高考数学一轮复习题型突破：指数与指数函数（解析版）

专题3.5指数与指数函数

三（题型目录

题型一指数幕的运算

题型二指数函数的概念

题型三指数函数的图象问题

题型四指数型函数过定点问题

题型五指数函数的定义域和值域问题

题型六利用指数的单调性解不等式或比较大小

题型七由指数函数的单调性求参数

题型八指数函数的最值问题

题型九指数函数的实际应用

才典例集练

题型一指数幕的运算

例L化简俄（右）'肮序

【答案】/

【分析】根据指数塞的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据指数哥的运算法则，可得：

Z

例2.（2022秋•高一课时练习）计算：

（1）,2°-8"隈啦+27、（£|2；

⑵已知：/+#=3,求的直

〃十“oa"'++"a丁-；2

【答案】（1）4

（2）?

【分析】（1）利用指数基的运算性质可求得所求代数式的值；

（2）在等式/+/_3两边平方可得出〃+，尸•再利用平方关系可求得〃+＜产，代入计算

ClICl-D

可得出，：的值.

cr+a~~-2

【详解】（1）解：原式=1_2：X2L（33）:-

-22=1-2+9-4=4•

/।1\2

（2）解：因为/+/=3,则|/+”=二+2=9,所以，4+1=7,

所以，（4+（尸）=a2+a2+2=49»可得，a2+a~2=47，

因此，」+〃：+2=*」

cr+a2-247-25

举一反三

2

练习1.（2022秋•高一课时练习）V2°-（l-一OS?）的值为（）

1

A.——B5

3

D.2

3

【答案】D

【分析】根据指数幕的运算性质求解即可.

22

【详解】解：V2°-（l-0.5-2）4-fyY=1-

ujJ|_UJ_

二1一（1-4）+良=l-（-3）x^=^

故选：D.

/_Lyiv।y।yi

练习2.（2022秋•高三课时练习）化简1+：2-五1+216：1+281+251+2，的结果为

八八八）

（）

if.口

A

B.21）

C.1+24）

D-

【答案】B

【分析】利用平方差公式化简即可.

【详解】卜+2一盯1+25丫1+2f+2二

=1-2-五1+2、1+2市1+2-1+2-；1+2」+1-2-我

视刊

故选：B

练习3.(2022秋•高三课时练习)化简求值:

⑴/㈤*7、°’+。门/21同c、一37

-3兀)+跖

⑵8、。歹+(£|'制,

r答案】⑴io。

(2)4

【分析】根据指数寻运算性质运算求解即司;

【详解】⑴解：(2，『+0.L+(23『-3d+意

k9j(2748

=-+100+

3

对于B,2团一1>0且2//7-1/1,故符合.

故选：BC

例4.（2021秋•高三课时练习）如果指数函数“X）的图象经过点孝）那么“4）的值

为.

【答案】1/0.5

【分析】利用待定系数法求出基函数/（X）的解析式，再计算了（4）的值.

【详解】设累函数〃工）二/，己知图象过点（2,4），

所以2。=走，解得二=一！，

22

所以=—.

所以/（4）=4弓=1.

故答案为：；.

举一反三

练习6.（2022秋福三课时练习）若扬+（。-2）°有意义，则。的取值范围是（）

A.tz>0B.。=2

C.D.a20且2

【答案】D

【分析】根据根式、指数哥的性质列不等式组求参数范围即可.

«>0>0

【详解】由题设知：.八，可得｛

4一2w0［。工2

故选：D

练习7.（2022秋•高三课时练习）（多选）下列函数中，是指数函数的为（）

A.y=0.75lB.），=（-0.75）'

c."D.），=©

【答案】AD

【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项.

【详解】形如），="">（）且。声1）形式的为指数函数，以卜.满足的条件的为AD.

故选：AD.

练习8.（2023秋•云南大理•高三统考期末）（多选）已知函数=（〃＞（）且。工1）的

图象过点（2,4）,（4,2）,则（）

A.a=＞/2B.a=2C.k=3D.k=6

【答案】AD

【分析】将点（2,4）,（4,2）,代入/（%）=〃J求得的值.

