高考数学一轮复习讲义：二项式定理

§10.2二项式定理

【课标要求】能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展

开式有关的简单问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.二项式定理

二项式定理(a+/?)"=Cq'++C-9+-+C§CF//+3+C<(〃£N.)

二项展开式的通项6,它表示展开式的第任L项

二项式系数心（左二0,1,…，〃）

2.二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

（2）增减性与最大值:

①当我目■时，a随A的增加而埴x；由对称性知，当仁时，就随火的增加而减工

n〃-1

②当〃是偶数时，中间的一项C?取得最大值；当〃是奇数时，中间的两项C,；^与C,7相等,

且同时取得最大值.

（3）各二项式系数的和：m+8）〃的展开式的各二项式系数的和为C2+G+&+…+c;="

【常用结论】

1.G+C+G+-G+C+G+…=2”!

2.CM=CL+CX

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（l）Cl一彷”是（。+勿〃的展开式中的第左项.（x）

（2）（。+与"的展开式中每一项的二项式系数与小人无关.（v）

⑶通项公式，+i=CM”》中的4和人不能互换.（V）

⑷二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.（X）

2.的展开式中工2的系数等于（）

A.45B.20C.-30D.-90

答案A

a1—•1—10+—氏？

解析因为展开式的通项为，+产（-1）及。/八0-a=（_1）人脸12,令-10+女=2,

得太=8,所以展开式中x2的系数为（一l）8XC¥o=45.

C9023+a023+G023+…+&8%估、/

3©。24+/024+/侬+“・+（38疆'”且厘）

A.1B.2

C.2023D.2023X2024

答案A

2202322023

解析原式=22024-1=22023=1.

4.在二项式（炉一§”的展开式中二项式系数之和是32,则展开式中各项系数的和为

答案一I

解析因为二项式系数之知为2〃=32,所以〃=5.

令x=l,可得各项系数的和为（1-2）5=-1.

■探究核心题型

题型一通项公式的应用

命题点1形如（〃+4*（〃£N）的展开式

例I（1）。-2），）8的展开式中的卡的系数为（用数字作答）.

答案112

解析因为（x—2y）8的展开式中含的项为C^（-2V）2=112AV»所以（“一2），）8的展开式中

/尸的系数为112.

（2）已知卜一为5的展开式中好的系数为A,p的系数为％若4+8=11,则〃=.

答案±1

解析（“一常，5的展开式的通项为丁什尸Ci?｛一左＞=（一"C"’2、由5—3=5,得k

3

=0,由5—/=2,得&=2,所以A=CIX（一幻。=1,8=CgX（一。尸=10a,则由1—10〃

=11,解得a=±l.

命题点2形如3+力产（（?+4）"（〃?，〃£N.）的展开式

例2（1）（2022・新高考全国I）（1一）+），）8的展开式中野的系数为（用数字作答）.

答案一28

解析（x+y"展开式的通项为，+i=C*r/攵=0/，…，7,8.令4=6,得"+i=a%2）6；令

k=5,得75+i=C*g3所以(1一]。+)，)8的展开式中炉,的系数为CR—C?=-28.

(2)若(炉+^^+:｝的展开式中好的系数为9,则a的值为.

答案1

解析因为。2+。)1+98=/(%+08+0@+38,

且G+Eh展开式的通项为乙+产ch8-｛；)=cS/R,

当8—2/=6时，&=1,此时f的系数为CL

当8—24=8时，4=0,此时炉的系数为CG.

所以展开式中,F的系数为0+次5=8+。=9,解得。=1.

-微拓展■---------------------------------------------------------------------------

破解三项展开式问题

求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：

(I)两项看成一项，利用二项式定理展开.

(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.

(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.

典例(1)(3工2+法+1严的展开式中，含x2的项的系数为.

答案210

解析因为(3,F+2x+1严=[3炉+(2%+1)严=0«3炉严+Clo(3f)9(Zi+1)+GO(3X2)8(2X+1产

2,910

+-+C?0(3x)(2r+1)+C|8(2r+1),

所以含有好的项为CVOSA-2-^l9+Cl8Cfo(2v)218=210A-2.

所以(3f+2x+l)i。的展开式中，含/的项的系数为210.

(2)(1+2丫-3/户的展开式中含x5的项的系数为.

