角平分线的性质 测试卷-八年级数学上册（含解析）

专题12.3角平分线的性质

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求

的）

1.（2019•河北省金华中学初二期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，NAOB是一个

任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过

角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOCgZXMOC,其依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】♦・•在AONC和A0MC中

.,.AONC^AOMC（SSS）,

.\ZBOC=ZAOC,

故选：A.

2.（2020•广东省初二期中）如图,RSA8C中,ZC=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点、D,

CD=2,P为48上一动点，则PD的最小值为（）

D.无法确定

【答案】A

【解析】当DPJ_AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小.

由作图可知：AE平分NBAC,

VDC±AC,DP1AB,

・・・DP=CD=2,

・・・PD的最小值为2,

故选：A.

3.（2020•河北省石家庄新世纪外国语学校初三二模）已知aABC,两个完全一•样的三角板如图摆放，它们的一

组对应直角边分别在工C上，且这组对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在（）.

A.NA的平分线上B.4c边的高上C.8c边的垂直平分线上D.A8边的中线上

【答案】A

【解析】如图，

VME1AB,MF±AC,ME=MF,

AM在NBAC的角平分线上，

故选：C.

4.（2020•山东省初三一模）如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于

E,F两点，再分别以E,F为圆心，大于：EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于

点M,若NACD=U0。，则NCMA的度数为（）

【答案】B

【解析】解：由作法得AM平分NBAC,

AZBAM=ZCAM,

VAB//CD,

AZBAC=180°-ZACD=180°-110°=70°,

・•・NBAM=LZBAC=35°,

2

VABZ/CD,

NCMA=NBAM=35°.

故选：B.

5.[2020•河北省初二期末）如图，4ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将AABC

分为三个三角形，则S^ABO：SABCO：SACAO等于（）

A.1：1：1B.1：2：3C,2：3：4D.3：4：5

【答案】C

【脩析】・・・O是AABC三条角平分线的交点，AB,BC,CA长分别是20,30,40,

故答案选C.

6.（2019♦山东省青岛第七中学初二期中）到AABC的三条边距离用等的点是4ABC的（）.

A.三条中线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条面的交点D.三条角平分线的交点

【答案】D

【解析】到AABC的三条边距离相等的点是AABC的三条角平分线的交点

7.（2020•广东省初二开学考试）如空，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的

距离相等，那么选择油库的位置有（）处.

【答案】D

【解析】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分

线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三

角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点,

故选D.

8.（2020•河南省淮滨县第一中学初三二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧,

交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心，大于;MN的长为半径画弧，两弧在第二象限

交于点P.若点P的坐标为Qa,b+1）,则a与b的数量关系为（j

2a+b=-1C.2a-b=ID.2a+b=l

【答案】B

【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上,

则P点横纵坐标的和为0,即2a+b+l=0,

/.2a+b=-1.故选B.

C.3cmD.5cm

【答案】C

【解析】解：•・•在AABC中，ZACB=90°,BE平分NABC,DE_LAB于D,

・・・CE=DE,

AE+DE=AE+CE=AC=3cm，

故选：C.

10.（2020•福州四十中金山分校初二月考）如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE_LAB于E,

下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；@ZBDE=ZBAC：④BE=DE；⑤SBDE：SAACD=BD：AC,其中正

确的个数（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【解析】解：①正确，：在△ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE_LAB于E,

/.CD=ED；

②正确，因为由HL可知AADCg/XADE,所以AC=AE,即AC+BE=AB；

③正确，因为NBDE和NBAC都与/B互余，根据同角的补角相等，所以/BDE=NBAC；

④错误，因为NB的度数不确定，故BE不一定等于DE；

⑤错误，因为CD=ED,ZkABD和^ACD的高相等，所以S^BDE：SAACD=BE：AC.

故选：C.

A

A.无法确定B.—C.1D.2

2

【答案】C

【解析】

解：由题意可知，当GP_LAB时，GP的值最小，

根据尺规作图的方法可知，GB是NABC的角平分线，

•IZC=90°,

・••当GP_LAB时，GP=CG=1,

故答案为：C.

12.（2020•山东省初三一模）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：

（1）在△AOB（OAVOB）边OA、OB上分别截取OD、OE,使得OD=OE；

（2）分别以点D、E为圆心，以大于'DE为半径作弧，两弧交于AAOB内的一点C：

2

（3）作射线OC交AB边于点P.

