函数的应用（核心考点）-高考数学一轮复习（新高考专用）原卷版

考点05函数的应用(核心考点讲与练)

，考点考瑞')

1.函数的零点

⑴函数零点的概念

如果函数尸/G)在实数。处的值等于雯，即/")=0,则a叫做这个函数的零点.

⑵函数零点与方程根的关系

方程/(%)=0有实数根=函数y=f(x)的图象与x轴有交点u>函数v=，(x)有零点.

⑶零点存在性定理

如果函数y=「(x)在区间［小⑸上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数道异号，即

八a)/W<0,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点施£(a,8,使F(外

=0.

2.二次函数y=df+bx+c(d〉0)的图象与零点的关系

4=If-4aczl>0A=0zl<0

二次函数

心w一V

y=bx-\-c

O|x）=xx

(—0)的图象2u

与x轴的交点（X,0）,（如0）（X,o）无交点

零点个数210

3.韦数、对数、鼎函数模型性质比较

函数y=ay=log..1xy=x'

性质U>1）（3>1）（〃>0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表随〃值变化

图象的变化

现为与y轴平行现为与X轴平行而各有不同

4.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型F(x)=乃才+#(d、b为常数,dWO)

二次函数模型f(x)=a^-\-bx-\-c{a,b,。为常数，aWO)

与指数函数

f(x)=Z;H+c(a,b,c为常数,a>0且bWO)

相关模型

与对数函数

f(x)=Z?log“x+c(a,b,。为常数，石>0且H#1,〃#0)

相关模型

与察函数

f(x)=ax+Z?(a,b,〃为常数，a=0)

相关模型

1.识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的

定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

2.月图

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的

图象，还可以判断方程yu)=g。)的解的个数，求不等式的解集等.

3.转化思想在函数零点问题中的应用

方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题：已知方程有解求参数范围问题可转

化为函数值域问题.

4.判断函数零点个数的常用方法

(1)通过解方程来判断.

(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.

⑶将函数)，=於)一g(x)的零点个数转化为函数)，=段)与y=g(x)图象公共点的个数来判断.

5.解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论;

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

C.(0,g)D.(g,+8)

A.(-oo,-2]“2,+oo)B.(-oo,-2]U{1,+oo)

C.(-oo,-1]U[2,+oo)D.[-2,2]

A.0B.1C.2D.3

9.(2020・湖北黄冈•模拟预测(文))求下列函数的零点，可以采用二分法的是()

二、多选题

A.-1B.2C.3D.4

三、填空题

四、解答题

B.注射次治疗该病的有效时间K度为6小时

C.注射该药物5小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5羡时

3

A.5"）在［0,2］上的平均变化率为二m/h

B.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h

C.当，=6时，潮水的高度会达到一天中最低

D.18时潮水起落的速度为Jm/h

O

9.（2020.福建莆田•模拟预测）某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668

个城市中有超过:的城市处于垃圾的包围之中，旦城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有

关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：

年份X2016201720182019

包装垃圾），（万吨）46913.5

C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨

D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨

三、填空题

四、解答题

11.（2022・四川•泸县五中模拟预测（理））为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车''后，又推出“新

能源分时租赁汽车“，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车攻费的标准由两部分组成：①根据行驶里程

按I元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知

张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车

花费的时间/（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如

F表所示：

时间f（分钟）

频数4364020

（1）写出张先生一次租车费用）'（元）与用车时间，（分钟）的函数关系式；

（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租

赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）

（3）若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设J表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”

的次数，求看的分布列和期望.

（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单

位不亏损？

函数综合

一、单选题

①/2是偶函数②/"）在区间（卜）单调递增

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.(D@D.①③

二、多选题

三、填空题

一、单选题

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

4.（2020・全国•高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份

订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该

超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成

50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

①/U）是偶函数②/"）在区间（］,万）单调递增

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.（D®D.①®

二、双空题

6.（2019•北京•高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草筵、京白梨、

西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的

80%.

①当后10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.

三、填空题

四、解答题

8.（2019•江苏•高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥

是圆。的直径