高考数学一轮复习题型突破：数量积及最值（范围）问题（解析版）

专题6.2数量积及最值(范II)问题

三(题型目录

题型一求数量积

题型二求两个向量的夹角

题型三求投影向量

题型四垂直关系的判断及应用

题型五向量的模

题型六数量积的最值、范围问题(基底法)

题型七数量积的最值、范围问题(坐标法)

题型八数量积的最值、范围问题(数形结合法)

才典例集练

题型一求数量积(

例1.(2023•辽宁朝阳・朝阳市第一高级中学校考模拟预测)已知向量：=(1,2),日=(3,4),

c=(5,w)(mwR),贝ij(2a-q.c=()

A.5B.-5C.5/77D.-5m

【答案】B

【分析】求出向量力-方的坐标，根据数量积坐标表示,即可求得答案.

【详解】由题意向量4=(1,2),坂=(3,4),c=(5,〃。可得％-5=(-1,0),

故仅2-42=(-1,0).(5,/”)=一5,

故选：B

例2.(2023春•辽宁朝阳•高二校联考期中)已知单位向量£,B满足仅Z+矶=则

ab=•

【笞■案】；0.5

【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.

［详解］因为(2d+矶d-5)=2£--b-J-/?=2|a|-|5|-d/=2_］_d.6=g,所以。石二；.

故答案为：

举一反三

练习1.(2023.广西南宁.武鸣县武鸣中学校考三模)已知向最己=(2,1),方=(1,2)则后石=

【答案】4

【分析】利用数量税的坐标运算法则计算可得.

【详解】因为N=(2,l),-(1,2),所以力.万=2x1+1x2=4.

故答案为：4.

练习2.(2023・全国•高三专题练习)矩形A8CO中.|4月1=6,|4)|=4.若点、M,N满足

BM=3MC,DN=2NCrMAW-W=()

A.20B.15C.9D.6

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.

【详解】•.・四边形A8C。为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，

.•.A(0,0),M(6,3),N(4,4),

4M=(6,3),W=(2,-1),

•*-4V-W'=6x2-3xl=9.

故选：C.

练习3.(2023春・山西大同•高二校考阶段练习)已知O是“改?的外心，|醐二4,|恁卜2,

则冠・(A月+/)=()

A.10B.9C.8D.6

【答案】A

【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.

【详解】如图,0为“WC的外心,设。芯为AC的中点,

则OO_LA8,OE_LAC,

^'Ad\AB+A£\=AdAB+A6AC

=|必|A61cosNOAQ+W\\AC\cosZOAE

=\AD\\AB\+\AE\\AC

=-\ABf+-MC|2=-X42+-X22=10,

2222

故选：A

练习4.（2023•陕西咸阳•武功县晋集高级中学校考模拟预测）已知菱形EFGH中,

|丽-丽卜2,则旃.两=.

【答案】-2

【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.

【详解】设EG与切交于0,则EG_LF”且。是线段用的中点，

:.\HF\=\EF-EH\=2,由平面向量数量积的几何意义知，

HGFH=-HG”7=一-|SF|COS4FHG=一［两•］画=一（|"U『=-2.

故答案为：-2

—1—

练习5.（2023•广东汕头•统考三模）在△A8C中，48=2,4c=1,㈤C=60°,CD=-BC,

2

求A5.。方=.

【答案】43/0.75

4

【分析】根据已知条件得出A方=：（3AC-南）,诙=:属，化简而.前应用数量积公式计

算求解即得.

0=—,

4

故向量比，开的夹角为手.

4

例4.（2023•江西•江西省丰城中学校联考模拟预测）已知2,5是单位向量,且乙+B=

X/

则向量。与的夹角为（）

A.四B.3C.史D.史

6336

【答案】D

【分析】由引，得W+肛=1,从而可求得〉再根据3*甸=俞二^

即可得解.

【详解】由"鹏=2,三，得（"可’—I，

\/

即7+^+2£石=2+24=1,所以。*=一3，

则%—a=a）=>lbi-a—2ba=VT+T+T=6»

r/工一\r]r213

a'\b-a\=ab-a=-----1=——，

22

叵

又0x（2,万一2）K7t,所以（

即向量4与的夹角为二

6

故选：D.

举一反三

练习6.（2023春・北京怀柔・高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量Z=（〃T）,

1=(1,-2),*=(2,3).

⑴若2+〃与］垂直，求实数〃?的值;

⑵求cosvA"＞的值.

