高考数学一轮复习（新高考版）椭圆

§8.5椭圆

【考试要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对

称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点行的距离的和等于常数（大于IFBI）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的废蹈.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形r_JL

标准方程£+方=1(。>〃>0)%+方=13*0)

范围-aWxWa且-一WyW〃一〃WxW力且一〃WyWa

4(-4,0),。2(〃.0)，4(0,-a),小(0，。)，

顶点

gi(0,~b),B2(0>b)Bi(—5,0),SOO)

轴长短轴长为功，长轴长为额

焦点&(一々0),a(乙0)&(0,—0),2(0,°)

焦距|Fi^|=2c

对称性对称轴：大轴和y轴,对称中心：原点

离心率e=^0<e<\)

a,b,c的关系〃2=一十一

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（x（），m）与两焦点构成的△尸人乃叫做焦点三角形.如图所示，设.4FH

(3)|PFl|ma、=a+c,|PF||min=。—C.

（4）|尸川尸尸----2----J~=^~-

2

（5）4?=|PFiF+|PF2|-2|PF|||PF2|COS0.

⑹焦点三角形的周长为2g+c）.

【思考辨析，

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“x”）

（1）平面内与两个定点R,后的距离之和等于常数的点的枕迹是桶圆.（X）

（2）桶圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（J）

22

（3点+，=1（mW〃）表示焦点在），轴上的椭圆.（X）

（4）椭圆的离心率e越大，辅圆就越圆.（X）

［教材改编题1

1.椭圆器+芸=1上点尸到上焦点的距离为4,则点P到下焦点的距离为（）

A.6B.3C.4D.2

答案A

o2

解析由椭圆方程存+*=1,得«2=25,即4=5,设下焦点为F,,上焦点为F”则伊川

+仍问=%=10,因为仍问=4,所以|PR|=6,即点P到下焦点的距离为6.

2.已知椭圆C：%+，=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案C

解析由已知可得从=4,c=2,则a2=〃2+c2=8,所以a=2也，

则离心率6=》=手.

3.若椭圆C3+9=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）

A.3B.2+小

C.2D.eq+1

答案A

解析由题意知。=2,b=事,所以。=1,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为〃+c=3.

题型一椭圆的定义及其应用

例1（1）（2022・丽江模拟）一动圆P与圆4：。+1）2+产=1外切，而与圆B：（刀-1）2+,2=64

内切，那么动圆的圆心P的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.双曲线的一支

答案A

解析设动圆P的半径为r,

又圆A:(x+1)2+)2=1的半径为I,圆B：(%—1)2+尸=64的半径为8,

则|以|=,+1,|尸用=8一r,

可得|RM+|P8|=9,又9>2=|A8|,

则动圆的圆心。的轨迹是以A,B为焦点、,长轴长为9的椭圆.

则△PQF2的面积为

答案芈

解析方法一由题意知，c=yja2—4.

又NFIPF2=60。，|PFI|+|PF2|=2〃,

|尸产2|=2，。2-4,

22

JIQF2|=(|PFII+|PF2|)-2|PFI\\PF2\~21PA||P&|cos600

=4〃-3|PFI||P&|=4/­16,

.,.|PF1||PF2|=—,

4s

3.

延伸探究若将本例⑵中“NQP&=60。”改成“PFiLPF?”，求APFiB的面枳.

解・・・PRJ_PB,

2222

/.|PFI|+|PF2|=|FIF2|=4(«-4)

=4a2—16,

又|PR|+|PF2l=2a,仍加2+俨臼2=(上川+俨匕|)2—2俨F：||P尸2I，

・・・|尸胤归同=8,

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值

和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)已知△ABC的周长为12,8(0,-2),Q0,2),则顶点人的轨迹方程为()

A.eq+^=1(x^0)

Beq+左=1()，W0)

解析由题意|PR|+|PF2|=2|FEI=8=2a,故。=4,又c=2,则8=2小，

焦点在），轴上，故椭圆的标准方程为

命题点2待定系数法

例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点Pi（而，1）,P2（—小，f），

则该椭圆的方程为.

