勾股定理与几何翻折的三类综合题型-2025北师大版八年级数学上册

专题01勾股定理与几何翻折的三类综合题型

目录

典例详解

类型一、三角形翻折问题

类型二、四边形翻折问题

类型三、翻折最值问题

压轴专练

啰类型-、三角形翻折问题

例L如图，已知直角三角形A8C,/8=90。点。是8c边上一点，连接AD,把沿着A。翻折，得

到连接BE交人。于点F,若八6=3,AD=5,则点E到8C的距离为（）

4896

D.

2525

变式1-1如图，ZAC£?=90°,AC=6,8。=8,将边AC沿CE翻折，使点A落在A8上的点。处；再将边8c

沿。尸翻折，使点B落在CO的延长线上的点方处，两条折痕与斜边4B分别交于点£、F,则线段8/的长

为（）

84D.1

A.5C.-

.532

变式1-2RIZXA8C和R3CQE按如图所示的位置摆放，顶点&C、。在同一直线上，AC=CE,

4=ND=90。,AB>BC.将RlZ^ABC沿着AC翻折，得到RlZ\A&C,将RlATDE沿着CE翻折，得

RtACDfE,点B、。的对应点B'、D0与点C恰好在同一直线上，若AC=13,BD=17,则的长度为（）

C

A.7B.6C.5D.4

变式1-3如图，在Rl84C中，N4=90。，点。，E分别为边A8,AC上的一点，当4。=8,人石=6时,

将.A4七沿折痕DE翻折后，点A恰好落在边BC中点A处，则8。的长是.

变式1-4.如图，在VA8C中，NAC3=90。，AC=3,3c=4,〃为斜边A8上的一动点（不包含A,B两

端点），以CP为对称轴将△ACP翻折得到连结应T.当APJLA8时，84的长为.

彦类型二四边形翻折问题

例2.如图，氏方形4BC。中，AB=6,AO=8,M、N分别是A。、BC边上的点，将其沿MN折叠，使

点8落在C。边上的9处，点A的对应点为4,且8'C=2,则40的长为（）

4X/31113

A.2VR3B.—C.—D.—

344

变式2-1.如图，将长为8cm,宽为4cm的长方形纸片折叠，使点A落在。。边的中点E处，压平后

得到折痕MV,则线段AM的长为

变式22如图，在长方形ABCO中，AB=\2,BC=5,点、P为AD上一点、,将沿族翻折至△E8P,

PE与CO相交于点。，昭与CO相交于点尸，且OP=OF.

⑴求证：OE=OD；

(2)求AP的长.

卷类型三、翻折最值问题

例3如图，在VABC中，ZC=90°,AC=8cm,8c=6cm,点。、E分别是AC、BC上的动点.现将△OC石

沿OE翻折，使点C落在点C'处.连接AC,则AC长度的最小值()

A.不存在B.等于2cmC.等于4cmD.等于5cm

压轴专练

1.如图，在VA8C中，AB=67,BC=18,点。为BC上一点，连接4）,将448。沿A。翻折，得到

A.7GB.12C.7x/5D.18

2.如图，在心:ABC中，ZC=93°,ZA=30°,8c=1,点。在AC上，将二ADB沿直线4。翻折后，将

点A落在点月处，如果AO_L£D,那么线段OE的长为（）

A.1B.0C.721D.V3-1

3.如图9ABe中，NC=90。，AC=6,8c=8,点E和尸是AB上的点，将边AC沿CE翻折，点4落在AB

边上的点。处，将BC沿。尸翻折，点8落在。。延长线上点夕处，的长为.

4.如图，将一张长方形纸片A8CQ沿所折叠，使C、A两点重合，点。落在点G处.已知A3=4,8c=8.则

线段也＞的长是.

G

5.如图，在V/WC中，ZC=90°,AC=8C=6,点七”分别为边AC,八/上的点，连接E",将.沿

着E/翻折，使得A点落在8C边上的。处，80=4,则。/的长度为.

6.如图，k△A3C中，NC=90。，ZA=40°,AC=5,AC=4.2,点。在边8C上，将VABC沿直线AO

翻折，使点C落在点C处，连接47,直线AC与边C8的延长线相交与点R如果NDAB=；N84/，那

么线段8/的长为.

