高考数学一轮复习题型突破：球的外接和内切（解析版）

专题8.5球的外接和内切

SI题型目录

题型一长（正）方体的外接球

题型二线面垂直模型

题型三对棱相等模型

题型四共斜边模型

题型五球心在外心正上方模型

题型六面面垂直模型

题型七折叠模型

外接球的最值问题

题型九内切球

才典例集练

题型一长（正）方体的外接球

例1.（2023・河南•校联考模拟预测）棱长为2的正方体ABCO-ABCQ的外接球的球心为O,

则四棱锥O-A8C。的体积为（）

o4s

A.：B.-C.2D.-

333

【答案】B

【分析】求出。到平面ABCD的距离，利用体积公式进咛求解.

【详解】正方体力的外接球的球心为o,由对称性可知。为正方体的中心，

。到平面A8CD的距离为1,即四棱锥O-ABCD的高为1,而底面积为2x2=4，

I4

所以四棱锥O-A8C。的体积为？4x1=鼻.

JJ

故选：B

例2.（2023•江苏•高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体

的表面积为18,则这个球的体积为（）

A.崇B.3G7iC.9兀D.27TI

【答案】A

【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.

【详解】设正方体的边长为则6/=18,a=G.

正方体的对角线长为j3+3+3=3,

所以球的直径2R=3,半径R=

所以球的体积为竺'仁丫=史.

3⑴2

故选：A

举一反三

练习1.（2023・全国•高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是灰,五后，

这个长方体外接球的面积是（）

A.6兀B.4KC.12冗D.24冗

【答案】A

【分析】根据题意求出长方体共顶点的三边的长度，然后利用外接球半径的计算公式求出半

径，进而求出外接球的表面积.

【详解】设长方体共一顶点的三边长分别为，7,〃，C，不妨令

ab=76a=6

由题意可得”"百，解得"=

反=&c=l

则长方体的体对角线长度为/=V77P77=瓜.可得外接球半径R=g=存

所以外接球的面积为S=4兀尸=671.

故选：A.

练习2.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）已知长方体ABC。-A4GA的底面是边长为2及的

正方形，若cos/BAG=竽，则该长方体的外接球的表面积为

【答案】24兀

【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.

【详解】设长方体的高为。，外接球的半径为R,

如图，

则AC：=（2夜）2+（2右）2+<?,BC2=（2V2）2+C2,AB?=（2五）2,

AC2+AB2-I3C216

IIG

由余弦定理知，cosNBAq=,

2AG-AB4&J16+C?T

解得C—275,所以（2R）2=AC：=24.

所以S=4nR2=（2R>兀=24几.

故答案为：24兀

练习3.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）已知长方体ABC。-A4CQ的底面是边长为2拉的

正方形，若cos（AB,AC）=理，则该长方体的外接球的表面积为.

【答案】24兀

【分析】如图连接。G，即可得到COS/B4G=且，利用锐角三角函数求出CC,,即可求出AC,

3

即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得.

【详解】如图连接BG，因为cos（A睨所以cosNA4£=塔，

2tan

所以sin/BAG1=Jl-cosZB/1C,=—,则NBAQ=即/鬻=近,

*3cosZ.BAC{

乂AD=AB=2近,所以g'-y/BC'CC：-gcC：，

所以tan/BAG=吗=应咨=@所以52日

\AB\2>/2

所以AC=J（2&）+0a丫+（2及I=2后,即外接球的半径/?=#，

所以外接球的表面枳S=4兀a=247r.

练习5.（2023春•内蒙古赤峰・高•校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算

术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如

图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖''的体积之比应为兀：4,若

“牟合方盖”的体积为玲，则正方体的体积为，正方体的外接球的表面积为.

【答案】812兀

【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的宣

径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.

【详解】因为“牟合方盖”的体积为T，

又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为正:4,

所以正方体的内切球的体积％=7xT=77r，

*JJ

所以内切球的半径r=l,所以正方体的棱长为2,则正方体的体积匕:方体=7=8,

所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即2尺=26,

2

所以/?=若，所以正方体的外接球的表面积为S=4nR=4兀（6了=12兀.

