高考数学二轮复习（全国版理）直线与圆

第1讲直线与圆

［考情分析］1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选

择题、填空题的形式出现，中低难度2和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中

高难度.

考点一直线的方程

【核心提炼】

1.已知直线（：4x+8iy+G=0（4,当不同时为零），直线/2：4K+B2），+C2=0（42,见不

同时为零），则/|〃/204&-4囱=0,且AiCz-AzGWO,20AA2+B山2=0.

|Avo+Ry'o+C|

2.点尸（项，），o）到直线/:从t+8.v+C=0（4,2不同时为零）的距离d=

y)A2+B2

3.两条平行直线/i：Ar+By+G=0,/?：Ar+gy+C2=0（A,B不同时为零）间的距离d=

IG-C¥

W+联

例1（1）（2022・常德模拟）已知直线小⑪-4y—3=0,/2：X-缈+1=0,则“。=2”是“1。”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若h〃h,

则有一/+4=0,解得〃=±2,

当4=2时，/i：2x-4y-3=0,

/2：A—2>-+1=0,

当《=—2时，A：2t+4），+3=0,

x+2y+I=0,1\///a>

所以若［〃，2,则。=±2,

u，f

所以“0=2”是h//l2的充分不必要条件.

（2）（2022•济宁模拟）已知直线八：米+y=0过定点A,直线勿x—竹+2啦+2k=0过定点从

Zi与h的交点为C，则|AC|+|BC|的最大值为.

答案2班

解析由小区+y=0,得八过定点A（0,0）,

由Z2:x+2也+42—y)=0,

得，2过定点仅一2吸，2),

显然％X1+1X(一因=0,即/],/2相互垂直，

而人与12的交点为C,

即AC_LBC,又|八用=2小，

.•.|i4q2+|BQ2=12,

/.(|AQ4-归q)2=12+2|4。0q

W12+(|AC|2+|8C|2)=24,

・・・|AC|+|Bq的最大值为2、R,

当且仅当14cl=|8C|=加时，等号成立.

・・.|AC|+|Bq的最大值为2衽.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用4a-42^=0定立方程求出参数的值后，要注意代

入检验，排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜板式要求直线不能与x轴垂直，

而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)已知直线I：ax+y—2+a=0在工轴与>轴上的截距相等，则实数。的值是

()

A.1B.-1

C.一2或1D.2或1

答案D

解析当。=0时，直线y=2,此时不符合题意，应舍去；

当。工0时，由直线/：以+)，-2+。=0可得，横截距为与里，纵截距为2—4.

2—ci

由一厂=2—〃，解得。=1或。=2.

经检验，4-1,2均符合题意，

故。的值是2或1.

(2)若直线6%—2)，+1=0与直线人2x+wy+l=0平行，则直线h与，2之间的距离为

答案来

解析由直线/i：x—2y+l=0与直线上：2%+/%y+1=0平行,

可得1><〃?一2X(—2)=0,即加=-4,

匕一II

故两直线可化为/i：2A—4>+2=0,/2：2工一4)，+1=0,故直线/I与L之间的距离为d=

考点二圆的方程

【核心提炼】

1.圆的标准方程

当圆心为(凡b),半径为，・时，其标准方程为。一。)2十°，一切2=尸.

2.圆的一般方程

f+)，2+Dr+£y+F=0,其中》+序一44>0,表示以(一景一宫为圆心为半

径的圆.

例2(1)已知圆C与直线y=x及x—y—4=0都相切，圆心在直线.丫=—x上，则圆C的方程

为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2

B.(x+1)2+0+1)2=2

C.(X-1)2+(J-1)2=2

D.(X-1)2+G，+1)2=2

答案D

解析因为圆心在直线)，=—x上，

设圆心坐标为(a,—a),

因为圆C与直线y=x及x—y—4=0都相切，

*1'/"+川口+〃一4|

所以也一也，

解得4=1,所以圆心坐标为(1,-1),

又*

所以R=也

所以圆的方程为(x—l)2+(y+l)2=2.

(2)在平面直角坐标系中，A(—1,0),B(l,0),C(0,小)，动点尸满足照|=，5|PB].则点尸的轨

迹方程为.△%C的面积的最大值为.