【详解】由已知得［：两式相比得"=2,所以a=0，

a=2

由。"2=4得（a）'2=4=（孤）“，所以k=6,

故选：AD.

练习9.（2022秋•高一课时练习）若函数/（x）=（"+2a-2）（々+4）、为指数函数，则（）

A.a=1a=-3B.a＞0且

C.a=\D.a=-3

【答案】C

【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.

【详解】因为函数/（%）=（『+勿-2）（a+4）、为指数函数,

则一+2。-2-1,且4+4工1,解得4=1,

。+4＞0

故选：C

练习10.（2022秋・浙江温州,高三校考期中）（多选）若指数函数“X）经过点（-L2）,则下

列结论正确的是（）

A./（0.1）＜/（0.3）B./（0.1）＞/（0.3）

C./（-0.1）＞/（-0.3）D."1）”"+2/〃+2）

【答案】BD

【分析】根据指数函数的定义，代入已知点，求得函数解析式，明确函数单调性，逐项验证

可得答案.

【详解】由题意，设/（小屋，则〃一1）力=2,解得〃=g,即小）=（界易知f（x）

在R上单调递减，

对于A、B,由0.1＜0.3,则〃01）＞/（0.3）,故A错误，B正确；

对于C,由-0.1＞-0.3,则/（-0.1）＜/（-0.3）,故C错误；

对于D,由＞+2〃?+2=（〃?+1）2+1之1,则“1）2/（＞+2而+2）,故D正确.

故选：BD.

题型三指数函数的图象问题

例5.（2022秋•内蒙古兴安盟•高三乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（多选）若函数

/'。）二相且awl）的图像经过第一、二、三象限，则（）

A.0<«,7<1B.0<b（,<\C.ah>1D.ba>\

【答案】BC

【分析】根据函数/且。工1）的图像经过第一、二、三象限，判断a，b的

范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】解：因为函数解幻=炉-力。>0且的图像经过第一、二、三象限,

所以a>l,/（0）=l-/?e（0,l）=>0<Z?<l,

所以），="是增函数，y="是减函数，

故选：BC.

例6.（2021秋•高三课时练习）函数（。>0,。工1）的图象可能是（）

【答案】C

【分析】结合指数函数的性质，分和0<〃<1两种情况求解即可.

【详解】当〃>1时，ge（0,l）,因此0v/（0）=l-,〈I,且函数，-_L在R上单调

递增，故A、B均不符合；

当0<a<l时，->1,因此"0）=1—：<0,且函数〃力=炉一3在R上单调递减，故C

符合，D不符合.

故选：C.

举一反三

练习11.(2022秋・河南商丘•高三校联考阶段练习)已知函数/*)=甲-1|,若存在再

且内〈与，满足/(%)=/(9)，则X+七的取值范围是()

A.(T»,-1)B.(T»,0)C.(0,+00)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】画出函数=的图象，结合/(%)=/(%),得到4“+4±=2,再利用基本

不等式求得42期＜1，即可求解•.

【详解】如图所示，画出函数=的图象，

结合图象和题意，可得内＜0＜/，所以/(xj=l-4\/伍)二举一1,

由/(xJ=/(%),即1一平=4"一1，可得4"+4版=2，

由基本不等式可得2=48+人＞2,4"=2\/4'产出，

所以纳+必＜],所以玉+王＜。.

故选：B.

x

-2-liOx2i2”

练习12.(2022秋•高三单元测试)函数①y=优；②产八③产小④y=d'的图象如

图所示，a,b,c,d分别是下列四个数：后,；中的一个，则。，仇c,d的值分

432

别是()

【答案】c

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数H勺大小关系.

【详解】由题图，直线x=l与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而

/r511

423

故选：C.

练习13.（2023秋•河南安阳•高三统考期末）已知函数/。）="是指数函数，函数

【分析】根据指数函数和二次函数的性质，判断图像的形状.

