2026届高考数学第一轮复习：图形的性质（解答题）专项练（含解析）

2026届高考数学第一轮复习试卷：图形的性质解答题专项练

1.如图，斜坡A8长130米，坡度i=l:2.4,8C_LAC,现计划在斜坡中点。处挖去部分坡体修建一个平

行于水平线CA的平台OE和一条新的斜坡BE.

(I)若修建的斜坡BE的坡角为30、求平台。E的长；(结果保留根号)

(2)斜坡A8正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告小明在。点测得广告顶部M的仰角为

26.5。,他沿坡面QA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到尸处，测得广告底部V的仰角为

53。,此时小明距大楼底端。处30米.已知B、。、小M、Q在同一平面内，C、A、P、。在同一条直线

上，求广告MN的长度.(参考数据:sin

26.5°*0.45,tan26.5°*0.50,sin53°^O.8O,cos53°«0.60,tan53°«1.33)

2.如图，P8为，，。的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA,垂足为C,交于点A,连接

(1)求证：以是。的切线;

OC2

(2)若-^=7,且。C=4,求心的长和tan。的值.

AC3

3.如图，已知NA,请你仅用尺规，按下列要求作图和计算(保留作图痕迹，不写画法)：

A

(1)选取适当的边长，在所给的N4图形上画一个含NA的直角三角形人BC,并标上字母，其中点C为直

角顶点，点8为另一锐角顶点；

(2)以AC为一边作等边4ACDx

(3)若设NA=30。，8C边长为小则8D的长为.

4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右.在

其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：

出南门儿何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCO,东边城墙长9里，南边城墙AD长7里，东

门点E,南门点尸分别是88,AD的中点，EG1AB,尸”_L4).EG=15里，的经过点八，则FH等于

多少里？请你根据卜述题意，求出必7的长度.

⑴如图1所示，点M、AN分别是边力8、BC、S的中点，求证：ZMPN=ZA.

⑵如图2所示，点M、N分别在边”、AC上，且*4票斗点＜、鸟是边5c的三等分点，

你认为/MP\N+/MP)N=NA是否正确？请说明你的理由.

AMAN

⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且那=焉1，黑二白1，点《、P?、…、是

AB2017AC2017

边8c的2017等分点，则NM《N+/MHN+…+乙必602丫=.(请直接将该小问的答案写在横线上

)

6.如图，VA8C中，ZA=2ZB-CO平分ZAC力交4B于点D点E在边3。上，且£D=硕.求证:

CE=CA.

7.如图，四边形A8CO内接于CQ,对角线4C为的直径，过点C作AC的垂线交4。的延长线于点

E，点F为CE的中点，连接。8,DF.

⑴求证：D尸是。的切线；

(2)若QB平分/ADC,AB=a,AD：DE=4：1,写出求。石长的思路.

8.如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，408=90。，这时4O=2.4m.如果梯子的顶

端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端8也外移0.4m吗？

9.如图1,矩形OAC4的顶点A，A分别在X轴与y轴上，且点C(6,10),点。(0,2),点尸为矩形AC,

(1)当点P与C重合时，求直线OP的函数解析式；

(2)如图2,当尸在8c边上，将好形沿着OP折登，点6对应点力恰落在AC边上，求此时点尸的坐标.

(3)是否存尸在使△皮中为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10,2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景

海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，飞船从地面。处发射，在垂直发射的过程

中，当飞船到达A点时.，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km,仰角为30。；飞船从点A飞行

10s后到达点8处，此时在地面C处测得B处的仰角为45。.

(1)求点A离地面的高度A。；

⑵求飞船从A处到3处的平均速度.(结果精确到O.lkm/s,考数据：0=1.73)

H.自开展“全民健身运动''以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定

对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡A4=2(X)米，坡度为1:6；将斜坡A8的

高度AE1降低4C=20米后，斜坡A8改造为斜坡C。，其坡度为1:4.求斜坡CO的长.(结果保留根号)

12.在菱形A8CD中，Z4BC=6O°,E是对角线人。上任意一点，尸是线段延长线上一点，且

图1图2图3

⑴如图1.在中,ZCAE=\?(T,AE=2AC.尸是4E中点，连接8发若#r=l,求线段X厂的长:

BF

(2)如图2,在..4C。中,N8QC=120。，BD=2CD,b是A4中点，连接OF,求工：的值;

DF

(3)如图3,在sC/)E中,ZCDE=120%DE=2CD,E是44中点，尸是AE中点，连接BO,DF,求

器的值.

