2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学在自然灾害预警中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学在自然灾害预警中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述概率论中的大数定律及其在自然灾害频率统计分析中的作用。请结合具体例子说明。二、微分方程是描述许多自然现象的重要工具。请选择以下两种自然灾害中的一种，概述其过程中可能涉及的关键微分方程模型，并简述该模型的建立思路和其中主要参数的物理意义。可选自然灾害：洪水泛滥；地震波传播。三、在建立自然灾害预警模型时，数据的质量和有效性至关重要。假设你获得了某城市过去十年的每日降雨量数据，并希望利用这些数据建立短期（如未来24小时）降雨量预测模型以辅助洪水预警。请简述你会如何处理这些数据，并选择至少两种不同的数学方法或模型思路来构建该预测模型，说明选择理由。四、逻辑回归模型常用于分类问题。试设想一个利用数学和地理信息数据对山体滑坡风险进行初步评估的场景。请简述如何构建这样一个逻辑回归模型，需要包含哪些关键的自变量（因素），并解释模型中各个自变量系数的意义。五、优化理论在资源分配和应急响应中具有应用价值。假设在某次洪水灾害中，需要将有限的救援物资（如食品、药品）从多个仓库运往多个受灾点。请简述如何运用线性规划模型来优化物资的运输方案，以最小化总运输成本或最大化覆盖受灾人数。需要说明模型中的决策变量、目标函数和约束条件。六、数据降维是处理高维数据常用技术。在自然灾害监测中，往往需要处理来自多个传感器（如地震仪、水位计、气象站）的海量数据。请简述主成分分析（PCA）方法的基本思想，并解释其在自然灾害多源数据监测中的应用价值，例如如何帮助识别最重要的预警信号。七、数值模拟在预测自然灾害发展趋势方面发挥着重要作用。以预测台风路径和强度为例，简述数值模拟的基本流程。在这个过程中，数学模型和计算方法各扮演什么角色？并讨论数值模拟结果可能存在的误差来源及其对预警效果的影响。试卷答案一、大数定律指出，在重复试验次数增多时，事件发生的频率依概率收敛于其概率。在自然灾害频率统计分析中，大数定律保证了当观测数据足够多时，某类灾害发生的频率可以作为其发生概率的良好估计。例如，通过分析过去几十年历史记录，可以估算某地区发生特定强度地震的平均概率，为风险评估和预警提供依据。其核心思想是，尽管单次自然灾害发生的随机性很大，但大量独立重复事件的结果趋于稳定，使得基于统计规律的风险评估成为可能。二、选择：洪水泛滥。模型：洪水泛滥过程通常可以用圣维南方程（Saint-Venantequations）这一组非线性偏微分方程来描述，该方程组包含连续性方程和运动方程，分别描述水量的守恒和水的流动状态。建立思路：首先，将流域划分为若干计算单元；然后，根据地形、降雨、蒸发等数据，确定每个单元的入流量和损失量；接着，利用圣维南方程组，结合边界条件（如河道出口流量、上游来水流量）和时间步长，通过数值方法（如有限差分法、有限体积法）逐时间步长求解每个单元的水位和流速；最后，将计算结果沿河道传播，得到整个流域的水面线、流速分布等。主要参数意义：连续性方程中的入流量和损失量反映了水量平衡；运动方程中的水力坡度反映了重力对水流的作用，水阻力系数反映了水流与河床、河岸的摩擦阻力。求解出的水位和流速是模型的主要结果，可用于评估洪水淹没范围和流速，为预警和防汛决策提供支持。三、数据处理：1.数据清洗：处理缺失值（如插值填充）、异常值（如剔除或修正）。2.数据预处理：统一数据格式，进行归一化或标准化处理。3.特征工程：计算滑动平均降雨量、降雨强度等衍生特征。构建模型方法：1.时间序列分析模型（如ARIMA模型）：利用过去一段时间的降雨数据预测未来短期降雨。基于降雨现象具有时间相关性的特点，通过拟合时间序列模型捕捉其变化规律。模型输出未来24小时的降雨量预测值。2.神经网络模型（如循环神经网络RNN或长短期记忆网络LSTM）：利用深度学习技术处理降雨时间序列数据。