计数原理（理）-高考数学一轮复习专练解析版

专题12计数原理

一、单选题

1.(2022•全国•高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙

和「相邻，则不同排列方式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2科插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：31x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

2.(2022・北京・高考真题)若(24—1)4=心/+4标3+。/2+。/+4),则―+。2+。4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用赋值法可求/+%+%的值.

【详解】令x=l,则。4+/+生+4+《)=1，

令工二一1，则一%+生一。1+《)=(-3)4=81，

1+81,,

故4+42+%==一=41，

故选；B.

3.(2021•黑龙江•大庆实验中学高三开学考试(理))己知C；=C：,设

n

(2A-3y=a0+a1(x-l)4-a2(x-iy+---4-aH(x-l),则《)+q+生+…+q,=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据组合数的性质得到，;=7,再利用赋值法求值即可.

【详解】因为C：=C：,所以由组合数的性质得〃=7,

所以（2X—3）7=4）+q（x-l）+w（＞x—1）+…+%（-¥-1）,

令x=2,得（2x2-3）7=%+4+%+…+外,

即%+4+%+…+%=L

故选：C

4.（2022•河南洛阳•模拟预测（理））一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A,8两个元

件，零件（2）含有C,。，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该

电路能正常工作的线路条数为（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理即可求得

【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为2*3=6条.

故选：C.

5.（2022•湖北嚷阳五中高三阶段练习）二项式乎）的展开式中含有常数项，则〃的最小值

等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令X的指数为0,再根据几「的取值范围可求得结果

【详解】二项式2-（〃cN'）的展开式为

&乎）=（一2）匕「一，

令5〃r=0,/•=（）,1,2,…,〃,〃wN',

2

则〃="|「，

因为〃©N'

所以当，=2时，〃取得最小值3,

故选：B

6.（2022•广东广州•高三开学考试）（l+xy+（l+x）3+…+（l+x）9的展开式中/的系数是（）

A.45B.84C.120D.210

【答案】C

【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含F项的系数.

【详解】解：（l+x）2+（l+»+…+（1+4的展开式中，

含/项的系数为G+C+C+…+《=%=120,

故选:C.

7.（2021•河南•高三开学考试（理））+的展开式中一的系数为（)

A.-60B.60C.12D.-12

【答案】D

【分析】根据二项式展开式的通项公式a=2匕产”,令6-21,或6-2r=3,即可求得答案.

【详解】因为卜+：）的展开式的通项：Ts=C［（x）6r（：）=2,G/2，/=OJ2,L,6,

所以〃o)=C=i,

所以人力=C：+C>2+C>4+…+C尸+…+C：x'i,

则/()=c：+C+C+…+C+…+C；，

其中C：+C;：+C：+…+C：+…+C：=2"T,

所以r（i）=2"）

所以/'(1)+/(0)=2小+1；

故选:D

10.（2022・全国•高三专题练习（文））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级

数”难题.当〃工时，誓X-

,…1——…，乂根据泰勒展开式可以得到

4乃9兀~)(n'n

/iV-'2n-\1111

x号干x+…，根据以上两式可求得＜

sinx=x-------卜---+・♦•+)

3!5!

0丁

【答案】A

/炉Zjy-l2«-!

【分析】由sin』=x-]7+：7+…，+…同时除以x,再利用展开式中F的系数可求出.

，・J・1一〃~~1I•

【详解】由sinX-x---+=+…+------+….两边同时除以.r.

3!5!(2/?-!)!

X2/(-广尸

得"丫=1-----1-----J•…H--------------F…,

x3!5!-----------(2〃-1)!

又的

X…1一券

展开式中一的系数为--1（j+g+g+i+Jr+i］，

JV'V1"2Jn~）

_,.1f111111

所以「Kmw…+h…尸一千

「「.illi病

所以F+-V+-7+…+r+—=——.

I22232n26

故选:A.

11.（2022•湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试）设集合A={l,2,…,2022},集合S是集合A的非空子集，

S中最大元素和最小元素的差称为集合S的长度，那么集合S所有长度为73的子集的元素个数之和为（）

A.272-381949B.2741949C.273-371949D.270-761949

【答案】A

【分析】先考虑最小元素为1,最大元素为74的情况：{1,74}只有一种情况；{1,«,74},2M〃473且aeZ,

共有C1种情况；{1/C74},2W瓦cW73且b,ceZ,共有4种情况；以此类推……{1,2,3,…73,74},有C；；

种情况，所以此类满足要求的子生元素个数之和朋=2/+34+4丁+…+73C；；+74C/计算可得：

4=38x2%再考虑可以分为{1,…,74},{2,...,75},{3,…,76},……，{1949,…,2022}等1949类，可得

本题答案

【详解】当最小元素为1,最大元素为74时，集合有如下情况：

集合中只含2个元素；{1,74},只有1种情况；

集合中含有3个元素；{1.74},2«。473且〃eZ,共有C1种情况；

集合中含有4个元素；{1八c,74},24"cW73且"ceZ,共有（：为种情况；

以此类推……

集合中含有74个元素;{1,2,...,73,74},有有C；；种情况;

所以此类满足要求的子集元素个数之和：

M=2c2+3C1+4C1十…十73C；J+74C；；①

M=74C；；+73C；；+…+3C1+2C?2（2）

vC；2=C^-\0<r<72,reZ

②两式相加可得：

2M=76（C；2+J+…+C；；+C；；）=76x272

.•■=38x2*

同理可得：{2,…,75},{3,--,76},……，{1949,…,2022},所有子集元素个数之和都是38x272

集合S所有长度为73的子集的元素个数之和为2%38・1949.