故答案为：8：12n.

题型二线面垂直模型

例3.（2023・湖南•校联考模拟预测）在直三棱柱48。-44G中，已知AB=AC=4,M=2,

/B4C=90。，则该三棱柱外接球的表面积为.

【答案】3671

【分析】根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径R=3,即可

求的结果.

【详解】如下图所示：

A

由直三棱柱ABC-A£G可知，平面48C，

又N84C=900,所以人BAC,人人两两垂直,

设直三棱柱ABC-人冏G外接球的半径为R,

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以4区ACAA为边长的长方体外接球相同;

即可得2R=J42+4?+2?=6，解得宠=3,

所以所求外接球的表面积S=4冗配=36兀.

故答案为：36兀

例4.（2023•黑龙江大庆・大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角尸的棱是A8,

ACua,BDu0,若AB=AC=2,80=3,CO=而，且4CJL/,则二面角。一/一分

的大小为,此时，四面体A-的外接球的表面积为

/4

3

【分析】把二面角-尸转化为AC与8。的夹角，由CD=C4+/W+BO，利用向量的运

/luununitIrr

算，求得cos（AC町=；,求得二面角。一/-〃的大小为三，把三棱锥4—&?。补成一个

直T棱柱4c乩陀，利用正弦定理求得△比出外接圆的半径为厂=,，结合球的微面圆

的性质，求得与，结介球的表面积公式，即可求解.

【详解】空1：由题意知AC_L/且8O_L/,

根据二面角的平面角的定义，可得向量X5与80的夹角就是二而角a-小尸的平面角:

又由CD=C4+A4+8。，且A8=AC=2,8。=3和CD=VH，

uni：uiruunumuu*2inn2um：ULTUI®ur1111uunuia

所以CO=(C4+A4+4O)2=C4+43+BD+2CA-AB+2CA-BD+2AI3-BD

uuLILIllLlliuLllBl

即1l=4+4+9+0+0+2C/bB。，彳七简得AC-B力=3，

uunuiin.uunum,；uiinuiin、i

即ACBD=2x3cos（AC-BD）=3,所以cos（AC.BD）=5,

,.uuuuun.uunuun

又因为（AC・8Q）e[0,兀],AC-8O）=g,所以二面角。一/一夕的大小为三.

空2：如图所示，把三楂锥A-8CD补成一个宜三棱柱人b-血兄:,

可得三棱锥A-BCD的外接球即为直三棱柱ACF-BDE的外接球，

设外接球的半径为R，底面△或陀的外接圆的半径为「

在△BD石中，由4E=AC=2,4O=3,NO4E=2,

3

可得DE={BE?+BD?-2BE.BD8sm=J+9-2x2x3x；=8

由正弦定理得"缶=堂可得

又由球的截面圆的性质，可得配二产+（与）2=（+1=?,

4JJ

所以三棱锥A-8CQ的外接球的表面积为S=47T/?2=4兀乂平二萼.

33

举一反三

练习6.（2023春・山东临沂•高三校考期中）在矩形A8CD中，AB=1,8C=拉,PA，平面

AI3CD,PA=]t则PC与平面A8CO所成的角是.四棱锥P-A8CD的外接球的表面枳

为.

【答案】乡304几

6

【分析】先求得PC与平面A8CO所成的角，进而求得其大小；先求得四棱锥P-A3CD的

外接球半径，进而求得其表面积.

