高考数学二轮复习专项突破（新高考版）球的切接问题

微重点11球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、娃点，也是高考命题的热点，一般是

通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半

径等，一般出现在压轴小题位置.

考点一空间几何体的外接球

例1（1）（2022•保定模拟）已知三棱锥P—43C,其中"_L平面ABC,ZBAC=120°,PA=AB

=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12TIB.167cC.20兀D.247r

答案C

解析・・・%，平面人8（7,所以把三棱锥产一A8C补成直三棱柱C'-ABC,如图所示,

设E,F为上、下底面三角形的外心，

则石尸的中点。为直三棱柱C-ABC的球心，在△48C中,

由余弦定理知BC=2#,

士门BC2#

•2"—sinNBAL近一4，

2

AM=2,

VM=2,又。尸=5%=1,

设该三棱锥外接球半径为R,

・•・R=OA=#）产+必?=*，

・••表面积S=4TCR2=20兀.

（2）（2022.宝鸡模拟）两个边长为2的正三角形△48C与△A8D,沿公共边AB折叠成60。的二

面角，若点A,从C,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

20兀「527r

A-B—

典迪

J33

答案B

解析如图，设△A8C与△48。的中心分别为MM,连接。M,CN并延长交A8于E,连

接OE,OB,OM,ON.

根据外接球的性质有OMJ■平面ABD.0汽3_平面ABC,

又二面角。一4B-C的大小为60°,

故NDEC=60。,

入LABC与△A3。的边长均为2,

故DE=CE=®

故EM=EN=；ED=^.

易得RtAMFO^RtA/VEO,

故ZMEO=ZNEO=30°,

>clME2

故°*=cos30。=?

又EB=\,

故球o的半径o吐弋1，16/=华

故球。的表面积为S=4TIG^)2=率.

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及

体现这些元素的关系)，达到空间问题平而化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

跟踪演练1(1)已知四面体A8CQ中，AB=CD=2&AC=BD=四,AQ=8C=何，则

四面体ABCD的外接球的表面积为.

答案45兀

解析设四面体A8CO的外接球的半径为凡将四面体A8CO置于长、宽、高分别为a,b,

d+-=20,

c的长方体中，故＜拄+/=29,

、〃+/=41,

1。2+力2+*通

RX.i\22‘

故四面体A8CO的外接球的表面积为4TTR2=45兀

⑵（2022.临川模拟）已知在四棱锥P—A4CO中，底面ABCD为边长是4的正方形，侧面PABA.

底面A8CQ,且△以B为等边三角形，则该四棱锥P一人BC7）的外接球的表面积为（）

C.64兀D.167r

答案A

解析如图所示，在四棱锥P-AACO中，取侧面和底面正方形/18C。的外接圆的圆

心分别为。2,分别过Q,02作两个平面的垂线交于点O,

则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，

取线段A8的中点&连接0正,。2。，OD,

则四边形。/@0为矩形，

在等边△办8中，可得PE=2小，

则。/=平，即。。2=挛，

JJ

在正方形48CO中，因为AB=4,

可得0。=2吸，

2

在山△OOiD中,可得0〃=00i+O2D,

即火2=003+。2。2=华，

所以四棱锥P-A8CO的外接球的表面积为

S=4兀辞=毕

考点二空间几何体的内切球

例2(1)(2022•酒泉模拟)在三棱锥A—3。£>中，A8_L平面88,BC±CD,且AB=CZ)=4,

A

E

c

过。作AB,BC的垂线，垂足分别为E,F,则OE=O产=4厂为内切球的半径），

,八r5

收40=s】nN7MC=m，'

C°=sinN8c4=Z.

故5=4O+OC=/+%,

解得r=y,故该旋转体的内切球的表面积为47rx（毋=瑞.

规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，

作出微面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求向切球的半径.

跟踪演练2（1）在封闭的直三棱柱ABC—4用iG内有一个体积为V的球，^ABLBC,AB=

6,BC=8,AAt=6,则V的最大值是（）

%、，「32兀

A.16兀B.^~

C.36兀

答案B

解析由题意，因为AB_L8C,AB=6,8C=8,

所以4C=10,

可得△ABC的内切圆的半径为『一言|产2,

。十X十1U

又由A4i=6,故在直三棱柱ABC—AIiG的内部的球半径最大为R=2,所以此时V的最大

4432兀

值为X71^5=^3~'

（2）（2022•西安模拟）六氟化硫，化学式为SFs，在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃

的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分了•结构为正八

面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2,

则它的内切球的表面积为（）

A.坐B.27

喑D号

答案c

解析设正八面体内切球半径为心给正八面体标出字母如图所示，连接AC,8。交于点O,

连接七0,

因为E4=EC,ED=EB,

所以EO_LAC,EOLBD,

又4c和8。交于点0,

所以E0J_平面ABCD,所以0为正八面体的中心，所以。到八个面的距离相等，且距离即

为内切球半径，设内切球与平面E8C切于点”，所以。H_L平面E8C,

所以OH即为正八面体内切球半径,

所以/?=。"，因为正八面体的棱长为2,

所以EB=EC=BC=2,OB=OC=巾,

22

EO=yjEB~OB=yf2t

所以S&EBC=5»S^0HC=.»