答案92

解析将(l+2x—3/)5看作5个因式1+ZI—3X2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成X5

的来源有：

①5个因式名出一个2r,这样的方式有C§种，对应的项为C§(2*)5；

②有3个因式各出一个2r,有1个因式出一个一3r,剩余I个因式出一个I,这样的方式有

GQ种，对应的项为仪(右)3@(—3/)；

③有I个因式出一个2x,2个因式各出一个一3.P,剩余2个因式各出一个1,这样的方式有

QC&种，对应的项为CgXZrXGXLBfA；

所以含2的项的系数为GX25+QX23xax(-3)+aX2XCSX(-3)2=92.

思维升华(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项

时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数代回通项即可.

（2）对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解,

但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

跟踪训练1（1）（多选）已知（/一右〉的展开式中第3项与第5项的系数之比为3：14,则下列

结论成立的是（）

A.77=10

B.展开式中的常数项为45

C,含2的项的系数为210

D.展开式中的有理项有5项

答案ABC

上

解析二项展开式的通项为2

=（T）*C*T,

由于第3项与第5项的系数之比为3：14,

嘘4,

〃（〃一1）

数2ZL__=A

〃（〃一1）（〃一2）（〃一3）14,

1X2X3X4

得〃2—5〃-50=0,解得〃=10（负值舍去），故A正确；

，o

则人尸^^新。/2,

令20—y=0,解得2=8,

则展开式中的常数项为（一l"Go=45,故B正确；

令20—斗=5,解得2=6,

则含2的项的系数为（一1照%=210,故C正确；

令20—苧WZ,则左为偶数,

此时攵=0,2,4,6,8,10,故有6项有理项,故D错误.

（2）（2024.攀枝花模拟）（1一加）（1+幻4的展开式中V的系数为12,则a=.

答案一2

解析由（1+此4的展开式通项为TIH=C1?,

所以含x3的项为Clx3+（—av2）Clv=（Ci—«C1）A3,

故-4a=12,可得〃=一2.

题型二二项式系数与项的系数的问题

命题点1二项式系数和与系数和

例3（1）（多选）已知&一21尸的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为I:8,则

（）

A.n=4

B.展开式中所有项的系数和为1

C.展开式中二项式系数和为2。

D.展开式中不含常数项

答案AD

解析由题意得瓦荷璘=8^

2(2〃+1)_1

(2〃+1)义2〃=1解得■〃=4,故A正确;

所以（：一2丫）2〃+|=&-2x）,令x=l,则所有项的系数之和为一1,故B错误；

所以2,9的二项式系数和为2:故C错误；

&一司9的通项公式为，+]=c§G：）9r（_2tp=a（-2）匕犷9,若，+[为常数项，则有2k—9

=0,解得Z=/N,所以不存在常数项，故D正确.

2024

（2）（多选）（2023-重庆模拟）己知（1—2A）—。（）十ad十电炉十…十023J2回十及024A2021,则

（）

A.展开式中二项式系数最大项为第1012项

B.展开式中所有项的系数和为1

CH023।672024

22023122024

D.m+242+343+…+2023。2023+2024。2024=4048

答案BCD

解析由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为CA8£,易知应为第1013项,

故A错误；

令x=l,可得（1—2）2°24=ao+“i+『+…+02023+02024=1,即展开式中所有项的系数和为1,

故B正确；

,。2023,024_

令X=0,可得6/0=।,'02023十92024=U>

所以3■+费+京---^^2ofe+^2024=-1»故C正确;

4乙乙乙4

20232024

将等式(1—2x)2°24=ao+4ix+。2A----FCl2023%+02024X两边同时求导可得，

2024X(―2)(1—2x)2023=⑺+2a/+…+2023a?023X2侬+2024s024A023,

再令x=I,可得0+2〃2+3〃3+…+202342023+202402)24=4048,故D正确.

命题点2系数与二项式系数的最值

例4已知(左+/〃的二项展开式中二项式系数之和为则下列结论正确的是()

A.二项展开式中各项系数之和为夕

3

B.二项展开式中二项式系数最大的项为90―

C.二项展开式中无常数项

D.二项展开式中系数最大的项为24(*

答案D

解析因为(僦+七)的二项展开式中二项式系数之和为64,

所以2"=64.则〃=6.

所以二项式为(2丫+左

则二项展开式的通项为*=a(2x)6r(t}=C：26A吟，

令x=l,可得二项展开式中各项系数之和为36,故A错误；

第4项的二项式系数最大，此时k=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为

6-33-

6264.一产_160/,故B错误；

3

令6-/=0,则女=4,

所以二项展开式中的常数项为=60,故C错误;

«234*6-^^-,26-*+,,

令第k+1项的系数最大，则

&26一后0+—

47

解得

因为女WN,所以k=2.