【详解】四棱锥尸-A8C。中，汽八_1平面人8。。，

则ZPC4足PC与平面相CD所成的角，

又矩形ABCQ中，AB=1,BC=&,则AC=6，

又口=1,PA1AC,则ian/PCA=正，PC=2,

3

又则NPCA=e，

则PC与平面A8CO所成的角是；:

0

四棱锥P-4AC。可以补形为长方体P^CD'-ABCD,

则四棱锥尸-ABC。的外接球的直径为PC,

又PC=2,则四棱锥P-A8CD的外接球的半径为1,

则四棱锥。-人友?。的外接球的表面积为4九

练习7.（2023•重庆万州•重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥尸-A8C中，AC_L平

面248,AB=AC=6,BP=2日幺砂=45。，则三棱铢P-A8C外接球的表面积为（）

A.76兀B.128KC.1447rD.148兀

【答案】A

【分析】先利用余弦定理求出相，再利用正弦定理求出，小3外接圆的半径乙设三棱锥

0-A8C外接球的半径为再根据斤=/+（江丫结合球的表面积公式即可得解.

I2）

【详解】在..F44中，AB=6,BP=2g,/ABP=45。,

则AP2=AB2+BP2-2AB•BPcosNABP=36+8-2x6x2V2x—=20,

2

所以AP=2石，

设。D48外接圆的半径为『，则2"二•?工=2加所以r=而，

sinZ.ABP

设，Q4B外接圆的圆心为。I，三棱锥P-/WC外接球的球心为。，半径为R,

由ACJL平面得/?2=/+'与=10+9=19,

所以三楂锥P-ABC外接球的表面枳为4兀斤=767r.

故诜：A.

A

练习8.（2023•全国•模拟预测）在平行四边形人88中，AD=OAB=6BD=26,现将

△8CD沿8。折起，使异面直线C7）与人8所成角为60。，且NADC为锐角，则折后三棱锥

C-A3。外接球的表面积为.

【分析】根据折叠前后的几何性质，将一:棱锥C-A3。补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即

可求得答案.

【详解】由TAD=&AB=gBD=2e，故△ABD和△88均是腰长为2的等腰直角三

角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，

又由异面直线C。与A8所成角为60。，可知N4跳：=60。或120。，又一ADC为锐角，故可知

乙睚=60。，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三棱柱

的外接球即为三棱锥C-48。的外接球.

22

设一ABE外接圆的半径为r,则2r=2O①=-4左，所以r=不，又三楂锥的高为2.

sin60°V3

（，所以所求外接球的表面积为4兀配=华.

所以三棱柱外接球的半径A=

故答案为：警9Rjr.

练习9.（2023春・全国•高三专题练习）在四棱锥P-48CD中，底面A8CO为矩形，叫_L平

面八5cApA=1,/m=2,4）=3,点七为8c上靠近B的三等分点，则三棱锥产一ADE外接球

的表面积为（）

C.14兀D.16乃

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得三角形AED的外接圆半径为人根据勾股定理即可求解外接球

半径，进而可求表面积.

【详解】由题意可得====3,£>E=+CE?=2五,

所以在三角形AEO中，虫等面积法可得

AD'\^B_32_3

-AD?AB-AE^DsinAEDfsinAED二

22AExED―后，2立一前

设三角形AEO的外接圆半径为，圆心为。',则由正弦定埋得

2-=舄为"告=如?「半

Vio

由广R4平面AED设三棱锥P-ADE外接球的半径为R，球心到平面AEO的距离为人

过。作O”_LF4厕喇=r,PO2=R2=042+（1-力）2=42+尸因此/?=3小=平

故外接球的表面枳为4兀A?=11九

故选：A

练习10.（2023春•安徽•高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥P-A5C的

体积为6,且P4=2依=3PC=6.则该三棱锥外接球的表面积为.