7.如图，在等腰直角三角形A8C中，ZB4C=90°,/W=及，点P是边BC上任意一点，连接AP,将二4Ap

沿”翻折，点B的对应点为夕，当二AP8'有一边与4c垂直时，3P的长为.

8.如图，三角形纸片A8C中，点D是BC边上一点，连接A。，把△48。沿着直线人。翻折，得到△A£O,

。£交4。于点G,连接跖交AQ于点尸.若DG-EG,AF=4,AB=5,△A£G的面积为45,贝46£>2的

值为_______

9.如图，在长方形A8CO中，AB=—,8c=12,AG=13,沿边4E所在直线翻折一抽£,A8与"'重

10.如图所示，在VAKC中，。是4c边的中点，连接40.把二BQC沿4。翻折，得到DC'与AB

交于AL连接4c.若AO=47=4,BD=6,求点。到4C的距离.

11.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AC边上一动点，连接BO.

（图1）（图2）（图3）

⑴如图1,在平面内将线段。。绕点。顺时针旋转90。得到线段CK,点尸为BC边上一点，连接4户交8。于

M,连接AK.若NCAF=2NDBA,AF=6,AK=8,求AB的长；

⑵如图2,在平面内将线段OB绕点8顺时针旋转•定角度得到线段8E,连接4E交8C于G,连接。

若NCDE=NDBA,猜想线段ADCG的数量关系，并证明你的猜想；

⑶在（2）的条件下，将△C8£＞沿直线8。翻折至VA8C所在平面内得到C8。，连接4G，若AC=2+夜,

在点。运动过程中，当线段AG取得最小值时，请直接写出V4QG的面积.

专题01勾股定理与几何翻折的三类综合题型

目录

典例详解

类型一、三角形翻折问题

类型二、四边形翻折问题

类型三、翻折最值问题

压轴专练

，.类型-、三角形翻折问题

例L如图，已知直角三角形48C,NB=90。点、D是BC边上一点,连接AO,把沿着AO翻折，得

到△AE7）,连接质交AO于点E若A8=3,4）=5,则点E到AC的距离为（)

48D.”

2525

【答案】D

【分析】过点E作于点M,先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出

BD=ED,BE工AD,BF=EF,继而利用三角形的面积公式求出8尸=不，再求出BE=丁,=行，利用

三角形的面积求解即可.

【详解】过点E作区W_LBD于点、M,

团NW£=90。，

在直角三角形A8C,?B90?,AA=3,4。=5,

^BD=y)AD2-AB2=4,

团把△A3D沿着4。翻折，得到4AED,

⑦BD=ED,BEtAD,BF=EF,

同®7)=90。，

BF,即产，

ABI)=^ABBD=^AD3x4=58

解得8尸=1?，

22

^BE=2BF=-tDF=yiBD-BF=—,

55

⑦sRDF=LBEDF=，BDME,

(tJlJr.22

96

0E,W=—,

25

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解

题的关键.

变式1-1如图，NAC4=90。，AC=6,AC=8,将边AC沿CE翻折，使点人落在A5上的点。处；再将边4c

沿CF翻折，使点B落在。。的延长线上的点8'处，两条折痕与斜边A8分别交于点£、F,则线段厅F的长

为()

A

C•B

A9B

5-1D-T

【答案】B

【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到CE的长，再根据△。即是等腰直角三角形，即可得到E/的长;

利用勾股定理求得班的长，即可得到防的长，进而得出&F的氏.本题考查了折叠问题，我们常常设要求

的线段长为工，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形,

运用勾股定理列出方程求出答案.

【详解】解：.RtAA3c中，ZACB=90°.AC=6,BC=8,

•••由勾股定理可得84=10,

，・将边AC沿CE翻折，使点A落在A8上的点。处,

ZAEC=NCED=90。，ZACE=/DCE,

.\CE1AB,

SABC=-ABxEC=-ACxBC

22t

,血=誓=4.8,

在Rl8CE中，BE=JBC?-CE?=6.4,

•将边BC沿C/翻折，使点笈落在CD的延长线上的点夕处,

:.BF=B,F,NBCF=NB'CF,

NBCF+NBCF+ZACE+/DCE=ZACB=9（甲,

...NEC尸=45。，

又•.CE1AB.