17.如图矩形ABCO中,A8=12,8C=8,E，E分别为A8，。。的中点，点尸，Q从A，C同时出

发，在边A。，C8上以每秒1个单位向。，8运动,运动时间为，(0<r<8).

图1图2S3

(1)如图1,连接PE,EQ,QF,PF,求证：无论，在0</<8内取任何值，四边形PEQ尸总为平行四边

形；

(2)如图2,连接『Q交CF于G,若PG=4QG,求/的值；

(3庵运动过程中，是否存在某时刻使得于G?若存在，请求出，的值：若不存在，请说明理由.

18.如图，菱形ABCD的边长为10,NABC=60。，对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,

连接AE,作NAEF=120。且边EF与直线DC相交于点F.

(1)求菱形ABCD的面积；

(2)求证：AE=EF.

19,已知在RtZ\A〃C中，ZAC4=90。，ZABC=a(450<a<90°),点。是边AC上一点，点E在直线

3c上运动，将线段。£绕点。顺时针旋转2a得到线段。凡点?落在直线A从

cc

(2)如图2,点E、尸分别在边BC48上，作EG〃AC交A8于点G,请猜想线段AF、48、FG之间的数

量关系，并证明；

(3)若a=6()。，点E在直线8C上运动，当V8D尸为等腰三角形时，请直接写出导的值.

AD

20.(1)如图1,在四边形A8c。中，点尸为A8上一点，ZDPC=ZA=ZB=90°,则

△DAP〜4PBC，所以有结论AZ>3C=AP3P.如图2,在匹边形A3c。中，点。为A8上一点，当

NDPC=NA=N8=45。时，上述结论AOZ?C=APdP是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成

立，试举一反例说明.

(2)如图3,在△A8O中，A8=8,AO=8D=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边

AB向点A运动，且满足NDPC=/4,设点〃的运动时间为/(秒)，当以。为圆心，以。C为半径的圆

恰好与AA相切时，求/的值.

C

21.如图，在RLA4C中，点D是斜边A8上的动点(点D与点A不重合)，连接C。，以C。为直角边

(1)如图1,当川=1时，BE与4。之间的位置关系是,数量关系是.

(2)如图2,当机W1时，猜想与AO之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

(3施(1)的条件下，点尸与点。关于OE对称，连接。£所,3尸，如图3.已知AC=6,设A。=x,

四边形C/力芯的面积为"

①求y与x的函数表达式，并求出)，的最小值：

②当4尸=2时，请直接写出4。的长度.

22.如图，A8是(。的直径，BC=8D，点E在AD的延长线上，且ZADC=N4

B

Cl

V

⑴求证：BE是:。的切线；

⑵当的半径为2,8。=3时，求lan/A所的值.

23.中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时口影最短，冬至时口影最长，春分和秋分时口影长度等

十具至和冬至H影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在不意图中，产生H影的杆

子A8垂直于地面，A8长8尺.在夏至时，杆子A8在太阳光线AC照射下产生的日影为3C；在冬至时，

杆子A8在太阳光线AO照射下产生的日影为80.己知NAC8=73.4。，ZAD8=26.6。，求春分和秋分时

日影长度.(结果精确到0.1尺；参考数据:sin26.6°«0.45,

cos26.6°x0.89,tan26.6°=0.50,sin73.4°«0.96,cos73.40之0.29,Un73.4。n3.35)

24.如图，JSC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN使NM4C=NABC.O是弧4c的中点，BD

交AC于G,DELABfE、交AC于尸.

(2)求证：FD=FG.

(3)若"G的面积为4.5,且DG=3,GC=4,求的面积.