【答案】4971

【分析】先利用题给条件求得幺,尸仇QC三者间的位置关系，求得该三楂锥外接球的半径,

进而求得该三棱锥外接球的表面积

【详解】由题意得尸4=6,PB=3.PC=2,

设点A到平面PBC的距离为h,则

Vf-ABC=VA-fBC=1S△皿/=gxgX2X3n/BPC-h

<-x-x2x3/?<-x-x2x3x6=6,又=6,

3232

则PAPBPC两两垂直，孜8c中点M,连接PM并延长至Z）,

使连接4DCD8D,

则四棱锥A-P80c中，PAJ_底面尸80c,且P8OC为矩形，

故四棱锥4-PBDC可以补形为以PBDC为底面的长方体，

且AO为该长方体的体对角线，AO中点即为外接球球心0,

又AO=$P尺+PB'+PC，=V62+32+22=7，

则该三棱锥外接球的表面积为47c=49几

故答案为：497：

题型三对棱相等模型

例5.（2022春.河北石家庄.高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥4-8CZ）中，

AB=CD=五,AC=BC=AO=BO=6,且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

【答案】界4.

【分析】根据已知，将一棱锥拓展为以为顶点的长方体，T棱锥的各棱为长方体

面的对角线，求出长方体外接球的半径，即可求解.

【详解】三棱锥A-灰力中，AB=CD=丘，

AC=BC=AD=BD=4^,

将三棱锥拓展为以A8.CO为顶点的长方体，

如下图所示，长方体的上下底面的对角线长也，

即边长为1的正方形，侧面的对角线长为G，

侧棱长加，所以长方体的对角线长为J1+1+（应）2=2,

4

外接球的直径为长方体的对角线长2,该球的体积为、九

故答案为《4乃.

D

c,

【点晴】本题考查几何体与球的“接”“切”问题，合理应用条件巧妙转化为熟悉几何体与球的

“接”“切”关系，减少计算量，属于中档题.

例6.（2022春・山西朔州•高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知ARC,。四点在半

径为22上的球面上，且AC=8O=5,AQ=8C=屈，AB=CD,则三棱锥O—A8C的体

2

积是.

【答案】20

【分析】根据题意构造长方体，然后求解长方体长宽高，再求体积即可.

【详解】设长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC,如图所示，设长方体的长、宽、

a:+b2=25,

22

高分别为a,b,c,则有•a+c=41,解得a=4,b=3,c=5,所以三棱锥的体积为4x3x5-4x

a:+b2+c2=50,

-xyx4x3x5=20.

B

故答案为20

举一反三

练习11.（2023•浙江•校联考模拟预测）在三棱锥A3CQ中，对棱A8=CO=2&，

AD=BC=5AC=BD=B则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为

…自、92,2z

【答案】］兀!—

乙JJ

【分析】将二棱锥A-08补成长方体，计算出长方体k、宽、高的值，可计算山该二棱锥

A-8C7）的外接球半径，计算出A-BCO的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内

切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.

【详解】因为三棱锥A-BCO每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥A5CD放入长方体中,

设长方体的长、宽、高分别为X、）'、z,如下图所示：

则+y2=2&,_|-Z2=5/5,y]y2+Z2=5/5>解得X=y=2,z=1»

________3

外接球直径2R=G+),2+Z2=3,其半径为R=

1I4

三棱锥A-BCD的体积V=jyz--^zx4=-xyz=-,

633

在，ABC中，AC=BC=、底,AB=2垃，取/W的中点E,连接CE,如下图所示:

则C£_£A6，HCE=VAC2-AE2=V5♦所以，5AA/»C=^ABCE=S/6,

因为三棱锥A-BCD的每个面的三边分别为石、逐、2拉，

所以，三棱锥A-8CO的表面积为S=4Sw=4",

设三棱锥A-88的内切球半径为，则丫=25乙可得—=生=/=逅，

3S4766

所以该三棱锥的外接球体积为内切球表面积为4%产=弓兀.

故答案为：59兀；彳2兀.

练习12.（2023・全国•高三专题练习）在四面体A-88中，

AB=CD=币,AD=BC=晒,AC=BD=2yH,则四面体A—BCD外接球表面积是（）

256

A.64几B.32nC.256nD.-----兀

3

【答案】B

【分析】利用割补法及勾设定理，结合长力体的体对角线是外接球的直径及球的衣面积公式

即可求解.

