高考数学一轮复习题型突破：导数在研究函数单调性的应用（解析版）

专题4.2导数在研究函数单调性的应

用

三I题型目录

题型一利用导数求函数的单调区间

题型二利用导函数图象确定原函数图象

题型三利用原函数图象确定导函数图象

题型四已知函数在区间上递增（减）求参数

题型五已知函数存在单调区间求参数

题型六已知函数在区间上不单调求参数

题型七利用函数单调性比较大小

题型八利用函数单调性解决抽象不等式

才典例集练

题型一利用导数求函数的单调区间

例1.（2023春•甘肃兰州高三兰大附中校考阶段练习）函数f（x）=x4nx的单调递减区间为

【答案】（o，J/（。，丁）

【分析】利用导数求得/次）的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为（。，+8），・・・r（x）=lnx+l,

令lnx+1WO得0vx«L

e

・•・函数/（x）=x4nx的单调递减区间是（0，!.

（11

故答案为：。，-

Iej

例2.（2023春・天津南开•奇三天津二十五中校考阶段练习）函数/（"=丁-工2-%的单调减

区间是（）

A.一8，-；）B.（1,00）C.（1,8）D.（一；，1）

【答案】D

【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.

32

【详解】V/(X)=x-x-xtx€R,

/.ffM=3X2-2X-\=3(X-1)(X+1),

令/'3<0,解得一

J

(1、

所以函数的单调递减区间是-于1.

故选：D

举一反三

练习1.(2023・全国•高三对口高考)函数/(x)=2/-f的严格增区间是.

【答案】(og)

【分析】对“力求导，使其大于零，解得即可.

【详解】解:由题知J'(x)=Zd—V,

所以r(%)=4x-3%2,

^//(A-)=4X-3X2>0.

解得

所以/(X)的严格增区间是(og).

(4)

故答案为：

练习2.(2023春・江苏南京•高二南京市秦淮中学校考阶段练习)已知定义在区间(0,功上的

函数/(力=岳-2sim:,则/(x)的单调递增区间为.

【答案】(川

【分析】对“力求导，求出仆行)>。的解即可求出答案.

【详解】因为/(x)=2sim・，则Z(x)=V2-2cosx

令尸(x)=V2-2co&r>0,即cosx〈等，且xe(0,兀)

所以所以/（x）的单调递增区间为

故答案为：

练习3（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=ln（x-2）+皿4一%）,则/（x）的单调递

增区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（-00,3）D.（3,内）

【答案】A

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递

增区间.

【详解】由得：2Vx＜4,即“力的定义域为（2,4）；

••r⑺=-.....-=2（3—力

•'㈠x-24-x（X-2）（4T）'

.•.当x«2,3）时，6"）＞0；当工«3,4）时，r（x）＜0：

\/住）的单调递增区间为（2,3）.

故选：A.

练习4.（2023秋・山东东营・高三东营市第一中学校考期末）函数/。）=巴1的单调递增区间

x+1

为•

【答案】（7,-1），（T，y）

【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用

导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.

【详解】因为函数/"）=二，贝

X+1（X+I）

设h（x）=xe'+1,贝|J/r（x）=（x+l）e',

当x＞—l时，//U）＞0,Mx）在（-1,2）上单调递增；

当不＜T时，"（幻＜。，加工）化（T»,T）上单调递减，

所以当xeR时，A（x）＞A（-l）=-i+1＞0,

c

则当XH-1时,f\x）＞0.

所以/（幻的单调递增区间为（YO,-1）,（T,位），

故答案为：（-1.+00）.

练习5.（2023・高三课时练习）函数,“X）=QX+2（〃、〃为正数）的严格减区间是（）.

X

【答案】C

【分析】由题得XWO,再利用导数求出函数的单调递减区间得解.

【详解】解：由题得

由f，(x)=a-3,令/(工)=4-与＜0解得一器—VO或Ovxvb

x-VVcia

所以函数/(X)=依+2的严格减区间是

选项D,本题的两个单调区间之间不能用“U”连接，所以该选项错误.

故选：C

题型二利用导函数图象确定原函数图象

例3.(2023春・安徽安庆・高三安徽省宿松中学校考期中)(多选)如图是函数

)，=/(力/《-3,5］的导函数尸(力的图象，/(-3)<0,则下列判断正确的是()

A./(⑼单调递增区间为［T2］,［4,5］B./'⑵=0

C./(x)</(2)D./(2)>/(4)

【答案】ABD

【分析】由导函数图象的符号判断函数”X)在各区间的单调性，再结合函数的性质得出结

果.

