2025年大学《数理基础科学》专业题库- 网络流问题及算法

2025年大学《数理基础科学》专业题库——网络流问题及算法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述网络流模型中，可行流、最大流、割的概念及其相互关系。二、Ford-Fulkerson算法的核心思想是什么？请简述其基本步骤。在什么条件下，Ford-Fulkerson算法能保证找到最大流？三、Dinic算法与Edmonds-Karp算法相比，其主要优缺点是什么？Dinic算法中处理阻塞流的关键步骤是什么？四、写出网络单纯形法求解最小费用流问题的基本步骤。在应用网络单纯形法时，如何选择入基变量和出基变量？五、已知一个网络流问题，其流量值为f*。现要找到一个割(S,T)，使得该割的容量等于f*。请简述如何根据最大流-最小割定理来构造这个割，并解释其容量为何等于流量值f*。六、请证明增广路径定理：一个网络流是最大流当且仅当不存在关于该流的增广路径。七、考虑一个最小费用流问题：网络中每条弧除了容量c(u,v)外，还有单位费用e(u,v)。要求在满足流量需求的前提下，使得总费用最小。请描述如何将此问题转化为标准的最小费用流问题（即所有供应点或需求点汇入超级源点或超级汇点）。八、假设你正在设计一个算法来解决如下问题：给定一个网络G=(V,E)，和一个正整数k。判断是否存在一个流f，其流量值为k，且满足所有容量约束。请描述你的算法思路，并分析其大致的时间复杂度（可以基于已学过的算法）。九、在一个容量为C的网络上，如果存在一个流量值为f的最大流，且f=C。证明：网络中必存在一条从源点s到汇点t的路径，该路径上所有弧的容量均未被饱和（即剩余容量均大于0）。十、描述如何将一个任务分配问题（例如，n个任务分配给m个工人，每个工人完成某任务的时间已知，目标是使得所有任务完成的总时间最短）转化为最小费用流问题。请说明网络中各参数（容量、费用、流量）的设置方法。试卷答案一、*概念：*可行流：指网络G=(V,E)中一个定义在弧集E上的函数f=(f(u,v))，满足：①对任意弧(u,v)∈E，有0≤f(u,v)≤c(u,v)（容量约束）；②对除源点s和汇点t以外的任意顶点u∈V，有∑_{v:(u,v)∈E}f(u,v)=∑_{v:(v,u)∈E}f(v,u)（流量守恒）。*最大流：指网络G=(V,E)中一个可行流f，其流量值f*=∑_{v:(s,v)∈E}f(s,v)-∑_{v:(v,s)∈E}f(v,s)（通常定义为从源点s出发，流向其余顶点的总流量）是所有可行流中最大的。*割(S,T)：指将顶点集V划分为两个不相交的子集S和T，使得源点s∈S，汇点t∈T，且S∪T=V，S∩T=∅。割(S,T)对应的弧集为{(u,v)∈E|u∈S,v∈T}，该割的容量记为c(S,T)=∑_{(u,v)∈(S,T)}c(u,v)。*关系：最大流-最小割定理指出，网络G中最大流的流量值f*等于任何割(S,T)的容量c(S,T)。该定理表明，最大流值受到“割”的限制，即要从源点将流量送出，必须跨越某些弧，这些弧构成一个割，其容量提供了送出最大流量的理论上限。因此，最大流值等于能分割网络（将s与t隔开）的最小“障碍”的容量。二、*核心思想：Ford-Fulkerson算法的核心思想是：只要在残留网络中存在从源点s到汇点t的增广路径，就将该路径上的流量沿着残留网络的方向增加（即沿前向弧增加流量，沿反向弧减少流量），从而增加当前流的流量值，直到残留网络中不再存在增广路径为止。*基本步骤：1.初始化：令初始可行流f为0（即所有弧的流量为0）。2.寻找增广路径：在当前的残留网络N_f中，使用BFS或DFS寻找一条从s到t的增广路径P（P是N_f中从s到t的有向路径）。3.计算增广量：在路径P上，找到所有前向弧的最小剩余容量，记为δ=min{c_f(u,v)|(u,v)∈P}。这个δ就是本次可以增加的流量。4.沿路径调整流量：沿增广路径P的前向弧，将流量增加δ；沿增广路径P的反向弧，将流量减少δ。这样调整后，路径P上的所有弧的流量都更新了。5.更新残留网络：根据新的流量f，重新计算所有弧的剩余容量，得到新的残留网络N_f。