故选：A

12.（2022•湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，

他有5种颜色的“每口坚果〃袋.每人袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装

坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【答案】A

【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为从匕X,乙分类讨金求出分堆情况，再进行排列，求出最后答

案.

【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为从Y,X,Z,则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：

（1）H,H；Y,匕X,X；Z,Z.

若是“8=4+1+1+1+1”,则其中的“4"必须是HFXZ,故1种可能;

若是“8=3+2+1+1+1”,则考虑（”>X）（史）（0）（0）,故有C：C；=12种可能；

若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（20）（加）（酿），故有。：度=12种可能；

小计：1+12+12=25；

（2）诸如“从H,H,H；Y,KX,X：Z,Z'类型

若是“10=4+3+1+1+1”，则四个“无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放”，故0种可能；

若是"10=4+2+2+1+1〃,则“1+1”中有一个是从“4+2+2”中各一个从"2+2"中除了一个H外,另一个互异,

故有C；=3种可能；

若是"10=3+3+2+1+1〃，则“1+1”中各有1个凡“3+3+2”中各一个，,可以考虑含国模式，(H00)(H00)(W0)

(叵)(，),故有种可能;

若是“10=3+2+2+2+1”,则可用下表进一步分类，有l+C；+C；C；=10种可能;

YXZ//

加0

H

若是“10=2+2+2+2+2〃，则四个H至少有两个出现搭配相同，故C种可能;

小计：GX(0+3+6+10+0)=76；

(3)诸如H,H,H；y,r,y,y：x,x；z,z"类型

若是"12=4+4+2+1+1〃,则“4+4”必然重复，故。种可能;

若是"12=4+3+3+1+1〃，则枚举"3+3"的情况，发现仅(HYXZ)(HYZ)(HYX)(Z)(X)可能；

若是“12=4+3+2+2+1”,则考虑CHYXZ)(77H3)(00)(00)(0)或CHYXZ)(XZI3)(盟)(00)(0),

故有C；C；=4种可能；

若是"12=3+3+3+2+1”,则有(”力0(HYZ)(ZXH)CHY)(V)或("KX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)

都成立，有2种可能；

若是“12=3+3+2+2+2”,则枚举“3+3”的情况，发现(”YX)(HYZ)CHY)(加)(M3),有2种可能.

小计C：x9=54；

诸如“H,H,H,H；Y,Y,Y,V；X,X,X,X；Z,Z”类型

若是“14=4+4+*+*+*〃，则“4+4〃必然重复，故。种可能；

若是“14=4+3+3+3+1〃，则“4+3+3+3”中至少有3个Z,故0种可能;

若是“14=4+3+3+2+2”,则“4+3+3〃至少有2个Z,考虑(”K¥Z)(HYX)(Z03)(膻)(00),其中北0

有C；=3种可能，故此小类有3种可能；

若是"14=3+3+3+3+2〃，贝1」“3+3+3+3”中至少有3个乙故0种可能；

小计3C：=12；

（5）“H,H,H,H：Y,匕Y,Y：X,X,X,X；Z,Z,Z,Z'

只有"16=4+3+3+3+3〃的搭配，有1种可能；

综上：共有25+76+54+12+1=168人分堆可能，故不同的方案数为168父=168x120=20160种.

故选：A

【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解•，特别是分类标准，

要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不

重不漏.

二、填空题

13.（2022•全国•高考真题）（1-£）（x+y）s的展开式中产）,6的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

【分析】可化为（x+），＞-£（x+）y,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为（1一£|a+=%+丁）匚?&+.v）s，

z\

所以1-2（1+力8的展开式中含.06的项为d&6_上或。5=-28%2），6,

k）x

（1-q）（x+y）8的展开式中的系数为.28

故答案为：-28

2y45

14.（2022•浙江•高考真题）已知多项式（x+2）（x-l）4=6/0+6/^+a:x+a3x+a4x+a5x,则％=,

a[+a2+a3+aA+a5=.

【答案】8-2

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出4,再令x=l即可得出答案.

【详解】含尤2的项为:xC^x(-l)A+2C；x2(-i)2=-4x2+12x2=8x2,故6=8；

令工=0,即2=%,

令x=l,即0=%+4+/+%+坦+外,

团q+。2+%+%+%=-2,

故答案为：8：-2.

15.(2023・全国•高三专题练习)在1+：一1)的二项展开式中含/项的系数为

【答案】21

【分析】将x+1作为一个整体，写出二项展开式的通项公式，求出丁项的系数.

x

【详解】卜+_-lj的展开式的通项为口=《0+：「(-1)，.

b-