【详解】对于A,由题图知当x«T,2),x«4,5)时,代工)>0,所以在区间(-1,2),(4,5)上，

/(“单调递增，故A正确；

对于B,当时，用卜)vOJ(x)单调递减,在x«T,2)上,/'(力>0"(力单调

递增;当xw(2,4)时,/'(x)vOJ(x)单调递减,所以/'(2)=0,故B正确;

为广C,/(2)不一定是函数的最大值，最大值可能由区间［-3,5］的端点产生，所以C错误；

对于D,当xe(2,4)时，f(x)<0,/(%)单调递减,所以〃2)>〃4),故D正确;

故选：ABD.

例4.(2022春・安徽滁州府三校考期末)定义在R上的函数/(©的导函数为,且，/(%)

A.函数〃.r)在区间(-1。上单调递减B.函数，数在区间(T,5)上单调递减

C.函数在x=5处取得极大值D.函数/(%)在4-1处取得极小值

【答案】D

【分析】先由函数图像得到了’(外在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.

【详解】由图像知：当xe(YO,-1)时，・炉'(X)>0J'(x)v0,当xw(-1,0)时，矿(幻<0,/V)>0,

当Xe(0,5)u(5,1o)时，町'(X)<o,r(x)<o,

则函数人幻在区间(-1,0)上单调递增，A错误，B错误；

函数/(x)在区间(0,5),(5,10)上单调递减，C错误；函数/")在单减，在(-L0)上单

增，在广-1处取得极小值，D正确.

故选：D.

举一反三

练习6.(2022.全国.高三专题练习)函数〃力的导函数.广(力的图象大致如下图，则/(“可

能是()

R./(x)=^x2-cos.v

C./（x）=^x24-sinxD./（x）=^x2-sinx

【答案】A

【分析】对其求导之后，由导函数的奇偶性排除CD,再由选项B中该函数的二阶导函数判

/\

定其一阶导函数应在上单调递增，即可判定答案.

【详解】由图可知，/（"的导函数尸（可是一个奇函数，其中选项CD的导函数分别为

r(x)=gx+cosx,/'(x)=；x-cosx,其(一x)=-；x+cosx,/'(—x)=-；x-cosx,都为非

奇非偶函数，即可排除CQ,

其中选项B的/'（*=9+51|1尤/"（工）=；+85m其中在入€显然

22\）

/"（x）=g+cosx>0，r（x）在“€（0段）上单调递增，与图象不符，错误,

故选：A

【点睛】本题考查导数的计算，还考查了利用导数分析函数的单调性，以及函数奇偶性的几

何意义，属于简单题.

练习7.（2023・高二课时练习）将），=/（刈和了=/（幻的图象画在同一个直角坐标系中，不

可•能•正确的是

【答案】D

【分析】根据导函数与原随数图象之间的关系，结合选项进行逐一分析即叱

【详解】根据r（“>o,则/（力单调递增；r（工）<o,/（力单调递减,

容易判断4A,C正确；

对选项D：取r（X）与1轴的两个交点的横坐标为〃】，〃

数形结合可知当时,/f(x)<o,

故此时函数/.(%)应该在此区间单调递减，

但从图象上看/(%)不是单调递减函数，故该选项错误.

故选：D.

【点睛】本题考查原函数与导函数图象之间的关系，属基础题.

练习8.(2023・高二课时练习)(多选)已知函数/(力的导函数/'(1)的图象如图所示，那么

下列图象中不可能是函数/("的图象的是

【答案】BCD

【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.

【详解】由导函数图像可得：

当XV。时，f\x)>0,即函数f(x)在(y,0)上单调递增;

当0<x<2时，八幻<0,即函数/(力在(0,2)上单调递减;

当%>2时,f\x)>0,即函数f(x)在(2,g)上单调递增;

故BCD错误，A正确.

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.

练习9.(2022・全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数y=4’(x)的图象(如图所示)与

%轴分别交于原点、点(-2,0)和点(2,0),若-3和3是函数/*)的两个零点，则不等式/*)>0

的解集()

B.y,-3)11(3,+8)

C.(一8,-3)U(0,2)D.(-3,0)53,+。)

【答案】B

【分析】根据y=V'(x)的图像可得/'(X)在A上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结

合/(A)的零点画出/(A)的简图，进而求得不等式f(X)>。的解集.