答案(X-3)2+/=82小+2啦

解析设点P(x,y),由闸=啦|尸3|,得照产=2|尸*即(工+1)2+尸=2[(.1—1)2+为，

化简可得(x—3)2+尸=8,

・•・点尸的轨迹方程为(x—3尸+)，2=8,圆心为(3,0),半径

AM(1,-1),

.,.?=lW=(3-l)2+[0-(-l)]2=5,

的方程为l)2+(y+1)2=5.

(2)直线/过定点(1,-2),过点P(—1,0)作/的垂线,垂足为M,已知点M2J)，则IMM的最

大值为.

答案36

解析设点41,-2),依题意知

所以点M的轨迹是以4P为直径的圆，

圆心C的坐标为(0,-1),

半径为及=；-夕|=6，

又M2」)为圆外一点，

所以IMMmax=\NC\+/?=A/(2-0)2+(1+1)2+V2=3Vl

考点三直线、圆的位置关系

【核心提炼】

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

⑴点线距离法.

(2)判别式法：设圆C:(A-«)2+(y-/?)2=r,直线/:附+8)，+。=0(屁+82#0),方程组

Ar+By+C=0,

.(x—a)?+(j--Z>)2=r2,

消去乂得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为4则直线与圆相离。/<0,直线与圆

相切o/=0,直线与圆相交。/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3(1)(2022.南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线办一)，+2=0与圆C：』+产一21—

3=0交于A,B两点,若钝角△ABC的面积为小，则实数〃的值是()

34

--C

--四

A.4B.3eqD.

答案A

解析由圆C：f+y2—2A—3=0,

可得圆心坐标为C(l,0),半径为r=2,

因为钝角△ABC的面积为小，

则5^C=5X2X2s\nZACB=y[?>,

解得sinNAC8=坐，

所以NAC8=专，

可得|A阴=2小，

又由圆的弦长公式，可得入/二力=2小,

解得4=1,

”21解得〃=一"

根据点到直线如一)，+2=()的距离公式d=

7a2+1=1,

(2)(2022・新高考全国0)设点A(—2,3),以0,a),若直线A3关于y=a对称的直线与圆。+3)2

+6+2)2=I有公共点，则0的取值范围是.

ri31

口案［3,2.

解析方法一由题意知点A(—2,3)关于直线y=a的对称点为A'(—2,2.—3),

所以心，B=2a'

所以直线A'3的方程为＞=\-E+〃,

即(3—a)x—2y+2a=0.

由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点,

易知圆心坐标为(-3,-2),半径为1,

所以小—凶？显如

7(302卜(-2)2

整理得6/-1M+3W0,解得太所以实数〃的取值范围是［｝,1］.

方法二易知(x+3)2+。+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为。-3)2+()，+2)2=1,

由题意知该对称圆与直线.48有公共点.直线44的方程为y=­x+a,

即(〃一3)x—2y+2a=0,

又对称圆的圆心坐标为(3,-2),半径为1,

13m—3)+(—2)X(—2)+23

所以W1,

\(〃一3)2+(—2)2

整理得6/—114+3W0,解得太混，所以实数a的取值范围是心，!

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2022・武汉模拟)圆G：(工一2)2+0，-4)2=9与圆Q：。-5)2+产=16的公切线条数

为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析依题意得,圆Ci的圆心G(2,4),半径品=3,圆C2的圆心C2(5,0),半径&=4,|GG|

=、(2-5)2+42=5£(1,7),故圆Ci与。2相交，有2条公切线.

(2)(2022・益阳调研)已知直线/：,L)，+1=0,若P为/上的动点，过点P作。C：(.1-5)2+)2

=9的切线以，PB,切点为A,B,当|PCH48|最小时，直线AB的方程为.

答案l厂2=0

解析0c。・一5)2+丁=9的圆心。(5.0),半径i=3,

•・•四边形%C8的面积

5=界。卜|"|=2s^AC=m\Ac\

=3|出|=34|。。2一9,

・•・要使IPQMBI最小，

则需IPCI最小，

当PC与直线/垂直时，|PC|最小，

此时直线PC的方程为y=-v+5,

y=x+1,

联立:解得户(2,3),

[y=r+5,

则以PC为直径的圆的方程为

则两圆方程相减可得直线AB的方程为x—y—2=0.