6.重复：若N_f中存在增广路径，则返回步骤2；否则，算法结束，当前流f即为最大流。*终止条件与保证：Ford-Fulkerson算法保证在残留网络中不存在增广路径时终止。此时，根据流量守恒和容量约束，该流即为最大流。其正确性基于增广路径定理：一个流是最大流当且仅当不存在关于该流的增广路径。三、*优缺点：*优点：*Dinic算法在稠密图中通常比Ford-Fulkerson和Edmonds-Karp算法效率更高。*其时间复杂度为O(V^2E)，在实际应用中表现良好。*算法实现相对清晰。*缺点：*Dinic算法比Ford-Fulkerson和Edmonds-Karp算法的实现更复杂一些。*在非常稀疏的图中，其性能可能不如某些其他算法（如最高标号法）。*阻塞流处理关键步骤：Dinic算法的核心在于高效地处理残留网络中的“阻塞流”（BlockingFlow）。关键步骤是：1.构建分层图：使用BFS从源点s出发，在残留网络N_f中构建分层图H_f，其中顶点分为层0（包含s）和层k（包含t），层i中的顶点v到层i+1中的顶点v'之间存在正向弧（容量大于0）。如果残留网络中存在从s到t的路径，则分层图是连通的。2.预流推进（PreflowPush）：在分层图H_f中，利用拓扑序（从层0到层k）尝试将流量从高层向低层推进。对于层i中的顶点v，若其进入弧的流量和大于其出去弧的流量和（即存在“溢出”），则将多余的流量沿任意一条指向低层（i+1）的正向弧推进。这会可能导致某些弧的流量超过其容量，形成“过载”（Overflow）弧，过载弧的流量在后续步骤中需要被“推回”（PushBack）。3.寻找并处理阻塞流：当分层图不再连通（即s与t之间无路径）时，当前残留网络中的流构成一个“阻塞流”。Dinic算法通过在分层图中执行“增广路径”操作来处理阻塞流：从层0开始，递归地寻找从s到t的路径，并在路径上增加流量，同时更新分层图（可能需要重新分层）。这个过程会持续进行，直到找到一条完整的增广路径，或者确认当前流已为最大流。通过不断构建分层图和处理阻塞流，Dinic算法能够高效地找到增广路径并增加流量。四、*基本步骤：1.初始化：令初始可行流f为0。选择一个非饱和弧（即残差网络中容量大于0的弧）作为当前弧，通常选择出度不为0且费用最小的弧。如果没有这样的弧，则已达到最优解。2.进入基：将选定的非饱和弧加入当前基（单纯形表）。3.调整流：沿当前基中的路径（通常从源点开始，通过非饱和弧连接到汇点），找到路径上的最小残差容量δ。沿路径前向弧增加流量δ，沿路径反向弧减少流量δ。更新所有相关弧的流量和残差。4.检查最优性：检查是否所有需求点（如果是需求网络）的流量需求都已满足，且汇点的净流出量等于总流量。如果是，则算法结束，当前流即为最小费用流。否则，进入下一步。5.寻找离开基的弧：在当前基中，找到一条离开基的弧（通常是费用最高的弧，或者通过BFS/DFS找到汇点t的路径上的弧）。6.更新基：沿离开基的弧和路径，将基更新为新的基（移除离开的弧，加入新的增广弧）。7.重复：返回步骤2，继续迭代。*选择入基和出基变量：*入基变量：通常选择当前残留网络中出度不为0且单位费用（或对偶变量与容量之差）最小的弧。这类似于单纯形法中选择“最低成本离开基”的规则，目的是尽量以最小的代价增加流量。*出基变量：当沿着某个增广路径增加流量时，需要选择一个弧离开基。这通常通过在当前基形成的路径上，找到“瓶颈”（路径上的最小残差容量δ）对应的弧，或者在某些实现中，选择汇点t所在的路径上的弧作为离开基的弧。五、*构造割：根据最大流-最小割定理，最大流的流量值f*等于某个割(S,T)的容量c(S,T)。当算法终止时，残留网络中不再存在从s到t的路径。这意味着，从源点s出发，所有能够到达的顶点构成集合S；所有不能到达的顶点（包括汇点t）构成集合T。这样的割(S,T)就是所谓的“分离割”。该割正好分离了源点s和汇点t。*容量证明：该割(S,T)的容量c(S,T)=∑_{(u,v)∈(S,T)}c(u,v)，即割上所有从S指向T的弧的原始容量之和。根据流量守恒：*从源点s出发，总共有f*的流量需要流出。这些流量必须通过割(S,T)上的弧才能从S流向T。