【详解】由图,当xe(f-2)时")>0,故/'(力<0,r(x)为减函数;

当xe(-2⑼时矿(x)v0,故盟x)>0，为增函数;

当问0,2)时")<0,故r(x)<0,/(x)为减函数;

由图，当X«2,E)时,y(x)>0,故用x)>0,/(x)为增函数;

乂-3和3是函数/(x)的两个零点，回出/(x)的简图如卜:

-3)U(3收).

故选：B

【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.

需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.

练习10.(2023春・北京大兴•高二北京市大兴区第一中学校考阶段练习)已知函数y=八用的

导函数),=f'(x)的图象如图所示，则函数)，=/(©的图象可以是()

【答案】c

【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系确定正确选项（实际上排除错误选项）.

【详解】根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数/'（幻的图象可知，原函

数/（、）先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性.根据导函数绝对值的大小得出原函数增减速

度的快慢是解题的关键.

题型三利用原函数图象确定导函数图象

例5.（2022・全国•高三专题练习）函数），=/（%）在定义域内可导，图像如图所示,

记），=/（另的导函数为则不等式/'（耳20的解集为（）

y

【答案】c

【分析】r(x"o的解集即为y=f(x)单调递增区间，结合图像理解判断.

【详解】>0的解集即为y=/(x)单调递增区间

结合图像可得)'=/(x)单调递增区间为卜

故选：C.

例6.(2023・全国•高三专题练习)设/*)是函数/(X)的导函数，若函数/(X)的图象如

图所示，则下列说法错误的是()

A.当1VXV4时，,/^A)>0B.当x<l或x>4时，/r(x)<0

C.当x=l或x=4时，/")=0D.函数/(x)在x=4处取得极小值

【答案】D

【分析】根据导数的正负与函数的增减以及极值点的定义判断.

【详解】A.由图象知：当1<工<4时，函数递增，所以用x)>0,故正确;

R.由图象知：当"I或04时,函数/Ct)递增，所以『'(»<(),故正确：

C.由图象知：当x=l或1=4时，函数f（x）分别取得极小值和极大值/'（x）=o,故正确;

D.由图象知：函数/（x）在x=4处取得极大值，故错误；

故选：D

举一反三

练习11.（2023・全国•高三专题练习）已知函数），=/*）（xeR）的图象如图所示，则不等式

叶’（刈＞0的解集为

【答案】（O,；）U（2,+CC）

【分析】先由），=/（%）的图象得到函数的单调区间，从而可得r（x）＞。和广5）＜。的解集,

进而求出^'（x）＞0的解集.

【详解】解：由y=/（x）的图象可知/3在（-00,；）和（2*）上单调递增，在《⑵上单调递

减，

所以"外＞o的解集为（-xl）u（2,y）,r（x）＜o的解集为（1,2）,

由人,＞0得1;7'＞（幻＞00或/'")<0

.V<0

所以/（x）＞0的解集为（o,y|u（2,x）,

故答案为：（0,g）u（2,+8）

【点睛】此题考查函数图象与其导数间的关系，属于基础题.

练习12.（2023・高二课时练习）已知定义在区间（-2,2）上的函数y=/（x）的图象如图所示,

若函数:（x）是/（力的导函数，则不等式/彳/）＞。的解集为（）

A.(-1,1)B.(-2t-l)u(-l,l)

C.(1,2)D.(--l)u(0,V^)

【答案】A

【分析】由/4冷＞0表示函数单调递增，根据函数图像，即可得出结果.

【详解】因为八"）＞0时-，函数单调递增，

由图像可得：当时，函数单调递增，

因此/"）＞0的解集为xw（Tl）.

故选:A.

【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数的单调区间，熟记导函数与原函数图像之间关系

即可，属于基础题型.

练习13.（2023春.陕西咸阳•高二校考期中）函数/（"的图象如图所示，则不等式

"一2）广（司＞0的解集为（）

A.(2,y)B.(-oo,-l)C.(F,T)U(1,2)D.(-1』)U(2,e)

【答案】D

x＜2x＞2

【分析】原不等式等价于1/（x）vo或然后根据图象分段考察导数的正负区间，

即可求得答案.

