用导数解锁函数单调性问题的案例解析

用导数解锁函数单调性问题的案例解析以函数为载体，以导数为工具考察函数的性质与导数的应用，是近年来函数与导数交汇融合试题的主要特征与命题趋势。但从每次试卷的分析结果来看，本题的得分率较低，很多同学存在着思路不清晰、讨论不完全、逻辑思维混乱、知识系统建立不完全等问题。我们用心研究历年来的全国高考卷也发现，利用导数解决函数的问题通常都承担着压轴题的角色，它综合性强，难度大，运算复杂，考查形式也灵活，这使很多同学对这类问题产生深深的恐惧，不知道如何翻越这座大ft,甚至谈“函”色变。其实不论是直接考查函数的单调性，还是考查零点、极值点偏移、恒成立以及不等式证明等一系列问题，它们都与函数的单调性息息相关，密不可分。虽然此类题复杂多变，但还是有一定的规律性，乱中有序，只要合理利用导数这个工具，理清思路，抽丝剥茧，总结归类，把常见基本初等函数的组合函数的图像和性质熟记于心，解决这类问题也会变得得心应手。教材中利用导数研究函数单调性的方法一般为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x);(3)由f(x)0(或f(x)0)解出相应的x的取值范围，确定对应区间函数的单调性。而如何去判断f(x)与零的大小是解题的关键，也是难点和考点。本文就常见的几种含参函数的单调性根据教学中遇到的问题进行了总结，以供参考。例1(2021年A10联盟文21)讨论函数fx1a1xInx的单调性。解：由题意知f(x)的定义域为(0,).X此时可以把导函数的符号判断转化为常见反比例函数与常函数如图2所示，当a1时，令(aD-□0,解得x1X上单调递减，在,)上单调递增。例题点评：这个题目看似很简单，但仍然有一部分同学忘记求定义域，直接令导函数为零，求其根，进而得出单调性，忽略了a-1的情况。采用类型一的解法，我们可以直接把导函数看成是在其定义域内的常见反比例函数的图像与常函数的图像比较，从图像上看一目了然，讨论范围明确，思路清晰，很完美地处理了这个问题。例2(2021皖北联考理21)讨论函数f(x)xcxO的单调性.解：由题意知f(x)的定义域为0□f(x)xaexf(x)1ae这时就可以把f(x)的符号判断转化为常见指数函数ye(x数y数y如图5所示，当0a1时，,)上单调递减.)上单调递增当a,)上单调递减.)上单调递增当a1时f(x)在综上所述，当a0时，f(x)在0类似，参数的位置稍做变形，定义域也发生了变化，大是只要把这个问题合理的转化为常见函数的图像问题，结合数形结合题也就清晰明了了。需要注意的是：①参数出现导函数中未知量最高次前面我们要讨论参数能不能为零。②画出给定区间的指数函数，区间以外的可数4x,Inx等)与常函数(a,a1,,2k等)的组合时，此a题就可以把讨论导函数的正负号转化为定义域内常见函数的图像与常函数的图类型二导函数核心为“一次函数”型解：由题意知f(x)的定义域为(0,)X当a1时，8(x)f(x)0,则f(x)在(0,)上单调递增.0当a1时，令g(x)0,得x如图6:上单调递增.综上所述，当a1时，f(x)在(0,)上单调递增当a1时，f(x)在上单调递减，在(-)上单调递增。例题点评：这个是例1的第二种解法，可能不少学生会用到这种方法，这就次项系数前，需要注意两点：(1)判断最高次系数与零的大小，(2)判断一次类型三导函数核心为“二次函数”型解：由题意知f(x)的定义域为(0,).□a当a0时，令g(x)0,44a².由韦达定理得1,可以判断出x₁0,x₂0如图7:图7调递增，在上单调递减。例题点评：这类函数的导函数由其中的“二次函数”决定正负号，属于不可断参数与零的大小，②考虑参数小于零时每一项都为负，(当然也会出现大于零都为正的现象)③当参数大于(或小于)零时，考虑与零的大小及根与定义域端点值的大小。例5(2021年合肥二模理21)讨论函数f(x)a(x2)e(x3)²的单调性.解：由题意知f(x)的定义域为R.此时导函数解析式有两个因式a(x3)和组成，a(x3)很容易判断正负号，则可以利用类型一的方法讨论参数取值范围，hhaahf(x)0,f(x)在(-,-3)和,)上单调递增h□f(x)0,则f(x)在a2e³时x0,则,3)上单调递减.零时每一项的正负号，③判断与零的大小，④判断两根的大小，⑤判断根与定义域端点值的大小。类型三总结：在导函数中“二次函数”类型中，除了例4和例5,我们还会参数出现在了一次项和常数项中，对于(1)可以采取类型一的讨论方式，对于(2)可以采取类型三中例4的讨论方式，也可以变形为f(x)xa用类型一的方4X压轴题通常让学生畏惧，产生恐慌心理，函数解析式的千姿百态、奇形怪状让学生无从下手、陷入迷茫的状态，从而失去信心。其实函数解析式无论多么“变态”,我们只要合理利用导数就可以处理这类问题。导函数中通常都是我们常见的初等函数的组合形式