25.仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路.经测量，点C在点B正南方，点

。在点B正东方，ZBC/)=60°,CD=500米，点A在点8的北偏西23。方向，A8=300米，点£在点。

正北方且在点A正东方.(参考数据：sin23°«0.39,cos23°«0.92,tan23°*0.42,>/3«1.73)

(1)求/1后的距离；(结果精确到个位)

(2)小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线CfOfE步行到达基

地，速度为1.2m/s；小痉以lm/s的速度沿C->8>人到达点八后，立即骑行到达点E,骑行速度为

6m/s,请计算说明小华和小亮谁先到达£点？

26.如图，在中，AB是直径，点C是圆上一点.在的延长线上取一点£),连接C。，使

NBCD=ZA.

⑵若46=12()。，CD=2追，求图中阴影部分的面积(结果用含兀的式子表示).

27.定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角

形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角

②如图2,ZXABC与△力砂是“融通三角形“，其中NA=N2AC=OE8C=E7"则々+/石=—.

(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数.

(3)如图3,在四边形AHC"中，对角线47=4,/66=30。,/6=105。,/。+/8=180。，且/XAC。与

△A5c是“融通三角形“，AD>CD,求AO的长.

28.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一•辆自行车的实物图.图(2)

是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与C。的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直，座

杆CE的长为20cm.点A,C,E在同一条直线上，且NC48=75。.(参考数据：sin750=0.966,

cos75°=0.259,tan750=3.732)

尸—ED

殿)M

图(1)图(2)

(1)求车架档4D的长；

(2)求车座点E到车架档A8的距离(结果精确到1cm).

29.如图，/XABC内接于CO,N8AC的平分线心交(O于点G,过G作小〃8c分别交AB，AC的

延长线丁点。，E.

DG£

⑴求证：DE是)0的切线；

(2)已知AG=6,其=],点/为△ABC的内心，求G/的长.

GE3

在平行四边形A8CO中，延长A8到点E,使8E=/W,DE交BC于点、0,连接EC

A一D，

E

(1)求证：四边形BEC£＞是平行四边形；

(2)z\AOE满足什么条件时，四边形8ECO是矩形，并说明理由.

31.如图，在锐角△ABC中，AB=AC,NACB的平分线与AB交于点D,过^ABC的外心0作CD的

垂K线与AC交于点E,过E作AB的平行线与CD交于点F.证明：

A

(I)C、E、0、F四点共圆:

(2)A、0、F三点共线；

(3)EA=EF.

32.半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种

轻体侧翻自卸半挂车.图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形8CDE

为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽4c为2.5米.高踮为2米，车板离地的距离AB为I米.请你

计算：

(2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为44。可全部卸完货物，求此时车身最高点。离地面的距

离,(参考数据：sin44°«0.70,cos44°«0.72,kin44°«0.97,结果保留一位小数.)

33.如图，AA是，。的直径，C。与A3相交于点E.过点。的圆0的切线。尸〃A3,交C4的延长线于

点尸，CF=CD.

(1)求N产的度数;

⑵若。E"X?=8,求O的半径.

34.如图，在扇形中，ZAOB-\20Pf连接A8,以。4为直径作半圆。交A8于点”

B

'E

ACO

(1)若过点。作08的垂线，垂足为反求证：与半圆C相切；

(2)若OA=6,求图中阴影部分的面积.

35.根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？

素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中尸。为椅背，EC为坐

垫,C,。为焊接点，且CO与A8平行，支架AC,8。所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心0.设计

方案中，要求4,3两点离地面高度均为5厘米，A,6两点之间距离为7()厘米；

素材二：经研究，NOB=53。时，舒适感最佳.现用来制作椅背尸C和坐垫EC的材料总长度为160厘

米，设计时有以下要求：

(D椅背长度小于坐垫长度：

(2)为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时(如图3),产点比E点在竖直方向上至少高出12

厘米.

(sin53°«0.8,8s53。20.6,tan530kl.3)

任务：

⑴根据素材求底座半径OA;

⑵计算图3中点8距离地面的高度；

(3)@求椅背长的长度范围；(结果精确到0.1m)

②设计一种符合要求的方案.

36.如图，以A8为直径的。交MBC的边AC于点E，且。序=8・。4，。为弧4E上的一点:

⑴求证：BC为O的切线：

(2)连接。。，且OO_LAC,过点。的弦。产分别交弦A石，直径AB于点M,N,若MD=1,DE=0

求EW的值.

37.如图，平行四边形A3C。中，AE平分N8AD，交CD于点F,交8c的延长线于点E，连接BF.