【详解】不等式（、-2）尸|力＞。等价于:/,（司＜0或1（（力）0，

由函数的图象可知,在x＜2时，函数八力的单调递减区间为卜1,1],尸（力＜0的解集为

（T」），

在x＞2时，/«9＞0的对应区间为[2,+8）,

＜,、＞/、

・•・）,x&）2＜0的解集为（T1），|/,x（耳2〉。的解集为（2,+功

不等式（x—2）r（x）＞0的解集为（—l,l）U（2,s）,

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与函

数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象观察导数为正值和负值

的区间，体现了数形结合思想.

练习14.（2023秋・江苏盐城•高二统考期末）设函数Ax）在定义域内可导，丁=/（幻的图像

如图所示，则导函数的图象可能为（）

【答案】D

【分析】根据函数的单调性得到导数/'（幻的正负，从而得到函数/'（X）的图象.

【详解】由函数y=/a）的图象可知，

当X£（—,0）时，/（X）单调递增，则/'"）＞（）,所以A选项和C选项错误：

当xe（O,18）时，/U）先增，再减，然后再增，则尸（x）先正，再负，然后再正，

所以B选项错误.

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属

于基础题.一般地，函数/比）在某个区间可导，/'（幻＞0,则Ax）在这个区间是增函数；函

数/（用在某个区间可导，/,U）＜0,则人外在这个区间是减函数.

练习15.（2023春・浙江•高三阶段练习）已知函数=奴2十二十、S工0）的部分图象如图

e

所示，则（）

C.b-c<0D.3a-2b+c<0

【答案】B

【分析】求得函数y=的导数0。)二—a1+(2〃;加+2-c,根据函数)，=/(x)的单调

e

性可判断A选项的正误，利用7X-1)、/。)、/'⑼的符号可分别判断D、B、C选项的正

误.

rz\ad+历+C.-ax2+(2a-b)x+b-c

［详解］•.•/(%)=----；——，A/(A)=-----------------；---------,

ee

令g(x)=-公2+(2〃-b)x+b-c,

由图象可知，函数)，=/(外光减后增再减，则-avO,可得。>(),A选项错误：

r(-D<0,则g(T)=-3a+2力一cvO,贝Ij3〃一⑦+c>0,D选项错误；

:(1)>(),则g(l)=a-c>(),B选项正确；

//(0)>0,则g(O)=b-c>O,C选项错误.

故选：B.

题型四已知函数在区间上递增(减)求参数

例7.(2022春•四川绵阳•高二校考期中)若函数/(x)=xlnx-：a/定义域上单调递减，则

实数。的最小值为()

A.0B.gC.1D.2

【答案】C

【分析】根据单调性可得r(x)=lnx+l-axWO在(0,一)上恒成立，即小巴，构造

X

g(X)=M±l,求导数分析单调性求最大值即可得解.

X

【详解】由函数"X)=Xin1-3尔定义域上单调递减，

得/'(司=1g+1—公40在(0,+8)上恒成立，即四，

X

令g(x)=»g，(x)=lz^=*,

XXX

在(0,1)上，g'(x)>0,双幻单调递增；

在(1,y)上，g'(x)<。，g(x)单调递减；

所以g-(1)=1，

所以a2l.

故选：C.

例8.(2022•全国•高三专题练习)若函数/")=cos2x+asinx在区间是增函数，贝心

的取值范围是.

【答案】I4,y)

【分析】先求导,根据题意人力“在他,父上恒成立,整理即得a“sinx在住,鼾上

恒成立，再求4sinx的值域即得结果.

【详解】由/")=cos2x+asinx知，

/'(X)=-2sin2x+c/cosx=-4sinxcos工+acosx=cosx(-4sinx+a),

••,xwKl时，是增函数，.•.r(x)N0,

又cosx>0,/.-4sinx+aN0,「.aN4sinx在《身上恒成；/：,

而TVS，4sinxe(2,4):.a>4.

故答案为：[4,+8).

【点睛】思路点睛：

己知函数单调性求参数取值范围通常有以卜思路：函数f。)在区间/上递增，则/")20恒

成立；函数在区间/上递减，则f*)K0恒成立.

举一反三

练习16.(2023春・陕西延安•高二校考期末)若函数/(外=工+。力】工在„上单调递增，

则。的取值范围是()

A.一g,0B.18,-gC.-g，+8)D.[-l,+oo)

【答案】D

【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比练习函数的性质进行求解即可.