【详解】当々>1时，y=/为增函数，g（x）=x2—2or的图像的对称轴为直线x=a（〃>l）,

A选项错误，C选项正确;

当Ovavl时，），="为减函数，gaxV—Zax的图像的对称轴为直线x=a（0<〃<l）,B

选项错误，D选项错误.

故选：C

xa"

练习14.（2023秋•湖南娄底•高三校联考期末）（多选）函数>=由（«>0）的图象的大致形

状是（）

【分析】化简得），=r：>°八，分〃>1、分别讨论），="和丁=-/的单调性及取

一优,,1<0

值范围，即可得答案.

【详解】解：因为尸'：>°八，

国［-«,x<0

当4>1时，），="在（0,+⑹上单调递增，且当“趋于+8时，丁趋于+00；

y=在（-*0）上单调递减，当X趋于70时，y趋于。，故排除D；

当0<“<1时，y=能在（0.+OO）上单调递减，当X趋于+8时，y趋于0；），=-a'在（-00。上

单调递增，当X趋于YO归，>趋于-8,故排除C.

故选；AB.

练习15.（2022秋・上海徐汇・高一上海市第二中学校考期中）已知实数。满足等式3“=63

则下列关系式中不可能成立的是（）

A.a=bB.0<b<ci

C.a<h<0D.0<a<b

【答案】D

【分析】在同一坐标系内分别画出函数y=3"ny=6,的图象，结合图象即可判断.

【详解】由题意,在同一坐标系内分别画出函数y=3'和），:6'的图象，如图所示：

由图象知，当。=0=0时，3"=6〃=1,所以选项A正确；

作出直线)，=3当4>1时，若3“=6〃=攵，则0<〃</所以选项B正确；

当0<2vl时，若3。=6'=2,则。<力<0,所以选项C正确.

所以不可能成立的是D,

故选：D.

题型四指数型函数过定点问题

例7.(2023秋・吉林松原•高三松原市实验高级中学校考期末)函数/(力=3优-2+51/>0且

。工1)的图象恒过定点人点2又在弃函数g(x)的图象上，则g(-2)的值为.

【答案】-8

【分析】由已知可得尸(2,8),待定系数法设出g(x)=K，代入求出。=3,即可求出晨-2)

的值.

【详解】rhx2=0可得，*=2,所以2(2,8).

设g(x)=x。,由g(2)=8可得，2"=8,所以。=3,即有屋力=/，

所以g(_2)=(_2)3=-8.

故答案为：-8.

例8.(2020秋•广东梅州•高三校考期中)函数)，=qi+4(。>0,且awl)的图象过定点

P,则点P的坐标是()

A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)

【答案】A

【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得.

【详解】当x=l时，)，=/+4=5,

所以*1,5).

故选：A.

举一反三

练习16.(2022秋漓三课时练习)函数/")=。1+2(〃〉。且。制)的图象恒过定点()

A.(0,1)B.(0,3)C.(3,3)D.(4,1)

【答案】C

【分析】令指数为零，求出x的值，代入函数解析式可得出函数/")图象所过定点的坐标.

【详解】对于函数/㈤，则x-3=0,可得x=3,则/(3)=〃°+2=3,

所以，函数/(、)=优7+2(”0且〃工1)的图象恒过定点坐标为(3,3).

故选：C.

练习17.(2023秋・四川眉山•高三眉山市彭山区第一中学校考期末)已知哥函数y=/(x)的

图象经过点(2,8),则函数g(x)=0,«/1)的图象必经过定点.

【答案】(T』)

3

［分析］先设出y=/(x)=丁，代入点(2,8)可得/(幻=x,则可得到g(x)=，令2+1=。

即可得定点.

【详解】设丁=/(幻=/，则由已知〃2)=2。=8,得。=3,

/(x)=x\

.•.g(x)=/x，

令d+l=0,得产一1,

则g(-l)=a0=l

所以函数g。)=/加3>0,。/I)的图象必经过定点(-L1).