*因此，割(S,T)上的总容量必须至少为f*，否则无法输送足够的流量。*同时，根据割的定义，任何从T到S的弧都不在割弧集中，其容量为0或未被使用。所以割的容量就是输送f*流量所必须跨越的“最小障碍”的总容量，即c(S,T)≥f*。*结合算法终止条件（无增广路径），此时的流f即为最大流，所以f*=c(S,T)。六、*证明：*（⇒）设f是最大流，证明不存在增广路径：假设存在一条关于流f的增广路径P。根据Ford-Fulkerson算法思想，我们可以沿着P增加一个正的流量δ（δ<c_f(u,v)对于所有前向弧(u,v)∈P，δ≤c_f(v,u)对于所有反向弧(v,u)∈P）。这样得到的新流f'=f+δδ仍然是可行流（满足容量约束和流量守恒），并且其流量值为f*+δ>f*。这与f*是最大流的假设矛盾。因此，不存在关于最大流f的增广路径。*（⇐）设不存在增广路径，证明f是最大流：假设流f不是最大流，那么存在另一个可行流f'，其流量值f*'>f*。根据Ford-Fulkerson算法的增广路径定理，从流f到流f'之间存在一条增广路径P。沿着P可以将流量从f增加到f'。这与“不存在增广路径”的假设矛盾。因此，不存在流量值大于f*的可行流，f*即为最大流。七、*思路：最小费用流问题的目标是使总费用最小，而标准的最小费用流问题通常假设所有流量最终汇集到汇点t，或者所有流量都由源点s提供。因此，需要将具有供应和需求的点（生成点和汇入点）统一到源点和汇点。1.引入超级源点S和超级汇点T：*创建一个超级源点S。将所有原始供应点u（供应量为b(u)>0）连接到S。在弧(S,u)上设置容量c(S,u)=b(u)，单位费用e(S,u)=0（因为供应点不再产生费用）。*创建一个超级汇点T。将所有原始需求点v（需求量为d(v)>0）连接到T。在弧(v,T)上设置容量c(v,T)=d(v)，单位费用e(v,T)=0（因为汇入点不再产生费用）。2.处理原始弧：*保持所有原始弧(u,v)∈E。其容量保持为c(u,v)，单位费用保持为e(u,v)。3.处理原始供应和需求：*超级源点S的总供应量等于所有原始供应点的供应量之和，即b(S)=∑_{u:b(u)>0}b(u)。*超级汇点T的总需求量等于所有原始需求点的需求量之和，即d(T)=∑_{v:d(v)>0}d(v)。*流量守恒约束：为了保证原始供应点u的流量确实等于其供应量b(u)，可以在弧(S,u)和弧(u,T)之间添加一条虚弧(u,S)，容量为0，费用为任意大正数（例如无穷大）。这样，流量的分配将自动满足b(u)=流出u的流量-流入u的流量=c(S,u)-c(u,T)=b(u)-0。同样地，为了确保原始需求点v的需求量d(v)得到满足，可以在弧(v,T)和弧(T,v)之间添加一条虚弧(T,v)，容量为0，费用为任意大正数。这样，d(v)=流入v的流量-流出v的流量=c(v,T)-c(T,v)=d(v)-0。*另一种处理方式：可以将原始供应点u看作是汇点，其“需求量”为-b(u)；将原始需求点v看作是源点，其“供应量”为-d(v)。然后直接应用标准最小费用流模型。引入超级源点S和超级汇点T后，S的总供应量为∑_{v:d(v)>0}-d(v)，T的总需求量为∑_{u:b(u)>0}-b(u)。虚弧的处理方式类似。4.求解：在这个扩展后的网络中，求解标准的最小费用流问题。得到的流在原始网络中即实现了所有供应点和需求点的流量要求，并使总费用最小。八、*思路：这个问题要求判断是否存在流量值为k的流。这可以看作是在原始网络流模型中，给定一个特定的流量值k作为“总供应量”或“总需求量”来求解。这本质上是在原始网络流问题的基础上增加了一个全局约束。1.模型构建：*保持原始网络G=(V,E)，弧容量c(u,v)，单位费用e(u,v)。*目标：找到一个流f，使得流量值为k，即∑_{v:(s,v)∈E}f(s,v)-∑_{v:(v,s)∈E}f(v,s)=k。*约束：源点s的总供应量b(s)=k，汇点t的总需求量d(t)=k。其他点的净流量为0。*容量约束：0≤f(u,v)≤c(u,v)对所有弧(u,v)∈E。*流量守恒：对所有顶点u≠s,t，有∑_{v:(u,v)∈E}f(u,v)=∑_{v:(v,u)∈E}f(v,u)。