那么小明所求作的线段OP是AAOB的（）

A.一条中线B.一条高C.一条角平分线D.不确定

【答案】C

【解析】利用作法可判断OC平分NAOB,

所以OP为AAOB的角平分线.

故选C.

13.（2020•沈阳市尚品学校初一月考）如图，A8J_8C,DCLBC,AE平分NBA。，DE平分以下结

论：①乙4瓦）=90。;②点E是BC的中点;③DE=BE,•④AO=AB+CD•其中正确的是（）

A.①②③B.①@④C.①®④D.②®④

【答案】B

【解析】过E作EF_LAD于F,如图，

VAB±BC,DC±BC,

Z.ZB=ZAFE=ZDFE=ZC=90°,

r.ABZ/CD,

/.ZBAD+ZADC=180°,

TAE平分/BAD,DE平分NADC,

1

ZBAE=ZFAE,NDAE=-NBAD,

2

1

ZCDE=ZFDE,ZADE=-ZADC,

2

AZAED=180°(ZDAE+ZADE)=90°,所以①正确.

；・RsABEgRsAFE(AAS)

，BE=EF,AB=AF,

，RIADCE^RIADFE(AAS)

・・・CE=EF,CD=DF,

・・・EC=EF=BE,所以③错误；

••・E是BC的中点，所以②正确；

.\DC=DF,ZFDE=ZCDE,

，AD=AF+FD=AB+DC,所以④正确；

故选B.

其中正确的结论个数有()个.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】VZAOB=ZCOD=36°,

工ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即NAOC=NBOD,

在公AOC和aBOD中，

•••△AOC丝△BOD(SAS),

.,.ZOCA=ZODB,AC=BD,②正确;

AZOAC=ZOBD,

由三角形的外角性质得：NAMB+NOBD=ZAOB+ZOAC,

・・・NAMB=NAOB=36。，②正确；

作OG_LAC于G,OH_LBD于H：如图所示：

则NOGC=/OHD=90。，

在&OCG和AODH中，

.)△OCG四△ODH(AAS),

/.OG=OII,

VZAOB=ZCOD,

，当NDOM=NAOM时，OM才平分NBOC,

假设NDOM=NAOM

VAAOC^ABOD,

AZ=ZBOM,

：MO平分/BMC,

/.ZCMO=ZBMO,

在△和^BOM中，

.\OB=OC,

VOA=OB

AOA=OC

・••③错误；

正确的有①②④；

故选B.

D

BC

二、填空题(本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)

【答案】3

【解析】

解：根据垂线段最短可知：当PM_LOC时，PM最小,

当PM_LOC时，

APM=PD=3

故答案为：3

【答案】125

・・・0B、0C为三角形的角平分线,

・•・ZBOC=180°(ZOBC+ZOCB)

1

=180。2(ZABC+ZACB)

=180。2(18O°ZBAC)

=90°+2ZBAC=125°.

故答案为：125.

17.(202()•成都西川中学初三三模)如图，四边形ABCD中，ZBCD=90°,ZABD=ZDBC,AB=3,DC

=4,则ZkABD的面积为

【答案】6

【脩析】解：过点D作DE±AB父BA延长线于点E,

VZABD=ZDBC,DC±BC,DE±AB,

・・・CD=DE=4,

故答案为：6.

18.（2020.扬中市外国语中学初一期中）如图，若AABC的三条内角平分线相交于点I,过I作DE_LAI分

别交AB、AC于点D、E,则图中与NICE一定相等的角（不包括它本身）有个.

【解析】①根据角平分线的性质易求/1=/2；

②•「△ABC的三条内角平分线相交于点L

.•.ZBIC=180°(Z3+Z2)

二180。2(ZABC+ZACB)

=180°2（180°ZBAC）

1_

=90。+2ZBAC；

TAI平分NBAC,

，/DAI=2ZDAE.

•・，DE_LAI于I,

/.ZAID=90°.

AZBD1=ZAID+ZDA1=9O0+2ZBAC.

AZBIC=ZBDI.

/.180°（Z4+Z5）=180°（Z2+Z3）.

XVZ3=Z4,

AZ2=Z5,

AZ5=Z1,

综上所述，图中与NICE一定相等的角（不包括它本身）有2个.

故答案为：2.

三、解答题（本题共8道题，1921每题6分，2225每题8分，26题10分，满分60分）

19.（2020.黑龙江省初一期末）如图，AE〃CF,ZA=ZC.

（1）若Nl=35。,求N2的度数;

（2）判断AD与BC的位置关系，弃说明理由；

⑶若AD平分NBDF,试说明BC平分NDBE.