【答案】（1）5

⑵普

【分析】（I）确定4+日=（〃?+1,-1）,再根据向量垂直解得答案.

（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）d+b=（m+\-\）,且1+5与*垂直,

1

故（后+孙乙=2（〃?+1）-3=0,解得m=—

2

7-b'lc264而

⑵id附二忑F65

练习7.（2023•山东烟台・统考二模）已知向量2=（1,6）,1年友,|£+2昨2石，则Z与B夹

角的大小为_____________

【答案】y

【分析】根据题意可得（1+2^2=20,结合平面向量数量积的定义计算即可求解.

【详解】由1（1,6）,得问=2,

由忖+9=275,得Q+力尸=20,

即1+4ab+4b2=20»得4+4x2x&cosR,B）+4x2=20,

所以cos@5）="^,又（G,6）e[0,可，

所以,石）=；,即£与石的夹角为：.

故答案为：

练习8.（2023春・天津武清•高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知同=&,忖=1,a

与方的夹角为45。，求使向量2。+笈与招-3万的夹角是锐角，则％的取值范围___________.

【答案】（—,-3）52,内）

【分析】两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.

【详解】•・•向量24+宓与然-3族的夹角是锐角,

.二（2。+45＞卜江-35）＞0且向量2@+历与向量大共线，

由（24+/5）«/万一35）＞0得271a2+（九2一6）值./；一3刀；2＞0,

•••2如『+（分-6悯收际45。-3胴2>0,

A22x2+（A2-6）x^xIx^y-32xl>0»即万+/1-6>0.解得4<一3或几>2,

若向量20+4与向量助-3行共线，则2d+4=（而,-笫），4无解，

，向量2力+4与向量船-3万不共线，

・••实数4的取值范围是（f-3）52,”）.

故答案为：（YO,-3）U（2,依）.

练习9.（2023•河南洛阳・统考模拟预测）已知单位向量入丐满足，，（2-6方），则Z，1夹

角的余弦值为.

【答案】今，

【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出7万，即可求出

夹角的余弦值.

【详解】单位向量入1满足近0-々历,则70-炳=7-符石=0,

因此走，所以，小夹角的余弦值为cos«@="-=£.

63\a\\h\3

故答案为：正

3

练习10.（2023春・浙江温州•高三乐清市知临中学校考期中）设£=（2,0）,=

（1）求他小

（2）若石=6+»石（x,”R）,且帆=2>/5,而与弓的夹角为j求了,），的值.

16

【答案】（1）60。

（2）x=l,y=i或4一1,y=2

【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；

（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.

【详解】⑴由Z=（2,o）.石="）,得问=2,W=2,a.b=2.

又0。«词4180。,所以0=60。；

(2)因为〃=(2,0)，b=(1,75)?

所以〃?=xa+)E=(2x+),,6y),

又1=26,

所以(2X+»+3)，2=12,

in-b2x+y+3y正

又T

即x+2y=3,

(21+»+39=12解得;:;或x=-l

x+2y=y=2

x=l,y=i或A=-1,y=2.

题型三求投影向量

7

例5.（2023•安徽合肥,合肥市第八中学校考模拟预测）已知|3-1,|刈-则向量

日在向量方上的投影向量为.

【答案】一为上

66

Ibb

【分析】设/石之间的夹角为氏利用题意得到id|cose=-3,同=5,然后用投影向量公

式进行求解即可

【详解】设万万之间的夹足为。，

G•彼=同Wcos6=—|,又|%|=2,.、m|cose=-;，又g=

所以向量G在向量5方向上的投影向最为1加85°百=一些.

1-

故答案为：-7b.

例6.（2023春・江苏泰州•高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量。=（1,1）,5=（1,0）,

则"在5上的投影向量的模为（）

A.2B.73C.1D.在

【答案】C

【分析】求出G在5上的投影向量的坐标，从而求出投影向最的模.

【详解】•・・/=a,D,t=（i,o）,・•・〃/=i,加一1,

在I上的投影向量为7774i=a。），

\b\）\b\

则々在石上的投影向量的模为彳寿=1.

故选：C.

举一反三

练习11.（2023•全国•高三专题练习）已知向量不，B满足。=（-2,4）,a.b=-5f则B在行上

的投影向量"=.

【答案】c

【分析】根据6在2上的投影向量3=|B|cos0三即可求解.

