高考数学二轮复习专项突破（全国版文）立体几何中的动态问题

微重点11立体几何中的动态问题

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、

线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在,

也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问

题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

考点一动点轨迹问题

例I（2022.运城模拟）如图，正方体/WCQ-AiBiGOi的棱长为I,线段CD、上有两个动点E,

F,且EF=1,点P,Q分别为4S，88的中点，G在侧面CDOG上运动，且满足SG〃

平面CGPQ,下列命题错误的是（）

A.AB\LEF

B.多面体AEFBi的体积为定值

C.侧面CQGG上存在点G,使得SG_LC。

D.直线BiG与直线BC所成的角可能为看

答案D

解析对于A,如图，连接G。，

因为从8。。一人心|4。|为正方体，所以。G〃A8i,又。G_LCQi,“与CA是同一条直线,

所以。G_LE凡则/18i_L£尸，故A正确；

对于B,根据题意，得EF=1,E,r在线段CG上运动，且点A到直线CG的距离不变，

故的面积为定值，又点S到平面AC。的距离h也为定值，

故匕-"火=*SJ\E岛为定值，故B正确；

Anr"lJ

对于C,取C]O],GC的中点分别为M,N,连接8|M,MV,NBi,如图所示,

易知在△GDC中，MN〃CD\,又尸G〃SM,CD{C\PD}=D\,

MN,SMu平面81MMCD),PQ】u平面CQPQ,故平面SMV〃平面CDiPQ,

又点G在侧面C/">iG上至动，且满足①G〃千面8/Q,故点G的轨迹即为线段MV；

因为ABC。-4SGG为正方体，故CD_L平面BCCB,又BiNu平面BCGBi,故Bi/VICD,

则当点G与点N重合时，B}GLCD,故C正确；

对于D,因为6C〃4iG,故直线81G与4c所成角即为直线SG与以G所成角，即NCBG,

1X1「

GMXGN22巫

在RtAfiiCiG中，GGmax=GN=£,GGmin=-丽一=W=4，

2

故tanNCiBiG=^^=GG£［乎，!

而当直线BiG与直线8c所成的角为会时，

通=笔除外故直线81G与直线BC所成的角不可能为去故D错误.

规律方法解决与几何体有关的动点就迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面就迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

(3)特殊值法：根据空间图杉线段长度关系取特殊值或位理进行排除.

跟踪演练1(2022•江西联考)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A由CG的表面上运动,

XPB=PD^则点。所形成的轨迹为多边形，以下结论中正确命题的个数为()

①该多边形是共面的正六边形：

②8。垂直于该多边形所在的平面；

③AC平行于该多边形所在的平面；

④该多边形的周长为

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析点P的轨迹是过BDi的中点。且垂直于BDx的平面与正方体A8CQ—A8IGOI的表面

的交线EFGHSR,如图所示.

:回“

AB

该多边形是共面的正六边形，

，①正确；

BDJER,SRCER=R,SR,ERu平面EFGHSR,

，BD」平面EFGHSR,：.②正确；

•・•连接AC,AC//RS,RSu平面EFGHSR,ACd平面EFGHSR,

・・.AC〃平面"G//SR,・••③正确；

•・•边长RS=也，，该多边形的周长为S/5,・••④正确.

考点二折叠'展开问题

例2（2022•德州模拟）如图1,在边长为4的正方形A8C。中，点E,尸分别在边A8,BC上

（不含端点）且/汨=BF.将△AEQ,△/）（/分别沿OE,。尸折起，使A,C两点重合于点4，

在图2,则下列结论正确的有（）

:区Ai---------4|中

图I图2

®AiD±EF；

②当BE=BF=3BC时,三棱锥4—EFQ的外接球体积为加兀；

③当BE=BF=；BC时,三棱锥Ai-EFZ）的体积为斗亘；

④当BE=3F=，C时,点4到平面EFD的距离为耳亘.

A.①③B.®®

C.①③④D.②③④

答案C

解析对于①，在正方形ABC。中AD_LAE,DC工FC,

由折叠的性质可知4DJL4E,AiDlAiF,

又・・・A|EnAiF=Ai,AiE,A/U平面4E尸,

••・4iO_L平面AiEF,

又・・・KFU平面AM,

.1c.1..72\/n

・・VVE和=jS^EFirh=3X2x/?=3-

即。=耳亘，故④正确.

规律方法画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、

不变的数量关系.