答案卷+9=1

解析设椭圆的方程为〃?『+〃）?=心0,且〃?W"）.

将外，P2代入方程，

[6加+〃=1,

得

[3m+2〃=1,

所以椭圆的方程为5+m=1.

思维升华根据条件求精圆方程的主要方法

（1）定义法：根据题目所给条件确定动点的就迹满足椭圆的定义.

（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的出〃.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

1

一般可设所求桶圆的方程为nvr4-ny=1（/?z>0,H>0,in^n）f不必考虑焦点位置，用待定系

数法求出/〃，〃的值即可.

跟踪训练2⑴“YK5”是方程“£+£=1表示桶圆”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当方程式/七J=1表示椭圆时，必有<5一心>0,所以14V5且％#3,

k-15-k

.IW5一鼠

当1<上5时，该方程不一定表示椭圆，例如当左=3时，方程变为F+y2=2,它表示一个圆，

即是“方程厂、+工：=1表示椭圆”的必要不充分条件.

K—IJ—K

（2）（2022・南京师大附中模拟）已知过椭圆5+方=1（36>0；的左焦点”一1.0）的直线与梢圆交

于不同的两点A，B,与y轴交于点C,点C,Q是线段4B的三等分点，则该椭圆的标准方

程是（）

B.eq+：=1

2

C.cq+2-=1D.eq+]=1

答案B

解析如图，不妨设4沏，和）在第一象限，由椭圆的左焦点K（一1,0）,点C,F]是线段48

的三等分点，

得C为AQ的中点，/1为5c的中点，

所以AO=1,

所以5+£=1，

解得泗=6，即4（1，9，

所以40，纨8（-2,-Q,

将点B的坐标代入椭圆方程得方+方=1,

即今+卷=1，

结合/一力2=^=],解得.2=5,方2=4,

所以椭圆的标准方程是1+9=1.

题型三椭圆的几何性质

命题点I离心率

2,＞

例4⑴（2022・太原模拟）设R,B是椭圆E：£+方=1佃＞加＞0）的左、右焦点，过点Q且斜

率为尊的直线交椭圆于点P,若2NPFIF2=NPBFI，财椭圆月的离心率为（）

A.eq+1B.eq—1

C.eqD.eq

答案B

解析因为过点R且斜率为坐的直线交椭圆于点P,且2/尸*曰=/尸人~,则有NPQB

=30°,ZPF2FI=60°,

因此，在△尸中，NF"=90。,令椭圆半焦距为c,于是得|PFi|=|FiF21cos30。=#,，

I尸尸2l=|FiF+sin3()o=c,

由椭圆定义得2a=\PF{|+|PBI=(6+1)c,则6=£=存3=小一1，

所以椭圆E的离心率为小一1.

(2)(2022•全国甲卷)椭圆C：「+:=1(»历＞0)的左顶点为A,点R。均在。上，且关于y轴

对称.若直线ARAQ的斜率之积为"，则。的离心率为()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析设P(m,〃)(〃W0),

则Q(一〃2,〃)，易知4(—a,0),

—,,〃〃H21…

所以kAP-kAQ=m+a_/n^a=y^=^)

因为点尸在椭圆。上，

所以务+方=।,得/=*(/一〃?2),

代入(*)式，得

所以e=.正耳弯.

思维升华求楠圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出a,c,利用离心率公式。=£求解.

(2)由a与〃的关系求离心率，利用变形公式求解•.