故答案为：(-U).

练习18.(2022秋.河北沧州.高三统考期中)已知函数〃x)="+〃(a>0且。工1),当〃任意

变化时，/("的图像恒过点(L1)，则实数.

【答案】-1

【分析】根据/(力的图像恒过点(1/)，由/⑴=小'=1求解.

【详解】解：因为/⑺的图像恒过点01)，

所以7(1)=""=1,

当。任意变化时，该式恒成立，

所以1+0=0,BP/?=-1.

故答案为：-1

练习19.(2022秋・内蒙古呼和浩特・高三铁路一中校考期中)已知函数/(司=“1-14>0,

O

且awl)的图象过定点(/孙，?、)，贝”(Q;YJ""=()

32827

A.-B.—,C.—D.—

23278

【答案】D

33

【分析】由指数函数过定点(0,1),可求得利=4,〃=?,即有〃皿=彳，再根据指数系的运算

o2

法则即可求得答案.

【详解】解：因为指数函数y=过定点(0,1),

所以,f(x)=ai—?(〃:>0,且的图象过定点(41)，

Oo

…3

所以/〃=4,〃=三，

8

3

所以n=-,

m2

所以借『/2『=[(2)2『=(33=".

⑷⑷228

故选：D

练习20.(2022秋・上海长宁•高三上海市延安中学校考期末)函数_y="7(4>0,〃Hl)的图像

恒过定点A,若点A的坐标满足方程〃次+2股-1=0,(〃7〃>0),则'的最小值__________

mn

【答案】3十2&

【分析】先判断出4(1,1),代入得到〃?+2〃=1,利用基本不等式“1”的妙用即可求得.

【详解】令l-x=0,解得：4=1.由〃°=1可得：函数)'=。1(〃>0,〃工1)的图像恒过定点

4。1).

因为点A的坐标满足方程〃戊+2/1V-1=0,(〃加>0),所以"?+2〃=1.

因为所以〃7>0,〃>0.

所以，+1=

mn

m+&+2

=1t4-—

nm

>3+2J—x—=3+2x/2

Vnm

=3+2/

m+2/7=1

(当且仅当《m_2n，即，2-&时等号成立)

n=---

nm2

所以的最小值为3+2&.

mn

故答案为：3+2返

题型五指数函数的定义域和值域问题

例9.(2021.全国•高一专题练习)定义区间［.5%］(%<£)的长度为超-X.已知函数丁=2忖

的定义域为［。力］，值域为［L2］,则区间卜目的长度的最大值与最小值的差为()

A.gB.iC.-D.2

22

【答案】B

【分析】作出函数在值域为U.2］上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由比可

得结论.

【详解】如图是函数)，=2国在值域为［1,2］上的图象.使函数)，=2凶的值域为［1,2］的定义

域区间中，氏度最小的区诃为卜1，。］或［0,1b

长度最大的区间为［-11］,从而由定义可知区间,,可的长度的最大值与最小值的差为

2-1=1.

故选：B

例10.(2022秋•高三单元测试)若定义运算=0则函数/(3'*3-')的值域是

()

A.(0,1］B.［1,-KO)C.(Q+8)D.(f+00)

【答案】A

【分析】根据函数定义写出在对应区间上的解析式，结合指数函数性质求值域.

【详解】若3，N3-',即xNO时/(3**3_)=3・］€。,11：

若3、<3一，即xv0时/(3V*3-X)=3*e(0,l)；

综上，“3,*3一，)值域为(。5.

故选：A

举一反三

练习21.(2023秋・河南许昌•高三校考期末)若函数y=2,在区间［2,可上的最大值比最小值

大4,贝lja=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果.

【详解】•・•），=2。在R上单调递增，・•・＞，=2,在［2,a］上单调递增，

・••当x=2时，＞取得最小值为4；当下〃时，），二2、取得最大值为，，

•••2"-4=4，解得；々=3.

故选：C.

练习22.（2022秋.高三课时练习）函数/（x）=347T+2区的定义域为.