.•.NEFC=NEB=45。，

:.CE=EF=4.S,

•.BF=BE-EF=6A-4.S=\.6,

Q

/.外/=1.6=2,

故选:B.

变式1-2RlZXABC和RtZkCOE按如图所示的位置摆放，顶点B、C、。在同一直线上，AC=CE,

ZB=ZD=90°,AB>8C.将RiZVlBC沿着AC翻折，得到Rtz^AEC,将RlZkCOE沿着CE翻折，得

Rt^CD'E,点B、。的对应点B'、屏与点C恰好在同一直线上，若AC=13,3。=17,则HU的长度为（）

D1

%;

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】本题考查了折登的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；证明三角形全等是解题的关键;

由折卷性质易得NAC8+NEC£>=90。，从而将/BAC=/ECD,由AAS证明“84C四,DCE,得到

BC=DE,AC=CE=\3；在RlACOE中，由勾股定理建立方程求得8C,进而求得结果.

【详解】解：由折叠可知：ZACB=ZACB,/ECD=/ECU,

0ZACB+ZACB4-/ECD+/ECD=180。,

0ZACB+Z£C£)=90°,

0Z4CB+ZB4C=9O°.

⑦ZBAC=NECD,

在，84c和ECO中，

Zfi=ZD=90°

ZBAC=NDCE,

AC=CE

圆DCE(AAS),

©BC=DE,AC=CE=\3,

在RtZXCDE中，根据勾股定理，得。2+。石2=比2,

0(17-fiC)2+BC2=132,

解得8c=5或4C=12(舍去)，

团A8>3C,

0Afi=C£>=17-12=5<BC,

团8C=12不合题意，舍去：

0BC=5,C£>=17-5=12,

团80'=CQ'-ZTC=12-5=7.

故选;A.

变式1-3如图，在Rt&BAC中，/4=90。，点。，E分别为边A8,AC上的一点，当40=8,人石=6时,

将“A4E沿折痕OE翻折后，点A恰好落在边BC中点4处，则BC的长是.

【分析】连接4T,根据点A恰好落在边BC中点A处，44=90。，得到4T=；BC,AA'LDE,求得

DE=slAD2+AE2=10,结合'w=；DEW=2xgAQ・AE解答即可.

本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

【详解】解：连接A4',

团点A恰好落在边中点A处，乙4=90。，

0A4*=^-BC,4T_L£）E，

2

回AD=8,AE=6,ZA=90°,

田OF=VAD2+AE2=10，

回S1汕杉car*=—DE*AA'=2x—AD»AE,

M1aWJr>izrt£/i22

AD-AE48

团A4'=

DET

96

^BC=2AAr=—

5

96

故答案为：y

变式l-4.如图，在VA8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,P为斜边A4上的一动点（不包含A,8两

端点），以。为对称轴将△ACP翻折得到ACP,连结/3/T.当4/>_LAmi寸，/3/V的长为.

c

［答案］国7：国

55

129

【分析】当时，过点C，'乍CD_LA8于。，可知。。=1，/1D=-,得出△?£心为等腰直角三角

形，得到PO=CD,求出尸4和所的长，利用勾股定理即可求出姑'的长.

【详解】过点C作CO_LAB于O,

在RtADC中，ZAC8=90。，AC=3,BC=4,

^AB=y］AC2+BC2=5

^-ACxBC=-ABxCD,.\CD=—,

225

y---------9

在Rt.ADC中，AC=3,^AD=\JAC2-CD2=-,

当A/J_AB时,如图

乂ZAX^4=Z14-Z2=90°

.-.ZI=Z2=45°,

又Z2+Z3=90°,

.-.Z3=45°,

/.Z2=Z3,

p/)=CD=—,

5

又,，PA=PD+AD.