2.算法：*方法一：转化为最小费用流问题。*将此问题转化为标准的最小费用流形式。引入超级源点S和超级汇点T。*在弧(S,s)上设置容量c(S,s)=k，费用e(S,s)=0。*在弧(t,T)上设置容量c(t,T)=k，费用e(t,T)=0。*所有其他弧的容量和费用保持不变。*求解这个标准的最小费用流问题。如果得到一个总流量为k的流，则存在流量值为k的流；否则不存在。*方法二：基于Ford-Fulkerson算法。*使用Ford-Fulkerson算法（或其变种如Dinic、Edmonds-Karp）。*初始化流f为0。*迭代执行：在当前的残留网络N_f中，使用BFS或DFS寻找一条从s到t的增广路径P。*如果找不到这样的路径，则根据Ford-Fulkerson定理，当前流f即为最大流，其流量值f*即为网络的最大流值。比较f*和k：*如果f*<k，则不存在流量值为k的流（因为最大流都小于k）。*如果f*≥k，则存在流量值为k的流（最大流值至少为k，可以通过调整找到等于k的流，或者f*本身即为k）。*如果找到路径P，计算δ=min{c_f(u,v)|(u,v)∈P}（路径上的最小残差容量）。*沿路径P调整流量：f(u,v)←f(u,v)+δ对所有前向弧(u,v)∈P；f(v,u)←f(v,u)-δ对所有反向弧(v,u)∈P。*更新残留网络N_f。*复杂度分析：Ford-Fulkerson算法的时间复杂度依赖于残差网络中增广路径的寻找方式。如果使用基于BFS的Ford-Fulkerson（Edmonds-Karp），其时间复杂度为O(VE^2)。如果使用Dinic算法，其时间复杂度为O(V^2E)。如果网络接近饱和，Ford-Fulkerson可能非常慢。Dinic通常更快。九、*思路：要证明这一点，可以从最大流-最小割定理出发，并结合残留网络的概念。1.应用最大流-最小割定理：设网络G=(V,E)中存在一个流量值为f*=C的最大流f。根据最大流-最小割定理，存在一个割(S,T)，使得f*=c(S,T)，其中S是包含源点s的顶点集，T是包含汇点t的顶点集。2.分析割的性质：割(S,T)将网络分割为两部分，源点s在S中，汇点t在T中。割的容量c(S,T)=∑_{(u,v)∈(S,T)}c(u,v)是必须跨越S和T之间才能将流量从S送入T的“最小障碍”的总容量。3.考虑残留网络：在最大流f下，残留网络N_f中，弧(u,v)的残差容量为c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。4.寻找未饱和弧：如果存在一条从s到t的路径P在残留网络N_f中，这意味着在原始网络G中存在一条从s到t的路径，使得路径上所有弧的残差容量c_f(u,v)>0。换句话说，对于路径P上的所有弧(u,v)，在原始流f下，流量f(u,v)<c(u,v)。5.与割的关系：这意味着，对于路径P上的任何弧(u,v)，其终点v不能在割(S,T)的集合T中。否则，如果v∈T，那么u∈S（因为P是从s到t的路径），那么弧(u,v)是从S指向T的割弧，其残差容量c_f(u,v)=0。这与P的存在性矛盾。因此，路径P上的所有顶点（除了可能的起点s和终点t）都必须在割(S,T)的集合S中。6.结论：既然路径P上的所有顶点都在S中，那么路径P上不存在指向T的割弧。因此，路径P上所有弧的原始容量c(u,v)都必须小于或等于割(S,T)的容量c(S,T)。如果存在一条这样的路径P，那么必然有f(u,v)<c(u,v)对于所有(u,v)∈P。这表明，即使在最大流f下，也至少存在一条从s到t的路径，其上所有弧的容量都没有被完全饱和。十、*思路：任务分配问题可以看作是将任务（物品）分配给工人（接收者），目标是使得完成所有任务的总时间最短。这与最小费用流问题非常相似，因为最小费用流问题也是要在满足流量约束的同时，最小化某些“成本”。1.模型构建：*顶点集：V={s,w_1,w_2,...,w_m,t,j_1,j_2,...,j_n}。*s：超级源点。*w_i：代表第i个工人，i=1,2,...,m。*t：超级汇点。*j_k：代表第k个任务，k=1,2,...,n。