【答案】［7,2］

【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.

【详解】由题意可得彳：；；；，解得：-1W2,所以函数的定义域为［T2］.

故答案为：［一1,2］.

练习23.（2023春•重庆永川.高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）（多选）己知函数

［、/+4x+3

（,则下列说法正确的是（）

A.定义域为RB.值域为（0,2］

C.在［-2,心）上单调递增D.在［-2,+8）上单调递减

【答案】ABD

【分析】根据指数函数的定义域与值域可判断AB；根据指数函数、二次函数及复合函数的

单调性可判断CD.

【详解】函数），=：,可得函数定义域为R,故A正确；

设1=Y+4x+3=（x+2）2-1e|-l,+oo）,y=匕,rG［-1,-KO）,

由指数困数的单调性得到，函数值域为（0,2］,故B正确；

/=丁+4x+3在［-2,+8）上是单调递增的，

而丁=（£］',“［-1,+e）在定义域内是单调递减的，

根据复合函数单调性法则，得到函数在J2,yo）上单调递减，

故C错误；D正确.

故选:ABD.

练习24.(2023秋・江苏镇江•高三统考期末)已知函数则/“)的值域为

2"I™1

;函数丁=/(力图象的对称中心为.

【答案】(0,2)(0,1)

【分析】将函数的解析式变形为〃力二2-合■,结合不等式的基本性质可求得/(x)的值

LI1

域；利用函数对称性的定义可求得函数/("的对称中心的坐标.

【详解】因为则0<Qvl，所以，/G)=—=2^2+1^~2=2--=-e(0,2)，

2+1八'2"+12'+12'+11'

所以，函数八力的值域为(0,2),

22*29

因为=E==则小)+/(T)=』=2,

因此,函数y=f(x)图象的对称中心为(0,1).

故答案为：(。,2)；(0,1).

练习25.(2023・全国•高三专题练习)函数)'=4-21的定义域为

【答案】(一叫一2]

【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.

【详解】由题：一21之。，即:之2‘T,即27之2i，

因为)，=2'为单调递增函数，所以—3NX—1,即2

故答案为：(-%-2]

题型六利用指数的单调性解不等式或比较大小

例11.(2022・海南•校联考模拟预测)不等式>2+e+x-f的解集为()

A.(—1,2)B.(70,-1)D(3,4*<O)

C.(fl)U(2,+oo)D.(y,T)U(2*)

【答案】D

【分析】构造函数/(x)=e'+x,将不等式转化为/，7-1)>川)，利用单调性可解.

【详解】构造函数/(力=。'+不，易知函数/(x)在R上为单调递增函数.

因为不等式©,-1>2+«+工一炉等价于。31+卜2-工一1|>©+1,

又/(l)=e+l,所以/(X2—4一］)>/⑴,

所以由函数/（A-）的单调性知x2-x-l>l，HPX2-X-2>0，

解得x<T或x>2,所以原不等式的解集为（-8,-1）U（2,W）.

故选：D

例12.（2021秋•高三课时练习）已知士>-，则口，力的大小关系为一（用连接）.

【答案】a<b

【分析】由图“呜了，得到（沪©,再利用函数吒J是R上的减函数求解.

【详解】解：因为（2丫丫，

又函数产是R上的减函数,

所以a<b.

故答案为：a<b

举一反三

练习26.（2023・全国•高三专题练习）设a=3°9,八9°$,c=f-V,则（）.

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【分析】将三个指数晶化成同底指数’曷，利用指数函数的单调性即可得解.

【详解】因为a/%8=严=（3?严=3,c=|Tp=（3-«=3；=3%

乂函数y=3'在R上单调递增，1>0.8>0.5,

所以3i>3°』>3°‘

所以/?>a><?,

故选：C

练习27.（2022秋•高三单元测试）（多选）下列结论正确的是（）

A.对于工£&恒有3，>2"

B.），=（&/是减函数

C.对a>1,xeR,一定有a*>「

D.y=2国是偶函数

【答案】BD

【分析】通过反练习可说明AC错误；根据指数函数单调性和奇偶性定义可得到BD正确.