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于

切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.迂圆外一点求解切线段长的问题，可

先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

跟踪演练3(1)(2022・沏北七市(州)联考)已知直线/：七L)，T+1=0,圆C：(x-2)2+(y+2)2

=16,则下列选项中不正确的是()

A.直线/与圆。一定相交

B.当％=0时，直线/与圆。交于M,N两点，点石是圆C上的动点，则△MNE面积的最

大值为7巾

C.当直线/与圆有两个交点M,N时，的最小值为2#

D.若圆。与坐标轴分别交于A,B,C,。四个点，则四边形48C。的面积为48

答案D

解析直线/：乙一丁一女+1=0过定点尸(1,1),因为(1一2尸+(1+2)2<16,所以点尸在圆内，

因此直线/一定与圆C相交，A正确；

当左=0时，直线为y=1,代入圆的方程得(X—2)2+9=16,解得4=2升，因此|MN]=2市,

因为圆心C(2,-2),半径,・=4,圆心到直线/的距离d=3,因此点E到直线/的距离的最

大值。=4+3=7,

所以△MNE面积的最大值S=[x7X2币=7巾，B正确；

当直线/与圆有两个交点M,N时，若|MN1最小，

则尸C_L/,\PC\=^/(l-2)2+(l+2)2=VTO,

因此IMMmin=2X、42—=2*,C正确；

在圆C：。-2)2+。+2)2=16中，分别令％=0和y=0,求得圆C与坐标轴的交点分别为A(2

一25，0),C(2+2小，0),8(0,—2+25)，。(0,—2—2小)，则|AC|=4小，|4。|=4小,

所以四边形ABCO的面积S'=卜4小X4小=24,D错误.

(2)(2022・新高考全国I)写出与圆/+,2=1和(工-3)2+。-4)2=16都相切的一条直线的方程

答案x=-1或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的

一个即可)

解析如图，因为圆f+)2=l的圆心为。(0,0),半径门=1,圆(x—3)2+(y—4-=16的圆心

为43,4),半径〃=4,

所以|。川=5,门+冷=5,所以|。川=〃+竹，所以两圆外切，公切线有三种情况：

①易知公切线/i的方程为x=-l.

②另一条公切线，2与公切线/i关于过两圆圆心的直线/对•称.

易知过两圆圆心的直线/的方程为尸全,

4

-

y3

由对称性可知公切线A过点(一1，—

4

设公切线，2的方程为—A(x+1),

则点0(0,0)到,2的距离为I,

所以公切线6的方程为y+§=m(x+i),

即7x-24y-25=0.

43

垂直+

③还有一条公切线与直爱，：=不

3-'，设公切线/3的方程为)，=

易知会0,则点0(0,0)到，3的距离为1,

解得或，=一工(舍去),

35

-

所以公切线的方程为发-+■4

/34-'

即3x+4y-5=o.

综上，所求直线方程为工=-1或7x-24y-25=0或标一4)，-5=0.

专题强化练

一、选择题

1.直线/经过两条直线L)，+1=0和2x+3y+2=0的交点，且平行于直线工一2)，+4=0,

则直线/的方程为()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x—y+2=0D.2x+y—2=0

答案B

[x-1=0,i

解析由L…IC得两直线交点为(-1,0)，直线/的斜率与x—2y+4=°相同，为5,

(2,v+3y+2=O'2

则直线/的方程为0=；(%+1),

即x-2y+l=0.

2.(2022•福州质检)已知4一小，0),B他,0),C(0,3).则△ABC外接圆的方程为()

A.(X-1)2+>>2=2

B.(X-1)2+/=4

c.f+G，-a=2

D.A-+0'-1)2=4

答案D

解析设△ABC外接圆的方程为

(x-a)2+(y-b)2=r

(-V3-«)2+(O-Z?)2=r,

(小一4+(()—m2=户,

{(()—4+(3—匕)2=汽

4=0,

解得，b=l,

r=2.

