高一预习：等式性质与不等式性质-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》

2.1等式性质与不等式性质

【知识梳理】

知识点一基本事实

两个实数小b,其大小关系有三种可能，即。9，a=h,a<b.

如果a>b^a—b>0.

依据如果a=b^a—b=O.

如果a<b^>a~b<0.

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小

知识点二重要不等式

EQ,b£R,有片+序当且仅当“=/?时，等号成立.

知识点三等式的基本性质

(1)如果。=4那么b=a

(2)如果a=b,b=c,那么a=c.

⑶如果a=b,那么a±c=b±c.

(4)如果。=/?,那么ac=bc.

(5)如果a=b,cWO,那么£=£♦

知识点四不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b^b<a台

2传递性a>b,b>c=^a>c不可逆

3可加性a>b<=>a+c>b+c可逆

a>b

f=^ac>bc

c>0

4可乘性c的符号

a>b]

0ac<bc

c<0.

a>b

5同向可加性,=^a+c>h+d同向

c>d]

a>b>0

6同向同正可乘性}=>ac>bd同向

c>ci>0]

7可乘方性a>">00心的〃WN,心2)同正

【基础自测】

1.设M=f,N=-x-\,则股与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.与X有关

【答案】A

【详解】•・・M—N=x2+x+l=G-；>+：>0,・・.M>N.

2.若:<*。,有下面四个不等式：①同>|〃|，②a<b,③a+XR?,④护

则不正确的不等式的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

33

【详解】由U<0可得b<a<0,从而同<|例，①②均不正确；。十b<0,ab>0,贝Ua-\rb<ab成立，③正确；a>bt

④正确.故不正确的不等式的个数为2.

3.若a,b,c£R,a>b,则下列不等式成立的是（）

A.（弓B.。2>力2

C.渣彳花勺D.«|c|>Z?|c|

【答案】C

【洋解】对于A,若。>0>瓦则！>0,1<0,

此时丹，，A不成立；

对干B,若a=l,〃=-2,则/<反，・・・B不成立;

对于C,・・・d+lMl,且。>b,

**•2：屋2恒成立，，c成立；

对于D,当c=0时，a|c|="d，，D不成立.

4.某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某同学有一道题

未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：.(不用化简)

【答案】5x-2(19-x)>80,x£N*

【详解】这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x—2(19—幻280,

5.若a,。满足一；<a<0=,则a—夕的取值范围是

【答案】-l<a-p<0

【详解】•・•一

一；<_娼，

又；・a—6<0,—l<a~/?<().

【例题详解】

一、用不等式(组)表示不等关系

例I(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资30()万；方案8为第一

年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过〃年之后，方案8的投入不大于方案A的投入〃的是

()

【答案】D

【分析】由不等关系求解即系

故选：D

(2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为.

【点睛】本题考查根据图象构造不等关系，属于基础题.

跟踪训练I（1）下列说法正确的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示为"XV2000”

B.若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为"x＞y〃

C.某变量x至少是a可表示为“x2a”

D.某变量y不超过a可表示为

【答案】C

【点睛】本题主要考查阅读能力以及对不等关系的理解与应用，属于基础题.

（2）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、＞个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个

数的;，白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式（组）将题中的不等关系表示为.

【分析】根据已知条件可得出不等式组.

二、作差法比较大小

【答案】＜

【分析】作差判断正负即可比较.

故答案为：＜.

【分析】（2）作差后变形化简证明即可；

（3）利用作差法，分类讨论证明即可.

【分析】用做差法比较可得答案.

三、作商法比较大小

【答案】D

【分析】首先配方判断〃、q均大于零，然后作商即可比较大小.

故选:D

【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.

【答案】证明见解析

【分析】作商法证明不等式.

【详解】证明:加汕>0,

【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。

【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。

四、利用不等式的性质判断或证明

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，逐项分析、判断作答.

故选：B

（2）利用不等式的性质证明下列不等式：

又“<0,

【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.

（2）利用三角形两边的和人于笫三边的性质，结合不等式性质推理作答.

五、利用性质比较大小

【答案】ACD

【分析】利用不等式的性质判断A、C,利用特殊值判断B,再利用作差法判断D；

故选：ACD

【答案】ACD

故选：ACD.

跟踪训练5（多选）下列说法正确的是（）

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质判断AD,结合作差法比较大小判断BC.

故选：ABC

六、利用不等式的性质求范围

【答案】C

【分析】由不等式的性质求解

故选：C

【答案】C

故选:C.

【课堂巩固】

1.在开山工程爆破时.,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100

米以外（含100米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应

满足的不等式为（）

【答案】B

【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得

答案

【详解】由题意知导火索的长度K（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为六秒，

故选：B.

【答案】C

【分析】将反。化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较〃，c大小关系即可.

故选：C.

3.下列命题为真命题的是（）

【答案】C

【分析】通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD.

故选：C.

【分析】运用不等式的性质进行求解即可.

【答案】-1

【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案;

故答案为：-1

【答案】>

【分析】作差法解决即可.

【详解】由题知，

故答案为：>.

【答案】证明见解析

【答案】证明见解析

【分析】（1）求差法进行大小比较即可；

（2）求差法去证明即可解决.

【课时作业】

A.x>yB.x=y

C.x<yD.x,y的关系随c而定

【答案】C

【分析】应用作商法比较土」的大小关系即可.

y

故选：C.

【答案】C

【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.

故选：C

【答案】B

故选：B

【答案】A

【分析】利用作差法求解即可.

所以d.

故选；A.

【答案】D

【分析】对于选项A、B、C可以通过举反例分析，对于选项D,通过立方差公式可证得.

故选：D.

【答案】A

【分析】作差即可比较大小.

故选:A.

7.某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种.甲型号的

船比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满.若

只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船.甲型号的船有（）

A.9艘B.10艘C.11艘D.12艘

【答案】B

即甲型号的船有10艘.

故选:B.

【答案】D

【分析】根据不等式的形式，即可判断选项.

故选：D

9.（多选）下列四个命题中，正确的是（）

【答案】BCD

【分析】根据不等式的性质判断各选项.

故选：BCD.

10.（多选）若a,〃为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（）.

【答案】AB

【