高一数学单元复习（人教A版必修第一册）基本不等式全题型与技巧归纳（11大重点题型）含解析

专题01基本不等式全题型与技巧归纳

目录

A题型建模・专项突破..............................................................1

题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析........................................................1

题型二、直接法求最值............................................................................2

题型三、拼凑法求最值（常考点）.................................................................2

题型四、常数代换法求最值（重点）...............................................................3

题型五、二次（一次）的商式求最值...............................................................4

题型六、消元法求最值............................................................................4

题型七、换元法求最值............................................................................5

题型八、双换元法求最值.........................................................................5

题型九、利用基本不等式证明（难点）.............................................................5

题型十、实际问题中的基本不等式.................................................................6

题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题........................................................8

B综合攻坚・能力跃升..............................................................8

题型建模•专项突破

题型一、基本不等式，，一正二定三相等，，辨析

I.（24-25高一上•江苏淮安・月考）如果加>0,那么当阳+电取得最小值时〃?的值为（）

m

A.-4B.4C.8D.16

2.（24-25高一上.全国•课后作业）下列结论正确的是（）

4r~1

A.若xwR,且xwO,则一+x24B.当x>0时，>Jx+-=>2

x7x

C.当K22时，x的最小值为2D.当0<xW2时，x--^-2

XX

3.（24-25高一下•云南保山・期末）“二十上22”是“x>0,），>0,”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（23-24高一上•湖北•月考）下列函数中，最小值为2的是（）

A.>=-+-+1B.），=J—+4+」—

4xJjr+4

4______

C.y=x+--------2,（x>l）D.y=12-x+Jl+x

x-\

5.（23-24高一上•福建泉州•月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大值的是（）

A.x-\B.x2+1+—；—C.

2xx~+1

6.（多选题）下列各式中，最小值为2的是（

A.xH—B.

x

C.4X+-^=-2D.

题型二、直接法求最值

1.（24-25高一上•陕西汉中・期末）若a>0,b>0,且。+沙=3,则（）

,「33

A.ab有最小值为3B.而有最大值为:

・

99

C.必有最小值为二D.而有最大值为二

4

2.（25-26高一上.全国.单元测试）y=x-l+-1（x>l）的最小值为（）

X—1

A.1B.2C.4D.5

3.（24-25高一上•全国•随堂练习）已知>0且他=2,则3+DS+高的最小值为（

A.4B.6C.2夜D.8

4.（25-26高一上•全国・单元测试）若1<戈<4,则（6-耳（4+2）的最大值为.

5.（24-25高一上•浙江•开学考试）已知若"=1,则/+〃的最小值是

6.（24-25高一上.河南郑州•期末）已知。>0⑦>0,且3a+7b=10.则他的最大值为一

题型三、拼凑法求最值（常考点）

2

1.（24-25高一下•广东汕头・期末）己知x>l,x+—；的最小值为（）

x-]

A.3B.4C.2V2+ID.5

2.（24-25高一上•云南昭通・期末）已知0<x<g,则函数y=幻的最大值为（）

3.（24-25高一上•内蒙古兴安盟•月考）已知。>0/>0,。+幼=4,则"的最大值是（）

\_

A.4B.\C.2D.