跟踪演练2（2022・湖州模拟）如图，已知四边形A8CD,△BCD是以8。为斜边的等腰直角

三角形，AABD为等边三角形,6。=2,将△AG。沿直线3。翻折到△9D.在翻折的过程中,

下列结论不正确的是（）

A.BDLPC

B.。尸与8C可能垂直

C.直线。P与平面8CO所成角的最大值是45。

D.四面体PBCD的体积的最大值是半

答案C

解析对于A,如图所示，取B。的中点M,连接PM,CM,

•••△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，ABD1CA/,

•••△A3。为等边三角形,

：.BDLPM,CM,PMU平面PMC,

又CMCPM=M,

・・・8。_1_平面PMC,・.・PCU平面PMC,：.BDLPC,故A正确；

对于B,假设。/<LBC,又BC上CD,

・・・BC_L平面PC。，:,BC上PC,

又PB=2,BC="PC=@£（小T,小+1）,故OP与8C可能垂直，故B正确；

对于C,当平面P8O_L平百8Q）时，PM_L平面8c。，NPQ8即为直线。尸与平面8CD所

成角，

此时NP/用=60。.故C错误:

对于D,当平面平也BCD时，四面体P8C。的体积最大，此时的体积为V=；S△仅7ypM

,故D正确.

考点三最值、范围问题

例3（2022.芜湖模拟）己知四棱锥P-ABCD的高为小，底面ABCD为矩形，8c=3,A8=2,

PC=PD,且平面PCO_L平面48CD.现从四棱锥中挖去一个以CD为底面直径，P为顶点的

半个圆锥，得到的儿何体如图所示.点N在C。上，则PN与侧面818所成的最小角的正弦

值为（）

1R也「止4D近

/AA，2D・2L*・4L^・fy

答案A

解析如图所示，连接CQ,

分别取A8,CO的中点为E,F,连接EF与CD交于点、H.

记点N到侧面物B的距离为乩PN与侧面必B所成的对为仇由于PN的长为定值，因此当

且仅当d最小时，PN与侧面出8所成的角最小，即点N在，点处时，0=ZHPE.

由平面尸CO_L平面A8CO易知又PF=小,EF=3,HF=1,则尸〃=E”=2,

pF1

所以6=NHPE=NPEF,所以311夕=行=牛，即sinJ=不

规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问题，常用的解

题思路是

（1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.

（2）函数思想：通过建系或31人变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求

目标函数的最值.

跟踪演练3（2022・荷泽质检）如图，等腰RtZ\A5E的斜边/W为正四面体A—3CQ的侧棱，

AB=2,直角边AE绕斜边八8旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E-8c。体积的取值范围

是.

A

答案

解析如图，令F为。。的中点，。为A8的中点，则点E在以O为圆心，I为半径的圆上

运动,

由图可知当入O,£三点共线，且。在EE之间时，三棱锥£一3。。的体积最大，当运动

到臼的位置时，E-BC。豹体枳最小，

在Rtz^B。尸中，B0=\,BF=小,0F=也,

sinZBFO=^,FE=@+1,阳=啦-1,

设E,£i到平面BCO的距离分别为小，①，则

I&+小

y[2~1加一小

「小=3

S^BCD=2X2XA/3=A/3»

所以三棱锥E—BCO体积的最大值为

9小x片应毕

三棱锥E—BC。体积的最小值为

1X、BK加一小=也7

39八3-3,

所以三棱锥E-BCO体积的取值范围为[42,闿

专题强化练

1.（2022・佛山模拟）在棱长为3的正方体/WC。-481G。中，M是八|小的中点，N在该正方

体的棱_L运动，则下列说法正确的是（）

A.存在点M使得MN〃BG

3

B.三棱锥M—A山G的体积等于本

C.有且仅有两个点N,使得MN〃平面48G

D.有且仅有三个点N,使得点N到平面4|/3G的距离为小

答案C

解析对于A,显然无法找到点N,使得MN〃BG,故A错误；

对于B,匕yg=

=]S&\MC，B、B

1139

，故B错误；

=T。XTJXZJX3X3•=7

对于C,如图所示，设M,M分别为B由，81G的中点，则有MM〃平面4由G,MN2〃平

®JA\BC}t故C正确；

对于D,如图所示，设交平面48G与平面AC。分别于点。|,。2,易证SO_L平面A8G,

平面ACQ],且4|0|=0]。2=。2。=；81。=小，

所以有助，A,C,Qi四点到平面43G的距离为小,故D错误.

2.（2022•北京顺义模拟）如图，设石，尸分别是长方体ABCO-4由Ci。1棱C。上的两个动点,

点E在点尸的左边，且满足2EF=OC=gBC,有下列结论：

①BQ」平面3]后/；

②三棱锥。1一小E尸的体积为定值；

③AN〃平面8EF；

④平面44。5_1_平面BiEF.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.②④D.③©

答案c

解析对于①，丛。与CG显然不垂直，而E/〃GQ,因此S。与£广显然不垂直，从而

8]Qi_L平面小七尸是错误的，①错误；

对于②，匕上用印二%山战，在三棱锥S一中，平面。IEF即平面COGG,自到平面

CDDxCx的距离为BiCi,是定值，在ADiEF中，EF的长不变，。到EF的距离不变，故a。//

的面积为定值，因此三棱稚n—8小尸的体积是定值，②正确；

对于③，乎面以就是平面81AQC,而AA与平面相交，故AA与平面8山厂相

交，③错误；

对于④，在长方体中，CO_L平面4OiD4,CQu平面SAiOC,所以平面A|O|QA_L平面8闭。（7,

即平面ABOQ|_L平面BiEF,④正确.