,*经+2卫

555

又PA=PA^

.•.PA=£,

又BP=AB—PA,

在RtZX/PA中，ZB^=90°,

，BP1+PA1=BA:2，

4(21457

...BA5+

二.BA=-------,

5

故答案为：始

5

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

卷.类型二四边形翻折问题

例2.如图，氏方形4BC。中，AB=6,AO=8,M、N分别是A。、边上的点，将其沿MN折叠，使

点8落在C。边上的6'处,点A的对应点为4,且B'C=2,则八〃的长为（）

4y/3n13

A.2GB.D.—

—u74

【答案】C

【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握包股定理是解题关键.

设，则DW=8-x,进而得出a0=4,根据题意和勾股定理得出方程即可得解.

【详解】解：设，则DW=8-x,

•.四边形ABC。为长方形，

由折叠性质可得，

AM=A!M=x,A4=8=A7T=6,

ZA=Z4*=90°,

AB=6,B'C=2

：.B'D=CD-B'C=4,

在Rl中，

B'M2=A'M2+A/，

又•在RtBDM中,

8/=。"+8,。2,

・•・ArM2+A!B'2=DM?+B'D1，

即x2+62=(8-x)2+42,

解得，％=

4

即AM=—.

4

故选：C.

变式2-1.如图，将长为8cm,宽为4cm的长方形纸片A3co折叠，使点A落在C。边的中点E处，压平后

得到折痕MV,则线段AM的长为.

［分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接BM、ME,BE,折叠得到乃"=设AM=x,贝！OM=8-x,

在RtA4A7和中，AM1+AB2==DM2+DE2,进而得到AM?+A5?=OW？十。七？，

列出方程进行求解即可.

【详解】解：如图①，连接8W,ME,BE,

团将长为8cm,宽为4cm的长方形纸片人BQ）折叠，使点B落在CO边的中点E处，压平后得到折痕MN,

团MN垂直平分的，ZD=ZA=90°,A8=CO=4,AO=8C=8,

^BM=ME,DE=-CD=2,

2

设贝UOM=8—x,

在RtABMRtAMDEd1，/1A/2+AB2=BM\ME2=DM2+DE2

^AM2+AB2=DM2+DE2^

BPX2+42=（8-X）2+22,

13

解得x=—.

4

1Q

故线段40的长为

4

n

故答案为：--.

4

变式22如图，在长方形A8CQ中，AB=12,BC=5,点。为A。上一点，将沿8P翻折至,

夕上与CD相交于点O,BE与相交于点尸，且OP=O尸.

⑴求证：OE=OD；

⑵求4尸的长.

【答案】（1）见解析：（2）方

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关

键是灵活运用这些性质.

（1）由四边形A8CD是长方形，可得/O=/A=/C=90o,AO=3C=5,CD=A8=12.由折叠的性质可知

EP=AP,^E=^A=90°,BE=AB={2.再证明七一。律（AAS）,即可得出结论;

(2)由全等三角形的性质可得。0=0居。户=曰"再由。E=。/),可证得/邛=中，设AP=EP=O/=x,

则防=OP=5-x，。产=12-x,可得出3E=8E-M=12—(5—x)=7+x,在Ri^PCB中，由勾股定理得

BC2+CF2=BF2,列出方程52+(12-“2=(7+力2,再求解即可.

【详解】(1)证明：•.•四边形AAS是长方形，

/.ND=NA=NC=90°,AD=BC=5,CD=AB=\2.

由折叠的性质可知石尸=42，/七=/4=90。,8七=48=12.

NO=NE,

在,ODP和OEF中<NDOP=/EOF,

OP=OF,

,8修工OEF(AAS),OQ=。£；

(2)解：；4)Dg_OEF,

:.OP=OF,DP=EF,

QOE=OD,

;.OD+OF=OE+OP,

:.DF=EP,

设AP=褚=。尸=1，则EF=DP=5-x,CF=12-x,

:.Br=BE-EF=\2-(5-x)=l-^xi

在RtZ\FC8中，由勾股定理得8c2+C尸=8尸，

52+(12-x)2=(7+x)2,解得工=容

的长为方6().