2

则4x+_1的最大值为（）

4.已知X<-1,

x+1

A.-4B.0C.4D.-8

4

5.（24-25高一上•重庆长寿•期末）已知x>l,则2—3x——-的最大值是（）

x-\

A.-473+1B.-4x/3-l

C.-l-2x/3D.1-2x/3

6.已知一3cx<0,则y=的最小值为（）

93

A.彳B.-C.一D.不存在

22

题型四、常数代换法求最值（重点）

93

1.（24-25高一下•广东汕头・期末）已知〃叶〃=1（，〃>0,〃>0）,则士+己的最小值为（）

mn

A.5B.6

C.5+2"D.6+275

2.（25-26高一上•全国•课堂例题）若正数x,y满足x+）=外，则x+2y的最小值是（）

A.6B.2+30C.3+2&D.2+2x/3

34

3.（24-25高一下•贵州遵义・期中）己知，7>0,〃>0,且。+3〃=2,则一+一的最小值是（）

ab

27

A.6B.12C.—D.27

2

33

4.（24-25高一下•辽宁朝阳・月考）已知正数x,），满足±+2），=1,则2x+二的最小值为（）

A.36B.24C.18D.12

5.（24-25高一上・甘肃・期末）已知0<工<2,则,+；）一的最小值为（）

x2-x

A.1B.2C.3D.4

14

6.（24-25高一上•海南海口•月考）已知正实数纵人满足〃+〃=2,则上+二的最小值为（）

ab+\

A.2B.3c.2V2D.35/3

1i2

7.（23-24高一上•重庆•期中）己知。/>1,^2cib-2a-b=\,则-；+看的最小值是（）

22a-\b-\

A.2B.4C.273D.20

I919

8.（24-25高一上•浙江宁波•期中）已知正实数。，b,满足。+力+—+：=10,则上+3的取值范围为（）

abab

A.（0,7]B.[1,9]C.[2,8]D.[3,6]

题型五、二次（一次）的商式求最值

1.（23-24高一上.安徽芜湖.期末）已知则2「+3x+l的最小值为（）

2x-\

A.7+65/3B.6+66

C.7+4>/3D.6+4>/3

2.（24-25高一上•江苏・月考）（多选题）下列各式中，最小值是6的有（）

3.（24-25高一上•广东江门•期末）若x>0,则“"2的最小值是

X

n—3

4.（23-24高一下.贵州遵义期中）已知则，-幺二的最小值是—.

4+1

5.（23-24高一上•江苏常州•期中）（1）设x>0,），>0,且母=4,求’的最小值;

xy

（2）设x>-l,求l+3）（x+4）的最小值

x+1

题型六、消元法求最值

1.已知。，力都是正实数，ab+2a+b=4,则a+〃的最小值为（）

A.2B.x/6-2C.2x/6-3D.娓-T

2.（24-25高一上•吉林长春•月考）已知正数x,下满足丁+2外-3=0,则2x+y的最小值是[）

A.3B.5C.6D.12

222

3.（24-25高一下.浙江•开学考试）己知x>。，>'>0,x+-=l,则一+w的最小值为（）

yx兀y

17

A.—B.5C.2+2夜D.2+V2

4.（24-25高一上•陕西榆林•期末）（多选题）已知。>0,Z?>0,a+b2=1.WJ（）

A.+b<\/2B.a+2b>\

L|]4

C.b4a<-D.-+—>9

2ab-

\1x4v

5.（24-25高一下.浙江湖州•月考）已知正实数x,y满足——=1,则一;+一的最大值为.

6.（24-25高一上•河南郑州•月考）已知明）为非负实数，且2〃+8=1,则红+S的最小值为____.

a+\b

题型七、换元法求最值

5]，203

1.（24-25高一上•湖北期中）设正实数X,y满足x+—+y+,=13,则-----的最小值为（）

x〉x），

A.1B.3C.5D.7

2.（24-25高一上•江苏盐城・月考）若正实数x,），满足x+），+8=不，，则刈的最小值是.

3.（24-25高一上•浙江宁波・期中）已知。，。满足"+"_2"=1,则3/-加〃的最小值为

4.（24-25高一上•浙江•期中）已知实数x,丁满足x>0,y>0,2_yy=3x+y+l,则孙的最小值是.

题型八、双换元法求最值

1.（24-25高一上•湖南•期中）若空：，且（以-3）（y+2）=9,则X+），的最小值为（）

A.1B.一

4

37

C.-D.一

24

9I

2.（24-25高一上•吉林白城•期中）（多选题）已知实数X，）'满足%>23，>0,且x+y=l,则:;——+——

2x+5yx-2y

的值可以为（）

A.—B.7C.—D.5

33

3.（24-25高一上•重庆•期中）若正实数孙丁满足（3x—2）'+8（y—l）3=4—3x—2y,则2x+?+.的最小

值足.

11,

4.已知正数x,y满足W+.V力“4小,则孙的最大值是一•

题型九、利用基本不等式证明（难点）

|2

1.（24-25高一上•陕西西安•期中）已知。>0,b>0,且一+7=4.

(1)证明：abi；；

(2)求2。+8的最小值.

