高考数学一轮复习（新高考版）强化训练10 圆锥曲线中的综合问题

强化训练10圆锥曲线中的综合问题

B基础保分练

1.（2021•山西大学附属中学模拟）椭圆云+芸=1的长轴长为（）

A.4B.5C.10D.8

答案C

解析由题意知，椭圆石+芸=1,即，2=25,

所以其长轴长为2a=10.

2.（2021・重庆一中模拟）若椭圆C：1+?=1的右焦点为凡过左焦点尸作倾斜角为60。的

直线交椭圆。于P,Q两点，则△PQr的周长为（）

A.6港B.8^2

C.6D.8

答案B

解析由椭圆方程可知4=8=。=2吸，

根据椭圆的定义可知|P/q+|P尸1=2。，|。川+|。尸1=2%

△PQ/7的周长为俨Q|+|PF1+|QQ=|尸尸I+IQ尸|+|PF1+|Q/1=44=8，1

3.（2020•怀化质检）“〃》1”是“曲线日；+；^7=1表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由曲线:二十二7=1表示椭圆，

5—mm~1

3-〃?>0,

得，w-l>0,解得机£（1.2）U（2.3）,

.3—1,

由于（1,2）U（2,3）1（1,+«>）,

所以“而>1”是“曲线不=+一%=1表示椭圆”的必要不充分条件.

3-wm—1

4.已知点《（）,一小），用2,0）,点P为函数y=2护：图象上的一点，则|以|+俨4|的最小

值为（）

A.1+2小B.7C.3D.不存在

答案B

解析由y=2^/14-x2,得x2=1（y>0）.

2

设点A'（0,小），即点A；（0,邓）,A（0,一小）为双曲线］一/=1的上、下焦点.

由双曲线的定义得|秒1|一附'|=4,

则照|+|PB|=4+|%'|+『阴24+|物'|=7.

5.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点Q,B在y轴上，短轴长等于2,离心率为当,

过焦点Q作），轴的垂线交椭圆。于P，Q两点，则下列说法正确的是（)

A.椭圆C的方程为（+/=1

椭圆C的方程为号+炉=1

B.

C.俨Q|=芈

D.△P&Q的周长为4小

答案ACD

解析由已知得，2/7=2,b=\,拄幸,

又『=/+/,解得/=3.

・•・椭圆方程为r+弓=1.

如图.

△尸乃。的周长为4〃=45.

故选ACD.

6.（多选）已知双曲线。过点（3,g）且渐近线为），=白学泉则下列结论正确的是（）

A.C的方程为^一产=1

B.C的离心率为小

C.曲线），=8一2一1经过c的一个焦点

D.直线x—gy—1=0与C有两个公共点

答案AC

解析因为渐近线方程为>=白亭4所以可设双曲线方程为卷一9=九代入点（3,巾）,得2

=|,所以双曲线方程为专一.F=l,选项A正确；该双曲线的离心率为手，选项B不正确；

双曲线的焦点为（土2,0）,曲线y=e「2—i经过双曲线的焦点（2,0）,选项C正确；把工=隹〉，+1

代入双曲线方程，得y2—2也），+2=0,解得）二港，故直线x—也>一1=0与曲线C只有一

个公共点，选项D不正确.

『v2

7.已知双曲线C：且圆E：（大一2）2+），2=1的圆心是双曲线C的右焦点.若圆七

与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为

答案y-r=i

解析•.•c=2=/+》2=4.①

取渐近线方程为笈一0=0,

又谓7=1=>/=3尻②

2

由①②可得々2=3,b=lt

・•・双曲线C的方程为勺一j2=1.

8.（2021•重庆一中模拟）抛物线>2=4x的焦点为/，准线为/,点P为抛物线上一点，M±/,

垂足为A,若直线A尸的斜率为一#,则『用=.

答案4

解析•・•抛物线方程为）2=4X,

・•・焦点厂（1.0）,准线/的方程为％=—1,

•・•直线A户的斜率为一小，

；・直线4”的方程为y=一小（工一1）,

当x=-I时，），=2于，

可得A点坐标为（一1.25）.

4

^-2

+91

|ABF+|4巳F-IRBF-

S1962

COZF|/\F2=2„2

解得6=乎（负值舍去）.

11.如图，已知点尸是尸釉左侧（不含y轴）一点，抛物线C：丁=4工上存在不同的两点A,B

满足BA,PB的中点均在C上.

（1）设/W的中点为“，证明：，“垂直于y轴；

2

（2）若P是半椭圆/+；=1。＜0）上的动点，求△出8面积的取值范围.

（1）证明设P（xo,和），4（%彳，N）,J2）

因为以，尸8的中点在抛物线上，

所以V，＞2为方程。审n2=4三~^—,

即），2—2）微+8M一）3=（）的两个不同的实根.

所以＞,i+.V2=2yo»所以PM垂直于），轴.