基于降雨系统复杂性高、非线性强的特点，通过训练神经网络学习历史数据中的复杂模式，进行短期降雨预测。模型输出未来24小时的降雨量预测值。选择理由：ARIMA模型原理相对清晰，易于理解和实现，适用于具有一定随机性但存在明显时间趋势的数据。神经网络模型能捕捉更复杂的非线性关系，对于数据量足够大的情况可能效果更好，但需要更多的数据预训练和调优。四、构建逻辑回归模型步骤：1.数据准备：收集历史山体滑坡事件数据及相关地理信息数据。滑坡事件作为因变量（二元：发生/未发生），地理信息数据作为自变量。2.选择自变量：可能包括坡度、坡向、土壤类型、降雨量、地震烈度、植被覆盖度、土地利用类型、岩性等。3.模型构建：利用收集到的数据，建立逻辑回归模型。模型形式为：logit(P(Y=1))=β₀+β₁X₁+β₂X₂+...+βₚXₚ，其中P(Y=1)是滑坡发生的概率，Xᵢ是第i个自变量，βᵢ是回归系数。4.模型求解：通过最大似然估计方法估计模型参数βᵢ。自变量系数意义：*β₀：模型截距，代表当所有自变量都为0时，滑坡发生的对数优势比的自然对数。*βᵢ（i=1,2,...,p）：对应第i个自变量的回归系数。其意义为：当其他自变量保持不变时，第i个自变量每变化一个单位，滑坡发生的对数优势比变化的量。正系数表示该因素增加会增加滑坡风险，负系数表示该因素增加会降低滑坡风险。系数的绝对值大小反映了该因素对滑坡风险的影响程度。五、线性规划模型构建：决策变量：*xᵢⱼ：表示从仓库i向受灾点j运输的物资数量（单位：吨或件）。目标函数：最小化总运输成本。minZ=ΣᵢΣⱼcᵢⱼ*xᵢⱼ，其中cᵢⱼ是从仓库i到受灾点j的单位物资运输成本。约束条件：1.供应约束：每个仓库的物资输出量不能超过其总库存量。Σⱼxᵢⱼ≤Sᵢ，对所有仓库i。其中Sᵢ是仓库i的物资总库存量。2.需求约束：每个受灾点的物资接收量必须满足其最低需求量。Σᵢxᵢⱼ≥Dⱼ，对所有受灾点j。其中Dⱼ是受灾点j的最低物资需求量。3.非负约束：运输的物资数量不能为负。xᵢⱼ≥0，对所有i,j。六、主成分分析（PCA）基本思想：通过正交变换，将原始的、可能存在相关性的高维变量（特征）转换为一组新的、不相关的变量（主成分），这些新变量按照方差大小排序，第一主成分方差最大，后续主成分方差依次减小。在保留数据大部分信息的前提下，选择方差最大的几个主成分来代表原始数据集。应用价值：在自然灾害多源数据监测中，传感器数据往往维度很高且变量间存在相关性。PCA可以：1.降维：将多个监测指标（如不同传感器的读数）压缩成少数几个主成分，降低数据复杂度，便于可视化分析和后续处理。2.提取关键信息：主成分是原始变量线性组合，每个主成分都代表了原始变量中信息的主要部分。方差较大的主成分通常包含了数据中最显著的变化或模式，有助于识别重要的预警信号或关键影响因素。3.去除噪声：如果数据中存在噪声或冗余信息，PCA可以将这些信息分散到方差较小的主成分中，通过只保留主要的主成分可以有效去除噪声，提高监测信号的质量。七、数值模拟基本流程：1.问题定义：明确需要预测的自然灾害类型（如台风路径、强度）、空间范围、时间范围和预测目标。2.模型选择：选择合适的数学物理模型来描述灾害发生发展的过程（如流体力学模型、热力学模型、统计模型）。3.参数化：根据观测数据和物理知识，确定模型中的关键参数（如风速、水汽含量、地形参数、摩擦系数等）。4.初始条件和边界条件设定：根据实时观测数据或历史数据，设定模拟的初始状态（如台风中心位置、强度、温湿度场）和模型域边界的条件（如海陆边界、开放边界）。5.赋值计算：利用高性能计算机，通过数值方法（如有限差分、有限体积、有限元法）对模型方程进行离散化，并按时间步长进行迭代计算。6.结果输出与可视化：将计算得到的中间结果和最终结果（如台风路径轨迹、强度变化、风雨场分布）进行整理，并以图表等形式展示。7.模型评估与验证：将模拟结果与实际观测数据进行对比，评估模型的准确性和可靠性，并根据评估结果对模型进行修正和改进。数学模型和计算方法角色：数学模型提供了描述灾害物理机制的抽象框架和方程，是进行预测的基础；计算方法（尤其是数值方法）是将连续的数学模型转化为可在计算机上执行的离散