2.(23-24高一上•甘肃•期末)已知a>O,〃>O,a+/，=l,求证

ab

(2)(1+-)(1+-J-)>9.

ab

3.(24-25高一上•上海•期中)设a,》都是正数.

zix,Tnna~+22b~+1a.

(1)证明：-----+------->-+Z?+5；

ab+\2

(2)若a+»=2,求4」工十丝R的最小值.

aZ?+1

4.已知正实数m/?,c满足++=

⑴求a+Z?+c的最小值：

(2)证明:与+白+=21,

a'b~c，

5.(24-25高一上•上海•课后作业)⑴己知x、y都是正数，求证：(工+力仁+力(/+出28/儿

(2)已知。>0,/?>(),c>0,求证：-+^-+—>a+b+c.

abc

6.(24-25高一上•全国•课后作业)(1)若〃，b,c,d都是正数，求证：(ab+a/)(ac+bd)之4abcd；

(2)若4,b,。都是正数，求证：6/(/>2+c2)+/?(c2+d2)++Z>2)>Me.

题型十、实际问题中的基本不等式

1.(25-26而一上•全国・单元测试)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产

x件，则平均仓储时间为:天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓

4

储费用之和最小，每批应生产产品件.

2.(24-25高一上•广西柳州•期末)某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物

园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为x,宽为)'.则至少需要米棚栏.

y

3.（24-25高一上•陕西西安・期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为49m%深3m.若

池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是元.

4.（24-25高一上•陕西渭南・月考）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50<大工80）

时，每天销售的件数为〃一-——，若想每天获得的利涧最多，则销售价为多少?

X2-80X+1600

5.（24-25高一上•云南曲靖・期末）某村原有一块矩形A38场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼

的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地A£Gb.为了不影响原有的锻炼环境，

建造时要求点8在AE上，点。在"'上，且对角线E厂经过点C,如图所示.已知A8=16m,>4/9=12m,

设=,矩形AEGF的面积为ym2.

E--------------------------|G

（1）写出y关于x的表达式，并求出工为多少时，）‘有最小值：

（2）要使矩形AEGF的面积大于1024m2,则DF的长应在什么范围内？

6.（24-25高一上•福建厦门・期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是12km,某城镇

位于2的正东方向，且与/，的距离为21km.甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点M处（其中

P,M之间的距离为16km）,再从M出发步行到达该城镇.已知小船的平均速度为9km/h,甲的步行速

度为匕km/h.

城镇

⑴当匕=8,岭=5时，求甲从小岛到城镇所用时间；

⑵若匕+2=15,求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的片，-

题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题

0

I.（24-25高一下•安徽马鞍山•开学考试）已知不等式2x+〃?+*>0（x>-l）恒成立，则实数加的取值范

围是（）

A.in<-2B.m>-4C.m>-2D.m<-4

2.（24-25高一上•江苏苏州・月考）存在〃>0/>0,使得不等式2+能成立，则〃?的最小值等于

ab2a+b

（）

A.10B.9C.8D.7

3.（24-25高一上•辽宁葫芦岛•月考）（多选题）若对于任意=二一恒成立，则实数。的取值可

%■+3x+l

以是（）

A.—B.—C.~D.—

51023

4.（2425高一上•吉林长春期中）当Yx£4时，不等式炉-（加+1k+94。有解，则实数用的最小值为.

5.（24-25高一上•天津•期中）不等式（3-〃什+3-〃对于xw[o,3]恒成立，则m的取值范围.

y1

6.（24-25高一上•浙江・月考）已知正实数x,V满足3x+y=l,若不等式二+一4阳有解，则实数机的取

xy

值范围是.

7.（24-25高一上•青海西宁•月考）已知Vxe{x|x>l},红>加恒成立，则〃?的取值范围是_____.