因为VE-OBC=VoEBC=qXSM)BCXE0

=1X5AE«CXOH,

所以0H=坐,即R=乎,

JJ

所以正八面体内切球的表面积为4冰2=空

专题强化练

1.（2022・九江模拟）如图，在边长为2的正方形48C。中，E,产分别为线段4B,8c的中点，

连接。E,DF,EF,将△AOE,ACDF,△3£尸分别沿DE,DF,EF折起，使A,B,C三

点重合，得到三棱锥O-DEF,则该三棱锥外接球的表面积为（）

AEB

A.3兀B.yfbTt

C.67rD.247t

答案C

解析在正方形ABC。中，ADLAEfCDLCF,BElBFf折起后O。，OE,O尸两两垂直，

故该三棱锥外接球即以OD,OE,。产为棱的长方体外接球.

因为00=2,0E=\,OF=\,

所以2/?=、。。2+。£2+。产=黄,所以R=坐，

所以该三棱锥外接球的表面积为4兀心=6兀

2.（2022.佛山模拟）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆

锥的顶点均在体积为36兀的球面上，若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为（）

A.2、/5兀B.4加兀

C.16几

答案B

解析依题意，做球的轴我图如图所示,

4

其中，。是球心，七是圆钱的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知刍次3=36兀,

解得R=3,由于圆柱的高为2,

则。0=1,D£=3-l=2,

DC=^32-12=2V2,

母线EC=A/22+8=2<3,

故圆锥的侧面积为SfDCEC

=71X272X2^3=4^671.

3.（2022・济宁模拟）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球

的表面积的比值为（）

A.2：1B.3：2

C.7：3D.7：4

答案C

解析如图，设01,02分别为正六棱柱的底面中心，厂为内切球半径，R为外接球半径，

0为。。2的中点，。为4B的中点，

设正六棱柱的底面边长为2,若正六棱柱有内切球，则00户0。=小，即尸，5,

22

OA=OOHO}A=lt即/?=巾，

则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4山?2：4〃2=R2:4=7:3.

4.（2022・芫沏模拟）半正多面体亦称阿基米德多面体，是口边数不全相同的正多边形为面的多

面体.如图所示，将正方体沿交于，•顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八

个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，

它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体.现有一个体积为必的二十四等边

体，其外接球体积为匕，则合等于（）

A坐

c雪

答案C

解析设该半正多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱鞋所得，即

为二十四等边体，如图所示，

其体积Vi=2X2X2-8x{xIx1X1X1=引

由二十四等边体的对称性可知，

其外接球的球心即为正方体的中心。，半径为中心到一个顶点的距离，设外接球半径为R,

则R=yOA2+AB2=yfTH=木,

5.（多选）（2022・怀化模拟）已知A,B,C三点均在球。的表面上，AB=BC=CA=2,且球心

O到平面ABC的距离等于球半径的;，则下列结论正确的是（）

3

A.球。的半径猊

B.球。的表面积为6兀

C.球O的内接正方体的棱K为我

D.球。的外切正方体的棱长为加

答案BD

解析设球。的半径为r,4ABC的外接圆圆心为。‘，半径为七则R=¥，

1I4

因为球心O到平面ABC的距离等于球。半径的？所以户一中2=不

得押金所以A不正确：

3

所以球O的表面积S=4兀产=4兀义爹=6兀，选项B正确；

设球。的内接正方体的棱长为“，则〃满足于〃=2r,显然选项C不正确；

设球O的外切正方体的棱长为〃，则〃满足力=2「，显然选项D正确.

6.（多选）（2022・武汉质检）已知球。是三楂锥。一A8C的外接球，PA=AI3=PB=AC=2,CP

=2<2,点。是PB的中点，且CD=巾,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥P-ABC最长的棱的校长为2近

B.AC_L平面以8

C.球心O到底面布8的距离为第

D.球。的表面积为努

答案ABD

解析如图，因为玄=AC=2,CP=2<2,

所以以2+4^2=。02,

得C4_L以，

由。是的中点，

得

,22

AD=y)l—1=y[3t

又CD=巾,

所以得AC_LA。，

又以CAQ=A,PA,AQU平面以4,

所以4CJ_平面办B,故B正确；

由48=4尸，得CB=CP=2"

故三棱链P—A8c最长的棱的棱长为2®

故A正确；

取等边三角形%B的中心G,连接OG,OA,

则OG=~^AC=1,

即球心。到底面以8的距离为1,故C错误;

底面△加8外接圆的半径r=2中，

外接球的半径R=7F+I竽)=相=率

所以球。的表面积为S=4兀乂(31)2=罢^,

故D正确.

7.(2022•漳州模拟)某中学开展劳动学习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬

纸片加工制作成轴截面的顶角为60°,高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球

形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为.

答案16兀

解析如图，由题意知，

N84C=60°,AOi=6,

故在RlZXAOC中，

AC=4巾，0C=25，

设内切球球心为0,半径为R

则OD=OOi=R,

在RlZ\4QO中，/。4力=30。