计算问题专项讲义：乘积的个位数-小升初数学模块化思维提升

专题11一乘积的个位数

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知例梳理

1、进位原则：同一数字，由于所在数位不同，表示的数值是不相同的。

2、被9、11整除数的特征。

一个自然数，各个数位上的数字和能被9整除，此数可被9整除。

一个自然数若奇数上数位的和与偶数位数字和的差，能被11整除，这个数

就能被11整除。

3、要看末尾有几个零，必须要看它能被多少个10整除。而10的质因数是

2和5,也就是在连乘积中，2和5这两个因数出现几对，连乘积就能被几个10

整除，积的末尾也就有几个零。

4、任意五个连续自然数的积的个位数字都是0。

5、一个数的乘积的个位，一般是有规律的，先找出规律即可判断。

6、找末尾有几个连续0,先把每个因数质因数分解，有几对2与5相乘末尾就

有几个0。

I

典观样饼

【典例一】一串数5,8,11,14,17,20,200的规律是：第一个数是

5,以后各数均是前一个数加3,直到200为止，将这串数相乘，积的尾部的0的

个数是（）

A.9B.12C.15D.18

【分析】因为，乘积的尾部的每一个0,都是由一个2和一个5相乘得来的，

所以，乘积的尾部有多少个0,关键看有多少个质因数2和5;显然，被2整除

的数比被5整除的数多，即：质因数2的个数比质因数5的个数多，所以：有多

少个质因数5,乘积的尾部就有多少个0：被5整除的数至少含有1个质因数5,

由于这串数字被从5开始以后各数均是前一个数加3,所以在这串数中被5整除

的相邻的两个数相差5x3=15,据此求出这串数字中含有的质因数是多少个即能

求出积的尾部有多少个零.

【解答】解：由于这串数字被从5开始以后各数均是前一个数加3,所以在

这串数中被5整除的相邻的两个数相差5x3=15;

则这样的数共有5,20,35,…200.共有(200-5)+15+1=14个:

被25整除的数至少含有2个质因数5,在这串数中被25整除的相邻的两个

数相差25x3=75,

这样的数有：50,125,200共多4个5;

所以，积的尾部的0的个数是14+4=18个.

故选：

【点评】明确有多少个质因数5,乘积的尾票就有多少个。是完成本题的关

键.

【典例二】算式1X4X7X10X…xlOO的计算结果，末尾有多少个连续的0?

【分析】欲求算式IX4X7X10X…x100的计算结果，末尾有多少个连续的0,

只要求出因数里面有多少个5与25即可解答.

【解答】解：因为2因为2足够多.

有1个因数5就有1个0

有1个因数25就有2个0

1,4,7,10,....100有10、40、55、70、85共5个5的倍数，25、100

共2个25的倍数，所次末尾共有5xl+2x2=9个0

答：算式1x4x7x10x…x100的计算结果，末尾有9个连续的0.

【点评】本题主要考查乘积的尾数的特征，找出因数中含有的5与25的个

数是解答本题的关键.

【典例三】对于24x24x24,四个同学算出的答案都不一样，分别是13806,

13428,13824,13902.李老师看了以后，说只有一个人做对了.你能不用再算

一遍，很快说出哪几个是错误的吗？

【分析】只要把因数个位上的数相乘，看积的个位数，即可得出结论.

【解答】解：因为因数个位数都是4,用4x4x4得到的积的末尾数字为4.

因此13806、13428、13902这三个得数错误.

【点评】解答此题应根据个位数的相乘的积的个位数的特点进行分析，即可

得出结论.

I专项制称I

一.选择题(共6小题)

1.2013、2013乂2013*..住2013(2014个2013)的个位数字是()

A.3B.9C.7D.1

【分析】只要找出若干个3相乘的积的个位数字出现依次出现的规律，即能

求出2014个2013相乘，所得结果的个位数字是几；由于3=3,32=9,33=27,

V=8I,手=244,....即若干个3相乘的积的个位数字按3,9,7,1这四个教

进行循环；据此完成即可.

【解答】解：由于3:3,3?=9,3:27,34=81,35=243,....

