江苏省无锡市江阴市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（含解析）

2025-2026学年第一学期月质量检测卷

高二数学

一．选择题（共8小题）

1．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（）

A．B．2C．D．5

2．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（）

A．3B．﹣3C．9D．﹣9

3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．+，，﹣B．，+，﹣C．+，﹣，D．+，++，

4．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的

一点，且PM＝3MG，记，则＝（）

A．B．

C．D．

5．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则

＝（）λ

A．3B．﹣3C．7D．﹣7

6．下列命题中正确的是（）

A．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）

B．若直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），平面的法向量为，则l⊥

C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为α120°，则直线l与平面所成的角为30α°

D．已知O为空间任意一点，Aα，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，α若，

则

7．已知两点A（﹣3，2），B（2，1），过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l

的斜率的取值范围为（）

A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]

C．D．

8．已知直线l的方程为xsin+y﹣1＝0，R，则直线l的倾斜角范围是（）

A．αα∈B．

第1页

C．D．

二．多选题（共3小题）

（多选）9．下列说法正确的是（）

A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）

B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限

C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0

D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则

该直线l的斜率为

（多选）10．下列四个结论正确的是（）

A．任意向量，，若，则或或

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．空间中任意向量都满足

D．若，，则

（多选）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E是棱CD上的

动点，且．则下列结论正确的是（）

A．EB1⊥AD1

B．点E到直线A1B1的距离为

C．直线AE与B1D1所成角的范围为

D．二面角E﹣A1B1﹣A的大小为

三．填空题（共3小题）

12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标

是．

2

13．已知直线l1：ax+2y+8＝0与l2：x+（a﹣1）y+a﹣1＝0平行，则实数a的值为．

14．已知a＞0，b＞0，直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，则的最小值

为．

四．解答题（共5小题）

15．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求：

（1）AC边上的中线所在直线的方程；

（3）AC边上的高所在直线的方程．

第2页

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的

中点，F为线段BB1的中点．

（1）求点A1到直线B1E的距离；

（2）求点A1到平面AB1E的距离．

17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面ACC1A1为正方形，AC＝BC＝2，D，E

分别为AB，AC1的中点．

（1）求证：DE∥平面BB1C1C；

（2）求直线AC与平面B1DE所成角的正弦值．

第3页

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD上，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面

ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．

（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小为300，求的值．

19．如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且

EF∥AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

（1）求证：EF⊥PC；

（2）若BE＝2AE，二面角P﹣EF﹣C是直二面角，求二面角P﹣CE﹣F的正切值；

（3）当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

第4页

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

题号12345678

答案CDCACCAB

二．多选题（共3小题）

题号91011

答案ABDABABD

一．选择题（共8小题）

1．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（）

A．B．2C．D．5

【解答】解：因为＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，

所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即x＝1，所以＝（3，1，1），所以，

故选：C．

2．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（）

A．3B．﹣3C．9D．﹣9

【解答】解：∵＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，∴，

解得x＝﹣6，y＝﹣3，∴实数x+y＝﹣6﹣3＝﹣9．故选：D．

3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．+，，﹣B．，+，﹣C．+，﹣，D．+，++，

【解答】解：由共面向量的充要条件可得：

对于A选项，＝（+）+（﹣），所以+，，﹣三个向量共面；

对于B选项，同理：，+，﹣三个向量共面；

对于D选项，＝，所以三个向量共面；故选：C．

第5页

4．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记

，则＝（）

A．B．

C．D．

【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．

因G为△ABC的重心，，

故＝，

又PM＝3MG，

故＝．

故选：A．

5．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则

＝（）λ

A．3B．﹣3C．7D．﹣7

【解答】解：因为P，A，B，C四点共面，所以，，共面，

不妨设，

第6页

所以，解得．故选：C．

6．下列命题中正确的是（）

A．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）

B．若直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），平面的法向量为，则l⊥

C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为α120°，则直线l与平面所成的角为30α°

D．已知O为空间任意一点，Aα，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，α若，

则

【解答】解：点M（3，2，1）关于平面yoz对称的点的坐标为（﹣3，2，1），故A错误；

由•＝6﹣4﹣2＝0，可得⊥，即有l∥，或l，故B错误；

若直线l的方向向量与平面的法向量的夹α角为12⊂0α°，则直线l与平面所成的角为120°﹣90°＝30°，

故C正确；αα

O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，

则m﹣+1＝1，解得m＝，故D错误．

故选：C．

7．已知两点A（﹣3，2），B（2，1），过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l

的斜率的取值范围为（）

A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]