一\

【详解】f(x)=l+acosx,因为函数/(x)=x+asinx在0,£上单调递增，

所以当xe0,?)时，/'⑶=1+acosxNO恒成立，

因为XG0,—,所以858£(]但,1],于是有——,

.472cosx

设f=cosx,因为函数g(/)=+在是单调递增函数，所以且(/)皿=一；=—1,

jr-[

因此当xe0,-时，a之——恒成立，只需aNg（，）m僦=7，

.4Jcosx

故选：D

练习17.（2023•全国•高三专题练习）若函数/@）=y-or+a）e'在区间（-1,0）内单调递减，

则实数，的取值范围是（）

A.y,3]B.[3,+00）c.[l,+oo）D.y,l]

【答案】D

【分析】求出导数r（x）,由题意得了'（”40在（-1.0）上恒成立，由分离参数思想可得结果.

2x

【详解】由fM=（X-cvi+〃）e'得r（x）="+（2-a）x]=xe（x+2-a）,

由于函数/*）=，-ar+〃）e'在区间（TO）内单调递减，

即/'（x）W0在（-1,0）上恒成立，EPx+2-a>0,

即得aWx+2在（-1,0）恒成立，所以

故选：D.

练习18.（2023・全国高三专题练习）已知函数/（力=尸+加+以+〃在（e,0]上是增函数，

在[0.2]上是减函数，且方程/（另=0有3个实数根，它们分别是。，夕，2,则/+r的

最小值是（）

A.5B.6C.1D.8

【答案】A

：片£丁,则心户转化为八4,然后根据b的范围求

【分析】根据已知条件求得

值域即可.

【详解】由/（x）=f+加+5+d得/4x）=3父+2/2+。，因为/（X）在（一8,0）上是增函数，

在[0,2]上是减函数，所以广（0）=0,所以c=0,此时f（x）=0的另外一个根-弓之2,所

以人<一3,因为方程/（力=0有3个实数根，它们分别是%夕，2,所以/（2）=。，所以

“7（。+2）

且/（工）=（工一2）（工一a）（x-/7）=V—（a+/7+2）Y-\-（2a-\-2p+ap）x-2ap,

b=—a—p—2cx+p=-b-2

所以y则4y

[d=-2a0,Ia6=2〃+4,

所以。2+42=（&+〃）2-2明=（一。-2）2-2（2〃+4）=从-4,因为人工一3,所以从29,所以

储+夕的最小值是5.

故选：A.

练习19.（2023・全国•高三专题练习）设函数/（x）=or-g-21nx.

A

（1）若广（2）=0,求函数“力的单调区间;

（2）若/"）在定义域上是增函数，求实数〃的取值范围.

【答案】（1）单调递增区诃为（0,；）和（2,+8）,单调递减区间为（；，2）；（2）［1,+co）.

【分析】（I）根据/'⑵=。，解得a=1,得到/（幻=白・（2/-5x+2）,利用导数的符号，

tJJ人

即可求得函数的单调区间；

（2）把/（、）在定义域上是增函数，转化为当x>（）时，不等式办2_2工+〃20恒成立，分类

参数，转化为对x>0恒成立，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数/（x）=or-g-21nx的定义域为（。,+00）,且广（力=〃+3—2,

.1.XA

〃444??/、

I大I为r（2）=Q+1一］=0,解得a=不，月f以r（x）=《+^T—■=—5X+2）,

令/Kx）>0,即2f—5x+2>0,解得x>2或x<g；

令/'（x）v0,HP2x2-5x+2<0,解得;<x<2,

所以函数/（x）的单调递增区间为（0,g）和（2,go）,单调递减区间为（；,2）.

（2）若“力在定义域上是增函数.则/对xw（0.+8）恒成、工，

因为/（无）=〃+=-2=竺二£±£,即x>0时，不等式以2_2x+aN0恒成立，

rXJT

即金一对x>0,恒成立，

x2+\

2-二2

因为f+广1-,当且仅当x=l时取等号，

X+—

X

所以。之1,即实数a的取值范围是［1,+8）.

【点睛】对于已知函数），=/（X）的单调性求参数问题：

（1）已知可导函数“X）在区间。上单调递增，转化为区间。上广（同之0恒成立；

（2）已知川.导函数/（力在区间。上单调递减，转化为区间。上ra）wo恒成立；

（3）已知可导函数“X）在区间。上存在增区间，转化为户"）>0在区间。上有解：

（4）已知可导函数/（同在区间。上存在减区间，转化为r（x）<0在区间。上有解.

