),且X]<占，

由ya)-/a)=a-5一。-3=a"a7)(1+2，

''2J2NZ'2平2

Ho<x<x»故1+6>0,x-x<0,故/(x)v/(x),

12I2I2

V2

即函数/(x)在区间(0,y)上是增函数；

(2)由(1)的结论：函数/⑺在［2,6］上也是增函数，

则/(2)„f(x)„f(6),即TJ(%)”5,

故函数f(x)的值域为［-1,5］.

【例8】（2024秋•孝南区期末）已知函数/（.1）=匕3小eR）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/

x2+a

（1）=1.

（1）求/（力的解析式；

（2）判断了⑴的单调性，并利用定义证明你的结论.

【答案】（1）/。）=居；

x-+1

（2）人］）在［-1,1］上单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由."0）=0,f（1）=1,解方程求出a,b,即可求出/（x）的解析式；

（2）/⑴在［-1,1］上是增函数，由单调性的定义证明即可.

【解答】解：（1）根据题意，函数/（幻=三心3〃£用是定义在［-1,1］上的奇函数，

x2+a

则f（0）=-2=0,变形可得力=0,

a

则f（X）=一^一,由f（l）=二一=］,得〃=1,

所以f（x）=4,经检验，符合题意.

.V+1

（2）/（x）在［T,1］上单调递增,

证明如下：

设VX）,x2e［-l,1］,且.r,<x2,

则/a.）>篙r器=2（¥工）修筑）,

I212

第8页共20页

又x、<x［,所以工］-工2<0,因为X］,x2e［-l,1］,所以1-1修>。，

所以/（X）-/。）="r）（"中2）<0,则/（》）</住），

12（X?+1）（x5+1）1

故f（x）在［-1,1］上单调递增.

【例9】（2025•山东模拟）已知定义域为R的奇函数/㈤，且工<0时，/（月=二*.

x

（1）求xwR时.“X）的解析式；

（2）求证：/（/）在［1,+8）上为增函数.

—+x1,x>0

【答案】（1）/（x）=^0,x=0;

——.r",.r<0

,x

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；

（2）利用定义法证明单调性即可.

【解答】解：（1）定义域为火的奇函数/（x）,

则当x>0时，f（x）==-（-x2）=?.+x2，

XX

2+0

故/（x）=40,x=0

-0

x

证明：（2）任取1小<修,

则f（x）-f（x）=±+X2--X'=8,+（X-X）（x+X）=（X-X）［一（x+X）］,

'2工IX25'2，22''2

因为1”x<x,所以x-x<0,1+x>2,2<2,

I2\212工/

-2

所以（x-x）［-（X+x）］<0,

2II2

即zai）-/（x2）<o,

所以/（X）在H，包）上为增函数.

【例10】（2025•扬州模拟）已知函数/（X）满足小+1）=户+2

x2+2x+2

（1）求f（x）的解析式;

（2）用定义法证明/⑴在（1,+8）上单调递减.

【答案】（1）/（.0=五；

X+1

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由单调性的定义法代入计算，即可证明.

【解答】解：（1）由于f+2x+2=（x+l）2+L..l,

则I）的定义域为R,

2x+2_2(.r+1)

由/(x+l)=

x2+Zr+2-(x+l)2+l

则/。）=备，

x2+1

故/（X）的解析式为/（X）=产,xeR.

A-+I

(2)证明：任取X],X2e(l,4-co),令七<%2,

2x2x2x^+2x-2xx2-2x2(x-x)(1-xx)

2

贝|JfM-f(x2)=百-।z("i次汕='

I2I212

因为X)，x2e(i,+oo),X]<%2,

以西一看＜°，1一2匹＜0，

从而/(x,)-f(x2)>0,即)>f(x2),

故/㈤在（L+oo）上单调递减.

@知识点3/

知识点

【知识点3]求函数的单调区间

1.基本初等函数

一次函数：y=kx+b(k^O)f&>0时在R上单调递增；2<0时在R上单调递减.