【详解】对于A,当xvO时，2、>3V，A错误；

对于

B,y=(<1=闵怜为R上的减函数，B正确;

对于C,当户0,，=「=1,C错误；

对于D,•.•)=2N的定义域为R.2T=2也.,・y=2W是偶函数，D正确.

故选：BD.

练习28.(2023秋•江苏无锡•高三统考期末)不等式4、-2、-2K0的解集是________.

【答案】(f』

【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.

【详解】令f=2、>0,则可得--/-2-0/=2v?(0,2],

由指数函数单调性可得A€(-co,l],

故答案为：(-00」].

练习29.(2023・河南•校联考模拟预测)已知集合例={123,4,5,6,7},7=网万]<5卜

则McN=()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,43,4}D.{123,4,5}

【答案】C

【分析】根据指数函数单调性求集合N,再结合集合的交集运算求解.

【详解】由<5,则0<2'-1<25，

得1«2]<26,|^f<0<x<log226,g|J?/={x|0<x<log226},

故McN={l,2,3,4}.

故选：C.

练习30.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)设全集U=R,A=v"W；卜

4={力=1脸(-/+34-2)},则下列说法正确的是()

A.A(\B=AB.BcA

C.EA)U8=UD.(dt,.B)nA=0

【答案】B

【分析】由指数函数单调性解不等式，得到A={x|lWx<2},由其数大于。得到

8={x|lvxv2},再对四个选项一一判断正误.

【详解】因为!所以3K3、<9,解得1J<2,A={^\<x<2},

由对数函数真数大于0可得—V+3x—2>0,解得l<x<2,故8={x[l<x<2},

AB选项，An8=8,BQA,A错误，B正确；

C选项，品4={小<1或户2},（品A）UB=（-aU）U（l,y），U,C错误；

D选项，0/={小G或x22},故3a）04={1}，D错误.

故选：B

题型七由指数函数的单调性求参数

例13.（2023•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测）已知〃:方程Y—4x+44=0有实根；/

函数/（幻=（2-4为增函数，则〃是q的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】化简命题PM，根据集合的包含关系可判断.

【详解】方程/一4工+4。=0有实根，故A=16-之0,

二.ae（^o,l]

函数f（x）=（2-a『为增函数,故2-々>1,

.,“€（-00,1）

•••（一双1）真包含于（Y,l],

.・・〃是，/的必要不充分条件.

故选：B

例14.（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第十七中学校联考期末）已知函数

/（x）=l"V°c八，满足对任意x产W，都有/㈤一/5）>0成立,则“的取值范

（〃一2）x+3〃,x>0Xj-x2

围是（）

A.tze（O,l）B.r/e（2,+x）C.D.aw',2）

【答案】B

【分析】根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可.

【详解】不妨设%>々，力"*）一"/）>。=/（芭）一/（7）>。=/（入）>/（王），

用一三

因此该函数是实数集上的增函数，

a>\

于是有《〃一2〉0=。>2,

。。4（4-2）0+3。

故选：B

举一反三

练习31.（2023春•安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考开学考试）函数y=2f在区间伏-1」:+2）

内不单调，则人的取值范围是.

【答案】（-1,2）

【分析】确定函数y="T的单调性，因此区间依-1次+2）不在函数的单调区间内即可得.

【详解】），=2"是增函数，〃=k-1|在（-co/）上递减，在上递增，

所以），=戮T在（一*1）上单调递减，在（1,收）上单调递增，

因此由题意攵一1<1<攵+2,解得一1<女<2.

故答案为：（-1，2）.

练习32.（2022秋・河南南阳•高三校联考阶段练习）已知指数函数〃x）=（%-1尸，若%>0时,

总有/（另>1，则实数〃的取值范围是.

【答案】（1，住）

【分析】由条件，结合指数函数的单调性列不等式可求”的取值范围.