AD

(2)若点尸是CD的中点.

①求证：BF1AE;

②若N3E4=60，AB=4,求平行四边形AA。)的面积.

38.在Rt^AAC中，/R4C=90，A£＞是斜边边上的高.

(2)若A8=6.8C=10,求BD的长.

39.如图，在用A4C中，ZC=90°,AC=BC=4,点。是工C上一点.

(I)若8。为NA3C的角平分线，求8的长；

(2)若lan/ABO=：,求sin/DBC的值.

40.如图，A8是(。的直径，过。外一点。作OO的两条切线改"。，切点分别为C,D,连接

41.如图，矩形A8CO中点E为边8C上一点，将△A8E沿4E翻折后，点/，恰好落在对角线AC的中点

尸上.

D

(1)证明：AEF^.CEF

(2)若A8=G，求折痕A£的长度

42.如图，已知A8是一O的直径，点C,E在GO上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D,且

⑴求证：AC是NE4。的平分线；

(2)求/AC。的度数；

(3)求空的值.

AD

43.如图，四边形A8CO内接于CO,D是8AC的中点，ZACB=/ODC,。。的延长线上有一点七,

图1图2

(1)证明：ACJ.BD；

(2)如图1,设班，OO的延长线交于点尸，若4E平分ND4尸，证明：AC=AF.

(3)如图2,连结砥交C4于点G,若AD+BC=2OE,求

GE

44.(1)观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的规律，分数嘉;若排在第。行。列，求

2024

的值.

1

T

12

5T

122

321

±234

4321

(2)有两个正方形现将放在A的内部如图甲，将AB并排放置后构造新的正方形如图乙.若图甲

和绍乙中阴影部分的面积分别为:和:,求正方形AB的面积之和.

图甲图乙

45.如图，A8为1。的直径，D为()上一点、,连接AO,BD，。为A8延长线上一点，连接CO，且

⑴求证：C。是。的切线；

⑵若(。的半径为2,BC=\,

①求△44。的面积；

②点E为G。上一点，连接OE交半径08于点八若E4=所，求。凡庄的长.

46.如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮

乃曲成如图，半径为3m的筒车(q按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A,B,筒车

的轴心。距离水面的高度OC长为2.4m,筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水

面时开始计算时间.

Y―M

(1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？

(2)若接水槽MN所在直线是的切线，且与直线交于点已知MO=8cm,求盛水筒P从最高点

开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中(即点尸恰好在直线MN上)?

(参考数据sin37.5°«0.6,cos37.5°«0.8,sin22。=cos68°«-,sin17°=cos73°«0.3)

8

参考答案

1.【答案】⑴DE=（60_25@m

(2)35.1

【分析】(I)根据平行线的性质可知乙4cB=ZAO尸=30。，然后利用特殊角的三角函数值可求出

ER力石的长度，最后利用。£=OF-律求解即可；

(2)过点。作。G_LC。、DH1MQ,先通过心..OHM求出的长度，在对△NPQ中，求出NQ的

长度，最后利用“"一2+必2-蹩求解.

【详解】(1)过。作。尸J_8C,垂足为尸，

因为AC_L4C,所以。/：〃AC,因为。为28中点所以尸为8c中点，

BC1

在Rf二A3C,i=tanZZ?AC==—,

AC2.4

设灰:=5x，AC=]2x,则"=53+3。]=13x=130,

所以尤=10即8C=50,AC=120,

所以。/=1AC=60,BF=-BC=25,

22

因为在RfABEF中,ZBEF=30c,

BF

所以EF二=25x/3,

tanZBEF

所以。七=。尸一七尸=60—256，

所以平台DE的长为(60-256)米，

(2)过。作。G_LCQ、DHLMQ,垂足分别为G、H,

所以四边形OGQH为矩形，所以。G="Q=CF=；8c=25,

因为AC_L5C,OGJLCQ,所以力G//8C,

因为。为48中点，所以G为AC中点即AG=60,

所以OH=GQ=AG+AP+QQ=IOO,

因为在R/sO”M中，M〃=O〃tan26.5°k50,

在放△NPQ中，NQ=PQtan530439.9,

所以MN=M"+”Q-NQ=50+25-39.9=35.1.