X—1

41

8.已知x>0,y>0,且x+y=5,若--+—^2〃?+1恒成立，则实数加的取值范围是______.

x+1y+2

B综合攻坚•能力跃升」

1.已知（）<x<2,求的最大值为（）

A.|B.巫C.；D.—

2244

2.（24-25高一上•云南昭通•月考）函数y==生上（x>l）的最小值为（）

x-1

A.2B.RC.4D.242

3.（24-25高一上•云南昭通・期中）若正实数工，），满足冲+.r+y=3,则工+>的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

I4v

4.（23-24高一上•重庆渝北•月考）若两个正实数x,y满足一+-=1,且不等式x+有解，则实数机

*Ay4

的取值范围是（）

A.m<4B.rn>4C.in<2D.m>2

5.（24-25高一上.浙江温州•期中）己知正数“，人满足L二=1,则〃+力的最小值为（）

ab+]

A.2B.3C.4D.5

41

6.（24-25高一上•福建泉州•月考）设。〉。，b>\,若a+b=2,则一+广匚的最小值为（）

ab-\

A.6B.9C.3拉D.18

31

7.（24-25高一上•黑龙江绥化•期末）已知〃?>0,〃>0,+4〃以+3/『=〃?+〃，则一+一的最小值为（）

mn

A.4I2百B.10C.3+2>/2D.12

8.（24-25高一上•四川绵阳•期末）已知x>Ly>l,且町-=则2x+y的最小值是（）

A.2a+3B.5C.4>/2D.7

9.（24-25高一上•云南玉溪・期中）若正数mb满足必+a+b=8,则（。+1>+（〃+1）2的最小值是（）

A.15B.18C.24D.36

10.（24-25高一上•河北•期中）已知—=3,则——+二的最小值为（）

aa-\4b

A.*B,1C.之D.2

3244

,232

H.（24-25高一上•上海・月考）设正实数乂"满足f_3Q，+4y-z=（）,则当？取得最大值时，一十——

zxyz

的最大值为（）

9

A.9B.IC.-D.4

4

12.已知a>0力>1且4十〃—2,则^+的最小值为（）

ab-\

A.4GB.7

C.15D.455+2

13.（24-25高一上•湖北荆州•月考）设正数方满足2。+〃=1,则工的最小值为（）

2-2a2-b

A.2>/2-2B.-：+/C.20+2D.-白|拉

已知4+。=1（4＞0,。＞0）.若与+工一更＞""恒成立,

14.（24-25高一上•河北保定・期末）则m的取值范

a~ba

围为（）

A.B.(f2)

C.(-2,3)D.(-2,2)

15.（24-25高一上•广东深圳・月考）已知a>b>0,=4,贝I]5a—4力最小值为（)

a-ba+b

57

A.-B.4D.2

2

16.（23-24高一上•福建南平・月考）（多选题）下列结论正确的是)

A.设3。，则4*的最小值是26

B.当x＞l时，x+一的最小值是2

x

C.当x>0时，Vx+-^=>2

D.当小时，尸-2+高的最小值是5

17.（23-24高一上•四川眉山・期口）（多选题）F列结论正确的是()

r?+2

A.若x<0,WOx+-<-2B.若xwR,则7^22

xVx2+1

R且"0,贝…十若则（1+〃）八」

C.若XGD.>6

18.（多选题）已知实数乂儿满足/+2产+个=7,则下列说法正确的是（）

A.x+y<2\/2B.<2\/2-1

C.x2+y2<6-2y/2D.X2+2/>8-25/2

19.（24-25高一上•湖北武汉•月考）已知命题P：Vx＞2,+恒成立是真命题,则实数〃1的取

x-2

值范围是,

2.^2

2°.已知则尢"的最小值为

21.（24-25高一上•重庆九龙坡•期末）已知乂丁均为正实数，若x+）=l,则“一）+5的最小值为

•V），

22.（24-25高一上•天津武清・月考）已知。＞0力＞0,且必=1,则2+g+—1的最小值为

r,止匕时

ab2a+b

23.（24-25高一上•上海•开学考试）已知x,丁是正实数，且关于x,y的方程石有解,

则实数4的取值范围是.

24.已知。>0/>0/+〃=2,则。=史也+亚二W的最小值为

1+/?1+4

25.（24-25高一上•浙江•期中）设x>0,y>0,x+2y=2,则------汉-----的最大值为_________.

（-1）+4

26.（23-24岛一上•浙江杭州•期中）已知实数X、）‘满足乩¥+力=2+2），2,贝IJ7丁-尸的最小值为.

27.（24-25高一上•广东江门•期中）已知eR,（1）若a,〃都是正数，且a〃=a+b+3,则必的最小

值为______;（2）若。+8=4,则工+工的最大值为_______.

a2+]b~+\

28.（24-25高一上•广东广州•月考）已知4>0,〃>0,a+）=l,求证：

⑴卜骨5；

1+-)28+4\/3.

