高考数学二轮复习专项突破（新高考版）与空间角有关的最值问题

微重点14与空间角有关的最值问题

立体几何动态问题中，空间角的最值及范围问题是高考的常考题型，常与图形翻折、点

线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数（导数）法、不等式法等.主要是利用

三角函数值比较及最小角定理（线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角）等求解.

考点一空间角的大小比较

例1（2022・嘉兴质检）已知长方体A6cO—Ai31Goi的底面43co为正方形，AA\=a.AB=

b,且。>b,侧楂CG上一点E满足CG=3CE,设异面直线48与A。，4B与。出:，AE

与DiS所成的角分别为出口，人则（）

A.a<p<yB.y<p<a

C.p<a<yD.a<y<ft

答案A

解析以。为原点，D4所在直线为x轴，。。所在直线为），轴，所在直线为z轴建立空

间直角坐标系（图略），

•••长方体ABCO-AiAiGD的底面为正方形，

AA\=a,AB=bt且。>仇

侧棱CC,上一点E满足CC1=3CE,

・"i（瓦0,A）,B（b,b,0）,A（b,0,0）,Di（0,0,a）,

81S，b,a）,40,b,4IB=（0,b,­a）,

AD\=（—b,0,a）,D^B\=（b,b,0）,

嘉=（一〃，b,

_|乖.而__f.

C°Sa一|泰||而ajU

|俞曲|:

C°S/|初丽后吟便针

“诞理=0

*.*«>Z?>0,Acosa>cos/?>cosy=0,/.a</?<y.

规律方法（1）最小角定理:直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角（线

面角是最小的线线角）.

（2）最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角（二面角是最大的线面

角）.

跟踪演练1设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱以上的点（不含

端点）.记直线P8与直线AC所成的角为的直线P3与平面ABC所成的角为从二面角P

—AC-8的平面角为了，则（）

A.兴了，a<yB.B〈a,[i<y

C.B<a，D.a<B，

答案B

解析由题意，直线PB与直线AC所成的角a大于直线PB与平面ABC所成的角｝即次a,

而直线尸8与平面A8C所成的角夕小于二面角P—AC—8的平面角y,所以夕〈以

考点二空间角的最值

例2（2022・绍兴模拟）已知正方体ABCD—的棱长为2,M,N分别是8C,8G的

中点，点P是截面（包括边界）上的动点，DiP=4,2笳=诙，则改与平面

所成最大角的正切值为

答案8、+2亚

解析取DC\的中点O,连接。。，OP,D\P,作MS_L平面ABxCxD于点S,ET_L平面AB\C\D

于点口图略），由正方体性质可知。平面人BiG。,

则OP=7DP—DiO2

4

则点〜的轨迹是以。为圆心，§为半径的圆与平面人81Go的交线，又M到平面人BiGO的

距离为MS=小,因为2ME=EN,

所以E到平面ABC。的距离为ET=%

则NEPT为直线EP与平面ASG。的夹角，当。，T,P共线时，PT最小,

FT

tanZEPT=百的值最大，

05=1,57=mx/生，

即叫T，

2V32

8也+2仍

\an/EPT=4近

-一5

33

规律方法来空间角最值、范囹的两种常用方法

(1)利用空间角的定义及几何图形找到空间角，构造三角后，利用三角函数的比值构造由数求

最值、范围.

(2)建立空间坐标系，利用坐标运算求空间角的三角函数值，构造函数求最值、范围.

跟踪演练2(2022・内江模拟)如图，在正方体ABC。-ARGOi中，M为线段A。的中点，

N为线段C。上的动点，则直线GO与直线MN所成角的正弦值的最小值为()

答案C

解析以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

则M1,0,1),C(0,2,0),

G(0,2,2),人(0,0,2),

宙=(0,-2,2),

C)D=(0,—2,—2),

设由=无函(0W夭W1),则N(0,一2%+2,2/1),

-2A+2,2；-l),

设直线CiD与直线VN所成角为0,

设AB=2,则4(0,-1,0),C(2,l,0),。(0,1,0).

因为ASA。为正三角形，。为4。的中点，

所以SO_LA。，又OG_LAD,

所以NSOG是二面角5—其。一。的平面角，

即NSOG=e,则S(小cos仇0,小sin。).

因为危=(2,2,0),DS=(V3cos<9,-I,小sin夕)，

”，一一、2#cos0—2

所以cos(ACtDS)=^>^2X2,

又0G亳,1,所以cos隹I，芈］,

所以cos<AC,DS)£乖；小,孝j,

又异面直线夹角的取值范围为(0,

故异面直线AC与S。所成角的余弦值的取值范围是|'0,g.