>'i+)?2=2yo,

（2）解由（1）可知

)，1»=8为)一)和

i3

所以|PM|=g(.n+.V2)—xo=jyn—3的,

lyi一”1=2寸2()%—4xo).

所以△%B的面积

S^PAB=^\PM\-\y\-)^\=^^(yi-4xo)2.

2

因为高+竽=1(—1Wxo〈O),

所以4一4xo=14需一4x(»—4£[4,5],

15®-

所以△以B面积的取值范围是672,

4

12.已知椭圆以的离心率为坐，短轴长为2.

⑴求椭圆L的标准方程；

(2)过点Q(0,2)的直线/与椭圆L交于A,B两点，若以A8为直径的圆恰好过坐标原点，求直

线/的方程及|48|的大小.

解⑴由e2='=aJ=]_*=[得/=4护，

又短轴长为2,可得。=1,/=4,

・•・椭圆乙的标准方程为，+)，2=1.

(2)易知直线/的斜率存在且不为零,

设直线/的斜率为MLWO),

则直线/的方程为)，="+2,

y=kx+2t

则联立

炉+4/一4=0,

消元得（4F+1）F+16履+12=0,

3

J=16X164一48（4家+1）=16（44一3）＞0,即3酒.

设4gyi),8(如>,2)»

.।一原12

••为十刈=元甲，可]

由题意可知万即万idh=o,

:.x\-X2-^y\-y2=（1+炉）为“2+2攵（即+念）+4=0,

.12（1+4）32-

••1+4d—|+4么十4一%

解得~=4＞不

:.\AB\=W+妇X1-初=N1+N,「（%I+X2）2—4XI%2=N1+产

IItrKI•

综上，直线/的方程为2x—y+2=0或2x+y—2=0,|A8|=今早.

用技能提升练

13.焦点为产的抛物线C：丁=44的对称轴与准线交于点E,点P在抛物线C上，在

中，sinZ£FP=V2sinZFEP,则|E尸|的值是()

A.2^2B.4C.2D.1

答案A

解析如图所示，过点〃作尸”垂直于准线于点儿

设|尸四=，"，则|PF|=|PH|=〃?cosNFEP,

在中，由正弦定理知IPFI_IPQ

sinZPEF-sinZEFP,

"】cosNFEP______〃？

即

sin/FEP—巾sinNFEP'

所以cosNFEP=坐,

又NFEPHO,7i),所以N广EP=£,

则sin/EFP=QinNP"=1,

又NEFP£(O,7t),所以NEb=n

在RdEF尸中，|阳=2,NFEP舌,

所以|PE|=26.

14.（2020・潍坊模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行

于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经撤物线反射后必过的物线的焦

点.已知抛物线尸=4%的焦点为F,一条平行于工轴的元线从点M3』谢出，经过抛物线上

的点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则△4B”的周长为（）

A.每4B.9+V10C.1|+V26D.9+/

答案D

解析抛物线方程中，令y=l可得即AQ,1）,

结合抛物线的光学性质，A3经过焦点F,设直线48的方程为），=Mx—l）,

与抛物线方程联立可得：Px2-2伙2+2忒+&2=0,

125

据此可得必冲=1,XB=­=4,且|4用=必+皿+〃=丁,

将x=4代入y2=4x可得y=±4,故8(4,—4),

故|M8|=A/(4-3)2+(-4-1)2=^26,

故△ABM的周长为阳川+|阴+|/陷=(3—3+苧+/=9+标.

立拓展冲刺练

15.已知抛物线C1y2=©的焦点为凡过点尸且斜率大于0的动直线/交抛物线C于A,8

两点，其中8在4轴上方，P,。分别为圆(工一1)2+)，2=|上的两个动点，当41Api+I8QI最小

时，直线/的斜率为.

答案2^2

解析设直线]:y=A(.r—|)(QO),

当4依H+I8Q最小时,即[API，分别取最小值,

则国Plmin=|AQ—1,|BQU=|Bfl-l,

所以(4|AP|+山Q)min=4依/1+|BF1-5,

y=k(x—\),

联立(,化简律炉/一(2标+4)x+严=0,

设A(xi,yi),8(x2,J2),则为也=1,

由抛物线的定义得|4月=汨+1,日用=也+1,

用11_____1____1_____xi+xz+Z______X1+X2+2XI+M+2

°^\AF]\BF\xi+l及+l(xi+1)(x24~1)xixz+xi+r+l内+也+2'

得41M+—5=(4|AF|+1喇•(册+盅)一524,

当且仅当心/]=2|A/]时取笔号，

3

此时依同=5,|8月=3,

ml.Hl.2K+45

则X|=g,X2=2,则X[+X2=-p—=5，

解得斜率k=26(舍负).

16.顺次连接椭圆C：，+$=13>/»0)的四个顶点，恰好构成了一个边长为小且面积为2吸

的菱形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设例(-3,0),过椭圆C的右焦点厂的直线/交椭圆C于4,△两点，若对满足条件的任意

直线/，不等式就V/而W