练习20.（2023春・山东枣庄•高二校考阶段练习）已知函数/（x）=x+-在（YO,-2）上单调递

x

增，则实数。的取值范围是（）

A.[4,-Foo）B.（0,4]C,10,4]D.（一8,4]

【答案】D

【分析】根据/（x）=x+9在（—，-2）上单调速增，由"幻之。在（f,-2）上恒成立求解.

X

【详解】因为函数/。）=》+巴在（-，-2）上单调速增，

X

所以/'"）=1-3之0在（-00,-2）上恒成立，

X-

即所以〃4x2在（-8,-2）上恒成立，

因为）,=/24,

所以。工4,经检验等号成立，

所以实数〃的取值范闱是（一双4],

故选：D

【点睛】方法点睛：若可导函数火工）在指定的区间。上面调递增（减），求参数范围问题，可

转化为〃x）K）（或了⑴4）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

题型五已知函数存在单调区间求参数

例9.（2020春•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考开学考试）若函数

/（同=⑪-2』—Inx存在单调递增区间，则实数。的取值范围为.

【答案】（4,例）

【解析】由题意知，存在<>0使得了《勾>。，利用参变量分离法得出。>4x+g，利用基本

不等式求出4工+，在x>0时的最小值，即可得出实数〃的取值范围.

X

【详解】v/（x）=ax-2x2-lnx,定义域为（0,+8）,f\x）=a-4x--

Xt

由题意可知，存在x>0使得户外）>0,即a>4x+：.

由基本不等式可知，当x>0时，4A-+->2J4X--=4,当且仅当x时，等号成立.

x\x2

所以，«>4,因此，实数〃的取值范围是（4.内）.

故答案为：（4,+oo）.

【点睛】本题考查利用函数单调区间的存在性求参数，考查参变量分离法的应用，考查计算

能力，属于中等题.

例10.(2011秋.山东济宁.高三阶段练习)函数F(x)=x：-L+alnx在(1,2)上存在单调递增

x

区间的充要条件是

【答案】卜?，田)

【分析】先将函数/(x)=,d-L+41nx在(1,2)上存在单调递增区间的问题转化为其导函数

X

/4工)>0在(1,2)上能成立问题，利用分离参数思想〃>-(2/+J在(1,2)上能成立，，通过

导数判断=的单调性，求出范围即可.

【详解】广")=2工+二/=2八产+七>()),

『X厂

•.•函数/*)=/—_1+〃在(1,2)上存在单调递增区间

・•・/")>0在(L2)上能成立,

即2丁+0¥+1>0，化简得一2/+一)在(1,2)上能成立，

Ix)

设g(x)=—(2f+J),则g，(x)=-(4x-g)=l^<0在(1,2)恒成立，

・•・g(力=一(2/+-J在(1,2)上单调递减，且g(2)=-y

.17

••。>--9

2

117

即函数fW=9-〃In］在(1,2)上存在单调递增区间的充要条件是。>

x2

(17)

故答案为：aw—,+<».

IN>

举一反三

练习21.(2022春・全国•高二期末)已知函数/(x)=lnx-gad-2x

⑴若。=3,求/(”的增区间；

⑵若〃<0,且函数“可存在单调递减区间，求〃的取值范围；

【答案】

⑵(T，。)

【分析】(1)根据函数的定义域以及/4勾>。即可求出/(X)的增区间；

(2)根据题意可知，/'(<)4()在(。,+8)上有解区间，苒分参转化为求最值，即可求出。的

取值范围；

(1)

“X)的定义域是(0，+8)，4=3时，/(切」-3工-2=一(版-1)(%+1),

XX

令74冷>0,得0<xvg,・•.函数/(力的增区间是(0《.

(2)

f［x)=--ax-2,由函数/(x)存在单调递减区间，知广(同工0在(0,+8)上有解区间，・•・

X

1I?I7f1A2

—at-2K0,R|Jt?>——,而f—=—1—1>—1»当且仅当x=1时取等号

xx~xxx\JTJ

(当。=-1时,不等式只有唯一的解x=l,不符题意舍去)，乂”0,・・・a的取值范围是(-1,0).

练习22.(2023・全国•高二周测)已知/(x)=alnx+；Y,若对任意两个不等的正实数司、x2

都有〃内)一/(々)>2恒成立,则a的取值范围是若/*)在区间2］上存在单调递增

百一勺2

区间，则〃的取值范围是.

