2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的线性回归原理

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的线性回归原理考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在经典线性回归模型`Y=β₀+β₁X+ε`中，ε通常被假设服从正态分布，其均值为0，方差为σ²。这个假设主要用于（）。A.估计回归系数的方差B.构造回归系数的置信区间C.进行回归系数的显著性检验（t检验）D.拟合优度（R²）的计算2.最小二乘法（OLS）估计线性回归模型参数的基本思想是（）。A.使得回归直线通过尽可能多的数据点B.使得因变量的观测值与拟合值之间的绝对误差之和最小C.使得因变量的观测值与拟合值之间的平方和最小D.使得自变量的观测值与拟合值之间的误差平方和最小3.在解释线性回归模型的拟合优度时，R²（判定系数）的值越接近1，意味着（）。A.模型对因变量的解释能力越强B.模型对因变量的解释能力越弱C.模型中自变量的个数越多D.模型的误差方差σ²越小4.对于一个通过显著性检验（p<0.05）的回归系数β₁，我们可以得出（）。A.β₁一定等于0B.β₁不等于0的可能性小于5%C.自变量X对因变量Y有线性影响D.模型的R²一定大于0.955.在线性回归诊断中，如果残差图显示出残差的方差随拟合值增大而增大，这表明模型可能存在（）。A.非线性关系B.异方差性C.自相关D.多重共线性二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.线性回归模型`Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+ε`中，自变量X₁和X₂之间存在完全多重共线性时，OLS估计量将。7.若线性回归模型的假设条件均成立，则回归系数β₁的OLS估计量服从正态分布。8.均方误差（MSE）是用于衡量线性回归模型拟合效果的一个指标，其计算公式为，其中SSres是残差平方和。9.在进行简单线性回归分析时，检验回归系数β₁是否显著异于0的统计量是。10.若一个线性回归模型包含k个自变量，则其残差平方和（SSres）的自由度为。三、计算题（共35分。请写出详细的计算过程。）11.（10分）设某研究收集了关于家庭收入（X，单位：万元）和消费支出（Y，单位：万元）的数据，并拟合得到如下简单线性回归方程：`Ŷ=1.5+0.8X`。假设已知样本容量n=50，观测到的因变量总平方和（SST）为150，残差平方和（SSres）为30。（1）计算回归系数β₁（0.8）的t统计量，并假设α=0.05，说明是否可以拒绝原假设“家庭收入对消费支出没有线性影响”？（2）计算该回归模型的判定系数R²，并解释其含义。12.（15分）在线性回归模型`Y=β₀+β₁X+ε`中，假设ε~N(0,σ²)。对于给定的样本数据，计算得到回归系数β₁的估计值为`b₁=2`，其标准误为`SE(b₁)=0.5`。样本容量n=30。（1）请写出检验回归系数β₁是否显著异于0（即H₀:β₁=0vsH₁:β₁≠0）的t统计量的表达式。（2）假设检验的显著性水平α=0.01，请根据t分布表，给出拒绝域（临界值法）。（3）计算该t统计量的观测值，并根据拒绝域判断是否应拒绝原假设H₀。13.（10分）解释什么是线性回归模型中的异方差性？如果发现线性回归模型存在异方差性，可能会对模型估计和推断（如参数估计的无偏性、有效性、置信区间和假设检验的准确性）产生哪些主要影响？四、简答题（共30分。请简要明了地回答下列问题。）14.（15分）请简述线性回归模型的主要假设条件，并说明为什么这些假设条件对于进行有效的回归分析和推断是必要的。15.（15分）在实际进行线性回归分析时，为什么通常需要进行模型诊断？请列举至少三种常见的回归诊断方法，并简要说明其目的。试卷答案一、选择题1.C2.C3.A4.B5.B二、填空题6.无意义（或发散，或无法估计）7.正态8.MSE=SSres/(n-2)9.t统计量(或t检验统计量)10.n-2三、计算题11.（1）t统计量计算：t=b₁/SE(b₁)=0.8/sqrt(MSE/SSxx)，其中MSE=SSres/(n-2)=30/(50-2)=0.6154，SSxx是自变量X的离差平方和。题目未直接给出SSxx，但通常此类题目会隐含提供或假设可计算。若按标准题目设计应有SSxx。假设SSxx已知或可计算得到，则完成计算。t计算后，查t分布表得临界值t_(α/2,n-2)，比较后做决策。若假设n=30，α=0.05，t_(0.025,28)≈2.048。比较计算得到的t值与2.048，若大于则拒绝H₀。（2）R²计算：R²=1-SSres/SST=1-30/150=1-0.2=0.8。含义：该回归模型可以解释因变量Y总变异性的80%。12.（1）t统计量表达式：t=b₁/SE(b₁)。（2）拒绝域：对于α=0.01的双尾检验，自由度df=n-2=30-2=28。查t分布表得临界值t_(0.005,28)≈2.763。拒绝域为t<-2.763或t>2.763。（3）t统计量观测值：t=2/0.5=4。因为4>2.763，落在拒绝域内，所以拒绝原假设H₀。13.异方差性是指线性回归模型中误差项ε的方差σ²不再是常数，而是随着自变量的取值变化而变化。主要影响包括：-参数估计量（OLS）仍然是无偏的，但不再是有效的（即存在更有效的估计量）。-基于OLS估计量计算的置信区间和假设检验的临界值将不再准确，导致统计推断的可靠性降低（可能过度保守或过度乐观）。四、简答题14.线性回归模型的主要假设条件包括：-线性关系假设：因变量Y与自变量X之间的关系是线性的。-独立性假设：样本观测值是独立同分布的，即一个观测值的误差项与其它观测值的误差项不相关。-同方差性假设：误差项ε的方差σ²对所有自变量的取值都是相同的。-误差项正态性假设：误差项ε服从正态分布N(0,σ²)。这些假设对于进行有效的回归分析和推断是必要的，因为：-线性假设是模型的基础，若不满足，模型形式错误。-独立性假设保证了模型估计的合理性，若不满足（如自相关），会导致参数估计的有偏和无效。-同方差性假设保证了参数估计的有效性（最小方差），且使得置信区间和假设检验的构造准确可靠。若不满足（异方差性），参数估计仍然无偏但无效，且标准误计算偏差，导致推断错误。-正态性假设主要用于小样本情况下进行精确的假设检验（如t检验、F检验）和置信区间估计。在大样本下，中心极限定理保证了推断的近似有效性，但对残差分析仍有一定帮助。15.在实际进行线性回归分析时，通常需要进行模型诊断，目的是检查模型的基本假设是否得到满足，以及识别数据中可能存在的异常情况。这有助于确保模型的有效性，提高预测的准确性和可靠性。常见的回归诊断方法包括：-残差分析：通过分析残差（实际值与拟合值之差）的图形（如残差序列图、残差与拟合值散点图、残差正态概率图）和统计量，检查残差是否呈现随机性、是否存在异方差性、是否满足正态性假设。-异常值检测：识别数据中可能对模型产生不成比例影响的极端观测值（leverage高、残差大）。常用的指标包括帽子矩阵（H）