二次函数：[，:口^+陵+以^工。)，先由对称轴公式x=-9-确定对称轴，再根据〃的正负判断

2a

单调区间.

指数函数：)，=〃'(〃>0???〃=1),时在R上单调递增；0<〃<1时在R上单调递减.

对数函数：)，=log“x("0???"l),。〉1时在(0,+8)上单调递增；0<。<1时在(0,+8)上单

调递减.

2.复合函数

利用“同增异减"原则.设y=/(g(x))，令〃=g(x),分别确定〃=g(x)和y=/(〃)的单调

区间，再根据原则判断)，=/(g(x))的单调区间.

3.复杂函数

对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区

间.对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调

区间.

雌例题

【例11】(2024秋•苏州期末)函数/(_r)=G7的单调递减区间为()

A.(-30,-11B.y,0]C.[0,+oo)D.[1,+oo)

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性可求得函数/(幻的减区间.

【解答】解：对于/(x)=6-1，根据可得X”-1或

因此=T的定义域为（F,Fuu，十⑼,

由于内层函数〃=f-l在［1,E)上为增函数，在区间(e,-1］上为减函数，

外层函数y=4在［0,+8)上为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数/(x)=H■的减区间为(y,-1］.

故选：A.

【例12】(2024秋•无锡期中)函数f(x)=-上的单调增区间是()

x-2

A.(2收)B.(-oo,2)

C.(-2,2)D.(-oc,2),(2,y)

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即叽

【解答】解：函数/(%)=-—匚的定义域为{X|XH2},

x-2

又〃x)=__!_的图象是由)，=-1向右平移2个单位得来，

x-2x

)，=-1的单调递增区间为(-8,0),。+8),

X

所以人%)=——L的单调递增区间为(-O0⑵，(2,+O0).

x-2

D.

【例13】(2024秋•孝义市月考)函数的单调增区间为()

X

A.(0,-Ko)B.(-8,0)

C.(TO,0)U(0,-KO)D.(-8,0),(0,4-00)

【答案】D

【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可.

【解答】解：Q函数/。)=匚=1-1,定义域为{.ilxwO},

XX

且y=_l的单调递减区间为(-8,0),(0,+<»),

x

故函数f(x)=0的单调增区间为(-8,0),(0.+OO),

X

D,

【例14】(2024•江西模拟)函数/(4)=3-圳的一个单调递减区间为()

A.(-8,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,-KO)

【答案】C

【分析】结合偶函数的性质，以及复合函数的单调性判断方法，即可求解.

【解答】解：/(x)=3?-2W,

令i=f-2|x|,

则y=3J由复合函数的单调性可知/(幻的单调递减区间为函数/=*-2|文|的单调递减区间,

又函数f=『-2|x|为偶函数，

函数/=f-2次|的单调递减区旬为和(0,1),

故的单调递减区间为(-8,-1)和(0,1).

4^：c.

【例15】(2024秋•齐齐哈尔期中)函数)，=6+6丫-本的单调递增区间为—［T-3)_.

【答案】［-1,3).

【分析】根据复合函数的单调即可求解.

【解答】解：由题意，7+6X-A.0,解得T”x”7,

即函数的定义域为［-1，71，

令“=7+6x-x2,函数图象开口向下，对称轴为x=3,

所以函数〃=7+6x-f在［-1,3)上单调递增，在(3,7］上单调递减，

又)，=4在定义域上单调递增，

由复合函数的单调性可知函数)，=S+6x-/的单调递增区间为［-1,3).

故答案为：［-1,3).

Q知识点4/

知识点

【知识点41由函数的单调性求解函数或参数

1.求解函数值

已知函数单调性，若用＜々，函数单调递增时/区）＜/（血）；单调递减时/（幻）＞/（也），借此

比较函数值大小或求解不等式.

2.求解参数

根据单调性定义求解：函数在区间/上单调递增，则对任意M，当£/且

恒成立；单调递减则/■）/（々）＞0恒成立，建立不等式求解参数范围.