则△/IB。外接网的方程为,+。-I)2=4.

3.(2022・新高考全国II)图1是中国古代建筑中的举架结构，/U',BB',CC',DD'是

桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其

中。Qi，CCi，BBi，人人］是举，ODi，DCi，CBi，刖i是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为铝=05,罢=心，需=依，第=七已知岛，令，七成公差为0」的等差数列，且直线

O/JiL/C)CD|nAi

。4的斜率为0.725,则心等于()

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析设On=OG=C8i=BA=l,

则CC\=k\,BBi=kz,AA\=ki,

依题意，有心-0.2=卜，长3—0.1=/,

一

DD1±CC1±BB1±AAL

Hd>i+OC］+CBi+/M「U”，

0.5+3左3—0.3

所以

4=0.725,

故心=09

4.过圆CQ—1)2+9=1外一点尸作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,从若PALPB,

则点P到直线/：x+y-5=()的距离的最小值为()

A.IB.eqC.2色D,3也

答案B

解析因为过圆C。一1尸+V=1外一点P向圆。引两条切线以，PB,切点分别为A,B,

由附_LP4可知，四边形CAP4是边长为1的正方形，所以|CP|=，5,

所以P点的轨迹是以C(l,0)为圆心，也为半径的圆，则1］心C(l,0)到直线/：工+)，-5=0的

叫」“+°-514

所以点夕到直线/：x+>-5=0的最短距离为d—r=2巾一巾=巾.

5.与直线人一)，-4=。和圆。+1)2+°，-1)2=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(x+1)2+6，+I)2=2

B.(x+l)2+G，+1)2=4

C.(X—1)2+°，+1)2=2

D.(X-1)2+6+1)2=4

答案c

解析圆(x+l)2+G，-l)2=2的圆心坐标为(一1,1),半径为也，过圆心(一1,1)与直线x—)，一4

=0垂直的直线方程为x+y=O,所求圆的圆心在此直线上，又圆心(-1,1)到直线x-y-4=o

的距离为古=3陋，则所求圆的半径为止，设所求圆的圆心为3,力，且圆心在直线x+)，=0

上，所以一忑—=也，且〃+〃=0,解得。=1,〃=—1]。=3,/?=-3不符合题意，舍去)，

故所求圆的方程为(x—l)2+(y+l)2=2.

6.已知圆C过圆G：f+)2+41一2丁一10=0与圆G：[x+3)2+(j—3产=6的公共点.若圆

G，C2的公共弦恰好是圆。的直径，则圆C的面积为()

A.cqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析由题意可知，圆G,C2的公共弦所在直线方程为W+)2+4x-2y—10=0和a+3>+

。-3)2=6的两式相减，化简可得x—2)，+ll=0,又Q(—3,3)到直线x—2,，+U=0的距离d

=茅筌，故公共弦的长为2乂小-嗡=2事,则圆C的半径为\得，

故圆C的面积为差.

7.在平面直角坐标系中，圆C的方程为f+y2-4x=0.若在直线)，=&(x+l)上存在一点P,

使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数A不可能为()

A.1B.eqC.2^2D.4

答案D

解析由.乎+产-4x=0,得(x—2)2+产=4,

则圆心为C(2,0),半径r=2,过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A,B,

连接4C,8c(图略)，则四边形布CB为正方形，即尸。=啦r=2也，圆心到直线的距离d=

|2左一0+川.广

而“隹

即一2小WZ2啦,

故人不可能为4.

22

8.已知圆Ci：(X+6)2+(J，-5尸=4,圆C2：(A—2)+(y-1)=1,M,N分别为圆G和C2

上的动点，。为x轴上的动点，则WM+IPM的取值范围是()

A.[6,+8)B.[7,+8)

C.[10,+8)D.[15,+8)

答案B

解析G(—6,5),C2(2,l),G关于X轴的对称点为C(—6,-5),

故IPGI+IPC2121c2c31=464+36=10,

又两圆的半径分别为21，

则IPM+IPM》10—2—1=7.

故IPM+IPN1的取值范围是[7,+8).