类型三、翻折最值问题

例3如图，在VABC中，ZC=90°,AC=8cm,3c=6cm,点。、E分别是AC、8c上的动点.现将△£)口

沿DE翻折，使点C落在点C处.连接AC,则AC长度的最小值()

c

A.不存在B.等于2cmC.等于4cmD.等于5cm

【答案】C

【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，当C落在AB上，点△与点8重合时，AC长度最小，利用勾股

定理求得A8,进而利用折叠性质求解即可，得出AC长度最小时点C的位置是解答的关键.

【详解】解：根据题意，当C落在48上，点E与点8重合时，AC长度最小,

回在VA4c中，ZC=9()°,AC=8cm,BC=6cm,

^AB=\lAC2+BC2=V82+62=l(：icm^

0AC,=AB-BC=lO-6=4cm,

故选:C.

变式3-1如图，VA8C中，4B=AC=6,ZBAC=90°,。为4c中点，点P在4A边上，且PA=2B4,点

Q为8C边上一动点，将~P8。沿直线PQ翻折，使得点B落在点M,连接。W,则OW长的最小值为（）

C.2V10-4D.4-Vf3

【答案】D

【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接5O,PO,根据。“斗。尸-P”|,进行求解即可.

【详解】解：连接80/0,则：OM>\OP-PM\t

A

^AB=AC=6,ZBAC=90°,。为AC中点,

^A0=-AC=3

2f

团尸B=2R4，

回人P=2,BP=4,

0PO=>JAP2+AO2=J13，

团翻折，

团PW=AP=4,

0CW>|OP-PM|=4-Vi3；即：OM的鼓小彳直为4—G；

故选D.

变式3-2如图，在RtZ\44C中，Z4CB=90°,AC=6,BC=8,已知。是A8上一动点，将点4沿。。翻折,

若A落到VA3c内（不包括边），则AO的取值范围为.

B

【答案】］<AD吟

【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键.先根据勾股定

理求得A8=10,当点A落在A8上时，此时A。最短，当点A落在3c上时，此时AD最长，利用三角形等

面积法及勾股定理即可求解.

【详解】解：当点4落在48上时，此时AO最短，如图2,则乙4£>C=NAZ>C=90。，

B

:.CD±AB,

图2

ZAC^=90°,AC=b,=8

AB=VAC2+BC2=V62+82=10，

-ABCD=-ACBC=S.,

22BC

.,.-x1OCD=lx6x8,

22

:.CD=—,

当点/T落在BC上时■，此时AO最长，如图3,则NACO=4'CD=45。,

图3

作DGJ.8C于点G,DHtAC于点、H,则乙4“。=NC”Q=90,，DH=DG,

-ACDH+-I3CDG=-ACBC=S,

222AliC

：.-x6DH+-xSDH=-x6xS,

222

.NHDC=NHCD=45。,

,.CH=DH=—,

7

3n2418

/.AH=6-----=—,

•.①脚7而二牌，野噌

二•AO的取值范围为?<AZ)W，

故答案为:y<AD<^.

变式3・3在矩形纸片A8C。中，A3=12,BC=16.

图①图②图③

⑴如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点8落在对角线AC上的点E处，求8/V的长：

(2)如图②，点M为/W上一点，将.8CM沿CM翻折至..ECM,ME与A。相交于点G,CE与A。相交于

点F、且MG=G尸,求的长：

(3)如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点4落在A。边上的点£处，折痕所在直线同时经过A3、8C(包

括端点)，请直接写出OE的最大值和最小值.

【答案】(1)6

(2)f

⑶D石的最小值为4,最大值为4"

【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定；

(1)设BN=x,在RhENC中,由勾股定理得出方程，解方程即可：

(2)由ASA证明..64知名.・0所，得出6知=6/，AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,|±|jlkDF=8-x,

CF=x+2,在Rl.DFC中,由勾股定理得出方程，解方程即可；

(3)当折痕所在直线经过点A时，如图1所示；此时最小=AD-AB：当折痕所在直线经过点。时，

如图2所示：此时OE最大，由勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：设BN=NE=a,NC=\6-a,AC=\IAB2+BC2=20»EC=AC-AE=AC-AB=20-\2=8,