所以广告MN的长度约为35.1米.

2.【答案】（1）证明见详解

⑵"=3折，

【分析】（1）连接03,利用圆的性质及全等三角形性质证得。4_LA4即可推理得证.

（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性质求出H4；连接可得OC〃8E,再利用平

行线推比例式求出BD,进而求出tanD.

【详解】（1）连接08,由OP_LA8,得。是弦AB的中点，即OP垂直平分线段A8,

所以PA=PB,而OA=O及OP=OP,则△0PAg/\0P8，

所以NQ4P=NQ8P,又PB切。。于点B,

则ZOAP=ZOBP=90°,即OA±PA,

所以布是，。的切线.

QQ2_________

（2）由77=三，。。=4，得===，

AC3

由（1）知，ZOAP=ZOCA=（X）°,又ZAOP=NCn4,则ZsAOpc/XCQA,

所以与=21=3,所以PA=3而；

AO0C2

由（1）得PB=PA=3屈,OP7AO?+A产=13,连接跖，

由AE为。的直径，得NE8A=90。=NOC4,则8后〃0C,8E=2。。=8,

所以凝器哈即舄哈解得如呼

tagOB2叵5

在RtaOAQ中，3一瓦一五而一石.

亍

3.【答案】（I）答案见详解

（2）答案见详解

⑶缶或〃

【分析】（1）在一边上任取一点G然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点儿则△46。即为所求

作的三角形；

（2）分别以A,C为圆心，以4c长为半径画弧，相交于点D,连接4。，CD,则△4CO即为所求作的

等边三角形；

（3）根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分

两种情况：①点。在AC的下方时，作OEJL8C交的延长线于点E,求出。E,CE的长度，然后求出

的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点。在AC的上方时，求出/酎0=30°,根据等边三

角形的性质可得A8_LCO,再根据对称性可得△48。与△ABC关于A8成轴对称，根据轴对称的性质

可得BD=BC.

【详解】（1）如图所示，△A8C为所求作的直角三角形（答案不唯一）；

（2）如图所示，△AC。为所求作的等边三角形，有点。在AC的上方与下方两种情况;

（3）,ZA=30°,BC边长为a,:.AB=2BC=2a,

根据勾股定理，AC=JAH2-BC2=7(2«)2-a2=yf3a,

①点。在AC的下方时，作OE1BC交BC的延长线于点E,

则。E=CE=>/3a-sm600=y/3ax—=-a，

2222

35

BE=BC=CE=a+—a=-a,

22

在RtA^DE中，HD=yjDE2+HE2=小吟a)2+(^a)2=币a:

②点。在AC的上方时,ZBAC=30°,

.•.N8A0=600-30°=30°,;"BAC=/BAD,

.•.A4_LC。，.•.△A8O与3c关于A8成轴对称，..80=6。,

BC=a,:.BD=a；

综上所述，3。的长度为或a.

【分析1利用平行线的性质及相似三角形性质，列式计算即得.

【详解】山四边形人“。）是矩形，£G±/1«,FHLAD，得=4EG=90。,

则用〃EG,ZHAF=ZG,于是

„FHAFFH3.5

则n一=一，即nn一=——所以777=1.05.

AEEG4.515

所以尸”等于1.05里.

5.【答案】（1）证明见解析

（2）正确，理由见解析

⑶ZA

【分析】（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AWW是平行四边形，故有乙W8V=NA.

<2）由平行线分线段成比例，可得到四边形是平行四边形，NM[N=,

4MP、N=ZP\MP>,ZBMP]=ZMP\N+NMP]N,可得NMqN+/MBN=/A；

(3)类似的，可得到NM^V+NM鸟N+…+/知?"6'=乙4.

【详解】3)证明：如图1中，

A

图1

AM=BM,CP=PB,：.PM'JAC,

AN=NC,CP=BP,:.PNHAB,

，四边形是平行四边形，.•.NM/W=NA.

(2)解：结论正确，理由：连接MN.

图2

端;黑一.MN"BC,

同理：NPJ/AB,MPJ/AC,

MNAM1…1八"

-----=------=-,MN=一BC,

BCAB33

片鸟=44C,:.MN=P\P「

3

••・四边形MNP?々是平行四边形，MP/NP),

/MRN=N8MR,/MRN=NRM6,

:"BMP]=NMP\N+NMP2N,

MPJ/AC,/BMP?=,

:"MRN+/MBN=/A.