9

9T

的两条切线，切点分别为A,B,使得则实数〃的取值范围是()

A.［一仃，班］

B.［一小，小］

C.［小，Vl51

D.［一仃，一小］川小，炳

答案D

解析由题可知圆0的半径为京圆”上存在点P,过点P作圆0的两条切线，切点分别

为A,B,使得乙4P8=1,则4PO=1，

在Rl△必。中，|尸。|=3.

，点〃在圆广+)2=9上，

由于点尸也在圆M上，故两圆有公共点.

又圆M的半径等于1,圆心坐标

，3—lW|OMW3+l,

mwR+iw%

・•・〃£［一仃，一小］“小，

22

10.已知圆G：。-1)2十°，-2)2=4和圆C2：(A—2)+(y-l)=2交于A,B两点，直线/

与直线A8平行，且与圆C2相切，与圆G交于点M,M则|MM等于()

A.eqB.2^2C.2小D.4

答案D

解析由圆G：。-1)2+()，-2)2=4,可知圆心G(l,2),半径为2,由圆C2：(.1-2)2+(}-

1>=2,可知圆心C2(2,l),半径为镇，

又圆G：f+y2—2x—4y+1=0,圆C2：x2+)2—4x—2y+3=0,

所以可得X->—1=0,

设/：L），+C=O,因为直线/与圆C2相切，则艮黄

解得c=l或c=-3,

当c=l时，/：X—y+l=0,

所以|MM=2><q4一(I-2+,4

V2片4

当。=—3时，/：x—y—3=0,

因为LL^2J

>2,故不符合题意.

综上，|MN1=4.

11.（2022・南通模拟）已知产是圆0：/+），2=4上的动点，直线八：xcos9+ysin9=4与自

xsin夕一.ycos0=1交于点。，则下列说法正确的是（）

A./）与h不垂直

B,直线人与圆。相切

C.直线b与圆。截得弦长为2吸

D.|PQ|的最大值为J行+2

答案D

解析圆。的半径为2,

因为cos"sinJ+sin6(—cos6/)=0,

所以11JJ2,A错误;

4

圆心O到直线/i的距离为1=4>2,直线（与圆O相离，B错误;

yjcos20^-shv0

圆心O到直线/2的距离为

出访2。+(­COS

所以弦长为2X422-12=2小,C错误;

xcos夕+ysin9=4,

xsin9-ycos0=1,

Lv=4cose+sin8,

得《

|y=4sin8—cos8,

即Q（4cos夕+sina4sin。-cos8）,

所以|OQI=、（4cos夕+sin4+往访8—cos呼=",

所以伊。|的最大值为我+2,D正确.

12.（2022.荷泽质检）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：二角形的外心、重心、垂心位

于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的''欧拉线”.在平面直角坐标系中作△A8C,

H8|=|AQ,点伙一1,1),点C(3,5),过其“欧拉线”上一点P作圆0：/+9=4的两条切线,

切点分别为M，N,则|M用的最小值为()

A.eqB.2也

C.eqD.2小

答案B

解析由题设知AC的中点为(13).

“欧拉线”斜率为k=一七=一1,

所以“欧拉线”方程为)，一3=一。-1),

即x+y—4=0,

又。到x+)，-4=()的距箱为1=昼2,即“欧拉线”与圆O相离，

要使IMN］最小，则在RtZSPMO与RtZSPNO中，NM0P=NN0P最小,即NMPN最大，

而仅当。。_1_“欧拉线”时，NMPN最大，

所以d=|OP|=2位，

则|MM=2rsinNN0P,

且圆。半径r=2,cos/NO尸=。=堂，

所以sin/NOP=乎，即|MNlmin=2，l

二、填空题

13.与直线2x-y+1=0关于x轴对称的直线的方程为.

答案2x+y+1=0

解析直线2x—y+l=0的斜率为k=2,与x轴交于点八(一；，0),

直线2x~y+l=0关于x轴对称的直线的斜率为一攵=一2,并且过点A,

由直线的点斜式方程得)，-0=—2(工+》

即2x+y+l=0,

所以所求直线的方程为2x+y+l=0.

14.过点P(2,2)的直线/与圆(x—l)2+y2=i相切，则直线/的方程为.

答案3工一4)，+2=0或x=2

解析当过