上海市静安区市西初级中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学练习卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页上海市静安区市西初级中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学练习卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各组图形一定相似的是（

）A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似2．如图，与相交于点C，若，则等于（

）A． B． C． D．3．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正确结论的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤4．下列命题中，真命题是（

）A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似B．周长相等的两个矩形对角线相等C．相似多边形都是位似多边形D．一元二次方程的常数项为5．如图，，若，，，则的长度是（

）A． B．5 C． D．86．如图，在四边形中，，则点A到的距离是（

）

A．3 B． C．2 D．二、填空题7．已知线段，那么线段a和b的比例中项为．8．在比例尺为的图纸上，长度为的线段实际长为．9．如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为1.65米，他估计自己眼睛距离地面的距离为1.6米，同时测得米，米，则楼高为米．10．如图，点D，E，F分别在的边上，，．（1）；（2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则．（填数字）11．如图，，若，，则．

12．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为．13．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么．14．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为．

15．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段．16．如图，在中，．若，，则．17．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过秒钟，与相似．18．如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动．将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒．当四边形为菱形时，的值为．三、解答题19．解分式方程∶．20．如图，已知，，求的长．21．如图，在中，对角线交于点，为中点，连接，且交于点，．(1)证明：；(2)求的长．22．【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题．如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，．(1)若点，分别是线段，的中点时，求证：．证明：，，．……请完成以上证明过程．(2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______；(3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值．23．如图1，正方形和正方形，连接，．(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______；(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长．24．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C．(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；(2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点．①试说明；②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标．25．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；【结论应用】（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．

《上海市静安区市西初级中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学练习卷》参考答案题号123456答案BCDDCB1．B【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；故选B．【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．2．C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，再根据相似三角形对应边成比例，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C．3．D【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE=BF=BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，在Rt△ABF中，AF=∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴，即，解得AM=∴MF=AF-AM=，∴AM=MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则即解得MN=，AN=，∴NB=AB-AN=2a-=，根据勾股定理，BM=过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK=a-=，MK=-a=，在Rt△MKO中，MO=根据正方形的性质，BO=2a×，∵BM2+MO2=∴BM2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．4．D【分析】利用相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义分别判断后即可得解．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义等知识，难度不大．【详解】解：A.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B.周长相等的两个矩形的对角线不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C.相似多边形不一定是位似多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D.将一元二次方程化为标准形式为，它的常数项为，因此一元二次方程的常数项为，故原命题正确，是真命题，符合题意．故选：D．5．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，故选：C．6．B【分析】根据题意可得B、C、D在以A为圆心，半径为3的圆上，则由圆周角定理可得，利用勾股定理求出的长，进而利用三角形面积法求出答案即可．【详解】解：∵，∴B、C、D在以A为圆心，半径为3的圆上，∵，∴，∴，∴，设点A到的距离为h，∴，∴，故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键．7．【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可．【详解】解：设线段a和b的比例中项为x，由题意得，，∴，∴或（舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意，∴线段a和b的比例中项为，故答案为：．8．5【分析】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺＝图上距离÷实际距离是解题的关键．【详解】解：故答案为：5．9．22【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：根据题意，∵，（反射角等于入射角），∴，∴，即，∴．所以这栋大楼高为22米．故答案为：22．10．/0.25【分析】本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由得出，则可得出答案；（2）过点F作交于点G，证明，得出，由（1）得，证出，则可得出答案．【详解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）如图，过点F作交于点G，∵点M是的中点，∴N是的中点，∴是的中位线，∴，设，∴，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．11．6【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：6．12．6【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长．【详解】解：过作轴于，交于，如图，．，，∴，，，，故答案为：6．13．6【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可．【详解】解：由题意可知，即，∴．故答案为：6．14．/0.6【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可．【详解】解：如图，在中，，∴，

∵，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．15．【分析】本题考查了线段的黄金分割点，理解并掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键．根据题意，，由此即可求解．【详解】解：点是线段的黄金分割点（），如果，∴，∴，故答案为：．16．12【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长．【详解】解：，，，，．故答案为：12．17．2或5/5或2【分析】分和两种情况解答即可．【详解】解：设P、Q运动时间为秒，根据题意，，，则，当时，则，即，解得：；当时，则，即，解得：，综上，当经过2或5秒钟，与相似．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键．18．【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，根据菱形的性质得，故，，理解题意得，结合勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：∵在中，，，∴，∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∵点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动．设点运动的时间为秒．∴，则，在中，，∴，整理得，∴，∴解得（舍去），故答案为：19．【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：，去分母得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：当时，，所以是分式方程的解．20．9【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，解得：．21．(1)详见解析(2)3【分析】考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．（1）由四边形为平行四边形，为中点，M为中点，根据中位线的性质得到，即可证得：；（2）由可得到，根据，即可求出，根据平行四边形的性质，即可确定出的长；【详解】（1）证明：中为中点，M为中点，∴，，∴．（2）解：由（1）知，，，，，，四边形为平行四边形，．22．(1)见解析(2)8(3)【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．（1）先证明，即可证明；（2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到；（3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答．【详解】（1）证明：，，，，∵点，分别是线段，上的中点时，∴∴，，，∴；（2）解：，∴，，由（1）得，∴∵∴，∴的面积为，设边上的高为，，，，故答案为：；（3）解：∵，，∴，∴∵，∴，∴则∴则故当时，，此时．23．(1)，，理由见解析(2)，，理由见解析；(3)8．【分析】（1）证明，后证明即可；（2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可．（3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可．【详解】（1），．理由如下：延长，交于点N，交于点P，∵四边形，四边形是正方形，∴，，，在和中，，∴．∴，，∵，，∴，∴，∴．故且．（2）解：，．理由如下：延长，交于点H，交于点I，∵四边形，四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．故且．（3）解：设与交的交点为M，∵，∴，在中，，∴，根据勾股定理得：，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，由（2）知，，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．24．(1)①，②，(2)①见解析；②或或【分析】（1）①把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析式，求得B的坐标，即可得到n的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标；（2）①根据题意易证是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得的长，则F的坐标可以求得．【详解】（1）解：①把代入得：，解得：，则反比例函数解析式是：；②把代入得：，∴，设直线的解析式为，把、代入，得：，解得：，则直线的解析式是：，令，解得：，则D的坐标是：；（