函数的概念与性质（练）-高考数学一轮复习解析版

第01讲函数的概念与性质

国练基础

1.已知函数/(X)的定义域为1-2,3],则函数/(2X-1)的定义域为__________.

【答案】[一去2]

【解析】

由-2dK3解得」,

2

所以函数/(2x-l)的定义域为[-;,2].

故答案为：[-5,2]

2、设函数/(x)=；x3+(a-l)V+asinx,若/")为奇函数，则曲线y=/(处在点((),())处的切线斜率为()

A.3B.2C.1D.1

【答案】C

【解析】

因为/*)为奇函数，

所以/(-x)+f(x)=0,

所以』(-x)3+(a-l)(-x)2+i/sin(-j)4-ix3+(a-l)x2+asinx=0,

33

所以2(a-l)x2=0,

所以a—1=0,解得a=l,

所以/(x)+sinx,/r(x)=x2+cosx,

3

所以f(0)=1，

所以曲线y=fM在点(0,0)处的切线斜率为i.

故选：c.

3.函数y=log2(2x-丁)的单调递减区间为()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(0,1)D.[0,1)

【答案】A

【解析】

由2x-f>0,得0vxv2,

令」=2x4,则y=log2，,

r=2x—/在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，

因为)=1*2,在定义域内为增函数，

所以)，=log式2x-马的单调递减区间为(1,2),

故选：A

4.下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=,g(*)=xB./(x)=x,j?(x)=

A

C./(.r)=x,g(x)=xD./(x)=log22,g(x)="

【答案】D

【解析】

对于A选项，/(x)=W，g(x)=x两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；

对于B选项,/(X)的定义域为R,而g(x)=E=x的定义域为(y,0)U(0,E),两个函数的定义域不同,

不是同一函数；

对于C选项，f(x)=x,/(X)的定义域为R,g(*)=x=l,g(x)的定义域为何“工0},定义域和对应关

系都不相同,所以两个函数不是同一函数;

对于D选项,f(x)=xtg(x)=x,定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数.

故选：D.

5.函数/⑴二看十目的定义域为(

)

A.B.C.(1,2]D.[1,2)

【答案】C

【解析】

x-\>0fx>1/、,,

解：由题意得：2r>0解得工<2,即“X)的定义域为(冏.

故选:c.

6.函数/（x）=（2X-2T）lnJ./+（Wl的图像大致是（）

【答案】C

【解析】

由/（x）=（2v-2-x）In6+0.01,

所以/（力的定义域是R，

又f（r）=（2--2'）ln7（-x）2+O.Ol=-（2V-2-x）In7X2+O.O1=-f（x）,

所以/（X）是奇函数，图象关于原点对称，且"2）=（4-；）inaar>o.

故选；C

7.已知函数/*）=/+〃2+公+。，且OV/（T）=/（_2）=/（—3）«3,则（）

A.c<3B.3<c<6C.6<c<9D.c>9

【答案】C

【解析】

【解析】

（1）

解:由题意，函数/（力满足：对任意x,yeR都有〃x+y）=〃x）+/（y）成立

令％=y=o,则/（（））=/（（））+/（（））,所以/（。）=0.

（2）

解：由题意，函数/（X）的定义域为R,关于原点对称，

令y=T,可得"0）=〃力+〃r），

因为/（。）=0,所以/（-力=-〃耳

所以函数/（x）为奇函数.

（3）

解:因为/（1+2,）+/（/3）>0对xe（YO,-1］恒成立，

即/（八3'）>-/（1+2、）对xwST恒成立,

即1—2，）对xe（f川恒成立，

1o

因为/（X）是R上的单调递增函数，所以，3即/>-（?*-（铲，

12

即I>-er-er对*《（”恒成立，

JJ

因为函数g（x）=-（9-（手为单调递增函数，所以g（x）wg（-l）=-l,

所以"-1,即实数工的取值范围是（T，―）.