【答案】［1,+OO)(-4,-Ko)

【分析】将不等式等价变形成/5)-2N>/(&)-2占，构造函数，利用函数单调性得解；由函

数/*)的导函数大于0在弓,2］上有解即可作答.

【详解】因对任意两个不等的正实数和％都有>2’则不妨令苍>占>。，于

内一々

是有/(%)-2A,>f(x2)-2天，

设函数g(x)=/(x)-2*=alnx+；x2-2x,依题意，g(x)是定义域(。-⑹上的增函数，

则有Vx>0,g'(x)=g+x-220oaN-x2+2.i,而当工=］时，—£+2］取得最大值1,从而

x

得a"

所以。的取值范围是口,依)；

因/(X)在区间4,2］上存在单调递增区间，则不等式r")=@+x>0,即在《2］上

2x2

有解,

2

而xeg,2］时，-4<-X<-1,于是得。>-4,

所以。的取值范围是(-4,3).

故答案为：［1,+co)；(-4,+co)

练习23.(2022春•黑龙江哈尔滨•高二校考期末)若函数f(x)=lnx+a12在区间内

存在单调递增区间，则实数。的取值范围是()

A.B.-J,x］

C.D.(-2,-KC)

【答案】D

【分析】利用导数研究函数的单调性，人处在内存在单调增区间，等价于ra)>o在

(g，2)上有有解，然后参变分离即可求解•

【详解】•・•函数/(幻=InX+af-2在区间(1,2)内存在单调递增区间，

ff(x)=-+2ax>()在区间(!⑵上有解(成立)，

x2

即2a>(-)min在区间(1,2)上成立，

x"2

又函数y=/在(1,2)上单调递增，

.•・函数),二一二在(2,2)上单调递增，

x~2

故当x二时，了=-3取最小值，即(-与濡=-4,

2x~厂

即2a>T,得。>一2.

故选：D.

练习24.(2023.高二课时练习)若函数/3=(/-如+2巾在上存在单调递减区间,

则，〃的取值范围是.

【答案】(2,+8)

【分析】先对/(X)求导，将问题转化为八幻<0在［一［］上有解，即2-〃?<二二在

L2Jx+\L2」

上有解，利用换元法与基本不等式求出二日的最大值即可得解.

x+1

【详解】因为/")=(/-〃a+2卜"

所以/'(x)=(2x-〃z)e'+(J2-771X4-2)ev=［x?+(2-m)x+2-/nJe',

则原向题等价于r(x)<0在一；」上有解，即f+(2-阳江+2-〃?<0在一：』上有解，即

_r2「］一

2-in<——在一不1上有解，

x+1L2.

令，=x+l,则/€g,2,x=f—1,

所以才与邛月-2>0.

当且仅当，=1,即f=l时，等号成立，此时4=0,

t

/2\

所以—=0,则2-〃2<0,

5+1人ax

所以m>2,即m€(2,+oo).

故答案为:(2,4-00).

练习25.(2023•四川乐山・统考三模)已知函数/。)=*-1贮+如+2.

(1)若在区间(0,1)上存在单调递增区间,求。的取值范围;

【答案】⑴(-3)

【分析】(1)求出/*),对。分类讨论确定/'(幻>0是否在(0,1)上可能成立即可得；

【详解】(1)由/(X)=(x-l)el+0X4-2,得f\x)=xe*+a,

①若〃N0,则广(幻>0,此时/(外在区间(0、1)上单调递增，满足条件；

②若。<0,令g(x)=xe"-a,可知x>0时,g(%)单调递增,

由于fJ)在区间(0,1)上存在单调递增区间，则g*)>0即在(0,1)上有解，

由于-北在(0,1)上单调递减，则-e<-xelv0,此时-e<a<0.

综上所述，若/(4)在区间(0,1)上存在单调递增区间，则a的取值范围是(-弓+00).

题型六已知函数在区间上不单调求参数

例11.(2022秋•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考阶段练习)若函数/。)="卜2-ar+a］在

(2,3)上不单调，则实数〃的取值范围是.

【答案】4<«<5

【分析】转化为导函数f(.r)在(2.3)存在变号零点，求出导函数/(X)的零点，列式

2<。-2<3可解得结果.

【详解】因为函数/(A)=e'p-av+a)在(2,3)上不单调，

所以函数八%)="任一(〃-2对在(2,3)存在变号零点，

由/'0)=0可得：玉=0,=a-2,

于是2va-2v3,解得：4<«<5.