C．D．

【解答】解：如图所示，

直线PB逆时针旋转到PA的位置才能保证过点P（0，﹣1）的直线与线段AB有交点，

从PB转到PF过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，

此时斜率，所以此时k[1，+∞）；

∈

第7页

从PF旋转到PA过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，

此时斜率，所以此时k（﹣∞，﹣1]，

∈

综上可得直线l的斜率的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．

故选：A．

8．已知直线l的方程为xsin+y﹣1＝0，R，则直线l的倾斜角范围是（）

A．αα∈B．

C．D．

【解答】解：由直线l的方程为xsin+y﹣1＝0，R，化为y＝﹣xsin+，

αα∈α

由﹣1≤sin≤1，设直线l的倾斜角为，则tan＝﹣sin[﹣，]，且0≤＜，

αφφα∈φπ

所以0≤≤或≤＜；即直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，）．

φφππ

故选：B．

二．多选题（共3小题）

（多选）9．下列说法正确的是（）

A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）

B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限

C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0

D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则

该直线l的斜率为

【解答】解：对于选项A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，

令得，，

所以直线恒过（1，﹣2），故A正确；

对于选项B，由AB＜0，BC＜0，则，

而直线可化为，所以直线不经过第四象限，故B正确；

对于选项C，若直线过原点时，直线l为，即l：3x﹣2y＝0，故C错误；

对于选项D，令原直线为ax+by+c＝0，根据平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，

所以ax+by+3a﹣2b+c＝0与ax+by+c＝0为同一直线，

第8页

所以3a﹣2b+c＝c，即﹣＝﹣，故D正确．

故选：ABD．

（多选）10．下列四个结论正确的是（）

A．任意向量，，若，则或或

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．空间中任意向量都满足

D．若，，则

【解答】解：对A：因为，因为，

则或或，

即或或，故A正确；

对B：若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面，故B正

确；

对C：因为两个向量的数量积是实数，•，•为实数，

故是与共线的向量，是与共线的向量，

与不一定共线，

所以不一定成立，故C错误；

对D：当≠时，对任意向量，，都成立，当＝0时，∥不一定成立，故D错

误．

故选：AB．

（多选）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E是棱CD上的动点，且

．则下列结论正确的是（）

第9页

A．EB1⊥AD1

B．点E到直线A1B1的距离为

C．直线AE与B1D1所成角的范围为

D．二面角E﹣A1B1﹣A的大小为

【解答】解：如图建立空间直角坐标系，

则A（a，0，0），E（0，m，0），0≤m≤a，B1（a，a，a），D1（0，0，a），A1（a，0，a），

对于A：，

因为，所以，即EB1⊥AD1，故A正确；

对于B：由正方体的结构特征知，CD∥A1B1且四边形CDA1B1为矩形，

所以E到A1B1的距离为，故B正确．

对于C：，设直线AE与B1D1所成角为，

θ

则，

显然在m[0，a]中，cos随m的变大而变小，

当m＝a时∈，cos最小等θ于0，此时最大为；

θθ

当m＝0时，cos最大等于，此时最小为，

θθ

所以，即直线AE与B1D1所成角的范围为，故C不正确；

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对于D：二面角E﹣A1B1﹣A，即二面角D﹣A1B1﹣A，