【详解】设]与万的夹角为。，B在@上的投影向量

c=|Z?|cosO--^—=|d|cos。&、=5g=--------=——a=f—.

\a\\a\2\a\2(-2)2+424(2J

故答案为：9-1).

练习12.（2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测）若向量不，伺满足Zi=（Y,3）,万=（5,12）,

则向量方在向量4上的投影向量为（）

（6448）（6448）（6448）（6448A

A-「石'制B.「王，司C.匠，一用D.而，-可|

【答案】B

【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量B

在向量。上的投影向量.

【详解】设向量1与5的夹角为仇

,石_（-4,3）.（5,12）』,同二琲卜

则8s”丽13

5x1365

telcos^

则5在不上的投影向量为(6448]

~25^25,

故选:B.

练习13.（2023•云南保山・统考二模）已知向量九五满足办4=0,则Z-B在£方向上的投

影向量为（）

A.—aB.2aC.2bD.a

【答案】D

【分析】根据投影向量定义可得答案.

【详解】由己知条件得：7B=o，

-(ci-b\'a£Lzl-ab_

又工-［在£方向上的投影向量为-b©cos(a-反叫同

故选：D.

练习14.（2023春・全国•高三专题练习）已知,|=2网，若£与石的夹角为120。，则%-Z在

2上的投影向量为（）

_3-I--

A.3-3〃B.--aC.--aD.3a

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在Z上的投影向量.

【详解】潺一3在公上的投影向量为|2〃一a|cos（2b-a,〃1|4j,

(2b-a)-a_2ab-a

12b-a|cos(2b-a,a)=--"I

所以，所—£在£上的投影向量•为加上"&=画3廿0°-画.二一九

2

1。/\a\2

故选：B

练习15.（2023・湖南•校联考模拟预测）在AABC中，己知AC=3,向量而在向量北上的

UUIU

AC

投影向量为冲阻，点。是3c边上靠近C的三等分点，则而.而=（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】C

【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到法.花=3,然后利用向量的运算将而

用而，而表示，然后用向品的数软积进行运算.

ABACAC

根据投影向最的计算公式，向量在向量/上的投影向审为

ABACAC_ACAB-ACmuuu

由题意，下不扃二南，于是不甲j即WU=3・

0010

乂而=丽+丽=而+:沅=丽+氢衣-丽）=3通+（正，

.・.ADAC=|-/Afi+-AC|AC=-/1B^C+-4CAC=l+-x9=7.

U3J333

故选：C

题型四垂直关系的判断及应用

例7.（2023・湖南娄底•统考模拟预测）已知向量九万满足问=2,忖=3,且伊-山

则cos<a,b>=.

【答案】；/0.5

【分析】根据（3£-可石=0求出展方=3,再根据夹角公式可求出结果.

【详解】因为（31a_L瓦所以（32回石=0,所以方万因6『=0,

所以d•方=3，所以COS<，/>=::.=T-T--•

|«|•|/?|2x32

故答案为：

例8.例023•全国•高三专题练习）非零向量Z=（cos（a"）,sin0,4=（l,sina）,若力C

则tanatanQ二.

【答案】-；/。5

【分析】由2_|_1得8sacos£+2sinasin2=0,从而求得tanatan6的值.

【详解】因为£_1_B，所以£/=（83（仪一/）,9m/?卜（1,§仙0）=8$（2-/）+5m23吊/?

=cosacos/?+2sinasin/?=0,

由题易知aw],吟,

〜,八sinasin0sin«sinB1

所以tanatanB=------------=-----------=一一.

cosacos/?-2sinasinp2

故答案为：

举一反三

练习16.（2023春・贵州•高三校联考阶段练习）平面向量"二（〃z,2）石二（〃皿-4）,若同咽,

且,则加=（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得加，然后结合同工耳可得.

【详解】2=（〃!,2）3=（〃?,〃?一4）,

*'•ab=m2+2in-8=0，

解得〃?=2或〃?=T,

又•・•同咽，Am=-4.

故选：D.

练习17.（2023・全国•高三专题练习）已知向量入b，2,其中九5为单位向量，Ralb，

若F卜，则3TM万一22）.

注：填上你认为正确的•种条件即可，不必考虑所有可能的情形.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.

【详解】因为2万是相互垂直的单位向量，不妨设）=（1,0）》=（0/）,\=（乂），）

・•・R_g_L,一2斗.•.（［—£）乖—2习=0,即觞-2萩-设+23=0，

2x2+2y2-2x-y=0,即x-g+1-:，即向量2的端点在圆心为（；，；），

半径为亚的圆周上，

4

故可以取2=（1,0）,即时=1；

故答案为：1.