【答案】（1）/2=145。；（2）BC〃AD,证明见解析；（3）见解析

【解析】（1）TAE〃CF,

/.ZBDC=Z1=35°,

XVZ2+ZBDC=I8O°,

:.Z2=180°ZBDC=180°35°=145°；

（2）BC〃AD.

理由：VAE/7CF,.\ZA+ZADC=180°,

XVZA=ZC,.*.ZC+ZADC=180°,

ABC/ZAD.

⑶•・・AE〃CF,/.ZBDF=ZDBE.

VBC//AD,AZADB=ZDBC.

二•AD平分NBDF,，NADB=2NBDF,AZDBC=2ZEBD.

，BC平分NDBE.

20.（2020.天津初三一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B,C均为格点.

【答案】（1）6；（2）见解析

（2）如图，取格点M,N,连接MN,MN与网格线交于点连接8D即为所求；8。与网格线交于点E,取

格点G,H,G”与网格线交于点F,过点E,尸画直线，直线E尸

21.（2020.北京初三二模）下面是小明设计的“在己知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外

两边的距离相等”的尺规作图过程：

已知：AABC.

求作：点。，使得点。在8C边上，且到A&4c边的距离相等.

作法：如图，

作N8AC的平分线，交4C于点。.则点。即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

⑵完成卜面的证明.

证明：作。于点E,作。FL4c于点凡

「月。平分NB4C,

］（填推理的依据）.

【答案】（1）详见解析；（2）DE,DF,角平分线上的点到角两边的距离相等.

【解析】解：（1）作N8AC的角平分线，如图：

（2）作DE_LAB于点E,作DF_LAC于点F,

TAD平分NBAC,

・・・DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

故答案为：DE,DF,角平分线上的点到角两边的距离相等.

22.（2020•甘肃省靖远五中初二期中汝I图，在△ABC中，ZC=90°,4。是N84C的平分线，DE_LA8于E,

尸在AC上，且8氏。F.

⑴求证：CF=EB；

（2）试判断A8与4凡EB之间存在的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析(2)AB=AF+2BE

【解析】(1)证明：・・・AD是NBAC的平分线，DE±AB,ZC=90°,

，DC=DE,

在R9FCD和RMBED中，

.*.RlAFCD^RlABED,

ACF=EB；

(2)解：在RtAACD和RtAAED中，

ARtAACD^RtAAED,

/.AC=AE,

・・・AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.

B

【答案】（1）详见解析;（2）详见解圻

【解析】

24.（2017•河南省初二期中）如图，在改AABC中,ZC=90°,BD是放△ABC的一条角一平分线，点O、E、

F分别在BD、BC、AC上，月.四边形OECF是正方形，

(1)求证：点O在NBAC的平分线上；

(2)若AC=5,BC=12,求OE的长

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】解：(1)过点。作OM_LAB于点M

•・,正方形OECF

.\OE=EC=CF=OF,OE1.BC于E,OFJ_AC于F

••・BD平分/ABC,OM_LAB于M,OE_LBC于E

.\OM=OE=OF

*/OM±AB于M,OE±BC于E

.•.ZAMO=90°,ZAFO=90°

RIAAMO^RIAAFO

AZMAO=ZFAO

・••点O在NBAC的平分线上

(2)：RsABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12

/.AB=13

，BE=BM,AM=AF

又BE=BC—CE,AF=AC-CF,而CE=CF=OE

ABE=12-OE,AF=5—OE

，BM+AM=AB

即BE+AF=13

12-OE+5-OE=13

解得0E=2

25.(2019•河北省初二期末)如图，己知NAO8,以。为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA,08于忆

£两点，再分别以£尸为圆心，大于,£厂长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线OP,过点”作

2

FD〃OB交OP于点D.

(1)若NO尸0=116。，求/OOB的度数：

(2)若垂足为M,求证：冬

【答案】(1)32。；(2)见解析.

【解析】(1)・・・OB〃FD,

.\ZOFD+ZAOB=18O0,

又•••/0FD=U6。，

，ZAOB=1800-ZOFD=180°-116°=64°,

由作法知，OP是NAOB的平分线，

1

AZDOB=-ZAOB=32°；

2

(2)证明:・・・0P平分NAOB,

AZAOD=ZDOB,

V0B/7FD,

/.ZDOB=ZODF,

AZAOD=ZODF,

又：FM_LOD,

.*.ZOMF=ZDMF,

在AMFO和AMFD中

•••△MFO丝