易错提醒求空间角的范园时，要注意空间角自身的范围；利用坐标法求角时，要注意向量

夹龟与学问的关系.

跟踪演练3在正方体ABC。-4SGG中，点O为线段8。的中点.设点P在棱CG上，

直线。P与平面48。所成的角为a,则sina的取值范围是()

A惇1B停「

C停手］D湾」］

答案B

解析设正方体的棱长为1,以C为原点，分别以诙，屈，衣;为x轴、y轴、z轴正方向

建立空间直角坐标系，如图所示，

令P((),(),〃?)，wGlOJ］,

则噂，0),4(04,0),0(10,0),4(1,14)，

・••丽=(1,-1,0),而=(0,1,1),

设平面48。的一个法向量为〃=（x,y,z）,

〃•丽=0,

则.

nDA\=0,

x-y=0,

即

b-

则平面A[8Z）的一个法向量为〃=（1/，—1）,

../KD\I1〃,丽

..sin«=|cos（〃，OP）|=-----

Mil而

专题强化练

1.在矩形ABC。中，ABf,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,

在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围（包含初始状态）为（）

D.0,y

答案C

解析根据题意，初始状态，直线AO与直线8C所成的角为0,当BD=小时,AD1DB,

AD1DC,且。8GQC=。，DB,OCU平面。8C,所以八O_L平面OBC,又BCU平面D8C,

故4）J_8C,直线A。与BC所成的角为宏

所以在翻折过程中直线AZ）与直线BC所成角的范围（包含初始状态）为［o,5.

2.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段4B上的点（不含端点）.设

SE与3C所成的角为〃I，SE与平面43co所成的角为〃“二面角S—AB—C的平面角为仇，

则（）

A.仇W&W伪B.aW仇W仇

C.aW仇WO?D.优仇

答案D

解析方法一由题意知四棱锥S-ABCQ为正四棱锥，如图，连接4C,BD,记ACCIBO=

0,连接S。，则SO_L平面A8CO,取48的中点M,连接SM,OM,0E,易得A8_LSM,

则（h=/SEO,〃3=NSAf。，易知仇》仇.因为OM//BC,BCA.AB,SAfJ_44,所以么也是

0M与平面所成的角，即8C与平面S/W所成的角，再根据最小角定理知仇

所以仇W为W仇.

方法二如图，不妨设底面正方形的边长为2,E为A8上靠近点A的四等分点，E'为AB

的中点，S到底面的距离SO=1,以EE',E'。为邻边作矩形00'EE',

由题意得tan4=翳一=坐，

八_S0_12书

tan02=—=~5'

2

tan。=1，

此时tanZ^Vtan03<tan仇，可得。2V。3Va，

当七在AB中点处时，&=纵=仇.

故OzS仇WE.

3.（多选）（2022.汕头模拟）如图，在正方体A6CQ—4141Goi中，点。在线段5c上运动，则（）

A.直线8Oi_L平面4Go

B.三棱锥Z5—4G。的体积为定值

C.异面直线4尸与4。所成角的取值范围是，，

D.直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为千

4

答案AB

解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为I,

8(1,10),

4(101),CK0JJ),

£>(0,0,0),8(1,1,1),

C(0,l,0),41,0.0),

设P(x,1,z),瓦7=2讹，

则(工一1,0,z—1)=2(-1,0,-1),附0,1],

x=1-2,

解得.

z=1-2,

即P(l一2,11-2).

对于A,丽=(一1,-1,1),丽=(1。1),

DG=(0,l,l),

因为丽・丽=-ixi+ixi=o,

丽•芯=-1X1+IX1=0,

所以百方_1_丽，6万_LO西=

又04noe=。，。4,£)Gu平面4G。,

所以直线8£>i_L平面ACQ,故A正确；

对于B,设侧面BCGBi的对角线交点为O,

所以CB|_LOG,OCI=5X^12+12=^

而A4i_L平面8CCB,OGU平面SCG。,

所以48i_LOG,而AiBiCCBi=Bi,

AiBi,CBiU平面48iC£),

所以OG_L平面AbiCQ,

।I।^2

Vp-AC/)=匕,-力D~~S△户A/),CiO=—x—XS.,.(7)x=——S.u(7)为定值，故B正确；

对于C,AP=(-Z,1,1-Z),XiD=(-l,0,-1),

设异面直线AP与40所成角为《0£(0,外)，

mu七〃泽

则有cos0=-7

的初

___________一+入一1|________

―叱7)2+"(17)2々]2+12

_歹II

一A+1'

当时，cos9=0=>J=；；

当2制时，

cos"/4p-42+4~I-3'