【详解】由题意可知，此四面体可以看成•个长方体的一部分，长方体的长、宽、

高分别为x/5，麻,2,四面体A-3C。如图所示，

所以此四面体A-BCO的外接球的直径为长方体的体对角线，即（2/?）2=“『+（岳『+22,

解得R=2人.

所以四面体A-BCD外接球表面积是S=4近=4xnx（26丫=32兀.

故答案为：B.

练习13.（2023•全国•高三专题练习）四面体人一区8中，AB=CD=5,

8C=AC=AO=/O=6,则此四面体外接球的表面积为.

【答案】《97兀

【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的

外接球即为四面体A-BCD的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径,

可得球的表面积.

【详解】将四面体A-BCD放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，

如图：

则长方体的外接球即为四面体A-8C。的外接球,

又长方体的体对角线即为外接球的直径2R,

设长方体的长宽高分别为〃力4，

贝ij有‘J+/六=36，/+。2=36,/?2+c2=25,

所以/+。2+。2=*=4尸，

2

97

所以外接球的表面积为471配=耳兀，

故答案为：-H

练习14.（2022秋•天津和平•高三天津二十中校考期中）已知A、8、C、力四点在半径为逑

2

的球面上，且AC=8O=5,AO=8C=历，A3=8,则三棱锥。一ABC的体积是.

【答案】20

【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥。-48C,计算出长方体的长宽高，即

可求得三棱锥D-ABC的体积.

【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥。-ABC,如图所示，

其中长方体的外接球的半径为土，即长方体的体对角线为5加，

2

设长方体的长、宽、高分别为。，b,J

a2+b2+c2=50

则，。’+/=25,解得“=3,b=5>c=4,

b~+c2=41

.•・三棱锥D—A8C的体积是V=4x3x5—4x」x,x4x3x5=20

32

故答案为：20.

练习15.（2023•湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥A-BC。中，

AB=CD=AC=BD=a,AD=BC=b,若A丛C,。均在半径为2的球面上，则a+Z?的最大

值为.

【答案】46

【分析】将三棱锥A-8CD补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出

从=16,结合参数方程即可求解.

【详解】由AB=CD=AC=BD=a,AD=BC=b,

A8,C,£>均在半径为2的球面上,

可将三棱锥A-8CQ放置于长方体中，如图，

故长方体对角线平方为炉+V+/=/+=16,

a=4cos。(j[\

可设｛厂,0G0,-,

)=4&sin。、2)

.,.«+/?=4\/3sin(^+a)<4\/3,

故a+〃的最大值为4G.

故答案为：45/3

题型四共斜边模型

例7.（2023・湖南长沙•长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢

圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古

人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文

化遗产经国务院批准己列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四

个点AR,C,P,AC=AC=4,Q4=2,4C_LNC,Q4_L平面人8C,则该鞠（球）的表面积为

（）

A.49TIB.64兀C.36KD.16n

【答案】C

【分析】取8P的中点为。，连接OAOC,可证。为外接球的球心，故可求半径，从而可得

球的表面积.

p

o

【详解】

取砂的中点为o.连接。AOC,

因为PAJ_平面A3C,而4Au平面A8C,故R4_LA4,

故OP=OA=OB.

同理抬J.4C,而C4_L8C,C4nPA=AC4,E4u平面P4C,

故BC上平面PAC,而PCu平面PAC,故8C_LPC,

WOP=OC=OB,

综上，。为三棱锥P-ABC外接球的球心,

而尸8=J/^+C^+CB2=14+16+16=6,故外接球的半径为3,

故球的表面积为4兀x9=367t,

故选：C

例8.（2022・贵州贵阳•高一阶段练习）已知三棱锥P-ABC,在底面A48C中,

/A=60O.8C=G,AC=2,PAL面ABC,PA=20则此三棱锥的外接球的表面积为

167rn321

A.----B.4\/5乃C.164D.——

33

【答案】D

【详解】试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得XC=>・"：.8C：=,4C：满

足勾股定理，心峦嬲=频凡PA-底面所以P4_6C,那么BC一平面只"，所以

BC一尸丛那么直角三角形，摘鲜谭颗群有公共斜边尸C，所以三棱锥的外接球的球心就是

PC的中点0,PC是其外接球的直径，?c=4,所以外接球的表面积寿=4献学=」6黑，故

选D.

