江西省南昌市某中学2024-2025学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数：=土亘是/+Z+1=0成立的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.设集合>**；«H卜I」卜2｝,则()

A.[-2,2]B.[-2,2)C.(-1,2]D.(-1,2)

3.在正项等比数列｛%｝中，6,劭是方程9-10x+16=0的两个根，则％=()

a

A.2B.4C.8D.16

4.已知函数/(x)的定义域为R,+2)+川・x)=一,则川)：/?)=()

22I

A.1B.-C.--D.

5.记数列｛/｝的前〃项利为S”，以5=1+〃(〃WN),则下列选项错误的是()

A.a2=4

B.数列:是公差为1的等差数列

凡

C.数列｛2",｝是公比为4的等比数列

D.数列的前2025项和为-2026

-x:-2ax-a.x<(1

｛在R上单调递增，则a的取值范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

7.设函数/(X)=Q(X+T，g(x)=cosx+lax,当x三(-1,1)时，曲线y二火幻与y=g(x)

恰有一个交点，贝M二()

试卷第1页，共4页

A.B.C.ID.2

8.已知。>2,8"+15“=1T,则（）

A.a>h>2B.a>2>b

C.b>a>2D.力>2,但a和。的大小关系无法确定

二、多选题

9.设正实数m,n满足+〃=2,则()

A.'♦2的最小值为1+0

B.vG+4的最大值为2

C./〃〃的最大值为!

D.m2+rr的最小值为:

10.设函数/)=(x+l『(x-2),则()

A.X=-1是/(X)的极大值点

B.当0cx<1时，./（x）>J（x2）

C.当-2<x<0时，-4<y（x+l）<0

D.曲线y=〃x)有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为(0-2)

11.已知关于x的方程：|xe-7|=mx(x>0)有两个正根认与但<x2),则下列说法正确的

B.X1+x2<2

D.Inw+1<x2<e/w+1

三、填空题

12.已知/(x)=X2+A-,则曲线y=/(.v)在点(oj(o))处切线的倾斜角是

贝）.；4

13.已知函数y=/(2x-l)的定义域是[-1,3]的定义域是.

4-2

14.已知等比数列｛*｝满足q>0且％生。3+^a2+%+%-%=1，则⑶的取值范围是

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知数列｛〃”｝的前〃项和为S”，2=1,S”=2一2%…

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列;L前12项和.

jT1-<

16.已知函数/(制=二一，K(X)=T_.

—2

⑴求证：〃2x)=〃(x)ga)：

(2)任意xG[-l,1],不等式g(2x)+>0恒成立,求实数加的取值范围.

17.如图，在正三棱柱46C—小&G中，。为棱4C的中点，E为棱CG中点，AC=A4l.

(1)证明:〃平面。乃。；

(2)证明：4C_L平面8。£；

(3)求二面角。一BE-C的正切值.

18.已知曲线G:JC+y=3和曲线gI.

(1)若曲线G上两个不同点力、B的横坐标分别为七，求证：直线的方程:

y=-(X|+x2)x+x｝x2+3；

(2)若直线/：y=kx+m与曲线C?相切，求证：病=2^+|；

(3)若曲线Ci上任意点P向曲线G引两条切线交G于另两点为。、R，求证：直线。/?与曲线

G相切.

19.已知函数/(x)=xsinx+cosx,xG[0,兀].

(1)求函数*x)的单调区间；

试卷第3页，共4页

《江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADBABBDAABACD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】先判断当/=二1^时，z?+z+1是否等丁0,以确定充分性是否成立：再判断当

z2+z+l=0时，z是否一定等于士3，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型.

2

【详解】当：=空&时,

,Jl.G：卜1♦百i)”-2•1

再计算Z2+Z+1;

所以当色

时,m+z+l：。成立，充分性成立.

-l±Vl2-4xlxl-I±V3I

由/+z+l=0，则iz=■—■—I

2x122

即；一J、''或：'、"所以当22+7+1=0时，Z不一定等于Li必要性不成

22

立.

因为充分性成立，必要性不成立，所以复数/=上且是z2+Z+1=0成立的充分不必要条

2

件,

故选：A.

2.D

【分析】分别解出集-合A中的分式不等式和集合6中的对数不等式，再利用集合的交集运算

即可求解.

"2(X+2NX-2>40

【详解】不等式等价于＜x.2,0'解得丑一<2,

*-2

：A={x-2<x<2}；

不等式log2(x+1)<2等价于log2(x+1)<log24,

答案第1页，共15页

:・<,-1<A<3.=!J-I<x<3.

x*1<4

：JA5=｛x—1<x<2).