故答案为：4<a<5

例12.(2023・全国•高三专题练习)若函数/(x)=2x+〃cosx在定义域R上不单调，则正整

数〃的最小值是.

【答案】3

2

【分析】求导，令r(6=0,得到〃=——，再根据sinxc[T,]且〃eN.求解.

sinx

【详解】解：因为函数〃x)=2x+〃cosx,

所以f(1)=2—〃sinx,

令ra)=o,得〃==,

sinx

因为sinxe[-l,l],且〃wN”,

所以〃22,

当〃=2时，r(x)=2—2与inxN0,则/(外单调递增，

2

当〃>2时，当/'(x)=2-〃sinx>0时，sinx<-；

2

当r(工)=2—〃sinxv0时，sinx>—,

所以不单调递增，

所以正整数〃的最小值是3,

故答案为：3

举一反三

练习26.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(”=1、《/7(。之0)在区间(0,1)上不

是单调函数，则实数〃的取值范围是()

A.(0,2)B.[0,1)C.(0,+8)D.(2,-KO)

【答案】D

【分析】把题意转化为ra)=o在(0/)内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即

可求得.

【详解】・・・/(力=5/一；/一凡••.r(x)=o?-x—i

D1

V函数“X)=*——一式.(。>0)在区间(0,1)上不是单调函数

・•.r(x)=aP-x—l=0在区间(04)上有根

••.当。=0时，x=-l不满足条件

当〃>0时，V/(0)=-1<0,・・./'(l)=a—2>0,

a>2.

故选：D.

练习27.(2022・江苏•高二专题练习)已知函数/(x)=-；/+4x-31nx

⑴求的单调区间；

(2)若函数/(A)在区间[八/+11上不单调，则，的取值范围.

【答案】(1)/(%)在(0,1)和(3,+oo)上单调递减,在答3)上单调递增

⑵(04)U(2,3)

【分析】(1)求导分析导函数的正负区间，进而确定人工)的单调区间即可；

(2)求导得到函数的极值点，利用极值点在区间([,rH)内可满足条件，再建立不等式

即可求解.

【详解】(I)由题意知f(x)=-x+4--=-(H%>0),由八力二o得x=i或户3,

XX

八幻〉0时，1<X<3；1(x)<o时，Ovxvl或x>3,

所以f㈤在(0,1)和(3,+oo)上单调递减,在以3)上单调递增,

(2)由(1)函数於)的极值点为x=1,3.

因为函数外)在区间U，f+l]上不单调，所以或，二;:!解得0<，<1或2</<3,即

f的取值范围为(O,1)U(2,3)

练习28.(2022春四川成都高二校考期小〉函数/(*)=k+(々+2)*+々加工在区间[闾上

不单调，则实数〃的取值范围为()

A.(<-2)B.[-4,-2]C.(2,4)D.[2,4]

【答案】A

【分析】求出/«冷=。的解，根据该解在(L2)上可求实数。的取值范围.

【详解】r“)=2x+a+2+q=2/+(〃+2)x+a=(2x+a)(x+l),]4]；)

XXX

令用X）=0,则X或L］（舍），

因为/（X）在区间［1,2］上不单调，故=即-4＜”-2,

故选：A.

练习29.（2023・全国•高二专题练习）已知函数/（x）=f-91nx+3x在其定义域内的一个子

区间（"L1/7+1）上不单调，则实数机的取值范围是（）

【答案】A

【分析】利用导数求得/（x）的单调性和极值点，由题意得极值点在区间（，〃-1,〃7+1）内，结

合定义域，即可得答案.

【详解】由题意得广（x）=2x—2+3=2f+3x-9=Q+3）（2x-3）,*＞0）,

XXX

3

令r（x）=0,解得X或x=—3（舍），

当xe（0§）时，八幻＜0,则/（x）为减函数，

（3、

当xe-,+oo时，r（x）＞0,则/*）为增函数，

IZ/

3

所以/（A）在X=彳处取得极小值，

3|5

所以小一1＜一＜，〃+1,解得一＜/〃〈一，

222

又为定义域的一个子区间，

所以〃?一120,解得〃?2/,

所以实数〃?的取值范围是1，|）.

故选：A

练习30.（2022秋・山西嗝三统考阶段练习）函数/3=如6：）一必在R上不单调，贝山

的取值范围是（）