p

考点：球与几何体

举一反三

练习16.（2022春•重庆沙坪坝•高二重庆一中校考阶段练习）已知A、B、C、。为球。的表

面的四个点，①，平面4?。，AB1BC,D4=AB=AC=I,则球。的表面积等于

【答案】3兀

【分析】先说明△CQB是百角三角形，.人C7）是宜.角三角形，球的宜径就是CO,求出CD,

即可求出球的表面积

【详解】解：如图所示

B

因为人6_L8C,AB=BC=\

所以/cc的外接圆的直径为Ac,AC=JAB，+BC?=6

由ZM_L平面ABC,得D4_LAC,D4_L8C

所以△CZ）B和ACO时直角三角形，

所以为外接球的直径，CD=dAC、AD2=6

所以球的半径/?=等，

故球的表面枳为4万尿=3乃.

故答案为：3乃

【点睛】本题考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本

题的突破口.

练习17.（2023•河北邯郸统考三模）三棱锥S—A8C中，SAL平面ABC,ABJ.BC,

SA=AB=BC.过点A分别作AE_LS8,AFI.SC交SB、SC于点E、尸，记三棱锥S-fXE

的外接球表面积为3,二校锥3-A8c的外接球表面积为*,则率=（）

A.BB.-C.正D.；

3322

【答案】B

【分析】取SA的中点。…SC的中点。2,连。E，O.F,O2A,O2B,证明。2是三棱锥S-A8C

的外接球的球心，SC为该球的直径；。I是三棱锥S-行止的外接球的球心，SA为该球的直

径，设SA=/14=BC=",求出SC,根据球的表面积公式可求出结果.

【详解】取SA的中点。…SC的中点仪，连。或，OF，O:A,O2B,

因为SA_L平面ABC,AB,8cAeu平面ABC,所以S4_LA8,SA1BC,SA1AC,

因为A3_Z4C,SAr>AB=A,SA,A8u平面S人乩所以8C_Z平面

因为SBu平面S48,所以8CJ_SB,

在直角三角形sc中，a是斜边sc的中点，所以aA=as=a。，

在直角三角形S8C中，a是斜边SC的中点，所以。/=。»=。2。，

所以Q是三棱锥S-A8C的外接球的球心，SC为该球的直彳仝.

因为AEJLSA,a是斜边%的中点，所以0班=。9=。q，

因为4/_LSC,。1是斜边SA的中点，所以。尸=om=as,

所以。I是三棱锥s-网E的外接球的球心，SA为该球的直径.

设SA=A8=8C=。，则SC=JSA2+A序+叱=&，

2

则S=47c.（汐=/兀,52=4兀•（写）2=47c•（学尸=3an,

……S,a~n

所以才蓊

3

练习18.（2023•河南开封校考模拟预测）如图，边长为3的正方形ABCO所在平面与矩形

2

•所在的平面垂直，BE=2y/3.N为4'的中点，EM=-EF,则三棱锥M-BNC外

接球的表面积为（）

A.25兀B.137cC.—D.10后加

【答案】A

【分析】根据线面垂直可得8C_LM8,MNINC,结合直角三角形分析可得MC为外接球

直径，结合球的表面积公式运算求解.

【详解】由题意可知，FM=1、FN=NA=B可得MN=2,NB=2百,MB=4,

所以MN,+NB?=MB"所以MN工NB,

乂因为平面AAC。工平面4?叮，平面/WCOc平面4%尸=A8，BCLAB,8Cu平面

ABCD,

所以BC1平面相所，MMMBu平面其小而，所以AC_LMMACJ.MB,

又NBTBC=B,N8,8Cu平面N8C,

则MN,平面M?C,NCu平面NBC,可得MNtNC,

取MC的中点。，连接06,ON,则QB=ON=QW=OC,

所以MC为外接球直径，没其半径为此

在RJMBC中，MC=hW+BC2=5,即夫='|，故外接球表面积为S=4RR2=25兀.