故选：D.

3.B

【分析】根据等比数列的性质求解.

【详解】因为是方程f—10x+16=0的两个根，

所以一士-16,

a

又因为在等比数列｛“”｝中，的%=W二6的;16,

又因为｛七｝是正项等比数列，所以为=4,

所以蚯=号=4,

44

故选:B.

4.A

【分析】借助赋值法，分别令x=0及x=-1,可得求得答案.

【详解】令x=0,得2/Q)+/(l)=0①；

令、=-1,得2/(1)+/(2)=1②，

由②一①得70)/2)=1.

故选：A.

5.B

【分析】利用给定的前〃项和求出可，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判

断.

2

【详解】由S“=n+n,〃N2时，得。”—Sn—5„_1—tf+n—(〃-1)'—(〃-1)—2〃,而0=，=2

满足上式，

因此数列｛凡｝的通项公式为图=2〃，

对于A,生=4,A正确：

对于回:,则*…-\所以数列；*)是公差为;的等差数列，B

a,2M22*a.2n.

答案第2页，共15页

错误；

对于C,2。"=4",则；：4,所以数列｛2。｝是公比为4的等比数列，C正确：

对于D,令”=(一于生=(一于.2〃,篇t+%=-2(2〃T)+2.2〃=2,数列低｝前2025项和

为

(4+&)+也+4)+…+(b3+为“)+”必=2x1012-2X2025=9026,D正确.

故选:B.

6.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(，)在R上单调递增，且xNO时，/(0=炉+m(五+1)单调递增，

卜令N0

则需满足2x(-0，解得-iwa40,

即a的范围是［T,0］.

故选：B.

7.D

【分析】解法一：令尸(x)=ax2+a—1,G(x)=cosx,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有

一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2,并代入检验即可：

解法二：令〃(。二(丫)一g(x),x£(—1,1),可知〃(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可为防(X)

的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

(详解］解法一：令及丫)=g(x),即a(x+1)2—1=cosx+2ax,可得加+a—1=cosx，

令《)=ax2+a—\,G(A)=cosx,

原题意等价于当x£(—1,1)时，曲线v=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到/(x),G(X)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得A。)=G(0),即a—I=1,解得"=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得Zv2+1—cosx=0

因为x£(T,l),则2X22。,1—cosx20,当且仅当工二0忖，等号成立，

答案第3页，共15页

可得2/+1—COSA->0,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程Zr2+［_cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线)，=尸。)与^=G(x)恰有一个交点,

所以a=2符合题意：

综上所述：a=2.

解法二：令〃(x)=./(X)FG)=ax1+a—I—COSX,JG(—1,1),

原题意等价于〃(工)有且仅有一个零点，

因为4(r)=a(r)“+aT—cos(r)=ar2+aT-cosx=h(r)，

则为G)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知力(x)的零点只能为0，

即力(0)=。-2=0,解得〃二2,

若”2,则〃(x)=2r+l-cosx,xW(T,l),

乂因为Zr?>0,1—cosx>0当且仅当x=0时，等号成立，

可得力(x)>0,当且仅当x=0时，等号成立，

即〃(工)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

8.A

【分析】分别由题意证出2且b<a,得出结论即可.

【详解】由于。>2,所以17〃=8“+15“>82+152=172,因此6>2,

又因为17一•信丫信信)'・1,即—“<0,故2<b<a

故选：A.

9.AB

【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解.

［详解］由〃?+n=2,m,n>0,

答案第4页，共15页

当且仅当±=生,即加2熄l,n426时等号成立，

tnn

则,+二的最小值为：+J2.故A正确：

mn2

|||(yjni♦J")削♦”♦・2♦£2♦2•~~~~4,

当且仅当阳=〃=1时等号成立，

则4ni+JG的最大值为2,故B正确：

由FWTL|-I.当且仅当加=〃=1时等号成立，

则〃?〃的最大值为1,故c错误；

由方+?f=(m+n)'—2nm=4-2mn>4—2x1=2,

当且仅当用二〃二1时等号成立，

则〃?2+,?的最小值为2,故D错误.

故选：AB.

10.ACD

【分析】求出函数十丫)的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.