即若干个3相乘的积的个位数字按3,9,7,1这四个数进行循环.

2014+4=503…2.

余数是2,2014个2013相乘，所得结果的个位数字是第504个循环的第二

个数字是9.

故选：Bo

【点评】在此类问题中，找出若干个因数的个位数相乘积的个位数依次出现

的规律是完成的关键.

2.3x3x3x...x3所得结果的末位数是()

―2010-

A.3B.9C.7D.1

【分析】1个3相乘末尾数是3,2个3相乘末尾数是9,3个3相乘末尾数

是7,4个3相乘末尾数是1,5个3相乘末尾数是3......看出来，是循环的，4个

一组，2010里面有多少个4,就意味着刚好循环了多少次，据此解答即可.

【解答】解：3x1=33x3=93x3x3=273x3x3x3=81

3x3x3x3x3=243...

循环节为：3971.

20104-4=502......2,

所以结果的末位数是9.

故选：B.

【点评】解决此题关键找出循环节3的连乘积的末位数字依次是3,9,7,

1……四个一循环，找出此规律是解题关键.

3.要使□x25xl0〈15x8的积的末尾有6个0,□里的数最小是()

A.20B.10C.100

【分析】先计算出前四个因数的积，观察积的末尾有几个0,再根据题目中

“积的末尾有6个0”的要求进行计算即可。

【解答】8x10x15x25=30000

要使积的末尾有6个0,因数中已有4个0,再乘100即可。

30000x100=3000000

故选：C。

【点评】本题考查整数乘法的应用，解决本题的关键是先计算出8x10x15x25

的末尾有几个0。

4.在计算24x24x24时，有三个同学的计算结果都不一样，答案分别是13806,

13824,13428。其中只有一个答案是正确的，不计算，请你找出这道题的正确结

果，是()

A.13806B.13824C.13428

【分析】根据乘法的计算法则，从个位乘起，第一个乘数个位上的4乘第二

个乘数个位上的4,得到的积的个位上上是6,再用第三个乘数个位上的4去乘

前两个数的积的个位上的6,所得积的个位上是4。

【解答】解：根据乘法的计算法则，从个位乘起，第一个乘数个位上的4乘

第二个乘数个位上的4,得到的积的个位上上是6,再用第三个乘数个位上的4

去乘前两个数的积的个位上的6,所得积的个位上是4。正确的结果是13824。

故选：Bo

【点评】熟悉乘法的计算法则是解决本题的关键。

5.若A=(2+1)(2?+1)(2"+1)(2*+1)+1,则A的个位数字是()

A.8B.6C.4D.2

【分析】在原式前面加(2-1),利用两数的和与这两数的差的积，等于这两

个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算

即可.

【解答】原式=(2+1)(22+1)(2、1)(28+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)⑵+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)4-1

=(24-l)(24+lX28+l)+l

=(28-1)(28+1)+1

=216-1+1

因为*的末位数字是6,所以原式末位数字是6.

故选：B.

【点评】对式子变形，用平方差公式简化式子是解出此题大的关键.

6.100xl01xl02xl03x...xl99x200这101个数相乘，积的末尾连续有()

个0?

A.25B.26C.27D.28

【分析】欲求算式100xl01xl02xl03x...xl99x200的计算结果，末尾有多少个

连续的0,只要求出因数里面有多少个5,即可解答.

【解答】解：因为2足够多；只需看有几个因数5即可，

100已经有两个0,先不考虑：

含有因数125(5x5x5)的数只有125：

含有因数25(5x5)的数有：

1(X)4-25=4(个)

含有因数5的数有：

l(X)+5=2()(个)

不考虑100,因数5的个数有：20+4+1=25（个）

贝L末尾0的个数为：25+2=27（个）

故选：C。

【点评】本题主要考查乘积的尾数的特征，找出因数中含有的5、25与125

的个数是解答本题的关键.

二.填空题（共12小题）

7.128xl28xl28x...x128（2012个128）所得的积的个位上的数字是立.

