高考物理一轮复习 知识点65：电势差与电场强度的关系（解析版）（基础版）

知识点65：电势差与电场强度的关系题型一：等分法计算匀强电场的电场强度【知识思维方法技巧】匀强电场中等势面未知计算电场强度的方法：等分法（1）等分法：匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分成n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的eq\f(1,n)，采用这种等分间距求电势问题的方法叫等分法。推论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示．推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．（2）若已知电场中某几点的电势，求匀强电场的电场强度的大小和方向时，可以利用等分法先找出一条等势线，作等势线的垂线就是电场线所在的直线，由电势高的等势线指向电势低的等势线是电场强度的方向，再根据E＝eq\f(U,d)(U是两等势面间的电势差，d是该两等势面间的距离)求电场强度的大小。类型一：已知直角坐标系空间位置模型【典例1a基础题】如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2V，a点的坐标为(0cm，4cm)，电势为8V，b点的坐标为(3cm，0cm)，电势为8V，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则电场强度的大小为()A.250V/m B.200V/mC.150V/m D.120V/m【典例1a基础题】【答案】A【解析】由题意知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方。过O点作ab的垂线交ab于c点，由几何关系得tan∠b＝eq\f(4,3)，得∠b＝53°，Oc＝Ob·sin∠b＝0.03m×sin53°＝2.4×10－2m，又O点电势为2V，c、O间的电势差U＝8V－2V＝6V，则电场强度大小E＝eq\f(U,Oc)＝250V/m，故选项A正确。【典例1a基础题对应练习】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m【典例1a基础题对应练习】【答案】A【解析】在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3V(如图所示)，因此B、C为等势面．O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(OB,\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m.根据E＝eq\f(U,d)得，匀强电场的电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故选项A正确，选项B、C、D错误．类型二：已知三角形空间位置模型【典例1b基础题】如图所示，边长为1cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2eV.电场强度大小为()A．200V/m B．300V/mC．200eq\r(3)V/m D．400V/m【典例1b基础题】【答案】D【解析】电子由A点移动到B点，电场力做功4eV，则UAB＝eq\f(WAB,－e)＝eq\f(4eV,－e)＝－4V；电子由A点移动到C点，电场力做功2eV，UAC＝eq\f(WAC,－e)＝eq\f(2eV,－e)＝－2V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝eq\f(UBA,BA)＝eq\f(4,0.01)V/m＝400V/m，选项D正确．【典例1b基础题对应练习】如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25cm，BC＝20cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1V、26V、10V，则该匀强电场的场强大小为()A．60V/m B．75V/mC．80V/m D．100V/m【典例1b基础题对应练习】【答案】D【解析】依题意，有sin∠A＝eq\f(\x\to(BC),\x\to(AB))＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之间找到电势为10V的D点，C、D位于同一等势面上，根据几何关系可知eq\f(UDA,UBA)＝eq\f(10－1,26－1)＝eq\f(\x\to(DA),\x\to(BA))，在三角形ACD中，根据余弦定理，有eq\x\to(CD)2＝eq\x\to(CA)2＋eq\x\to(DA)2－2×eq\x\to(CA)×eq\x\to(DA)cos53°，解得eq\x\to(CD)＝12cm，根据正弦定理，有eq\f(sin∠ACD,\x\to(DA))＝eq\f(sin53°,\x\to(CD))，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，则有eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)sin37°＝9cm，根据匀强电场电势差与场强的关系式，有E＝eq\f(UDA,\x\to(AD))＝eq\f(10－1,9×10－2)V/m＝100V/m.故选D.类型三：已知四边形空间位置模型【典例1c基础题】(多选)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平行。已知ab＝ad＝2cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0V、4V、4V，则()A．c点的电势为10VB．匀强电场的场强大小为400V/mC．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4eVD．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能【典例1c基础题】【答案】AB【解析】由几何关系可知dc＝1.5ab，则Udc＝1.5Uab，即φd－φc＝1.5(φa－φb)，可得φc＝10V，选项A正确；因bd连线是等势线，则电场强度方向沿着从a点垂直bd连线方向，则电场强度大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(4,0.02×sin30°)V/m＝400V/m，选项B正确；若将电子从a点移到b点，电场力做正功4eV，选项C错误；电子和质子分别带等量异号电荷，则放在d点时，具有的电势能大小相等，符号相反，选项D错误。【典例1c基础题对应练习】(多选)如图所示，匀强电场内有一矩形ABCD区域，电荷量为e的某带电粒子从B点沿BD方向以8eV的动能射入该区域，恰好从A点射出该区域，已知矩形区域的边长AB＝8cm，BC＝6cm，A、B、C三点的电势分别为6V、12V、18V，不计粒子重力，下列判断正确的是()A．粒子带负电B．电场强度的大小为125V/mC．仅改变粒子在B点初速度的方向，该粒子可能经过C点D．粒子到达A点时的动能为12eV【典例1c基础题对应练习】【答案】BC【解析】根据匀强电场中电势等分法，可知几何中心点P点的电势为12V，则BPD为等势线，过C点作垂直于BPD的电场线，如图所示，方向斜向左下方，因带电粒子能从A点射出，则粒子带正电，A错误；由几何关系可知∠CDB＝37°，根据场强公式有E＝eq\f(UCF,dCF)＝eq\f(φC－φF,CDsin37°)＝eq\f(6,8×0.6×10－2)V/m＝125V/m，B正确；设粒子经过C点，根据动能定理可得eUBC＝EkC－EkB，解得EkC＝2eV，所以仅改变粒子在B点初速度的方向，该粒子可能经过C点，C正确；根据动能定理可得，粒子到达A点时的动能为eUBA＝EkA－EkB，解得EkA＝14eV，D错误。类型四：已知多边形空间位置模型【典例1d基础题】如图，正六边形ABCDEF区域内有平行于纸面方向的匀强电场(图中未标出)，A、B、C三点电势分别为3V、6V、9V，现有一个电子从E点以初速度v0沿EB方向射入．下列说法正确的是()A．F点电势为0VB．DF的连线是电场中一条等势线C．电子射出六边形区域时速度大小可能仍是v0D．电子离开此区域动能增量的最大值是3eV【典例1d基础题】【答案】D【解析】连接AC，根据匀强电场电势随距离均匀变化(除等势面)的特点，则知AC中点的电势为6V，连接EB，EB即为一条等势线，CA连线即为一条电场线，DF与CA平行，所以DF也是一条电场线，故B错误；由上可知AF为等势面，所以F点电势为3V，故A错误；电子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的知识和等势面与电场线的关系可知电子不可能再回到同一等势面上，故C错误；由题图可知电子从DC间离开时动能最大，即动能增量为：ΔEk＝eU＝3eV，故D正确．题型二：非匀强电场中U＝Ed的定性应用【知识思维方法技巧】非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用：（1）判断电场强度大小：结合等差等势面的疏密判断电场强度大小，根据E＝eq\f(U,d)，当电势差U一定时，等差等势面越密，则沿电场方向的距离d越小，电场强度E＝eq\f(U,d)越大；反之，则E越小。等差等势面越密，电场强度越大。（2）判断电势差的大小：结合电场线的疏密定性判断非匀强电场中两点间电势差的大小，根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。如图甲所示，AB＝BC，则有UAB＞UBC；平均场强E越小，则电势差U越小，如图乙所示，AB＝BC，则有UAB＜UBC【典例2基础题】某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示等势面，过a、b两点的等势面电势分别为40V和10V，则a、b连线的中点c处的电势应为()A．一定等于25V B．大于25VC