【详解】・.・X>0时,/（A）>l

所以指数函数〃力=（加-》的底数大于1,因此2a-l>「.a>L

故〃的取值范围是（I,e），

故答案为：（1,位）.

练习33.（2022秋•高三课时练习）指数函数），=（2-a）'在其定义域内是减函数，则实数。的

取值范围是.

【答案】（1,2）

【分析】根据指数函数的性质和题意可得：0<2-avl,解之即可求解.

【详解】因为指数函数y=（2-在其定义域内是减函数，

所以0v2-avl,解之可得：\<a<2.

则实数〃的取值范围是（L2）,

故答案为：（1.2）.

练习34.（2022秋•江苏常卅高三校联考阶段练习）已知函数/（x）=『-（"令'〃,。且

，3、

在区间一〒2上单调递减，则实数〃的取值范围是.

4

【答案】。〈.或

【分析】先明确/（力=/々令+匕〉。且“］）可看作由函数丫=〃,〃=--3_少+咳合

而成，分类讨论和根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范

围.

【详解】由题意可知/（司=>o且。h1）可看作由函数）,=〃J〃=/一（〃一2）v+）

复合而成，

当时，），=M为R上的增函数，

若函数/（"=5*-2"3>0且在区间（一［,2）上单调递减，

需满足〃=/一（〃-2八+1在卜1,2）上单调递减，即一22,.■々26；

当0<a<l时,y=a"为R上的递减函数,

若函数/（"=/《如+匕>0日〃工］）在区间卜（2）上单调递减，

，3、n-9444

需满足〃=丁-（〃-2）X+1在一：,2上单调递增，即一4―；，•./=，则0<。力，

4

故实数a的取值范围是0〈aWg或“26.

4

故答案为：0vaW《或。26.

练习35.（2022秋・吉林长春•高三校考期中）若函数/（x）h为R上的增函

数，则实数〃的取值范围是（）

A.（1,4）B.（1,2］C.（0,1）D.［2,4）

【答案】B

【分析】利用分段函数分段处理的原则，结合一次函数与指数函数单调性的特点即可求解.

【详解】因为函数/（x）为R上的增函数，

a>1

所以U-a〉。,解得1CXW2,

4。+12（4-小0+〃

所以实数。的取值范围为0,2].

故选：B.

题型八指数函数的最值问题

例15.（2023・高三课时练习）已知函数y=在上的最小值是小，最大值是〃，

求，〃+〃的值.

【答案】12

【分析】根据指数函数的单调性求出最值，再相加即可得解.

【详解】因为函数y=在[-2,7]上单调递减函数，

所以最小值〃?=?丫=3,最大值〃=仕丫=9,

月『以〃?+〃=3+9=12.

例16.（2022秋.河南.高三安阳一中校联考阶段练习）若玉*2,。],&0,则

实数。的取值范围为（）

A.（-℃,8]B.[8,+co）C.（-<oJ]D.[!,+<»）

【答案】D

【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可.

【详解】因为玉•w[—2,0],2x—。40，

所以a2（g）-2A-,A-e[-2,01,

I/min

显然），=（；）-2x在xw[-2,0]上单调递减，

所以。之--2x0=1,即实数a的取值范围为U,”）.

故选：D

举一反三

练习36.（2020秋・河北石家庄•高三石家庄市第十九中学校考期中）当工«0,+oo）时，函数

/（A）=9、+3*的值域为.

【答案】⑵止）

【解析】令/=3"/«0,包），贝卜之|,得到，"）=。+32-；,结合二次函数的性质，即可

求解.

【详解】由题意，当xe［0,+o。）时，函数f（x）=9'+3i=（3'）2+3',

令l=3",xe［0,y）,则f21,此时/"）二/+f=«+g）2-；,

当"1时，即工=0时，函数取得最小值，最小值为/。）=2,

所以函数/（力的值域为口位）.

故答案为：Z+8）.