AA1⊥A1B1，DA1⊥A1B1，DA1平面EA1B1，AA1平面AA1B1，

所以∠DA1A即为二面角E﹣A⊂1B1﹣A的平面角，⊂

在正方形ADD1A1中，则二面角E﹣A1B1﹣A的大小为，故D正确．

故选：ABD．

三．填空题（共3小题）

12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是

．

【解答】解：，，

∴向量在向量上的投影向量的坐标是：．

故答案为：．

2

13．已知直线l1：ax+2y+8＝0与l2：x+（a﹣1）y+a﹣1＝0平行，则实数a的值为﹣1或2．

2

【解答】解：直线l1：ax+2y+8＝0与l2：x+（a﹣1）y+a﹣1＝0平行，

故a（a﹣1）﹣2＝0，整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或2；

当a＝2或﹣1时，两直线都不重合，故a＝﹣1或2．

故答案为：﹣1或2．

14．已知a＞0，b＞0，直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，则的最小值为

8．

【解答】解：∵a＞0，b＞0，直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，

∴（a﹣1）×1+1×2b＝0，即a+2b＝1．

则＝+＝2+++2≥4+2＝4+4＝8，当且仅当a＝2b时，等号成立，

故的最小值为8，故答案为：8．

四．解答题（共5小题）

15．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求：

（1）AC边上的中线所在直线的方程；

（2）AC边上的高所在直线的方程．

【解答】解：（1）解法1：设AC的中点为D（x，y），由中点坐标公式可得D（﹣4，2），

第11页

由两点式得BD所在直线方程为，即2x﹣y+10＝0．

解法2：设AC的中点为D（x，y），由中点坐标公式可得D（﹣4，2），则，

所以BD所在直线方程为y﹣6＝2（x+2），即2x﹣y+10＝0；

（2）因为，B（﹣2，6），

所以AC边上的高所在直线方程为y﹣6＝﹣2（x+2），即2x+y﹣2＝0．

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．

（1）求点A1到直线B1E的距离；

（2）求点A1到平面AB1E的距离．

【解答】（1）以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

所以

所以＝（0，1，0），，

＝，所以，

所以点A1到直线B1E的距离为，

第12页

（2）设平面AB1E的一个法向量为，

，

由，令z＝2，得，设点A1到平面AB1E的距离为d，

则，即点A1到平面AB1E的距离为．

17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面ACC1A1为正方形，AC＝BC＝2，D，E

分别为AB，AC1的中点．

（1）求证：DE∥平面BB1C1C；

（2）求直线AC与平面B1DE所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：连接BC1，

在△ABC1中，因为D，E分别为AB，AC1的中点，所以DE∥BC1，

又DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C．

（2）建⊄立空间直角坐标系⊂C﹣ABC1，

则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，1，0）．E（1，0，1），

第13页

因此，．

设平面B1DE的法向量为，则，，

所以，即

令z＝1，则x＝3，y＝1，所以，

设直线AC与平面B1DE所成角为．

θ

所以．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD上，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面

ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．

（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小为300，求的值．

【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，

又∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ平面ABCD，

∴BQ⊥平面PAD，∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．⊂

（2）∵PA＝PD，Q为A⊂D的中点，∴PQ⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系，⊂

第14页

易知平面BQC的法向量为，

又，，

∴设，[0，1]，

λ∈

，

又，设平面MBQ的法向量为，取，

∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，

∴，解得，即，∴．

19．如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且

EF∥AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

（1）求证：EF⊥PC；

（2）若BE＝2AE，二面角P﹣EF﹣C是直二面角，求二面角P﹣CE﹣F的正切值；

（3）当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

【解答】解：（1）因为AC⊥BC，AC∥EF，

所以EF⊥BC，即EF⊥FC，EF⊥PF，PF∩FC＝F，PF，FC平面PFC，

EF⊥平面PFC，PC平面PFC，所以EF⊥PC．⊂

（2）因为二面角P﹣⊂EF﹣C是直二面角，

所以平面PEF⊥平面EFC，平面PEF∩平面EFC＝EF，PF⊥EF，PF平面PEF，PF⊥平面EFC，

⊂

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以FE，FC，FP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面CEF法向量为，

，

设平面PCE法向量为，则，即，

令z＝1，得y＝2，x＝1，所以，

设二面角P﹣CE﹣F为，，

θ

，；

（3）分别以，方向分别为x，y轴的正方向，过F作BC的垂线为z轴，

设P（0，m，n），F（0，t，0），D（﹣1，0，0），A（﹣2，0，0），E（t﹣2，t，0），显然n＞0，

，，，得出m＝﹣1，

则P（0，﹣1，n），，根据翻折后勾股定理得n2+（t+1）2＝（2﹣t）2，

化简得n2＝3﹣6t，因为构成直角三角形，则2﹣t＞t+1，且t＞0，解得，

设平面ABC的法向量为，设直线PE与平面所成角为，

β

第16页

＝，

则＝