所以二项展开式中系数最大的项为n=CW=240.^,故D正确.

思维升华(1)赋值法的应用

一般地，对于多项式3+加)”二制+0工+^^+…+⑶仇”，令式丫)=3+笈)〃，则3+/>)”的展

开式中各项的系数和为鼠1),(〃+/>)”的展开式中奇数项的系数和为*g(l)+g(—l)],3+版)“

的展开式中偶数项的系数和为手?(1)一仪一1)].

(2)二项展开式系数最大项的求法

如求(〃+/状)〃3,〃£R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数

4R4-1,

分别为4,A2,A”+i,且第A项系数最大，应用、从而解得太

AB4+1,

跟踪训练2(1)J知("w+1)”(〃WN.,m£R)的展开式只有第5项的二项式系数最大，设]〃?x+

1)”=俏+。述+。2%2+…若m=8,则02+03+…一。〃等于()

A.63B.64C.247D.255

答案C

解析因为展开式只有第5项的二项式系数最大，

所以展开式共9项，所以也=8,

因为ai=CQ〃=8,所以nt=l,

所以(x+1"=的+〃d+a2A°H----Fa&v8,

令X=1,得4()+。|+。2+。3+…+。8=2*=256,

令x=0,得40=1,

所以s+〃3+…+。”=256—8—I=247.

22

(2)(多选)若(3x—2)2°25=«0+a]x+a2X+aw'+…+a2025X0”(x£R)，贝U()

2025

A.«O=2

I-52025

B.4o+a2+〃4+…+々2024=2

—52025—|

C.0+43+05H---1-〃2025=~

D号+%+学+…+舞=22^T

答案BD

解析对于A,当X=0时，的=(-2)2025=-22025,A错误；

2<)25

对于B,C,当x=l时，g+m+az+sH----^£/2025=1=1»

当X=-1时，g—。1+。2—劣+…+42024—42025=—52°25,

J—52O25

所以他+。2+。4+…+。2024=，

52025+1

ai+s+asH----b«2O25=5，所以B正确，C错误；

对于D,当尸；时，(3X彳―2>025=%+院+笔H---1■墨繇，

所以3+等+等+…+器=(-1)2。25—雨=22。25—1,D正确.

题型三二项式定理的综合应用

例5(1)设a£Z,且0WaW13,若5128十。能被於整除，则。等于()

A.0B.1C.11D.12

答案B

解析因为且0W〃《13,

所以512您+〃=(52—1)2。笈+〃

=C9o25-522O25-C4o25-522O244-C?o25-522O23--+C?8a-52-C38^+«,

因为512025+。能被13整除，

所以一◎膝+。=-1+〃能被13整除，又0W〃W13,

所以4=1.

(2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是()

A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34

答案D

解析1.056=(1J-0.05)6=Cg+CAX0.05+C^XO.O52+CAXO.O53+…+CRX0.056=1+0.3+

0.0375+0.0025+…+0.056^1.34.

思维升华二项式定理应用的题型及解法

(I)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项者s含有

除式的因式.

(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当〃不是很大，伙|比较小时，(l+x)"%l+/ir.

跟踪训练3(1)设〃为奇数，那么跟+皿11门+小1尸2+…+C011-1除以13的余数是

()

A.-3B.2C.10D.II

答案C

解析ll"+C"ll"r+CNlL2+・・・+c「.ll-1=C94r'+Cbll〃r+C3irL2+-+c「i.ii

+a-2=(U+l)"-2

=12n-2=(13-l)n-2

=C813"一以13〃「+・・,+(一1尸1©尸」3+(—1)”©—2,

因为n为奇数，则上式=03〃一仅3门+…+(一]尸[5/3—3=[03“-53，-]+.・.

+(—1尸。】13—13]+1(),

所以iin+cMr-,+csir-2+-+a-,ii-i除以13的余数是io.

(2)利用二项式定理计算0.993则其结果精确到0.001的近似值是()

A.0.940B.0.941

C.0.942D.0.943

答案B

解析0.996=(1—0.01)6=CgXl—CAX0.01+GX0.012-CAX0.013+…+cgxo.O16

=1-0.06+0.0015-0.00002+…+0.016

%0.941.

