广西部分学校2025-2026学年高二年级上册开学考试数学试题（含解析）

广西部分学校2025-2026学年高二上学期开学质量检测

数学试题

一、单选题

1.若复数z=2i(l-i),则|z|=()

A.72B.2后C.2D.4

2.已知半径为6的扇形面积为3,则扇形的圆心角为()

A.73B.gC.1D.2

3.在VABC中，ZABC=y,AB=3,8C=4,则AC=()

A.历B.C.x/JTD.Vl9

4.如图，平行四边形O'AZTC是水平放置的四边形OSC的直观图，O'C'=4,0W=G，则四边形

C.85/6D.16x/6

5.已知正方体的棱长为拉，则直线AA到平面的距离为（）

A.2B.拉C.1D.2近

6.已知9cos(a+¥)=sin(a+2),则tana=()

63

A.iR.C..迪D.在

55512

7.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,霜要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C

处有一艘乙船在甲船的北偏东75。方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（）

A.20五海里B.40&海里C.40G海里D.30海里

8.如图，设A3=M£＞，AC=yAE,线段。石与交于点尸，且8尸=（8C,则4x+y=（）

A

二、多选题

9.若复数z=，〃一4一〃?i（meR）,则（）

A.当z为实数时，m=0

B.当z为纯虚数时，m=4

C.当z的实部与虚部相等时，z=2-2i

D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限

10.已知函数/（月=4出（妙+日（A〉。，|^|<|）的部分图象如图所示，其中-CMN为等边三

角形，点M的坐标为（1,0），则（）

8

B.^=--

C.直线4=7是/（工）图象的一条对称轴

D.将/（X）的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数g（x）=2瓜+的图象重合

11.在正四棱柱中，AA=2A8=8,点，在棱。。上，且直线A”与直线。。所成的角为

一则（）

4

A.DH=4

B.三棱锥c-的体积为必

3

C.直线AC与底面48co所成角的余弦值为由

3

D.平面截正四棱柱48。。-4中；。1所得截面的面积为166

三、填空题

12.若球。的表面积为8兀，则该球的半径为.

13.在矩形A8CO中，BC=3,P为边CD上一点,则.

14.若V48C的两条中线长均为2,则VABC面积的最大值为.

四、解答题

15.己知非零向量a=(x,0),Z?=(l,x),且，一人二1.

(1)求工的值；

(2)求向量〃与〃的夹角：

⑶求向量〃在方方向上的投影向量的模.

16.在VA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且辿+底竺=土士

sinCsinBbe

⑴求8的大小；

⑵己知siM=V5sinC,证明：VA8C是等腰三角形.

17.已知tana=1，tan//=--,且ae(0,=),Pe(—,n).

3722

⑴求tan(a-尸)的值；

l-cos2a

⑵求的值;

sin2a

(3)求2a.

18.在四棱台4BCQ-A与GR中，4\，底面48。。，底面A3CD是正方形，E为侧棱DR的中点，AO=8,

AA=4.AAy=45/3.

B

C

题号12345678910

答案BDACCBBDABDBCD

题号11

答案ACD

1.B

根据复数的乘法运算以及复数模的计算公式,即可求得答案.

【详解】由题意得z=2i(l-i)=2+2i,故岗=亚谡=2近,

故选:B

2.D

根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解.

【详解】设扇形的圆心角为。，依题意，•(6尸=3,解得。=2,

所以扇形的圆心角为2.

故选：D

3.A

根据给定条件，利用余弦定理直接求解即可.

【详解】在VAAC中，由余弦定理得4C=jA82+8C2-2ABBCcos/4BC=J9+16+2X3X4X；=V?7.

故选：A

4.C

先求出平行四边形O'AbC的面积，再根据S原=2&Sri直接求解.

【详解】因为四边形ON5C是平行四边形，且0'。'=4,0火=戈,

所以平行四边形面积5寅=OCxOWxsin45°=4x屁等=4后

根据直观图与原图面积关系S惊=?Os、u

所以S股=2>/25(.(=272x473=88.

故选:C

5.C

作出辅助线，证明人人〃平面8。2片及AC_L平面3。力蜴，求出点A到平面BDD岗的距离即可.

【详解】连接AC交40于点£

由四边形ABC。为正方形，得AC18D,且E为4c中点，

由底面45c。，ACu平面ABCQ,得BB|_LAC,

而BB】cBD=B,BBi,BDu平面BDD1B、,则AC_L平面BDR用，

因此AE的长即为点A到平面BDD}B}的距离，

又正方体ABC。-ABC。棱长为拉，则AE=gjm=l,

而AA//34,8耳u平面8。。4，44a平面8。。4，则平面8。〃与，

故直线AA到平面的距离，即点A到平面8。£>4的距离AE=1.

故选:C

6.B

利用和角的正余弦公式化简求解.

【详解】由9cos(a+5)=sin(a+W),^^^-cosa--since=—sina+—cosa»

632222

整理得5sina-4Gcosa»所以tana=.