在Rh.ENC中,由勾股定理得：〃+82=(16—4)2,

解得：4=6,

:.BN=6；

(2)解：设

由折叠的性质得：Z£=ZZ?=90o=ZA,

4=NE

在ZiGAM和AGEF中，GM=GF

ZAGM=NEGF

.•...GAM^AGEF(ASA),

/.AG=GE,

/.AF-ME-HM-x,EF-AM-\2-x,

..DF=16-x,CF=16-(12-x)=x+4,

4848

在中，由勾股定理得：(x+4)2=(16-1)2+122,解得:x=—,=

(3)当折痕所在直线经过点A时，如图1所示：

AED

BC

图1

此时OE最小=AO-/W=16-12=4；

当折痕所在直线经过点C时，如图2所示:

由勾股定理得：DE=V162-122=4出;

综上所述，。片的最小值为4,最大值为4".

压轴专练

1.如图，在VA8C中，AB=67,BC=18,点。为BC上一点，连接4),将448。沿A。翻折，得到

A.7GB.12C.7x/5D.18

【答案】A

【分析】过点A作Ab_LC8的延长线于点凡设A。与跖交于点G,根据翻折性质可以证明VA/M：是等边

三角形，根据SA”=254.=2548q,可得C£>=28。，所以80=6,然后利用勾股定理即可解决问题.

【详解】解：如图，过点A作AF_LCB的延长线于点儿设A。与M交于点G,

由栩折知：一AED'ABD，

0BD=DE,ZADB=ZADE,

^\BE=DE,

BBE=DE=BD,

团V8QE是等边三角形，

[3Z£DZ?=60o,

121AADH==30Q,

0-A£Dv_A8£),

回SACD=2S=2SABD,

^-xCD-AF=2xixBU!AF,

22

^CD=2BD,

\2\3BD=BC=\8,

0BD=6，

由翻折可知:ADLBE,

^BG=-BD=3

2f

屯DG=6BG=3+，

回AB=历，

^AG=^AB1-BG2=4>/3»

团AD=AG+£>G=4石+3G=7G

故选：A.

【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

2.如图，在RA8C中，ZC=93°,Z4=30°,8C=1,点。在AC上，将..AT坦沿直线8。翻折后，将

点A落在点月处，如果AO_L£7),那么线段。石的长为()

A.1B.拉C.V2-1D.V3-1

【答案】D

【分析】根据翻折变换的性质可得NA8D=N£BO.AD=DE,AB=BE,连接AE,可得jV犯是等腰更

角三角形，然后求出ND4£=45。，从而得到/胡石，再根据等腰三角形两底角相等求出然后求出

ZABD，根据直角三角形两锐角互余求出4BC,再求出NCR)二45。，得到，BCD是等腰直角三角形，根

据等腰直角三角形的性质可得CO=8C，然后利用勾股定理列式求出AC,然后根据八。二人。-8计算得

到A。，即为OE的长.

【详解】解：一4)8沿宜线8。翻折后点A落在点E处，

:.ZABD=NEBD，AD=DE，AB=BE,

连接4E,ADLED,

B

/.ZLME=45O,

."AC=30。，

.•.N8AE=300+45°=75。，

在.AB石中，ZABE=18()o-2x750=30o,

/.NABD=-NABE=1x30°=15°,

22

ABAC=30°,

ZABC=90°-30°=60°,

..NC3。=/ABC-NABO=60。一]5。=45。，

.ZBCD是等腰直角三角形，

.-.CD=BC=1,

又,BC=\,ZBAC=30°,

.-.AB=2BC=2xl=2.

AC=y]AB2-BC2=>/22-l2=x/3

AD=AC-CD=6-I,

即DE=V3-1.

故选：D.

【点睛】本题考查翻折的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应

边相等，对应角相等；30。角所对的直角边等「斜边的一半；正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握

直角三角形的性质是解题关键.

3.如图,.ABC中，NC=9()。，AC=6,BC=8,点E和尸是AB上的点，将边AC沿CE翻折，点A落在AB

边上的点。处，将8c沿。/翻折，点8落在C。延长线上点8'处，3,的长为.