根据导数与单调性的关系求解：函数在区间/上可导且单调递增，则/'（X）20在区间/上恒成

立（注意等号情况）；单调递减则ra）w（）恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围.

【例16】（2025•保定二模）若函数/（x）=|2一川在［1,2］上单调,则〃?的取值范围是（）

A.（0,2］B.|4,-Hx）C.（-co,2］日［4,-KO）D.（0,2］IJ［4,y）

【答案】C

【分析】根据指数函数），=》的单调性可知2^（2,4J.对机的取值范围进行分类讨论去绝对值,

结合指数函数的单调性即可求解.

【解答】解：当xe［l,2］时,

因为函数），=2,在R上单调递增,

可知2%[2,4].

当m6(-00,2]时,2X-m...0,

所以/(x)=|2、-m|=2V-m,

此L寸/(x)在[1,2]上单调递增；

当”(2,4)时，

则小)平一忙"TXU小)，

X

I[2-m,xe[log2nL2]

则f(x)在[I,2]上先单调递减，再单调递增；

当me[4»+oc)时，2r-ni„0,

所以/(x)=|2X-m|=m-2X,

则f(x)在[1,2]上单调递减.

综上，要使函数/(幻=|2。-川在[1,2]上单调,

则me(-oo,

-Ko).故选：C.

+or+2a-5,x«1,

【例17】(2025•河南模拟)若函数.=储。3%0是定义在R上的增函数，则实

数0的取值范围为()

A.(1,8]B.[3,7]C.[4,71D.(4,18]

【答案】B

【分析】当X>1时,由对数的性质可得〃>1；当X”1时,由y...o,可得*3,再由临界值的大

小关系求解即可.

【解答】解：当x>l时,y=alogax+2a单调递增,故〃>1；

当时，若y=A?-3.V2+ax+2a-5单调递增,

则y，=3/-6x+a...0在区间（-8,I]上怛成立,

只需用',».・（），

即当x=l时,3-6+a...0,得a...3.

\|A?-3X2+eix+2u-5,x<1,

又函数加=血*“+221是增函数,

则2-3x1?+axl+2a-5”2〃,解得7,

所以a的取值范围为[3,7].

故选：B.

【例18】（2025•黄冈模拟）设函数〃、=尸：£：[°<。，对立，一股工工）有了（?-竽）>0

f（x）<+（XT,KSUI2I2X-X

成立，则实数〃的取值范围是（）

A.[0,1JB.（-8,1]C.（1,-KO）D.[1,2]

【答案】A

【分析】根据条件得到了⑴在R上单调递增，再利月分段函数的单调性，列不等式组

^>0

h,即可求解.

1少-〃20

【解答】解：根据题意，函数/㈤」21m10,对打，%wR（x/色）有"?二？、>0成立,

I12

则/⑴在R上单调递增，必有收，

I[20一心。

解得（）,,％I，即a的取值范围为[0,

IJ.故选：A.

【例19】（2025•南通模拟）已知函数/（力=卜2+级/<°在区间（-1,+8）单调递增，则”的取值

H〃（x+a）,x"

范围是()

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(0,11D.[1,+oo)

【答案】。

【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得关于°的不等式式组，解可得答案.

【解答】解：根据题意，函数/ahl+XE。在区间1+8)单调递增，

[ln(x+a),x>0

则有卜十°>°,解可得”...1,即a的取值范围为[1,+00).

[0<Ina

蝇：D.

【例20】(2025春•清远期中)己知函数/(x)=%”2M+3,#2,若对R上的任意实数一1a.),

fC1212

吁"2

恒有(曲-电)[/(再)-/(电)]<0成立，那么实数〃的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,1]D.[1,2)

【答案】D

【分析】根据/⑴是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.

【解答】解：根据题意,若对R上的任意实数修，占3，恒有(M72)"3)-/(七)]<。成立，

假设m>玲，必有f(X\)-f(应)<0，

故函数/㈤是定义域为R的减函数,

而函数/(%)坐-2比+"2,必有声3<。,即tz>0,解得2Ka<2,

—

『>2