课时精练

IW知识过关

一、单项选择题

1.已知二项式(工+£)5的展开式中《的系数是10,则实数4等于()

A.-1B.1C.-2D.2

答案B

解析二项式的展开式为^^^(01皿)*=小3步一汽

令5—2攵=-1,解得&=3,

所以〃.©=10〃=]o,白=]

2.若(1+3x)?+(l+2。3+(]+x)4=ao+a]x+a2X2+au3+a4/，则〃o+ai+。2+。3+44等于

()

A.49B.56C.59D.64

答案C

解析令x=1,则由+的+“2+43+44=(1+3>+(1+2>,+(1+1/=59.

3.(x+2y)5(x-3y)的展开式中x3/的系数为()

A.-120B.-40C.80D.200

答案B

解析(工+2)炉的展开式通项为q+i=C&V"2yy=C522一今)

因为(x+2y)5(x—3y)=x(x+2y)5—3y(x+2_v)5，

在x7i+尸C&2"V中，令6—k=3可得&=3,

在)，7"=C§・2以5一中，令5—左=3可得左=2,

因此，展开式中/炉的系数为㊁变-3C02=-40.

4.已知(2x—则|4o|+|ai|H---MW等于()

A.1B.243C.121D.122

答案B

解析令x=l,得的+44+43+42+0+〃o=1,①

令x=-I,得一45+44-03+02-ai+〃o=-243,②

①+②，得2(44+42+〃o)=-242,

即44+02+40=-121.

①一②，得2(45+03+0)=244,

即々5+43+41=122.

所以依)|+阳+…+|匈=122+121=243.

5.(x+y—2z)5的展开式中，孙?z2的系数是()

A.120B.-120C.60D.30

答案A

解析方法一由题意知(x+y—2z)，=[(x+y)—2zp,

展开式的第2+1项为C心+)，)5r(-2z)\

令k=2,可得第3项为(一2)2仪。+》先2,

。+)，)3的展开式的第m+i项为cn-3-ny\

令〃?=2,可得第3项为曲)。，

所以a+y-2z)，的展开式中，

个纭2的系数是(-2)2以色=120.

方法二(x+y-2z)5相当于5个(x+y—2z)相乘，

含冲2z2的项则是其中1个(x+y-2z)中取x,

2个(x+y-2z)中取)，,2个(x+y-2z)中取z,

故系数为CgC3G(—2)2=120.

6.多项式(.F+l)(x+l)(x+2)(x+3)的展开式中x3的系数为()

A.6B.8C.12D.13

答案C

解析原式=.F(x+l)(x+2)(x+3)+(x+l)(x+2)(x+3),

所以展开式中含X3的项包含(x+l)(x+2)(x+3)中x项为12x+23x+13x=1lx,

和a+l)(x+2)(x+3)中V的项为这两项的系数和为11+1=12.

二、多项选择题

7.(2023•长春模拟)已知。工+%)的展开式中的第三项的系数为45,贝1」()

A.77=9

B.展开式中所有项的系数和为1024

C.二项式系数最大的项为中间项

D.含/的项是第7项

答案BCD

所以第三项的系数为C与=45,所以〃=10,故A错误:

所以二项式为也1以

令x=l得展开式中所有项的系数和为少。=1024,故B正确；

展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；

通项公式为几。一抬1)«

k-102k1M-30

=cL「c；(L，

令号次=3,解得女=6,

所以含3的项是第7项，故D正确.

8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我

国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发,

引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1J235&13,….以下关于杨辉三角的猜

想中正确的是()

才

卜

，"少

41

才:/'101051

「61520)56I

A.由“与首水两端等距离的两个二项式系数相等”猜想C；f=C厂"

B.由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C>I=C「I+

C

C.第9条斜线上各数之和为55

D.在第〃(〃25)条斜线上，各数从左往右先增大后减小

答案ABD

解析根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C7=C；；F,C，i=CL+C；成立，故A,

B正确；

第I条斜线上的数为C8,第2条斜线上的数为CY,

第3条斜线上的数为G,CI,第4条斜线上的数为a,C4,第5条斜线上的数为C9,CL

c5,第6条斜线上的数为eg,ci,a,第7条斜线上的数为eg,a,a,a,…，

1

由此，归纳得到，笫2〃(〃EN.)条斜线上的数依次为C%T,CL-2,3,…，er,

第(2"+l)(〃WN)条斜线上的数依次为a“，C%-2,…，c;.