H.已知函数/（%）是定义在（。,+°°）上的函数,且对任意x,yw（。,”），都有/、3）=/（x）+/'（y），/⑵=1，

求f（4）J（8）.

【答案】/（4）=2,48）=3.

【解析】

因为,对任意x,ye（0,+°o）,都有/（盯）=f（x）+/（y）,『（2）=1,

所以，/（4）=/（2x2）=/⑵+〃2）=2,

/（8）=/（2x4）=/{2）+/（4）=3.

国练提升

1、三知/*)是定义在R上的偶函数，M/(x+6)=/(-x),若当xw［-3,0］时，/(x)=6-\则/(2021)=()

A.0B.1

C.6D.216

【答案】C

【解析】

根据题意,偶函数,⑶满足/。+6)=〃-x),即/(x+6)=/(x),/(*)是周期为6的周期函数,则

/(2021)=/(337x6-l)=/(-1),当xe［-3,0］时,/(A-)=6~\则/(-1)=6=6,故"2021)=6

故选：C

2、已知函数/(力是定义在R上的奇函数，当XW(Y,0)时，/(X)=2A+1,则/(2)+〃0)=.

【答案】3

【解析】

解：因为函数/("是定义在R上的奇函数，故/(())=(),

/(2)=-/(-2)=—(T+1)=3,故/(2)+/(0)=3.

故答案为：3.

3./(x)是定义在R上的以3为底期的奇函数，且"2)=0,则方程/(力=0在区间［-6,6］内解的个数的最

小值是.

【答案】13

【解析】

/(同是定义在R上的以3为周期的奇函数，

・・•/(x+3)=/(x)，且/(T)=-/。)，

贝丫(0)=0,M/(3)=/(6)=/(-6)=/(0)=0,/(-3)=-/(3)=0,

Q/(2)=(),-,/(5)=/(-l)=/(-4)=0,/(-5)=0,

"1)=0,/(4)=0,/(-2)=0,

方程的解至少有0，3,6,-6,-3,2,5,-5,-2,T,I,4,-4,共13个.

故答案为：13

4.对任意实数不?,均满足/卜+力=/㈤+2[/(y)了且〃1)=0,则〃2001)=_

a2001

【答案】—

【解析】

令H=y=0,得/(0)=0,

令％=",)，=1,得/(〃+1)=/(〃)+2[/⑴1

令刀=1，得/⑴=/(0)+2/[(1)了=2/[⑴了,

当•时，设%=/(〃)，

所以数列｛4｝是以3为首项，3为公差的等差数列,

.・./(〃)、，即/(2001)=等,

2001

故答案为:

5、设函数/(力二网^^-q，若刀满足不等式/任一26)+/(2〃一/)40,则当14心4时，2a-b

的最大值为

A.1B.10C.5D.8

【答案】B

【详解】

因为/(])+/(-x)=ln(4rTT-x|+ln(GTT+x)=0,所以函数/(x)为奇函数,乂因为

x>0时/•(力=In(J?7i7)=-lnN7W+q为单调减函数,且/(0)=()所以/⑴为R上减函数,因此

/(a2-2«)+/(2/?-/?2)<0<^/(tf2-2a)^-/(2^-^2)<^/(«2-24/)</(-2Z?+Z?2)

-2"从。"4(二)2=｛匚之0或仁之。,因为印件所以可行域为一个三

角形A8C及其内部，其中41,1)1(4,4)((4,-2),因此直线z=2a-〃过点C时取最大值10,选B.