(3)构造a,c的方程.可以不求出a,c的具体值，而是得出〃与。的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题

92

例5(l)Q023•长沙模拟)已知B，B为椭圆宗+方=1(。＞〃＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率

为1,M为椭圆上一动点，则的最大值为()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，NRMB最大,

y

F,OFJx

：,\MO\=b,|MBI=a,\OF^=c,

IOgIc1

/.sinZOMF2=f

\MF2\~a~2

J/0"尸2=看，

jr

故NF|MF2=§,

所以/QMB的最大值为全

(2汝口图，焦点在x轴上的椭尾+5=130)的离心率ejF,A分别是椭圆的左焦点和右

顶点，P是椭圆上任意一点，则而•谡的最大值为.

答案4

解析由题意知4=2,因为

所以C=l,所以。2=〃-d=3,

故椭圆的方程为9+9=1.

设P点的坐标为(xo,>'o)»—2WM>W2,一小WyoW小,

代入宁+餐=1,得｝3=3一%

因为尸(一1,0),42,0),

所以PF=(—1—必，—yo),PA=(2—,vo,—yo),

所以苏•就=高一xo—2+〉$=%%—沏+1=1(.vo—2)2,

所以当刈二-2时，际•前取得最大值4.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟踪训练3⑴（2023・镇江模拟）已知椭圆E：5=1（心力》0）的左、右焦点分别为尸I，B，

上顶点为A,射线AQ父椭圆E于点B,以AB为直径的圆过B，则椭圆E的离心率是（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析由题意|AQ|=HF2l=a

设|引用=/,则出厂2|=2〃一人

乂以A8为直径的圆过F2,

所以Ag_L8F2,

所以a2+（2d—z）2=（«+/）2.

解得『打2

4

所以阳五2|=孕/,

在△4KF2和中，由余弦定理得

4

4+-22

916

9U

C

因为NARB+ZBFIF2=180°,

所以cos/AQB+cosNB肌乃=0,

__(?.3c2-a2

整理得标=5。2,

所以&=尸亭

I*J

922

（2）已知椭圆,+3=13＞力＞0）的右焦点为“,0）,上顶点为A（0,b）,直线上存在一点

P满足（成+茂）•和=0,则椭圆的离心率的取值范围为（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案C

解析取"的中点Q,贝吨=；（而+应），

所以（崩+成）•崩=2的第=0,

所以FQ_LAP,所以厂户为等腰三角形，

即|网=尸。|,且I用=卡”=〃.

2

因为点P在直线上，

V

所以田P|2?-c,即a》?一c,

V-V

所以所以i+e—l》。，

VV

解得印或

又OVeVl,故，2LeVl.

课时精练

过基础保分练

1.（2023•昆明模拟）已知椭圆3+六1的两个焦点为昌，F?,过B的直线交椭圆于M,N两

点，则△QMN的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由,+勺=1得4=2.

因为M,N是椭圆上的点，F,,B是椭圆的焦点，

所以|M"]|+|MF2l=2a,|NQ|+WBI=2a,

因此△FiMV的周长为|MA|+|MN+WR|=|MFi|+|MF2|+|NF2|+|NQ|=2a+%=4a=8.

MV21

2.（2022•全国甲卷）已知椭圆C：滔+/=1（〃＞。＞0）的离心率为4,4分别为C的左、右

顶点，B为C的上顶点.若丽•就=-1,则C的方程为（）

C.eq+'=1D.eq+)2=1

答案B

解析依题意得4(一40),43,0),8(0,b),

所以B4i=(—a,—b),BA2=(a,~b)>

BAiBA2=—a2-\-b2=—(a2—b2)=—c1=—\,故c=l,

又C的离心率e=-=-=3»

所以。=3,々2=9,/?2=«2—C2=8,

所以C的方程为菅+《=1.