所以第9条斜线上各数为a,a,ci,eg,ct其和为a+G+a+cg+ct=i+7+i5+

10+1=34,故C错误；

在第〃（〃25）条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D正确.

三、填空题

9.若展开式（也+目〃中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为

答案7

8-4k

解析由题意得〃一8,所以展开式中笫左+1项为—

8—软

令—=0,得％=2,

故常数项为C3・R）2=7.

10.若（l+x）G"+g）展开式中r的系数为30,则〃?=.

答案I

解析（1+%）6展开式通项为，+|=CW,

则（：仪〃?+々）="心2/+相（：2d-，

=3(),解得/”=1.

11.设(x+1)(2^—I)5=ao+〃ix+a2x2d----F«HAJI,则ao+2242+2%4H------F2lo«io=.

答案75

解析令x=2,得3X75=aQ+2ai+22〃2H------F2"aii,①

令x=—2,得-75=GO—为i+2?a2—…一②

①+②3X75—75

由得ao+22s+2%4+…+22no=y-=75.

12.写出一个可以使得9923+。被100整除的正整数。=.

答案1(答案不唯一)

解析由题意可知992025+«=(100-1)2025+«,

将(100—1)2。25利用二项式定理展开得(100—|)2025=60^0()2025乂(-1)。+Q025100?024X(-

i),+-+c?®ioo,x(-i)20244-c58Sioo0x(-i)2025,

2252

显然◎o251OOOX(-l)°+C4o251OO204X(-l)l+…+G8和00口(-1)2024能被100整除，

所以只需◎蹴00°(—1)23+°=—1+。是100的整数倍即可,

所以-1+a=100〃(〃ez),得a=100〃+1(〃£Z),

不妨取〃=0,得4=1.

四、解答题

2

13.己知（大彳+3炉）”的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.

⑴求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项.

解(1)令K=l,得展开式中的各项系数和为(1+3)”=22”,

又展开式中二项式系数和为2”.

所以2"=32,解得〃=5.

因为〃=5,所以展开式共有6项，

所以二项式系数最大的项为第三、四两项，

2222

3

即73=C5(/)3(3/)2=90总T4=cl(x>(3/)3=270户.

(2)设展开式中第2+1项的系数最大，

210+4«

，+产C§(户)51(3/)&=3«C"k,

西C§N3…中，

得4

3仁§23Hle产，

79

-

2一2

因为&WN,所以k=4,

10+4x426

4-y

即展开式中系数最大的项为T5=3C^^=405x.

14.在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的

二项式系数的和为128,这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.

已知(2r—ly,nao+aix+Gx2"!---.

⑴求名+卷H---1■羽的值：

(2)求〃i+2a2+3a3H---卜”斯的值.

解(1)若选①：

因为只有第5项的二项式系数最大，

所以展开式中共有9项，即〃+1=9,得〃=8.

若选②：

因为第4项与第6项的二项式系数相等，

所以C!=C=>〃=8.

若选③：

因为奇数项的二项式系数的和为128,

所以2“-1=128,解得〃=8.

所以(2x—l)8=ao+ai%+ajv2+…+48X8,

令x=],

则有(2X>1}=的+?+患H-----1■第，

即有的+号+墨H-----卜卷=0,

令X=0,得4()=1，

所以食斗翔---唠=-0=­L

综上所述，,+砥+…+患=-1.

(2)由(1)可知，〃=8,

(2x—l)8=«o+t/ix4-a2X2H------1-。*,

两边求导得16(2(—l)7=a+2air+3a62+3+8a&t7,

令x=l,

则有16=4+2〃2+3〃3+…+8〃8,

所以。1+2。2+3的+…+8寄=16.

IR能力拓展

15.（多选）下列结论正确的是（）

A.之2G=3〃(〃£N，)

A=0

B.多项式(1+：—，6展开式中R的系数为52

C.若(2%—1)|°=。()+。述+。3+…+。|(3°,xWR,则|佻|+|。||+|。2|+…+l〃iol=3i°

D.2C”+C%+2C%+C%+・・・+CgP+2C^=3-22”「(〃£N.)

答案ACD

解析对于A,S2ACS=2℃2+2lCi4-22CH-+2MC；}=CSXl,,X2°+CiX1«'X2'+ax\n

k=0

2X224------FQXax2"=(l+2)”=3",故A正确；

对于B,(l+：—x)6的展尹式的通项为.+]=%-J,要求/的系数，则423,

当)=3时,有啸-》,其中X3的系数为cgC