4E

【答案】|

【分析】本题考瓷了翻折变换（折叠问题）、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的性

质可知NEC尸为45。，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解.

【详解】ZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=ylAC2+BC2=10*

根据两次翻折可知："E=NDCE/BCF=/DCF,CE1A£>.NAC8=90。，

/.NECF=NECD+ZFCD=-ZACB=45°.

2

.\ZEFC=45°,

0EF=CE，

SdA/Kf{.c=-2ACBC=2-ABCE,

IOCE=6x8»

.-.CE=y,

：.EF=­t

5

在RtCEB中

故答案为：|.

4.如图，将一张长方形纸片48CO沿历折叠，使C、A两点重合，点。落在点G处.已知A8=4,8c=8.则

线段产。的长是

G

【分析】本题考查了长方形与折着问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

设a=x，则A/=8-工，由折登的性质得：GF=FD=x,AG=CD=4,NAGb=/。=90。，最后在RtZVIG/7

中，由勾股定理得AG?+G产=4片，gp42+x2=(8-x)2,解出工即可.

【详解】解：设尸。=x,则A/=8-x,

•・•四边形A8CD是长方形，

:.AD=BC=S,AB=CD=4,?O90?,

由折叠的性质得：GF=FD=x,AG=CD=4,4GF=NO=90。，

・••在RSAG歹中，由勾股定理得AG2+G产=A/2,即42+42=(87；

解得：x=3,即线段/O的长为3,

故答案为：3.

5.如图，在VA8C中，ZC=90°,AC=BC=6,点、E,尸分别为边AC,45上的点，连接所，将瓦'沿

着M翻折，使得A点落在BC边上的。处，BD=4,则。尸的长度为一.

A

【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点。作OGJ.A3,交AB于点、G,根据题意,

可得△3G£＞为等腰直角三角形，可根据翻折可得A尸=。9，AO=^ADfZFOA=900,求出A。，再设

。尸=x，根据勾股定理求出。产的长,即可得到。户的长.

【详解】解：如图，过点。作£>G_LA8,交AB于点、G,

团皮）=4,

@BG=DG=包BD=2丘,

2

设。/=不，则根据翻折得A/=M=x,

^FG=AB-AF-BG=6y/2-x-2y/2=4\/2-x，

在RtZ\OGE中，DG2+FG2=DF2,

可得方程，（2^）2+（4>/2-X）2=X2,

解得：x=1V2,

2

^AF=-y/2,

2

团将AAE尸沿着七尸翻折，使得A点落在边上的。处，

^AO=-ADZFOA=90°,

2y

0>4D=VAC2+CD2=^62+（6-4）2=2710,

团A。二痴，

团OF=JAF2AO2=Jg.jj屈Y=9，

故答案为：巫.

2

6.如图，RlZ\A8C中，ZC=90°,ZA=40°,AC=5,3C=4.2,点。在边8c上，将VABC沿直线AO

翻折，使点C落在点C'处，连接AC,直线AC与边C4的延长线相交与点R如果=那

1

么线段8F的长为.

【答案】5向4.2

【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，30。角所对直角边等于斜边一半的性质，勾股定理，正确的作出

图形是解题的关键.

在RtaABC中，NC=90。，由.A。。'是将VA8C沿直线A。翻折得到的，求出NC4D=NC4。，F是得到

NG4尸=60°,求得N尸=30°,根据直角三角形的性质及勾股定理即可得到结果.

【详解】

ADC是将7ABe沿直线A。盆折得到的,

:.ZCAD=ZCADf

Z.DAB=-^BAF,

2

.1.ZC4D=ZCAD=3ZDAB,

:.ABAC=4ZBAD=4O0,

/班尸=20。，

ZCAF=60°,

•,ZC=90°,

/.N/=30。，

AC=5,

..AF=2AC=IO,

:.CF=JA尸一AC，=71O2-52=55

BC=4.2,

BF=CF-BC=5y/3-4.2

故答案为：5G-4.2.

7.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=6，点P是边BC上任意一点,连接八户，将.