Vo

3.（2022・贵阳模拟）已知为，乃是椭圆C的两个焦点，。是C上一点，且NRP&=30。，|PP||

=小俨色|，则椭圆C的离心率为（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析令则上人|=小加，

・•・|PR|+1尸刑=（5+1丽=2a,

（小+l）m

得。=2，

又由余弦定理知,（20）2=（小〃1）2+加2—2.小〃LCOS300,

即4（?=m2,

:•m=2c,得c=E，

._c_____m_____y[3—\

・"厂（4+1加=2-

?2

4.（2023・濮阳模拟）已知椭圆C：，+%=1（。9>0）的左、右焦点分别为R,B，直线.尸匕（Q0）

与。交于M,N两点（其中M在第一象限），若M,R,M尸2四点共圆，则C的离心率e的

取值范围是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析设椭圆的半焦距为c,

由椭圆的中心对称性和M,Q,N,尸2四点共圆，

知四边形A/F1NF2为矩形，

所以以尸1尸2为直径的圆与椭圆C•有公共点，

2222

贝ijc>b,即c>b=a-c1

所以2/>/,

故乎vevl.

5.（多选）（2022・重庆模拟）如图所示，用一个与圆柱底面成｛0<夕<9角的平面截圆柱，板面是

一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,3~则下列结论正确的是（）

A.椭圆的长轴长等于4

B.椭圆的离心率为乎

C.椭圆的标港方程可以是普+?=1

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2小

答案CD

解析设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为乩半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为

圆柱底面圆直径，

7T4

则由截面与圆柱底面成锐二面角。=1得24=7^万=8,解得。=4,A不正确；

显然/?=2,贝ij〃=24,离心率6=^=坐，B不正确；

当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方

程为c正确；

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为〃一。=4一2小，D正确.

6.（多选）（2022・白山模拟）椭圆C：彳+）2=1的左、右焦点分别为Fi，F?,O为坐标原点，以

下四个命题中正确的是（）

A.若过点尸2的直线与椭圆C交于A,8两点，则△ABE的周长为8

B.椭圆。上存在点P,使得丽・丽=0

C.椭圆C的离心率为3

2

D.若夕为椭圆方+产=1上一点，Q为圆f+）2=l上一点，则点P,Q的最大距离为3

答案ABD

解析由椭圆C:，+）2=1得，=%序=],，=<»—护=3,

过点F2的直线与椭圆C交于A,8两点，则的周长为4a=8,故A正确；

因为c>A,所以以原点为圆心，以c为半径的圆交），轴于短轴顶点的外部，所以存在点P,

使得NQPB=900,即使得西•丽=0,故B正确；

椭圆C的离心率0=?=乎，故C错误；

因为〃为椭圆，+)2=1上一点，。为圆F+y2=l上一点，当点P,。的坐标为尸(2,0),Q(一

1,0)或男一2,0),Q(1,0)时，点尸，。的距离最大，|PQ|x=2+l=3,故D正确.

7.(2022•天津模拟)已知3(一小，0)是圆A：。一小产+产=16内一点，点。是圆A上任意一

点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D则动点D的轨迹方程为.

答案j+y2=l

解析如图，连接出题意得仍Q=|CQ,则|8Q+|/M|=|CD|+|D4|=4>24=依阴，

由椭圆的定义可得动点。的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±小，0),长半轴长为2,

故短半轴长为1,故动点。的轨迹方程为，+产=1.

8.(2023•平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为尸(0,1),椭圆C上的点到F的距离的最小值

为I，则椭圆C的标准方程为;若尸为椭圆。上一动点，M(3,3),则IPM-IPQ

的最小值为.

答案［+9=11

解析因为椭圆C的一个焦点为"0」)，所以椭圆C的焦点在1y轴上，且。=1,

因为椭圆C上的点到产的距离的最小值为1,所以。-c=l,得a=2,

29

因为从=a2—d=3,所以椭圆。的标准方程为亍+,=1；

将M(3,3)代入椭圆方程，得予+,=3>1,所以用点在椭圆外，

如图所示，设椭圆C的另一个焦点为尸，

则IPQ+IP尸1=4,

所以俨用1一仍/*1=18切+1户户'1一4.