练习18.（2023春・上海徐汇・高二上海中学校考期中）点人（1,2）,点点p在坐标

轴上，且/APB为直角,这样的点尸有个.

【答案】4

【分析】分情况讨论，设出轴上。点坐标，利用向晟的数最积为0建7方程，由判别式确定

解得个数即可.

【详解】若P在x轴上，可设P（K。），

则/=（x-1，-2）,而=（工+2,4），

由NAP3为直角可得AP-BP=（x-l）（x+2）-8=0,

即V+x-10=0,A=12-4X(-10)>0,故有两解;

当尸在y轴上,可设P(O,y),

贝IJ&=(_1,y_2),而=(2.y+4)，

由/4P3为直角可得筋5.际=_2+()，-2)()，+4)=0，

即y2+2y-10=0,A=22-4X(-10)>0,故两解.

综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，

故答案为：4

练习19.(2023春・湖北武汉•高三武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考期中)在MBC

/__\

中，若非零向量油与衣满足答+至阮=0,与.而=0,则AAAC为()

A.三边均不相等的三角形B.等腰直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合而•蔗=0导出|而|=|近|，

再判断三角形形状作答.

【详解】由福•祝=0,得福

于是(•蔷+胎足禽+离).(AC-AB)=|AC|-|AB|=0,则I画=1砌,

所以“BC是等腰直角三箱形，B正确，ACD错误.

故选：B

练习20.(2023春•山东淄博•高三山东省淄博实验中学校考期中)已知向量2=(1,2),

=(3,-2).

⑴求|12年

⑵已知/卜而，且(2办2)小，求向量2与向量2的夹角.

【答案】(1)对；

-3冗

⑵彳.

【分析】(1)利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.

(2)由向量的模，结合向最的数量积运算律转化求出向量的数最积，再求出夹角作答.

【详解】(1)向量2=(1,2),5=(3,-2),则2-涕=(1,2)-2(3,-2)=(-5,6),

所以|2-%|=J(-5>+62=而•

(2)由口=4^,(2a+c)_Lc,得(2弓+2)・2=273+2~=2^."+10=0,解得，•々=一5,

由1（1,2）,得|正后于是c。=靛=舄冬

而〈痴〉引。.则有〈即〉弓

所以向量2与向量工的夹角子.

题型五向量的模

例9.（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量心另满

足12万一叶=2忖，则血.5=.

【答案】y/0.25

4

【分析】将|2。-目=2忖两边平方，根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为小5为单位向量且满足忸叫=2忖|,

所以（2万一B）2=47，即方2_4向方+于=4户，

,2I

即4同~一44/+忖=41^|,解得小〃=一.

故答案为：Y

4

例10.（2023・重庆・统考模拟预测）已知向量海满足1、1=1,防1=2,£+石=（2>/11）,则|35+引=

（）

A.272B.V15C.3石D.5

【答案】D

【分析】根据模长的坐标运算可得归+4=3,分析可得£/同向，进而可求结果.

【详解】因为4+4=枢可77=3,即卜+4=忖+阵

则2万同向,所以|3〃+〃|=3"+|卜5.

故选：D.

举一反三

练习21.（2023春・山东淄博・高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量2/满足

\a\=2\b\=\a+3b\,则26夹角的余弦值为.

3

【答案】-4/-O.75

4

【分析】利用给定等式，结合数最积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算

作答.

【详解】由|a|=2|〃|,|a|=|a+3〃|,得苏=(2+3历2=/+6£B+9万，则“力=一52:

3々

因飞.

所以2力夹角的余弦值为一；.

4

3

故答案为：-工

4

练习22.(2023•湖北•统考模拟预测)已知向量4=(-1,-2)出=(小,2),若|/+4|=|万-25|,

则*.

【答案】26

【分析】由|4+2加■万-2/；|得①5=0,根据向成数承:枳的坐标运算求得机的值，进而求得

14

【详解】根据题意，因为|"2"=|是一涕所以|乞+2必=国-20，

所以(1+涕)2=("-25)2,所以(2+45出+4后=a2-4ab+4b2^

所以4力=0、db=(-l,-2)(/zz,2)=-/n-4=0,.\ni=-4,

此时6=(-4,2),则W=122+(—4)2=回=26.