沿AP翻折，点B的对应点为夕，当夕有一边与垂直时，4。的长为.

【答案】2-夜或1或2

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当八9_1_8。时，当A?_L3C时，当BPLBC

时，利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】解:当A"_L5C时,如图，

回8C=&"=2,AQ=；BC=1=BQ,ZB=45°,

设即=x，则夕P=x,PQ=\-x,

回将沿AP翻折，

回A8'=A8=0，N9=45°,

田BQ=a-1=PQ,UPl-x=>/2-H

解行x=2-夜；

^BP=2-y/2

当AP_LBC时，如图,

A

此时，点4,B,8'在同一直线上，BP=2；

综上，当AAPB'有一边与4c垂直时，8P的长为2-0或1或2.

故答案为：2-夜或1或2.

8.如图，三角形纸片A8C中，点。是8C边上一点，连接A。，把△A8O沿着直线A。翻折，得到△AEO,

OE交AC于点G,连接班:交AQ于点R若DG=EG,AF=4,48=5,AAEG的面积为45,则8。?的

值为.

【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，

掌握等面积法成为解题的关键.

由折叠的性质可得A8=A£,N84/「=N£4/"再证尸空印可得=针，根据等腰三角形三线合•的

性质可得运用勾股定理可得8尸=3,再运用等面积法求得4)=6,进而得到尸。=2,最后根据

勾股定理即可解答.

【详解】解回由折叠得，AB=AEZBAF=/EAF,

在△班厂和AEA厂中，

AB=AE

Z.BAF=Z.EAF,

AF=AF

...BAF^EAF(SAS),

:.BF=EF,

：.AF1BE(三线合一)，

又・AF=4MB=5,

团由勾股定理得：BF=JAB，-A//=3，

9

0G=EG,S^AEC=—,

.•.Ds△.DG-s--2，

•*,S&ADE=S&\0G+S^AEG=9,

团在VAOE中，EF1AD,

■^ADE=^ADEF^BP9=1AD-3,

.\AD=6,

.AF=4,

:.FD=AD-AF=6-4=2

团在Rt/\BDF中，BF=3,FD=2,

BD1=BF2+FD2=32+22=13.

故答案为：13.

13

9.如图，在长方形48CO中，AB=—,8c=12,4G=13,沿边AE所在直线翻折一AHE,A8与AF重

合，点尸在AG上，则CE的长是.

D

G

BC

23

【答案】y

【分析】本题考瓷了长方形的性质，勾股定埋与折叠问题，连接KG.证明七尸垂直平分AG得AE=GE.化

Rt4DG中，由勾股定理求出QG=5,然后根据AB?+9炉=。户求解即可.

【详解】解：如图，连接EG.

团四边形A8CD是长方形,

13

团N8=NC=NO=90°,4B=CO=',AO=BC=12.

2

13

根据题意，ZAFE=ZB=90P.AF=AB=—

团47=13,

13

^FG=AG-AF=—

2

回AF=FG»

回EF垂直平分AG,

0AE=GE.

团AD=BC=12,4G=13,?Z)90?,

®DG=V132-122=5*

3

^CG=CD-DG=-

2

在RtZXABE中，AE2=AB2+BE2，

在RtZXCEG中，GE2=CE2+CGZ.

回AE=GE，

^AB2+BE2=CE2+CG2^

\2

团巨(12-CE)2=[-1+CE\

+

2J(2,

23

解得CE=].

故答案为：—

10.如图所示，在VA3C中，。是AC边的中点，连接80.把“QC沿30翻折，得到一ADC',DCAB

交于4,连接AC.若40=47=4,80=6,求点。到BC的距离.

【分析】本题考奁了翻折变换，解直角三角形，勾股定理等，由翻折知，8OC且,以短。，50垂直平分CC,

证“AOC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DW=2.CM=6DM=2瓜8W=4,在RtBMC中,

利用勾股定理求出8c的长，在.BQC中利用面积法求出O”的长，则可得出答案.

【详解】解：如图，连接CC,交BD于点、M,过点。作于点儿

^AD=AC=4,。是AC边上的口点,

团DC=AD=4,

由朝折知，BDC-BDC