故选：A.

练习19.（2022・全国•高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了

战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之

为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖螭.如图为一个阳马与一个鳖腌的组合

体，已知。4_1_平面A3CE,四边形ABC。为正方形，AD=2,ED=\,若鳖喘。一月。£的

外接球的体枳为工叵，则阳马的外接球的表面枳等十

3

A.15兀B.16TIC.177rD.18兀

【答案】C

【分析】利用已知条件画出图形，在三棱锥（鳖瞒）中，2r=庄，四棱锥尸-ABC。

中2R=PC,设Q4=/z,求出外接球的高和半径，然后求解球的表面积.

【详解】由题意，在三棱锥尸-AD£（鳖犒）中，ED1DA,PAL平面相C2,所以其外

接球的直径2广=尸石.设P4=〃，则2r=4PA2+A。？+DE?=y]h2+22+\2=\jh2+5»所以

其外接球的体积V=殍=与=舅叵，解得力=3.设四棱锥P—A8C。（阳马）

3

的外接球半径为K,则2A=PC=百而"7^"=炉石7s=J万，所以该球的表面

积5=4兀/?2=[7兀.故选C.

【点睛】本题考查几何体的外接球，几何体的表面枳的求法，直线与平面的垂直关系的应用，

考查空间想象能力以及计算能力.

练习20.（2021.天津蓟州天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥。八。。的各

顶点都在同一球面上，且PA_L平面ABC,若该棱锥的体积为辿，44=2,AC=1.

3

Z/i4C=6（F,则此球的表面积等于（）

A.5nB.87rC.164D.20乃

【答案】D

【分析】由条件确定三棱锥P-力次？的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公

式求外接球的表面积.

【详解】由已知A3=2,AC=1,44C=6（F,可得三棱锥的底面是直角三角形，ZACB=90°,

由PA_L平面A8c可得尸8就是三棱锥外接球的直径，5乙^«c=-x22xlxsin60°=—2.

V=KBxPA=巫,即24=4,则依=J%2+AB2=2后,故三棱锥外接球的半

3323

径为亚，所以三棱锥外接球的表面积为S==20江.

故选：D.

题型五球心在外心正上方模型

例9.（2023・全国•校联考二模）在正四棱台/WCO-A4CQ中，上、下底面边长分别为

3夜、4夜，该正四棱台的外接球的表面积为MXhr,则该正四棱台的高为.

【答案】1或7

【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，分球心。在线段放上和在庄的延长线上两

种情况，求出高.

【详解】设正四棱台的外接球的半径为R，则4兀配=100冗，解得R=5,

连接AC*。相交于点以连接AG，8a相交于点尸，连接石尸，

则球心。在直线E/上，连接。8,。片，

如图1,当球心O在线段E尸上时，

图1

则==R=5,

因为上、下底面边长分别为3在、4&,

所以8E=4,87=3,

由勾股定理得0尸=-872=4，OE=SB‘-BE2=3,

此时该正四棱台的高为3+4=7,

如图2,当球心。在压的延长线上时，

力1

图2

同理可得。尸=JOB：-线尸=4,OE=ylOB2-BE2=3»

此时该正四棱台的高为4-3=1.

故答案为：1或7

例10.（2023春•高一课时练习）正四面体A8CO内接于半径为R的球，求正四面体的棱长.

【答案】也R

3

【分析】A点在平面8CQ的投影为△38的中心E,设正四面体的楂长为"，确定

CE=®a,4七=如。，根据勾股定理解得答案.