故答案为：2石.

练习23.(2023・北京・人大附中校考三模)已知向量3=(1,2»=(3孙2与2+五共线，则*司

=()

A.6B.20C.2x/5D.5

【答案】C

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知,a+b=(4,2+x)

又Z//Q+5),所以1X(2+%)=2x4,所以％=6,

所以1=(3,6),所以。一坂=(一2,-4),

所以|£一1|二1(一23+(-4)2=2后.

故选：C

练习24.(2023・全国•高三专题练习)已知向量流、后是非零向量，八%R,则斗同=|司”

是“卜谕+〃川一|〃而+丸”|=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

［分析］根据|痴+加|一|际+训=0得|加+〃司=”而+同，两边平方化简即可得即万=/

或眄卜同,由此即可判断•

【详解】若门访+〃川一|〃加+M=（）,则\Zrh+〃川=\f.ini+训，

两边平方可得久2年?F+〃?MI2+24〃•玩•万="2\mI2+22|nf+24/•访•万，

222

即A\mI+p\引2=〃2惘/+%2忖|2,即/_u2婀『=（丸-J，

即分=〃2或同=同，

故“阿二同”是“以用+〃用一〃谕+M=0”的充分不必要条件.

故选：A.

练习25.（2（）23•安徽•校联考模拟预测）已知向量＜；=（曰］邛卜2,悔-4="，a-b=

;分在Z上的投影向量的坐标为.

rz乌

4

L

\

【分析】由条件结合向量为模的坐标表示求“，根据向量的模弓数量积的关系由条件

|23-4="求7B，再由投影向量的定义求力在Z上的投影向量的坐标.

【详解】因为

由忸-1=#可得恢-目=6,

所以4（°）一4aB+伍）=6,即4.4%•石+4=6

--1

所以〃山=5,

aba1-

所以五在£上的投影向量为下厂闩=不。

HH2

故另在3上的投影向量的坐标为

故答案为：g;

题型六数量积的最值、范围问题（基底法）

例11.（2023・全国•高三专题练习）如图，在△ABC中，AB=BC,?B90?,AC=4五，

。为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点。旋转得到线段E厂.设M为线段人B上

【分析】根据题意，ME-MD^DE^砺5-四方十诉，利用向量的数量积运算即可求解.

由于△A8C为等腰直角三足形，M为线段A8上的点，

所以3C=ACsin¥=4

4

因此MON,BC=2,

2

所以雁•标24-8=-4，即M巨WF；的最小值为~4.

故答案为：-4.

例12.（2023春•辽宁朝阳•高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，CA=2,A8=3,

N8AC=与，。为8c的三等分点（靠近。点）.

B

\

V------

⑴求ADBC的值;

⑵若点。满足岳=4画，求丽.定的最小值，并求此时的人

【答案】（呜

49

⑵一

16

【分析】⑴将而•前化为福和女表示，利用而和就的长度和夹角计算可得结果；

（2）用A月、前表示丽.定，求出丽.定关于义的函数解析式，根据二次函数知识可求

出结果.

__1_1___

【详解】（I）因为。为8C的三等分点（靠近C点），所以CQ=gCB=§（4B-AC）,

所以AZ5=AC+CZ5=4C+-A£i——AC=-AB+-AC,

3333

i_2__1_2-1

所以而•配=（§血+§配）•（蔗-硒=_§1砌、字研--ABAC

।八2,1cr2n2

=一一x9+—x4——x3x2xcos—=—.

33333

（2）因为行=4a，所以75c=2而，

因为丽=卮+函=定+而-/=而+（4-1）/，

所以丽•定=[而+（2—1）/[4记=义丹从4＜？+〃/1一1）|43|2

=AH«|MC|cos—+2（A-I）|4C|2

3

7,49

=-3A+42（A—1）=4A2-7Z=4（2—）----,

816

所以当4=:7时，而.定取得最小值-三49.

816

举一反三

练习26.（2023春・天津和平•高三天津一中校考阶段练E）已知平行四边形A8CO的面积为

9石，ZBAD=—£为线段8C的中点.若/为线段DE上的一点，且A/=/IA8+ZA。，

3t6

贝|"=，府I的最小值为.

【答案】I亚

UlUUUU

【分析】由平行四边形ABCO的面积为9石，可得ABAD=18,由已知得

___511

AF=AAE+(^-^)ADt然后根据区£。三点共线即可得2=：,从而得出

623

2

通」而+*而,得研系网+信网|-5,然后利用基本不等式即可求出|同的

36

最小值.