故选：B

7.B

根据题设画出示意图，利用正弦定理可得MC.

【详解】依题意，画出示意图如下，PM=40,ZMPC=135,ZCMP=90-75=15,

MCPM

在△PMC中，NPCM=30,由正弦定理得

sinNMPCsinNPCM

g]jitMC=40Sin135=40x/2（海里），

sin30

所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40人海里.

故选：B.

8.D

141414

先计算出AF=wAC+《A8,进而得到八尸=三）/后+（心4。，利用共线定理的推论得到三丁+不工=1,得到

JJJJJ」

答案.

【详解】BF=AF-AB^BC=AC-ABr

又BF=>BC,故A/—A3=」AC—所以Ab='AC+3A8,

1一4—

因为4B=JGW，AC=yAE,AF=-yAE+-xAD,

14

因为DE/三点共线，所以9，+。=1,

故4x+y=5.

故选：D

9.ABD

根据给定条件，利用第数有相关概念及几何意义逐项判断.

【详解】对于A,复数2=一%是实数，则加=0,A正确:

m—4=0

对干B,当z为纯虚数时，八，则"?=4,B正确；

-in二0

对于C,当z的实部与虚部相等时，m一4=一〃?，解得〃[=2,2=-2-2i,贝।氏=—2+2i，C错误；

/n-4>0[m>4

对于D,当z在复平面内对应的点位于第一象限时，八，即八，无解，

-in>0m<0

因此z在复平面内对应的点不可能位丁笫象限，D正确.

故选：ABD

10.BCD

对A,由图数据得aCMN边长，求出口；对B,由点C坐标求出。；对C,代入x=7验证最值；对D,由

图象变换可得.

【详解】对于A：如图，因为6cMN为等边三角形，且高为26,

所以边长为4,所以：=4,7=8,侬=曰=:，A错误；

对于B：因为点M的坐标为。,0），所以式3,2百），

所以A=2G，3x：+9=T+2An，k€z，解得0=-：+2攵口,k€z

又附所以e=B正确；

24

对干C：由上知/（幻=2Bsin（/—£），而八7）=2Wsin（：x7—：）=2V5sin与=_2®C正确；

对于D：“X）的图象向左平移2个单位长度，解析式变为丁=26sin［：（x+2）-可=26sin（?%+?），

即所得图象与函数g（x）=2气皿（/+力的图象重合，D正确.

故选：BCD.

11.ACD

根据给定条件，利用止四棱柱的结构特征，结合线面角求解判断AC：求出三棱锥体积判断B：作出截面并

求出面枳判断D.

【详解】在正四棱柱AB8-ABGR中,A4,=218=8,

对干A,由直线A”与直线所成的角为】，得=而。〃_LAO,则O〃=AO=4,A正确；

44

对于B,连接A。，

则点A到平面的距离等于Rt凶。2斜边A。上的高力，

IL42•DD[_4x8_8

{AD；+DD；V42+82石而H是。。的中点,

14

则点H到平面A£C的距离为万人=忑,

又S8c=8石,

1132

则%.〃=%.叱=55^”=亍B错误;

对于C,连接AC,由44,，底面488,

得4cA是直线AiC与底面A3C。所成的角，

/…AC4&G…

期"人年=晒*'0正确;

对于D,分别取即中点E,F,连接由EF/1ABI/CD,

EF=AB=CD,得四边形COE”为平行四边形，则C/7//力E且C"=OE,

而四边形。班”为平行四边形，因此AH〃OE//C£A"=OE=Cf\

平行四边形CFA.H为平面A.HC截正四棱柱ABC。-A8CQ所得截面，

而CF=4J5=8，即平行四边形。以力为菱形，又入。=4几,"/=4正，

所以5'。型/=；40"/=166，D正确•

12.V2

利用球的表面积公式列式求解.

【详解】设球。的半径为R,由球O的表面积为8兀，得4兀尸=8兀，解得R=&，

所以该球的半径为及.

故答案为：V2

13.9

根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算得解.

【详解】在矩形A8CQ中，BCLCD,8CCO=()，

由P为边CO上一点，得CQ=/CO(OK/K1),BP=BC+CP=BC+iCD，

所以BC-8P=8C(8C+，CO)=5C2+/8CCO=9・

故答案为：9

AD

4?

设两中线BDCE相交于点0,设N80£=NC0D=a,并利用重心性质得到C0=80=—，DO=EO=~,

33

表达出S-8C=gsina,并求出最值.

【详解】不妨设VA4C边/WMC边上的中线长分别为CEB。，即8D=CE=2,

BDCE相交于点。，。为VA3c的重心，设NB0E=NC0D=a,

4214

其中CO=80=—,DO-EO=—,则S0g=SMF=—OOCOsina=—sina,

8

故S.80c=2SBOE=—sincr,故--sincr,S4ABe~2S»BCD~&sina,

显然当a=2时，S-8c=gsina取得最大值，最大值为。

2J3

故答案为："I

15.（1）1

（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.

（2）根据向量的夹角公式求解即可.