【分析】I28xl28xl28x…xl28（2012个128）所得的积得个位数字是由因数128

的个位数字8的个数决定的，128xl28xl28x...xl28（2012个128）个位数字共有2012

个8,1个8个位为8,2个8相乘个位为64,3个8个位为2,4个8个位为

6,5个8相乘末位数字是8,所以个位数字是以8、4、2、6四个数字循环，

2012-4=503,所以是最后一个数字也就是6,即128乂28北8x...i28（2OI2个128）

所得积的个位数字是6.

【解答】解：128xl28xl28x...xl28（2012个128）个位数字是由因数128的个位

数字8的个数决定的，

由于：1个8相乘个位数字是8,

2个8相乘个位数字是4,

3个8相乘个位数字是2,

4个8相乘末位数字是6,

5个8相乘末位数字是8,

所以个位数字是以8、4、2、6四个数字循环四个数字循环的；

2012+4=503,所以是最后一个数字也就是6,

即：128x128x128〉...x128（2012个128）所得积的个位数字是6.

故答案为：6.

【点评】找出若干个8相乘积的个位数的变叱规律是完成本题的关键.

8.要使125XD0的积的末尾有两个0,[-1里最小填2.□里最大埴.

【分析】要求末尾有几个0,就是将算式中的数字分解因式，有一个2x5就

有一个0,据此解答。

【解答】解：125=5x5x5

□()=Dxl()=nx2x5

算式中已有一个2x5,所以，口必须有且只有1个因数2,

所以口里最小填2,□里最，6.

故答案为：2,6.

【点评】考查了乘积的个位数，本题注意运用第一个因数的个位是5,第二

个因数的个位是0的已知条件.

9.已知：3!=3x2x1,5!=5x4x3x2xi,那么13!与3!的差的个位数字

是4.

【分析】根据“3!=3x2x1,5!=5x4x3x2xl得出！的意义，再根据！

的意义，写出13!与3!的差的个位数字即可求出答案.

【解答】解：13!=13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1,

因为因数里面有10,所以13!的个位数字是0

3!=3x2x1,的个位数字是6,

所以13!与3!的差的个位数字是4,

故答案为：4.

【点评】解答此题的关键是，根据所给的式子，得出新的运算方法，再利用

新的运算方法解答即可.

10.在横线里填上“奇”或“偶”数.

(1)147x289x303x210x43的积是偶数.

(2)一本书相邻两页的和是数,积是数.

【分析】根据数的3偶性运算性质：嗡数士偶数=嗡数，嗡数x嗡数=百数，

偶数-奇数二奇数，偶数X偶数=偶数，奇数X偶数:偶数；据此进行解答.

【解答】解：(1；147x289x303x210x43可写成：奇数x奇数x奇数x偶数x

奇数,

因为奇数X奇数=奇数，奇数X偶数=偶数，

可以得出147x289x303x210x43的积是偶数;

(2)一本书相邻两页一个是奇数一个是偶数，

根据奇数土偶数=奇数，奇数X偶数=偶数，

可以得出一本书相邻两页的和是奇数，积是偶数.

故答案为：偶；奇；偶.

【点评】掌握数的奇偶性运算性质，是解题的关键.

11.“7的积的末四位数是2005,那么〃的最小值是1715.

【分析】求〃最小，那么我们假设这个积是6位数他2005,根据被7整除性

质，他2-005要能被7整除.H2最小取012,所以7〃=12005,解方程即可求解.

【解答】解：设这个积是6位数时2005,

则"2-005要能被7整除."2最小取012,

则7〃=1200,，

〃=1715.

答：〃的最小值是1715.

故答案为：1715.

【点评】考查了乘积的末位数问题，本题的关键是灵活运用被7整除性质解

题.

12.78x674x125x36x8的积的个位上的数字是0。

【分析】根据乘法的运算定律把算式变形，因为125x8=1000,再进一步解答

即可。

【解答】解：78x674x125x36x8

=(78x674x36)x(125x8)

=(78x674x36)x10(10

所以积的个位上的数字是0o

故答案为：Oo

【点评】本题考查了整数乘法计算方法的灵活运用。

13.算式2001x2003x2005x2007x2009-2002x2004x2006x2008的结果的个位数

字是1.