【详解】因为平行四边形A8CO的面枳为96,

叫11皿22乃万_iaD||Uuii

所以>4/?||/Wsin—=9石，得A,AO=I8,

3

一1一

=A8+—AO,

2

所以—4尸=/lA—B+/5A—O=/l(—A8+1-A—O)+(5/—I—A)—AD=A—AE+(5-一1一2—)40,

626262

因为三点共线，所以人出，得忖

所以标」而+2行,

36

所以网2=#」相+||而2+斗研碑os等

当且仅当=小码，即|=总码=36时取等号，

所以府|的最小侑为6

故答案为：；，逐.

练习27.(2023・全国•高三专题练习)如图，圆"为AABC的外接圆，A8=5,AC=7,N

为边8c的中点，则而•而7=.

A

B

【分析】由三角形中线性质可知初=g（A月+4?），再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交

点可知|Hi?|cosNZMM=:同，同理可得|丽巾osNCAM=^AC,再由数量积运算即可得

解.

【详解】N是4c中点，

/.AN=^AB+A（jy

为“WC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

AM-AB=\AM\ICOS^BAM=g|祠?=lx52=-y,

同理可得==y,

.•.丽丽=丽，（丽+码」祝・通空+L竺=竺.

2、,2222222

故答案为：y.

练习28.（2023・天津津南•天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形A8CO中，

M为的中点，且AA=2,MC=MD=CD=l.若点N在线段C。（端点除外）上运动，

则雨・可§的取值范围是（）

【答案】A

【分析】连接MN,求出NM」的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.

【详解】连接MN,如图，点N在线段C。（端点除外）上运动，

因为例C=MO=CO=1,即△A/CD是正三角形，于是乎q/VMkl,而M为AB的中点,

目.1两=1,

所以9N力=（而+/VM）（两_MA）=NA/-MA=[,0）.

4

故选：A

【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助

向量数量积的计算公式求解是关键.

练习29.（2023春・全国•高三专题练习）已知直角梯形

ABCD,A=90。,AB//CD,AD=DC=gA6=1,尸是5（7边上的一点，则刖.用的取值范围为

C.[-2,2]D.[-2,0]

【答案】D

【分析】法一：设丽=2品（0W/IW1）,把而与定表示为血与阮的线性美系，把而•卮

表示成关于义的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出

/的范围

【详解】法•：因为P在BCI-.,不妨设丽=%前，

则定=（1一团定（其中0W/IW1）

所以A户尸e=(A6+8户)

=ABPC+5PPC=(l-z)A5BC+ABCPC

=(\-^ABBC+ABC(\-A)BC

=(1-2)x2x41xcos135°+2(1-2)x(V2)2

=-2(1-A)+22(1-2)

=-222+42-2=-2(Z-l)-,

因为0W2WI,所以-2(/1-1)2£[-2,0]

法二：如图，以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立直角坐标系.

则A(0,0),5(2,0),0(0,1),C(1J),其中NA8C=45。，设点+2，

其中OW〃?V1,AP=(\+m,l-fn),PC=(-m,m)

・•・APPC=(1+m)+〃?(1-m)=-2m2

*：0<m<\

练习30.(2023♦全国•高一专题练习)在直角三角形ABC中，/B=90,P在线段AC上，

AB=y/i、BC=\,则|33户+A耳的最小值为.

【答案】巫曰坦

22

【分析】由题可知，CA=2,4c4=60。，设。户=4*,/1«0,1),则|3胡+司

=|3W+(4/1-1)=yj9BC2+(42-l)2C42+2-35^-(4/1-1)^4,将模长和数量积代入由二

次函数的性质求出最小值.

【详解】由题可知，CA=2,464=60。，设汴=2画,/1«0,1),

贝IJP印=(1一%)。；则4户=(4一1)以,所以

|3BP+AP|=|3BC+3CP+.AP|=|3BC+3AS+(A-1)CA|

=+(42-l)CA|=y/9BC2+(42-l)2CA2+2-3BC(4A-1)CA

2

=^9+(42-l)-4+2x3(U-l)-2xlx^-l^=764^-562+19•

当石焉时，|3丽+码的最小值为手.

故答案为：巫.