2e2018g2019g2019

6、已知函数/(x)=x-1+ln一，若f+/+••,+/(〃+〃)，其

x20202020202020202

1同

中力＞0,则中+?的最小值为

2闷b

B.2C.y/2

4D-¥

【答案】A

【详解】

解：因为/(x)=x—与+lnR.

ex、e、e(e-x)

所以/(x)+/(e-x)=x-]+1n------+(e-x)—+In

e-x--------------2e-(e-x)

,ex.e[e-x)..exe(e-x).,-

=In------+In----------=ln(------------------)=\ne-2=2,

e-xxe-xx

令/誓+/誓

12020)(2020)'I2020)[2020)

2019g?(2018”

+f鬻”(品=2x2019所以

2020))I2020

5=2019

7019

所以号(4+3=2019,所以〃+A=2,其中/?>(),则。=2-从

,1\a\\2-b12,fI2}(a+〃)

当4>0时L----+---=----F------=----+-----1=—

2\a\b2ab2ab12a~b)~

当且仅当二=字，即。=，，力时等号成立;

当avO时

2ab33

11411flb-21-2।

21171b-2ab-2ab-2ab

当且仅当==W，即〃=-26=4时等号成立；因为所以-1+学的最小值为1.故选：A.

-2ab4421a|〃4

7、已知困数f(x)(x£R)满足f(x)=f(a-x),若出数y=|xJax-5|与尸f(x)图象的交点为(x),

m

yi),(x2,y2)，…，(xn,y„),且£xj=2m,则a=()

i=l

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

的图象关于直线对称，又尸］的图象关于直线小区对

【详解】Vf(x)=f(a-x),Af(x)x=g|x2-ax-5

22

称,

当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=色对称，，X]+X2+X3+…+Xn==・a=2m,解得a=4.

22

当m奇数时，两图象的交点有丁1个两两关于直线广3对称，另一个交点在对称轴x二区上,

22

a

，X1+X3+X3+…+Xe=a,---+—=2m.内吊得a=4.故I先：D.

22

8、若函数>=/*)是R上的奇函数，又y=/(x+l)为偶函数，巨-1?%%?1时，"⑺-/⑻收-M)>0,

比较了(2017),/(2018),/(2019)的大小为()

A./(2017)</(2018)</(2019)B./(2018)</(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)</(2017)I)./(2019)</(2018)</(2017)

【答案】D

【详解】

「函数y=是R上的奇函数，又，=/(x+l)为偶函数，，/(一“)=一/3)，/(-X+l)=/(X4-l),

.../(%)=/(%+4),即函数y=/GO的周期丁=4，r・1?X七？1时，占一司>。，"(毛)-/(%)](&-内)>。，

/(七)一/(不)>()即/(&)>/(内)，函数y=/a)在卜上为增函数,

/(2017)=/(l+4x504)=/(l),/(2O18)=/(2+4x504)=/(2)=/(0),

/(2019)=/(-1+4x505)=/(-1),/./(2019)</(2018)</(2017).

故选:D.

国练真题

1.(2022・全国•高考真题(理))函数)，=(3'-3T)cosx在区间一卦的图象大致为()

【解析】

令f（X）=（3,-37）C0SX,X€,

则f（T）=H-3,）cos（-x）=-（3x-3f）cosx=-f（x）,

所以/（X）为奇函数，排除BD；

又当时，3v-3-r>0,cosx>0,所以/（x）>0.排除C.

故选：A.

2.（2022•全国•高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是

-3-2°1X

.一X3+3xn£-Xc2xcosx、2sinx

A.y=x"B.二申c.)?=o,D.y=

x+1x-+1

【答案】A

【解析】

设"”=彳三，则/(1)=0,故排除B;

/X2xcosx”，。、兀:八.

设力(4)=—；----,当0,—H\'»0<cosx<l,

x~+\I2；

,、2xcosx2x,u―人―

所以〃z(x)=-^―<^—<1,故排除C;

x~+\x-4-1

设g(x)=再f，则g(3)=*>0,故排除D.

故选：A.

3.(2022•全国•高考真题)已知函数的定义域为R,且—)+f(x-y)=/W(y)J⑴=1,则

22

£以k)=()

4-1

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

因为〃x+y)+/(x—y)=〃x)/(y)，令％=i，y=o可得，2/(i)=/(i)/(o),所以"0)=2,令4=o可得,

/(y)+/H)=2/(y),即〃)，)二/(一力，所以函数/(力为偶函数，令y=i得，

/(X+1)+/(X-1)=/(X)/(1)=/(A),即有/(x+2)+/(x)=/(■¥+1),从而可知/'(工+2)=—/(工―1),

/(x-l)=-/(x-4),fe/(x+2)=/(x-4),即〃x)=〃x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.