【分析】先得出2001x2003x2005x2007x2009和2002x2004x2006x2008的个位

数字，再相减即可.

【解答】解：2001x2003x2005x2007x2009的个位数字是5

2002x2(X)4x2(X)6x2008的个位数字是4,

所以算式200伙200%20(府200720992(X)22%)42006的结果的个位

数字是5—4=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了乘积的个位数，关键是得出两个乘法算式的个位数字.

14.算式1981x198%198s198919821弁41券6的结果的个位数字是

【分析】先根据乘法的计算法则分别求出1981x1983x1985x1989,

1982x1984x1986x1988的结果的个位数字为5,4,再把两个个位数字相减即可求

角nr型\.

【解答】解：因为1x3x5x9=135

2x4x6x8=384

所以1981x1983x1985x1989,1982x1984x1986x1988的结果的个位数字分别为5,

4,

5-4=1

答：算式l()81xI983xl()85xN)891982xl<)84x19S6x1988的结果的个位数字是1.

故答案为：1.

【点评】考查了乘积的个位数，此题属于规律性问题，先找出结果的个位数

字的规律，据规律解题.

15.下面算式中只有一个算式的得数是1991,那么第③个算式的得数

是1991.

©768x38-171xIO2@675x54-198xl73

@724x44-165x181@695x53-189x194.

【分析】四个选项都是先同时运算乘法，最后算减法；计算出被减数的个位

数和减数的个位数，排除它们的个位数相减不是1的选项.

【解答】解：①768x38-171x102;

8x8=64,被减数的个位数字是4;

1x2=2,减数的个位数字是2;

4-2=2;差的个位数不是1;本选项不正确.

②675x54—198x173；

5x4=20,被减数的个位数字是0;

8x3=24,减数的个位数字是4;

10-4=6；差的个位数不是1；本选项不正确.

③724x44—165x181：

4x4=16,被减数的个位数字是6;

5x1=5,减数的个位数字是5;

6-5=1：差的个位数是1;本选项可能正确.

@695x53-189x194;

5x3=15,被减数的个位数字是5;

9x4=36,减数的个位数字是6;

15-6=9;差的个位数不是1;本选项不正确.

选项①②④都不正确，只有选③.

故答案为：③

【点评】这类型的题目一般不用计笄出结果,只要计算出结果的个位数字,

再利用排除法选择.

16.两个数6666666与66666666的乘积中有个奇数数字.

【分析】根据乘法算式的特点，可以运用乘法分配律计算出结果，从而得出

结论.

【解答】解：6666666x66666666

=(2x3x1111111)x(2x3x11111111)

=(4x1111111)x(9x11111111)

=4444444x99999999

=4444444(XXXXXXX)-4444444

=444444395555556

因此，乘积中有8个奇数数字.

故答案为：8.

【点评】本题考查了数的乘法，在进行数的乘法运算时，要灵活运用运算律.

17.28个3相乘，个位上的数字是1.

【分析】通过分析与试探，发现3相乘积的规律：个位特征是3、9、7、1、

3、9、7、1...,从第一个3开始每4个一个循环，所以28+4=7,正好是7个循

环，最后结果个位上的数字应是一个循环中的最后一个，由此判断即可.

【解答】解：积的个位数字具有以下特征：3、9、7、1循环，从第一个3开

始每4个一个循环，

所以28・4=7,

故所得结果的个位数字是1.

答：所得结果的个位数字是1.

故答案为：1.

【点评】此题属于规律性问题，先找出结果的个位数字的规律，据规律解题.

18.1x2+2x3x4+3x4x5x6+4x5x6x7x8+…+】0xl1xl2x…x18xl9x20的末位

数是6.

【分析】由于3x4x5x6、4x5x6x7x8、…10xllxl2x…xl8xl9x20中，其中的

因数都含有5与偶数，因为5与偶数的乘■积的末住是0,所以这些数式子乘■积的

个位数都是0,又lx=2,2x3x4=24,所以

1x2+2x3x4+3x4x5x6+4x5x6x7的末位数是：

2+4+0+...+0=(.