2

题型七数量积的最值、范围问题(坐标法)

例13.(2023春・天津武清•高三天津英华国际学校校考阶段练习)已知》8c中，八三，

AC=2,48=5,点尸为边AB上的动点，则方•无的最小值为.

【答案】-4

【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】

过C作6J.A4,垂足为O,以。为原点，直线08，DC分别为x轴，¥轴，建立平面直

角坐标系，如图，

在RtZXAC力中，C。=ACsin四=,/\D=>4C-cos—=2x-=l,

3232

AA(-hO),8(4,0),C(0,73),

由题意，设P(x,O),XG[-1,4],则闻=(4—X,0),PC=(-X,^),

PBPC=-X(4-X)+0XV3=X2-4A=(X-2)2-4,

・••当x=2时，闻.定的最小值为-4.

故答案为：-4.

例14.(2023•天津滨海新•统考三模)在平面四边形A5CD中，AB=26>40=6,向量A月

在向量而上的投影向量为;人方，则N84O=：若=点E为线段B。上

的动点，则CE.荏的最小值为.

【答案】

0

【分析】作出向量；4月在向量拓上的投影向量，在直角三角形中求出N84O;以点A为坐

标原点，而为1轴建立宜角坐标系，利用坐标法求出在.南的最小值.

【详解】过点8作8M垂宜人£>F点M,则向量而■为向量而在向量上的投影向量，

由题意知点M为线段40的中点，所以|AM|=：M0=6,

所以COS/B4O=A"=」产=走，又/8仍为锐角，故/84。=?.

AB2026

以点A为坐标原点，而为x轴建系如图，则40。，。(6,0),8(3,6).

因为反”:45,所以C(5,e).

因为点七为线段3D上的动点，所以设说=义。月=〃一3,J5),4c。1]故点£(6-3尢61).

CEME=(6-32,732)-(1-32,V32-A/3)=(6-32)(1-32)+x/3/l-(>/32->/3)

=12A2-242+6,

当2=1时，荏取到最小值-6.

故答案为：-；-6.

6

举一反三

练习31.（2023・上海•高三专题练习）如图.在直角梯形ABCQ

中.AD//BC,N/V?C=90。，AD=ZBC=I,点P是腰A8上的动点，贝人2定+所|的最

【答案】4

【分析】建立平面直角坐标系，设旗=”，求得相关点坐标，求出|2定+而|的表达式，结

合一次函数的性质即可求得答案.

【详解】由在直角梯形AEC。中.AD//BC,NA4c=90。，AO=2,BC=1,

则ND48=90。，则以A为原点，4?）。为乂,，轴建立平面直角坐标系，

设"=“，设?«0),则以&0),。(“1),。(0,2),

S[PC=(a-x,l),PD=(-X,2),

所以2PC+P方=(2〃-384),故12RC+而|=J(2a-3x)：+16N4,

当且仅当2〃-3x=0即x=%时取得等号，

即12次+而|的最小值为4,

故答案为：4

练习32.（2023春•安徽马鞍山•高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形A8CD中，AB=\,

AD=2,动点尸在以点A为圆心的单位圆上.若存=4而+〃而（4〃eR）,则4+〃的最

大值为（）

A.3B.逐C.或D.2

2

【答案】C

【分析】构建直角坐标系,令A户=（cos6、sine）,。口0,2m,根据向量线性关系的坐标表示列

cos。=2〃

方程组得1.口］，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.

sinO=A

【详解】构建如下直角坐标系:丽=（0,1）,而=（2,0）,令Q=（cos8,sin6）,，团0,2乃），

由A户=4A8+〃AZ5(4〃eR)可得：

等=生优+。）且1

则％+〃=sin6+tan</>=—,

所以当si®加曲的最大值为争

故选：C

练习33.（2023春•全国•高三专题练习）如图所示，梯形A8C。中，AB//CD,且

A8=2AP=2C£>=2CB=2,点P在线段8c上运动，若行=入须+），而，则产+产的最

小值为（）

DC

P

AB

5c13

A.-B7D.—

4-?4

【答案】B

2--2=2x+—y

《邛：进而可得

【分析】利用坐标法，设丽=2布,（0工/1*1）,可彳卜

+/j+万，然后利用一次函数的性质即得。

【详解】如图建立平面直角坐标系,

设丽=%元（OW4«l）.8「=N8C=/l1—g.母

22

一一___（1石）’

X/4P=xAB+yAD=x（2,0）+-,-y=…f制.

cLr1

2—A=2x+—y

22