(3)+^MP2N+...+ZM/>ni6/V=AA.

理由：连接MN,

..AMIAN1

•-----=-------,------=-------，Z(4=/A，

AR2017AC2017

A.AMN^ABC,

MN1

，乙

AMN=4B,~BC~20\l

:,MN//BC,MN=—!—BC,

2017

・・•点6、A、…、片|6是边AC的2017等分点,

・・・MN与8R平行且相等，MN与£鸟平行且相等，…，MN与味作。平行且相等,

・•・西边形MB/JN、MPRN........M/sCN都是平行四边形,

:.MBHNP、,MP\HNP>…,MP^/AC,

：.4MRN=4BMP、,4MP、N=4RMP,,...»NBM/LNA,

4MP、N+ZMP?N+...+NM*N=NBM6+々Mg+...+AP^MP2^=ZBM/>016=NA.

6.【答案】证明见解析

【分析】由ED=EB,有/BDE=NB，可得NA=NCED,证明.ACDg4OCE(A4S),可得CE=C4.

【详解】证明：・.・£D=E3，

:4DE=/B，

:ZCED=NBDE+ZB=2ZB,

又・,ZA=2NB,

/.ZA=ZCED,

CO平分NAC8交AB于点。，

:&CD=/ECD,

NA=NCED

在,AC。和△DCE中，由<NACD=NECO,得、ACO岂二DCE(AAS),

CD=CD

CE-CA.

7.【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)连接O。，只需证明/产。0=90。即可.

⑵先判断VA4C为等腰直角三角形，由钻=«得其。=&4；再由"CO〜”£€得：AC2=ADDE，

结合AO:OE=4:1,可求OE.

【详解】(1)连接O。，OD=CD,;.NODC=NOCD.

AC为。的直径，所以NADC=NEDC=90°.

:点、F为CE的中点，：.DF=CF.

乙FDC=zLFCD,

ANFDO=NFCO

又・.・4C_LCE,

ZFDO=ZFCO=90°.

二.DF是O的切线

(2)・.・。8平分NAOC,ZADC=90°

..ZAD3=NCQ8=45。，

/.ZBAC=Z£?C4=45°,

:.AB=BC,

.AC为。的直径，

/.ZABC=90°,

「..ABC是等腰直角三角形,

AB=a,

AC=近a»

VZAC£=Zz4DC=90°,NC4E是公共角，

:.^ACDs△AEC，

..AC：AE=AD：AC,

:.AC2=ADAE,

设OE为x,

-AD：DE=4t1，

JAD=4x,

.•.(©J=2(*,

解得x=R叵〃.

1()

即。七=巫”.

10

8.【答案】梯子的顶端沿墙下滑0.4m时，梯子底端并不是也外移0.4m,而是外移0.8m.

【分析】先根据勾股定理求出03的长，再根据梯子的长度不变求出0。的长，根据80=8-08即可得

出结论.

【详解】•・•在RtZ^AOB中，408=90。，AB=2.5m,AO=2.4m,

JOB2=AB2-OA2=2.52-2.42=0.49，

・•・o«=x/049=0.7，

在Rt2\COD中，ZCOD=90°,

CD=2.5m>CO=AO-AC=2n\,

・•・OD2=CD2-OC2=2.52-22=2.25，

・•・OD=y/225=\.5,

：.RD=O/)-OA=1.5-0.7=0.8m,

・•・梯子的顶端沿墙下滑0.4m时，梯子底端并不是也外移0.4m,而是外移0.8m.

4

9.【答案】(l)y=?x+2；

⑶存在，P坐标为（6,6）或（6,25+2）或（6.I0-2V7）.

【分析】（1）设直线。。解析式为），=履+。住/0），将。与。坐标代入求出k与b的值，即可确定出

解析式；

（2）当点B的对应点夕恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时产坐标；

（3）存在，分别以为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.

【详解】（1）VC（6,10）,0（0,2）,

设比时直线OP解析式为了=心：”（女工0）,

/三2k=—

把C（6/0）,0（0,2）分别代入，得，6八E0,解得3,

b=2

4

则此时直线。尸解析式为.V=-A+2.