3.（2022•北京模拟）如图，在校长为1的正方体ABCQ—4由iGQ中，P为线段人由上的动点（不

含端点），则下列结论正确的个数是（）

①平面O|4|P_L平面AAP；

②NAP。的取值范围是（0,W；

③三棱锥BLDFC的体积为定值；

@DC,±D,P.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析•••Oi4_L平面AA/,OIAIU平面DIAIP,・•・平面QAiP_L平面AAR①正确；

如图，连接40”若尸是A由上靠近Ai的一个四等分点，则。产=1+停卜去此时4P2

=AAi+AiP2-2AA\XAIPXCOS450=1,D\P2-iAP2<ADi，此时4吵为钝角，②错误；

O

QC,

连接CG,由于BP〃CG,BN平面BQC,CAu平面BQC,则BP〃平面8QC,因此

P点到平面BIDIC的距离，即B点到平面B^D^C的距离，为定值，△8OC的面积也是定值,

又%-Pc=%/*，则三棱锥小一加产。的体积为定值，③正确；

连接CiD,而DiClDCi,所以OG互OGJLAQ,48140=4,AI,

Anu平面4PD1,所以DG_L平面APO,2Pu平面APU,因此。G_LZ）|P,④正确.

4.（2022・湖北新高考协作体联考汝口图，在直角梯形ABCD中，BC工DC,AEA.DC,且七为

CD的中点，M,N分别是AD,BE的中点，将△AOE沿4E折起，则下列说法不正确的是（）

A.不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MN〃平面OEC

B.不论。折至何位置（不在平面A8c内），都有MMLAE

C.不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MN〃/W

D.在折起过程中，一定存在某个位置，使EC_LA。

答案C

解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB//DE.BE//AD,

所以四边形人AE。为平行四边形.所以/?E=4D.

折叠后如图所示，过点M作MP〃QE,交AE于点P,

因为平面DEC,QEU平面DEC,

所以MP〃平面。EC,连接NP,

因为M,N分别是A。，BE的中点，

所以。为AE中点，故NP〃A8〃EC,

因为N内平面DEC,ECU平面DEC,

所以NP〃平面DEC,

又MPCNP=P,MP,NPU平面A4NP,

所以平面MNP〃平面DEC,

又MNU平面MNP,

所以MN〃平面OEC,故A正确；

由已知，AEYED,AEYEC,

所以AELNP,

又MPCNP=P,MP,NPU平面MNP,

所以AE_L平面MNP,

又MNU平面MNP,

所以AE_LMN,故B正确；

假设MN/1AB、则MN与AB确定平面MNBA,

从而REU平面MNBA,ADU平面MNBA,这与BE和A。是异面直线矛盾，故C不正确；

当EC_LED时，ECA.AD,证明如下，

因为EC-LEA,ECA,ED,EACED=E,EA,EOU平面AOK,

所以ECL平面4。区又人。U平面人/）石，

所以EC_LAO,故D正确.

5.（2022.大连模拟）如图所示，在正方体A8cO—A由iGQi中，点F是棱AA上的一个动点（不

包括端点），平面8尸"交棱CG于点E,则下列命题正确的是（）

A.存在点F,使得为直角

B.对于任意点凡都有直线4G〃平面BED尸

C.对于任意点片都有平面AiG。！■平面BED声

D.在点尸由Ai向A移动的过程中，三棱锥尸一8囱。的体积逐渐变大

答案C

解析对于A,易知Dih而=（l5]A；+A内.（成+A»）=A|六以=|4由曲产0,故不存在点凡

使得/。尸8为直角，故A错误;

对于B,连接4G,AC,EF,则平面4CCACI平面比‘£>/、=££

若4G〃平面BEQF,则AiG〃EK显然当且仅当E刘尸为所在棱中点时，4G才与七尸

平行，故B错误;

对于C,连接4D,AiG,C1D,BDT,AQI,BC】,

由月8_1_平面4。。|4得易知AOi_L4Q,

•・・ABnAO|=A,AB,Adu平面ABC。，...A|O_L平面ABGG,

・・・4|。_1_8。|,同理可证AG_L8Qi,

又4orMiG=4,A］。，AGu平面AG。，

・・・BDi_L平面AiGD,

•・・8D|U平面BEA凡J平面4GO_L平面BEDiF,故C正确;

AB

对于D,连接BDi,尸Bi,SiDi,

：A4〃8Bi,AAiC平面BBg平面BBiG,

・・・A4〃平面B&Di,则尸到平面BBiDi的距离为定值，

又△BBi。的面积为定值，故