（3）求出向量〃在〃方向上的投影向量，即可求得答案.

【详解】(1)已知非零向量。=(/,0),人=(1，6,故a=(x—1,-0,

而卜—*1,故J(-1)2+(T)2=I，解得X=1或X=0,

由于a=(x,O)为非零向量，故工工0,故X=1；

(2)结合(1)可知2=0,0),b=(l,1),WU-/?=(1,0)-(1,1)=1,

故cos—箭表呼,

故向量4与匕的夹角为£；

4

abb1.।।「

(3)向量〃在〃方向上的投影向昼为，w=&，

故向量〃在。方向上的投影向量的模为!〃-

22

16.⑴8

O

(2)i正明见解析.

(1)利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.

(2)rtl(1)的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证.

【详解】(1)在VA8c中，由迎+蚓竺=正《及正弦定理，得2+叵=立

sinCsinBbecbbe

整理得〃2=q2+c2—G",由余弦定理得COS=="+♦-//=立,而0<B<兀，

2ac2

所以8=9

6

(2)由siM=6sinC及正弦定理，得〃=&,由(1)知。？=/一小《,

因此从=/,即8=。，所以V/1BC是等腰三角形.

17.(l)y；

(1)根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可.

(2)利用二倍角的正余弦公式化简得解.

(3)确定角的范围，再利用和角的正切公式求解.

/,、」IQIZP1/0、tana-tanp、'7)1

【详解】(1)由lana=；,tan/?=--,得4tan(a一夕)=^-----------="FT=q

371+lanaian4]」.[2

~37

,八r.I曲1-cos2a2sin2aI

(2)1E4utana=-,得--------=-----------=tana=-.

3sin2a2sinacosa3

(3)由。£(0彳)，尸£。,冗)，得一元由(1)知lan(a-/?)=；＞0,

乙乙乙

八兀八c八小c、tana+tan(fz-Z?),

则一冗＜。一夕＜--,-71＜2tz-/?＜(),tan(2a-/7)=----------------=1,

21-tanatan(a-。)

所以2a-夕二-个.

4

18.(1)证明见解析;

31

3

(3)存在，煞=：,理由见解析.

HC2

(1)由线面垂直的判定定理可证：

(2)作出二面角的平面角，在Rl.中求值;

(3)当。“J_CE时满足条件，由正弦定理求出。〃即得比值.

【详解】(1)因为底面A8CD,所以A4,_L底面A/CQ,AQu平面A^CQ,

所以所以AR=JAV+AA：=J(4Vjy+42=8,

又AO=8,E是DR中点,所以

因为1底面ABC。，COu平面A8CO,所以A4JC。，

又底面48co是正方形，所以CO_LAO,AD^AA,=A,4。,u平面A。。A，

所以Cf>_L平面AORA，AEU平面AORA,所以CDJLAE,

乂CDcDD]=D,CD,DD[<z平面CDDyCX,所以A£_L平面CDD{C}.

(2)因为A4,_L底面ABC。，44(=平面力。。4，所以平面AORA_L底面A8CQ,

过点E作£FJ_AT>,因为平面AOAAc平面A8CD=AO

所以防_L平面ABC。，过F作FG_LAC,连接EG,则EG_LAC,

所以NEGf是二面角E-AC-。的平面角.

因为E是DR中点，所以EF=2yi3»

设ACcB力=0,则竺=三，所以GF=^x*x8&=3企，

0D442

所以taniEGF=竺=平=且，艮]二面角E—AC—。的正切值是好.

GF3>/233

(3)对线段力。上的点”，因为4E_L平面COAG，O"u平面CORG，

所以A£_LO，，则当。，_LCE时，满足条件.

如图，在四边形CQRG中，过。作O7_LCE,垂足为7,交于〃，

则/ECO=乙EDT=皿0"，

设0/=%，则&7=遥而

因为。E=4,CD=8,所以CE=4石，所以sin4D]DH=总=g,

又乙HD、D=45°,所以sin4QH0=sin(450+乙D1DH)=当

所以5"=嗤震=穿=苧，又。—

10

H1

所以联二；,此时O〃_LC£时，AE上DH,AEcCE=E,4及。£(=平面4氐,

HC2

所以平面AEC,DHu平面BHD,所以平面8"。_L平面AEC.

(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数力(幻，再利用余弦函数性质求出值域.

(2)求出函数以x)并确定其周期，再分段探讨函数的性质，确定最小正周期及最小值、最大值，并作出部

分图象，借助图象求出I。-们的最小值.

【详解】(1)依题意，/?(.r)=(cosx+sinx)［cos(x-+s*n(^-^)1=(cos.r+sinx)(sinx-cos.r)

=-(cos2x-sin2x)=-cos2x,

TTTTTTITI

rfl>^2xe［——,则cos2xe［q,l］,

126632

所以力(x)的值域为

(2)函数&(x)=(|8Sx|-sinx)(cosx+|sinx|)定义域为R,

4(x+2兀)=［|cos