(2)设P(〃2,10),则依=依'=〃?，如图2,

•OB,=OB=10,OA=6,

•AB'=>IB'O2-OA2=8,

.kC=10-8=2,

・PC=6-mt

/.m2=22+（6-m）2>解得山=号

则比时点P的坐标是得［o）.

（3）存在，理由为：

斗6C

(

3

^

OE

A*x

图3

若△8OP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3,

①当BD=州=OB-OD=10-2=8,

在中，RR=K,/?<?=6,

根据勾股定理得：〃=>/?二召=2«，

・•・"=］（）-2日即用6,10-2何：

②当A鸟=。〃时，此时修（6.6）；

③当。3=£>4=8时,

在Rt△。*中，DE=6,

根据勾股定理得：明=用彳=2"，

AAP^=AE+EF^=2x/7+2,即〃（6,2«+2）,

综上，满足题意的P坐标为（6.6）或（6,2々+2）或（6,10-2«1

10.【答案】（l）4km

（2X）.3km/s

【分析】（1）利用正弦函数求AO即可；

（2）利用余弦函数得到OC,然后利用正切函数得到08,最后求平均速度即可.

【详解】（1）AO=AC・sm30°=4km,

所以点A离地面的高度为4km.

（2）<7C=^Ccos30°=4x/3km,（95=OC-tan45°=4^km,

设飞船从A处到B处的平均速度为$,则s=逑2«（）.3km/s,

10

所以飞船从A处到B处的平均速度为0.3km/s.

II.【答案】80后米

【分析】根据图形先由tanNA6E=正得到AE的长，进而得到在，再由斜坡CD坡度关系得到。石=320

3

米，最后由勾股定理计算可得.

【详解】因为？AE89（）?,人8200米，坡度为1：百，

所以tan/4BE=」=g

V33

所以ZA8E=30。，

所以AE=44B=100米，

2

因为AC=20米，所以C£=80米，

又NC£D=90。，斜坡CO坡度为1:4,

所以段=!,即瞿=!,解得。石=32。米,

DE4DE4

所以CD=RCE2+DE2=J8（）2+32O2=80x/i7米，

所以斜坡CO的长为80j万米.

12.【答案】（1）证明见解析；

（2）结论成立，证明见解析.

【分析】（1）由四边形A8CD是菱形，ZABC=60°,可知△A8C是等边三角形，进而得

«BE=ZABE=30。,AE=CE,再计算得ZF=NCBE=300即可证得结论.

（2）过点E作EG//AC,可得NAGE=N/WC=60。，aAGE1是等边三角形，结合等边三角形性质得

GE=CF,进而可证明△AGEgZsEC厂即可得证.

【详解】（1）由四边形A8CO是菱形，得AB=BC,而NA8C=3。，则ZXABC是等边三角形，

即N8C4=60。，又E是线段AC的中点，于是NCB石=N4BE=30。，AE=CE,

而C尸=4E,则CE=b,XZECF=120°,则//=NCEF=30°,因此NC3E=N"=300,

所以BE=EF.

(2)结论成立；理由如下：

过点E作EG//BC交AB于点G,如图：

由川边形4AC。为菱形，ZA4c=60。，得/W=AC,AABC是等边三角形，Ah=AC,

ZACA=60。，AB//CD,/BCD=120。,则ZACZ)=60。，4DCF=ZABC=野,ZECF=\200,

由EG//8C,得NAG£=N43C=60。，又N8AC=60°,则/XAGE是等边三角形，

即AG=AE=GE,则N8G石=120。，BG=CE,又CF=AE,则GE=C/，

在△3GE和△EC77中，由BG=CE,ZBGE=ZECF,GE=CF,

得△BGESAECF(SAS),

所以BE=EF.

【关键点拨】在无法直接证明全等的情况下，要合理作辅助线进行解答，在本题中，就需要作出辅助线

构造等边三角形，然后利用等边三角形的性质找出全等的条件进行解答.

13.【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形是菱形.

【分析】（1）根据中位线定理可证一组对边平行且相等，即可得证；

（2）根据中位线定理，再结合AC=40可证平行四边形EAG”的邻边相等，即可得证.