【解答】解：由于3x4x5x6、4x5x6x7x8、…10x1lx12x…x18x19x20中，

每个式子乘积的个位都是0,

又1x2=2,2x3x4=24,

所以lx2+2x3x4+3x4x5x6+4x5x6x7x8+…+10x1lx12x…xl8＞的末

位数是：

2+4+0+...+0=6.

故答案为：6.

【点评】完成本题要注意分析题目中数据的特点，然后找出规律后进行解答.

三.解答题（共7小题）

19.Ix2x3x4x5x6x7x8x9x...x25乘积的末尾有多少个连续的0?

【分析】由于乘积末尾零的个数是由算式中因数2和5的个数决定的，25以

内的数含有的约数2的个数一定多于5的个数，所以只要看5的个数就行了，由

于25+5=5,又25中含有两个因数5,只计算了1次，则

Ix2x3x4x5x6x7x8x9x...x25中共含有5+1=6个因数5,即它们积的末尾有6个

连续的0.

【解答】解：由于Ix2x3x4x5x6x7x8x9x...x25中共含有：

25+5+25+25=5+1=6个因数5,

则Ix2x3x4x5x6x7x8x9x...x25乘积的末尾有6个连续的0.

【点评】明确乘积末尾零的个数是由算式中因数2和5的个数决定的是完成

此类问题的关键.

20.对于24x24x24,四个同学算出的答案都不一样，分别是13806,13428,

13824,13902,李老师看了以后，说只有一个人做对了.你能不用再算一遍，很

快说出哪几个是错误的吗？

【分析】只要把因数个位上的数相乘，看积的个位数，即可得出结论.

【解答】解：因为因数个位数都是4,用4x4x4得到的积的末尾数字为4.

因此13806、13428、13902这三个得数错误.

【点评】解答此题应根据个位数的相乘的积的个位数的特点进行分析，即可

得出结论.

21.甲在计算一道三位数乘两位数时，把一个乘数的个位5误写成3,乘的

积是4485;乙却把这个5误写成8,乘得的积是5460.正确的积是多少？

【分析】5460-4485=975,乘积相差975,是因为一个因数不变，另一个因

数多看了8-3=5,即：5乘未变的因数=975,求日未变的因数，再根据看错的积

求出另一个正确的因数，进而可求出正确的积.

【解答】解：5460-4485=975,一个因数多看了8-3=5,

975+5=195,

4485+195=23,

把这个乘数的个位数字误看成3,这个因数是25,

195x25=4875.

答：正确的积是4875.

【点评】本题关键是通过两个不同的差先求出不变的因数，再根据错误的乘

积求出另一个因数，最后根据正确因数求出正确的积.

22.附加题：例I:5x5x5x5x5x5x64括号中最小填几?积的末尾有6个

连续的0?

思路简析：

两个数相乘，如果积的末尾是零，是因为两个因数中含有因数5与因数2,

因数5与因数2相乘，积末尾就会出现1个零(5x2=10).所以题目中6个因数

都是5,只有在括号里写6个都是2的因数，积的末尾会出现连续的零.括号中

最小填64.

5x5x5x5x5x5x64

练习.2x2x2x5x5x5x5x5的末尾有几个零.

【分析】两个数相乘，如果积的末尾是零，是因为两个因数中含有因数5与

因数2,因数5与因数2相乘，积末尾就会出现1个零

(I2：.2x2x2x5x5x5x5x5中因数有5个5,3个2,所以积的末尾会出现3

个连续的零.

【解答】解：2x2x2x5x5x5x5x5

=(2x5)x(2x5)x(2x5)x(5x5)

=10x10x10x25

=1000x25

=25000

答：2x2x2x5x5x5x5x5的末尾有3个零.

【点评】解答本题的关键是寻找算式中因数5与因数2中的个数.

23.小华在参加教学兴趣小组活动时和同学们一起研究“积中末尾0的个数”

的问题，他从三个等式①2x3x5=30；②2x3x7x5x5x2x2=4;③

2x1lx5=22>(2表示2x2x2x2,5表示5x5x5)中发现等号左边2和5有几

对，右边的积的末尾就有几个0.请你用小华发现的规律完成下面各题：

(1)5