当F',P,M三点共线时，IPM+IP尸I取得最小值,

且最小值为IMF'|=4(3-0)2+(3+==5,

所以IPM-IPF1的最小值为1.

72

9.已知椭圆C：>+方焦点B(一G。)，尸2(c,0)，左顶点为A,点E的坐标为(0,

c),A到直线的距离为坐〃.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若P为椭圆C上的一点，ZFIPF2=60°,△尸F1F2的面积为小，求椭圆C的标准方程.

解(1)由题意得，4«,0),

直线£6的方程为x+)，=c,

因为A到直线E巳的距离为坐仇

即［；+：］=坐〃，所以4+。=小仇

即3+。)2=3乂，又/=层一/,

所以3+c)2=3(a2—C2),

所以2/+〃(:一"=0,

即2/+e—I=0,

解得e=J或e=-1(舍)，

所以椭圆c的离心率为;.

(2)由(1)知离心率e=B=J，即a=2c,①

c<乙

因为/尸1尸尸2=60。，的面积为，5,

则枭K||P&|sin60。=小，

所以仍右归尸2|=4,

「PQI+IP尸d=2a,

由方程组,,,

222

|PFi|+|PF2|~2\PFI||尸Blcos60°=(2c),

得/一。2=3,②

联立①②得a=2,c=l,所以/=/一/=3,

所以椭圆C的标准方程为9+¥=1.

10.已知K，&是椭圆的两个焦点，。为椭圆上一点，ZF1PA'2=6O°.

(1)求椭圆的离心率的取值范围；

⑵求证：尸尸2的面积只与椭圆的短轴长有关.

⑴解不妨设椭圆的方程为《+£=1(心力>0),焦距为2c.

在中，由余弦定理得,

“、。IPBF+I尸BF—IMBF

COS60

-2|PFI|-IPF2I

_（『居|+伊巳|）2—2俨人卜仍尸2|一尸色|2

2|PFI||PF2|'

4/一2-人|•伊尸2I-4c21

=

J2|PFI|-|PF2|2）

所以|PriHP尸2|=4^-2|PFI|.仍同一4c2,

所以3|尸川归同=4户,

4b2

所以仍臼忖&|=丁.

又因为IPFMPF代产产〉=『，

当且仅当|PB|=|P尸2l=a0f,等号成立，

所以3a2>4（a2—c-2）,

所以然

所以

又因为0<e<l,

所以所求桶圆的离心率的取值范围是6，1）.

4Z72

（2）证明由⑴可知|尸产用尸问=亍，

~2X3X2

小b?

=3'

所以△BPB的面积只与椭圆的短轴长有关.

q综合提升练

11.（多选）（2023.长沙模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地

球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律,

即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距

分别为2q2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的取值范围是S—c,a+c]

B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆

D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于具在右半椭圆弧的运行时间

答案ACD

解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是仅一。，a+c],A正确；

根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度

最小，B不正确；

a——c1—e9

]一=73—=|-1,比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；

a+cI-reI+e

当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D

正确.

v2炉

12.（2022・邯郸模拟）已知椭圆丁+方=1的左、右焦点分别为Q,B，点尸在椭圆上，设线段

的中点为M,且|OBI=|OM，则△PRB的面积为.

答案仃

解析由题意可得。=3,6=巾，C=A/9—5=2.

如图，因为O,M分别是和的中点，所以|PF2l=2|OM=2|OBI=2c=4,根据椭圆

IP尸产+|尸/#—IP/#

定义，可得伊川=2〃-2c=2,又因为|K3|=2c=4,所以cos/PB尸产2|PF，|.|局|一L

16+16—47

=2X4X4=»

所以sinNQBB=41—cos?/尸尸2尸尸平,

故△尸Q&的面积为；尸尸2卜|尸尸2|6出/「尸2凡=仃.

q拓展冲刺练

13.（多选）（2023•青岛模拟）已知椭圆C：3+5=1的左、右焦点分