练习37.（2022春•海南省直辖县级单位•高三海南二中校考开学考试）若指数函数y=在

低2］上的最大值和最小值的和是6,则。=（）

A.2或3B.-3C.2D.3

【答案】C

【分析】根据丁=6,为指数函数即可解得力=i及口的范围，由r指数函数为单调函数，其最

值在端点处取得，列出等式即可得出结果.

【详解】解:由题知），=〃"=力"为指数函数，

故〃=1.4>0且

即y=在［1,2］上的最大值和最小值的和是6,

由于指数函数为单调函数.

故“X）最值在端点处取得.

即/⑴+〃2）=々+/=6,

解得:a=2或〃=-3（舍）,

综上:a=2.

故选:C

练习38.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考期中）指数函数），=（〃-1）,在区间［02上

的最大值为4,则实数a的值是.

【答案】3

【分析】确定〃的取值范围，再分类求出最大值作答.

【详解】指数函数y=中，。-1>0且a-lwl,即。>1且

当|<〃<2时，函数y=（。-1-在［0,2］上单调递减,当』=0时,凹皿=1，不符合题意,

当。>2时，函数丁=3-1）“在［。2上单调递增，当x=2时，丫皿=（。一11=4,解得a=3,

所以实数。的值是3.

故答案为：3.

练习39.（2022秋・福建泉州•高三石狮市石光中学校考期中）（多选）当xe[-2,2]时，有,<2,

且awl）,则实数〃的取值范围可以是（）

A.（lV2）B.[O,引C.吩1）D.[苧+8

【答案】AC

【分析】分a>l和0<。<1两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】解析：人e[-2,2]时，优<2（。>0,且々工1）.

若a>1,y=ax是增函数.

则有/<2,可得〃<血，故有

若0<a<1,y是减函数，

则有/<2,可得心变，故有也<〃<1,

22

综上所述，实数。的取值范围是（1，无）2（*,|）.

故选：AC.

练习40.（2022秋・上海嘉定•高三校考期中）已知不等式4「〃.2、2>0对于X€（YO,0]恒

成立，则实数〃的取值范围是

【答案】（-3）

2O

【分析】设2'=/，飞（0』，则题目转化为：在飞（0』恒成立，求：的最

小值即可.

【详解】设2'=/,因为KG（YO,0].则，40』，

不等式4，-4・2、+2>0对于工€（口,0]恒成立，

等价于/_3+2>0,即。</+：在恒成立，

22

设〃/）=/+7,，«0,1],令t=-，t=&（负舍），

则根据对勾函数的性质可知：

/⑺在上为单调减函数，则

所以av3,故实数4的取值范围是（YO,3）,

故答案为：（f，3）.

题型九指数函数的实际应用

例17.（2022•河南郑州•郑州外国语学校校联考模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果

物体原来的温度是夕C,空气的温度是那么fmin后物体的温度。（单位：。C）可由

公式0=，+（4-％）。一后求得，其中2是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现

有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39C.要使物体的温度

变为21℃,还要经过__________分钟.

【答案】120

【分析】先把现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39c代

入公式。=4+（4-4）片。再列出此物体的温度变为2FC时的关系式，联立二式组成方程

组，解之即可求得要使物体的温度变为21℃,还要经过的时间.

【详解】•・•现有63℃的物体，放在15c的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39C,

/.15+（63-15）e^=39,即①，

要使物体的温度变为21C,则15+48"“=21,即②，

a-6041

e=—

联立①②，।，解得，=180,

故还要经过180-60=120分钟.

故答案为：120.

例18.（2021秋•高三课时练习）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（）

1I।

A.——B.2573。C.（-）5730D."西

5730214

【答案】C

【分析】令碳14的年衰变率为〃?，原有量为1,根据定义知〃产3°=g,利用指数运算性质

求衰变率即可.

【详解】设碳14的年衰变率为〃?，原有量为1,则/滔却=：,故机=d）/，

22

所以碳14的年衰变率为（；）焉.

故选：C

举一反三

练习41.（2023・全国•高三专题练习）已知放射性元索氢的半衰期是3.83天，问:

（1）经过7.66天以后，氨元素会全部消