—4万―42+1V1+(2z-l)2

因为0,1)U^,I,

所以(22—1)2w(0,1],

因此屋7产B昌产3旬+昌产40、1+涓产2-。</二寻

即0<cos

所以ew1，9，

综上，全方，故C不正确；

对于D,由A项知，8万=(一1,一1』)为平面4G。的一个法向量，

令m=BD\,

则帆=(—I,—1,1),GP=(1—z,0,—x),

设直线GP与平面4G。所成角为a,

〃加

则sina=|cos<m,C\P}\—1I

m而

一q（i一刃+（一疗々（—i>+（—1产+12

______1________________1_______

小R2一+|飞/一分+；，

因为入£[0,1],

所以当时，q2@有最小值,最小值为、月=乎,

所以直线CP与平面AGD所成角的正弦值的最大值为一F3，故D不正确.

小x当

4.（2022•义乌模拟）如图，在等边△ABC中，D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点，

且BD=CE,现将△ADE沿直线。£折起，使平面AOE_L平面BCEO,当。从8滑动到A的

过程中，则下列选项中错误的是（）

A.NAQ4的大小不会发生变化

B.二面角4-B。一C的平面角的大小不会发生变化

C.B。与平面A8C所成的角变大

D.A6与。后所成的角光变小后变大

答案C

解析设等边△ABC的边长为1,

AD=x（0<x<l）,MBD=1-x,

在△ABC中，由BQ=C£,得。£〃4C,

如图，过点A作4G_LBC,交DE于点、H,交8C于点G,连接则AH_LOE,

y[3

AG=与,NAO”=NABG=60。，

所以AH=B”G=坐一坐r=当（1一外,

在△AOE沿直线OE折起的过程中，AHLDE,”G_L8C始终满足.

由平面AOE_L平面BCEO,平面4OEA平面8CEQ=OE,A”u平面AOE,

所以4乩L平面BCED.

又BHU平面BCED,则AH1BH,

在△3/7G中，"永1一幻2,

所以西丽

广…,Aty+BIY-AB1

所以cosZADB=2XADXBD

=一彳为定值,

2x(1-A)

所以N4DB大小不变，故A正确;

如图，过H作H01BD交BD于点、0,

由DH=^,得0"=*X,

由4"_1_平面8CE。，BDU平面BCED,

又AHCiOH=H,AH,0〃u平面4。”,

所以3。_1_平面AOH,

所以NAO”为二面角八一BD-C的平面角,

正

AH2A

在。"中，----=-L='

RtZ\AtanNAO”=0H近

4A

所以N40”大小不变，故B正确;

SABCD=3XBCXHG=3><I义浮(l—x)

=坐(1一了)，

由4〃_LOE,得A〃_L3C,

又HGLDE,且HGRAH=H,HG,

A“u平面AGH,

所以4C_L平面AG”,

又AGU平面AG”,所以BC_LAG,

又4H_L平面8CTO,HGU平面BCED,

则A”_LHG,

=

S^ABCyf^C-AGt

设点。到平面ABC的距碑为d,

由等体积法可得VA-BCD=YD-ABC,

即亍SziBC。A”=1•S&48C，d

cdug.BCHGAH

E],S^BCDAH2

贝i]J=—-------=—j--------------

'△ABC^CAG

坐¥（lf）

y.F+（lr）2'

设3。与平面A3C所成的角为仇

d运2

则sin0="^~^=/"5~7；

BD"+（1）2

亚

_______2

M+&T）2

在。从4滑动到4的过程中，工的值从1变小到0,这一过程中、/1+（：—1）2逐渐变大.

所以在这一过程中，sin。变小，则角。变小，故C不正确;

由。E〃8C,则248C（或其补角）为48与DE所成的角.

由上可知，BCYAG,

则tan/A8C=怒=2=6=小々。+（1-力

=V3^2r-2A-+l,

函数），=2F—2JC+1（0々v1）的对称轴为x=1,

当00yl时，函数）=*一2r+l（0v<l）单调递减，

当;<r〈l时，函数），=2好一公+1（0<1<1）单调递增，

所以在工从1变到;的过程中，lanNA8C变小，N4B。变小，在x从义变到（）的过程中，tan/ABC

变大，NA8C变大，故D正确.

5.如图所示，在正方体A8CQ-AIiG。中，点P是棱力8（包括端点）上的动点，设点P在运

动过程中，平面。。助与平面AQQiAi夹角的最小值为a,则cosa=.

答案中

解析以点。为坐标原点，OA,DC,所在的直线分别为x轴、），轴、z轴建立空间直角

坐标系（图略），

设正方体的棱长为1,AP-a（OWaWl）,