⑵

29.（23-24高一上•四川雅安•期口）已知。>0,〃>（）,且。+力=1,证明：

（1）2^/2+2/?2>1；

19

（2）-+->16.

ab

30.（24-25高一上•上海•期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，

中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的•款巴黎奥运会吉祥物的供货价

格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格=77汩（浮动价格单位：元，销售量单位：

销售里

万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉

祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润=（售价-供货价格）X俏售量;

（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？

（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？

31.（24-25高一上•四川德阳・月考）已知a>0,〃>0,c>0,且a+〃+c=l,证明：

小/b2C

（I）—+—+—>1；

cab

(2)(1+4)(1+A)(l+C)>8(l-«)(l-^)(l-c).

32.(24-25高一上•四川成都•期天)利用一堵长8m,而3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图

所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元仓库底面的建

造成本为600元/整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别

为a,b(单位：m).

⑴求。与〃满足的关系式；

(2)求仓库占地(即底面)面积S的最小值;

(3)求仓库的储物量(即容积V)的最大值.

33.(24-25高一上•广西南宁•月考)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题:

12

已知a〉()，/?>(),且a+Z?=l,求y=—十7的最小值.

ab

李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了。+〃=1"，但结果并不相同.

I2|212一1I~~r

李雷的解法：由于。+〃=1,所以y=—H—+1-1=—H—+</+/?-1=4ZH---+——1，而—>2.1a--=2，

ababaha\a

b+->=2&.那么)亚2+2应-l=I+2&,则最小值为1+2&.

b

韩梅梅的解法：由于〃+力=1,所以y='(a+b)=3+-+^-,而

ab\ab)ab

3+1+y>3+2^1-y=3+2x/2,则最小值为3+2&.

(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？(错误的需说明理由)

(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：

⑴设4，b,c都是正数，求证："十华十艺之a十〃十c；

abc

48

(ii)已知。>0,/?>0,且a力+2a+/?=4,求M=2a+h+---+----的最小值.

a+lb+2

专题01基本不等式全题型与技巧归纳

目录

A题型建模・专项突破..............................................................

题型一、基本不等式“一正二定三相等”辨析........................................................1

题型二、直接法求最值............................................................................2

题型三、拼凑法求最值（常考点）.................................................................2

题型四、常数代换法求最值（重点）...............................................................3

题型五、二次（一次）的商式求最值...............................................................4

题型六、消元法求最值............................................................................4

题型七、换元法求最值............................................................................5

题型八、双换元法求最值.........................................................................5

题型九、利用基本不等式证明（难点）.............................................................5

题型十、实际问题中的基本不等式.................................................................6

题型十一、基本不等式与恒（能）成立问题........................................................8

B综合攻坚・能力跃升..............................................................8

题型建模•专项突破

题型一、基本不等式，，一正二定三相等，，辨析

I.（24-25高一上•江苏淮安・月考）如果加＞0,那么当阳+电取得最小值时〃?的值为（）

m

A.-4B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.

【详解】由于〃00.故〃?+322、「卫=8,当且仅当机=3，即〃2=4时取等号，

mvrntn

故选：B

2.（24-25高一上•全国•课后作业）下列结论正确的是（）

4

A.若xeR,且工工0,则一+x24B.当x>()时，4+—^=N2

C.当xN2时，x的最小值为2D.当0<x«2时，x-->-2

xx

【答案】B

【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断.

4

【详解】对于A,当x<0时，之-XN4显然不成立，A错误;

X

对于B,当x>0时，«>0,4+当且仅当x=l时取等号，B正确;

对于C,当x>0时，X+—>当且仅当X=1时取等号，而工22,不能取到等号，C错误;

x

对于D,4XA-=—,x—=——3<—2,D错误.

3x3

故选：B

3.（24-25高一下•云南保山・期末）“2+上22”是“x>0,y>0,”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，得到勾>0,结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由上+上22.可得；o，>0.即x>0.y>0或x<0.y<0,

），x

所以£+222是x>0,），>0的必要不充分条件.

yx

故选:B.

4.（23-24裔一上.湖北・月考）下列函数中，最小值为2的是（）

A.