33

【详解】正四面体48C。，则A点在平面BCD的投影为△3。的中心E,

则内接球的球心在A£上，设为。，设正四面体的棱长为

“267346J2fV3Y任

323V33

举一反三

练习21.（2022春•江西杭州•高二南城县第二中学校考阶段练习〉底面是正多边形，顶点在

底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S-/3C。，该四

楂锥的体积为逑，则该四棱锥的外接球的体积为

3

【答案】迪乃

3

【分析】由题意可得正方形A8CO的中心即为球心，设球半径为，结合题中条件求出半径

即可得出结果.

【详解】由题可知正方形A3C。的中心即为球心，

设球半径为则5-58=2，，

解得…&，

该四棱锥的外接球的体枳为V=3万/=&"乂（夜丫=犯1》.

33',3

故答案为：迪刀.

3

练习22.（2023・四川成都,树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，随

着科技的进步，有人幻想洛其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便F运输，某人设计

的方案是将它放入一个金属球壳中，己知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设

计的金属球壳的表面积最小值为m2.（注：球壳厚度不计）.

【答案】800兀

【分析】由己知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，

构造直角三角形，利用勾股定理.，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.

【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.

如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=20,AB=BC=CD=DA5,

。为其外接球的球心，连接AC与8。相交点于。'，连接AO.

0'为顶点S在底面A8CO上的投影，即为正方形A8C。的中心，

设球的半径为R,表面积为S,

则在正方形48C。中，AOf=-AC=-4AB2+BC2=-7202+202=1072,

222

在RQSO'A中，so1=y]SA2-AO,2=7202-(10A/2)2=10x/2*

则OO'=SO-SO=10&-R，

在RtZXAO1。中，OA=RO(7=\g-R,AO'=IOG，

因为=AO,2+oo1,所以W=(1o&)2+(1o&-女尸，

化简得400-20应&=0,则R=10夜，

所以夕卜接球的表面枳为S=47t/?2=4兀x（10底）2=80（）九.

故答案为：8007r.

练习23.（2023春・河北•高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥P-A8C的底面边长为3,

高为行，则下列结论正确的是（）

A.AB1PC

B.三棱锥尸-ABC的表面积为9石

C.三楂锥尸-A8c的外接球的表面积为27兀

D.三棱锥P-48C的内切球的表面积为今

【答案】ABD

【分析【求得AB，PC的位置关系判断选项A；求得三棱链尸-A8C的表面积判断选项B；求

得三棱锥P-ABC的外接球的表面枳判断选项C：求得三棱锥P-ABC的内切球的表面积判

断选项D.

【详解】如图，

B

取棱A8的中点。，连接CDP。

则正三棱锥P—AAC中，AB1CD,AB1PD.

因为PRCQu平面PC。，且PDcCD=D,

所以AA/平面PC。，则故A正确；

作PH_L平面ABC,垂足为“，则P4二".

由正三棱锥的性质可知”在8上,且CH=2DH.

因为44=3,所以。。=地，则C”=JL

2

因为。，=卡，所以夕。=百石=3,

则三棱锥P—A3C的表面积S=X^X9X4=9G，故B正确；

4

设三棱锥尸-ABC的外接球的球心为。，半径为R,则。在P"上,

连接OC,则店=072+。"2=（产"-0〃）2,

27

即R2=3+。“2=（巡一07/）2,解得R2=一

8

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4招2=等，故c错误.

设三棱锥C的内切球的半径为，•,

则8c=艾瓜=^x9\/3r»

解得「=四，从而三棱锥P-A8C的内切球的表面积

4

为4“2=T，故D正确.

故选：ABD

练习24.（2023•海南海口・统考模拟预测）在正三棱锥S-A8C中，|S4|=2|A4|=26,则该

三棱锥外接球的表面积为

【答案】詈

【分析】画出正三棱锥S-A8C,设出球心，由勾股定理建立等量关系求得外接球半径，由

球的表面积公式求解即可.

【详解】如图：在正三棱谁S—A4C,|刈=2|八却=26.

在等边三角形ABC中，F为BC中点,|AF|=S]=T，

所以恒0卜§恒尸|=（乂1=1,在直角三角形ASOM，

==1=而，设三