因为/(2)=/⑴-〃0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/。)=1，/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/⑴十〃2)十…十/(6)=0.由于22除以6余4,

所以2/'(。=〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=1-1一2-1二-3.

故选：A.

4.(2020.山东.高考真题)已知函数/(力的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数占，打，总有

/&)[/(%)>0成立,则函数〃力一定是()

占一不

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【解析】

对于任意两个不相等的实数4，々，总有>0成立,

"七王)一一不"")

等价于对于任意两个不相等的实数X<修，总有/(与)</(乙).

所以函数/(X)一定是增函数.

故选:C

5.(2021•全国•高考真题(理))设函数/⑴的定义域为R,/(H1)为奇函数，/(4+2)为偶函数，当xw[l,2]

时,f(x)=ax2+b.若/(0)+43)=6,则/5=()

93「7n5

A.——B.——C.-D.-

4242

【答案】D

【解析】

因为〃工+1)是奇函数，所以f(r+l)-1)①;

因为〃x+2)是偶函数,所以/(x+2)-/(—x+2)②.

令工=1,由①得：/(。)=一"2)=-(4。+〃)，由②得：/(3)="1)=。+〃，

因为/(0)+/'(3)=6,所以一(4^一/?)+〃+〃=6=.=-2,

令工=0,由①得：/⑴=一/⑴⑴=0=2=2,所以/(x)=_2f+2.

思路一：从定义入手.

唱=《》卜十卜

(()=(刊=寸加N=喧T

所以喝=-同小

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(力的周期7=4.

所以同=吗)=寸目小

故选：D.

-av+1,x<a,

6.(2022・北京・高考真题)设函数/(%)=,/若/⑴存在最小值，则。的一个取值为.

(x-2),x>a.

〃的最大值为.

【答案】0(答案不唯一)I

【解析】

1,X<0c八

解：若4=0时，={2、c，；•/(X)min=°；

(x-2),X>0

若“<0时，当时，/*)=-奴+1单调递增，当XT—时，/(X)T-OO,故f。)没有最小值，不符合题

目要求；

若〃>0时，

当x<。时，f(x)=-ax+1单调递臧，/(x)>/(«)=一4+1,

0(0<〃<2)

当二>。时，，(X)min={2,

(。一2)(47>2)

-。2+]2()或_/+]之(4—2)2,

解得0<々41,

综上可得OWaG；

故答案为：0(答案不唯一)，I

7.(2022•全国•高考真题(文))若/(%)=皿〃+—一+力是奇函数，则“=,b=.

【答案】-;：In2.

【解析】

因为函数/("=ln。+三7+〃为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

由a+—!—工0可得，(l-x)(4+l-ur)工0,所以工二"」二-1,解得：。=-<，即函数的定义域为

I-xa2

(y),T)u(-l/)D(l,”)，再由/(0)=0可得，Z?=ln2.即/")=ln-；+9-+ln2=ln4,在定义域

内满足/(r)=—/(x),符合题意.

故答案为：-g;In2.

8.(2022・浙江•高考真题)己知函数={1,，则//-=________:若当xw[a,句时,

x+--l,x>\,I12〃

x

14/(x)43,则〃一〃的最大值是.

37

【答案】—3+V3##V3+3

【解析】

由已知心）=-出+2=；，.彳）=渭-1嘿，

-

所以//（-1）1=芥37

ZJZo

当xWl时,由可得1«-2+2=3,所以-14E,

当H>1时，由1«/。了3可得1"+'-1工3,所以1<X42+白，

x

14/。）43等价于—1石工工2+百，所以[〃/]£[—1,2+6],

所以人一。的最大值为3+G.

47

故答案为：—t3+73-

2o

9.（2022・北京•高考真题）函数/*）=4+JTG的定义域是