【详解】（1）连接AC,

E，F，G,“分别是人〃，RC,CD,D4的中点，

/.EF,G"分别是△A/C,△ACD的中位线，

/.EF//AC,EF=-AC,GH//AC.GH=-AC,

22

EF//GH,EF=GH,

••・四边形EFGH是平行四边形.

（2）四边形EFGH是菱形，理由如下：

连接8D,

E，H分别是A3，D4的中点，

.•.E”是△A3。的中位线，

/.EH//BD,EHJBD,

2

由（1）得七产=,八。，且AC=/?O,

:.EF=EH,

二•平行四边形EFG”是菱形.

A

【详解】（1）连接O。，则=

所以NC=NOD8,故OD〃AC,

?./ODE=/DEC,

因为。E_£4C,所以NOEC=90,，

则NODE=90，即OEAOD,

而0。为圆。的半径，故。后是¥圆。的切线;

(2)A8是圆。的直径，则乙4。3=90，

/.ZADC=90，即AO_LDC,

又BO=2,A£>=1,

•;AB=AC=CD=BD=2,

AC=VA£>2+CD2=Vl2+22=75，

由于NC£O=NCO4=9(),/C=NC,

也.&ACD~J）CE,故=

LDAC

l：InCE24石

BJ=—f==Cri=-------・

2755

15.【答案】（1）证明见解析:

⑵微日.

【分析】（I）利用直径所对的圆周角为直角可判断NA/0=46=90,，再利用同弧所对的圆周角相

等，可得乙4。b=N48C,从而证明..ADbABC,

（2）在RLABC中，求出tanN48c=3,AB=3>/io，利用tanNAAC=tanN4D尸=3,设OF=x,把

RUA。厂的三边表示出来，再利用。E4）日求出。七=¥工，最后在RLAM中求Mx的值，也即是

。厂的长.

【详解】(I)4?是。。的直径，.•.AC_L/W,

乂•・•〃£>〃=ZA4C,

:.,.ADFABC.

Ac9_________

(2)在RtaABC中，tan/A4C=~^；=w=3,ABHAC+BC?=3而，

otJ

又AE=2BE,则4£：=2后，BE=M，

又ZA8C=ZAO£,tailZABC=tailZADF=3,

在Rt..AOF中，设力"=x,则AF=3x,故AQ=JAF2+D卢=VlUx，

乂4CEB=ZAED,:.ACBE..ADE,

BCBEHfl3VTO，组八FJO.

•­—―，RJi—=-------，解得DE——x

DADE阿DE39

：.EF=DE-DF=-x-x=-x,

33

在RtA样中，AF2+EF2=AE2>

即(3X)2+[$J=(2如『，解得x=2旧，

即DF*屈.

16.【答案】(1)正；

⑵苧：

⑶§

2

【分析】(I)由/R4"=9()°,AR=2,AF=也,可求M的长：

(2)将一88绕点。顺时针旋转60。得二月CD',证明及D。'三点共线，FD人BD,设CO="=1,

勾投定理求出产。和8户即可；

(3)将16石绕点C顺时针旋转60。，得KUB,证明在。,。'三点共线，EC/A.BD,ED7IFD,设

CD=1,求出30和尸。即可.

【详解】(1)在Rt-A3C中，ZACB=90°,ZABC=60°.

若BC=1,则4?=2,AC=0

如羽1,在二ACE中，ZC4E=12(F,由NB4C=30。，得NBA尸=90。

AE=2AC,尸是AE中点，则4f=AC=6，

RLAB/中，BFUJAF+AB2=干.

(2)在RLA8C中，ZACB=90\ZABC=60°,/是AB中点，

连接FC，则尸C为等边三角形，如图所示，

将A8CD绕点C顺时针旋转60。，得一尸CD,

CD=CD,ZDCD=60°,则其力力'为等边三角形，ZCDZ7=60°,

又NB/X?=120。，则氏三点共线，

A

ZF£XC=ZBDC=120°,ZC£>fD=60°,则NFD7)=60。，

BD=2CD,则£D*=2Z>7),

A/7)。中，NFD'D=60。，F口=20D，H为FD中点、,连接D”,

则有=ADHU为等边三角形,DH=FH