【详解】函数/)=(x+l)(一2)的定义域为R,求导得〃x)=3(x+l)(x—1),

当x<T时>1时，f,(x)>0；当T<x<1时，/(x)<0,

函数危)在(一8,—1),(1,+co)上单调递增，在(一U)上单调递减，

对于A,x=-1是/(x)的极大值点，A正确：

对于B,./(x)在(0,1)上单调递减，0<f<x<1,则危)<X?),B错误：

对于C,当一2<x<0H、J,-1<x+l<1,/(I)</(x一1),./(I)=-4/T)=0,C正

确：

对于D,令鼠幻二./(》)+2=F—3x,g(—x)=(一4—3(r);-g(x),函数g(x)是奇函数，

函数g(x)的图象关于原点对称，则函数/U)的图象关于点(0.—2)对称，

若函数g(x)的图象还有一个对称中心(a,6),。工0,则26=g(a+x)+g(a—x)

二(a+Jr)，-3(。+A)+(a-x)3—3(。—x)=2a3—6a+6ax2,而2/-6a+6a/不为常数，

答案第5页，共15页

因此点(a"),a/。不是函数g(x)图象的对称中心，即函数g(x)的图象有且只有一个对称中

心，

则曲线y有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为(0,—2),D正确.

故选：ACD

11.ACD

17"0<*<1

【分析】把等式分离参数并构造函数#幻二<”,单调探讨性，结合零点的意

C-

x

义判断A；取值判断B；利用不等式的性质判断C：利用不等式性质，结合对数函数性质，

作差并利用导数确定正负判断D.

(।--c,,.0<x<1

[评衅】对于A'■X..函数F=C'」=_在(0,+8)上递增，

X

--c**.0<x<\

因此函数贝幻=".在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，g(x)>g(l)=o,

X

是直线歹=加与函数y=g(x)的两个交点，则0<M<I<占，A正确；

对于B.取用=c：-；・g(x)="?=5-1=g{3),贝|兀=3,而0<毛<1,

此时X]+x2>2,B错误；

对于C,mx=1—<1,而m>0,因此力<—.C正确；

{m

对于D,mx2=々eLi—1<we'i,则Inm+\nx2<Inx2+x2—1,于是Inm+1<勺，

ccc

cm*I-i.■€**------>1,。画软—1♦•I-x,x>I.t)-Cw-r-1>0«

2

JT3ix

函数/?(x)在(1,+8)上单调递增,h(x)>//(1)=0,因此cm+1—x2>0,即e/n+1>x21D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：作差构造函数，利用导数探讨单调性是判断选项D的关键.

x

12.-

4

【分析】对函数y=/(x)求导，求出在点(0,/(0))处的切线斜率，进而得出倾斜角.

答案第6页，共15页

【详解】因为/《）=x2+,r,所以/；（A）=2x+\,则/；（0）=1

所以曲线歹二/（x）在点（0,/（0））处的切线斜率为1,所以斜线的倾斜角为：:.

故答案为：

4

13.（—2,5]

【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出/（1）的定义域，然后求解即可.

【详解】函数y=/（2x—1）的定义域是[-1,3],

所以丫£[-1,3],于是2xT£[T,5],

所以/（x）的定义域为[—3,5],

x*2>0

由解得H<X£5,

・34x45

故1的定义域为（一2,5],

“♦2

故答案为：

【分析】利用等比数列，将各项均用/，夕表示，然后构造函数

/⑷=（a：—ajq*+（2a;+ax）q-+a]q—\,分类讨论%>1和0<%<1两种情况下饱）的单调

性，进而确定为使方程/⑷=0有解，外的取值范围.

【详解】因为｛4｝为等比数列，所以

=22

4陷2a3+勿；+生+4端+2a：g2++a^—a西广=-q丫广+（邮+a｝）q+=1.

领g）=3：—aM+（2o?+a^q2+留T,

则力（9）=3（°：—卬际+2（邮+q）q+%=aJ3（%+1均+1][QTR+1].

因为4>0,q>0,所以+l）q+l]>0.

当外21时，（/-1）夕+1>0,此时/（夕）>0恒成立，人9）在（0,+8）上单调递增，

答案第7页，共15页

J｛q｝>,/(0)=-1,所以用)=0一定有解，即3g>0，使得+温+a2+%—aA=1成立.

当0<为<1时，则/'W)>0,此时/q)单调递增：,2),用

l-tf.I-a,

此时/(g)单调递减.

为使/⑷=°有解，则〃山“•〃士"舒♦芸?•言7M•

整理得d-MN40,解得三卢号巨.

3-J5

又0〈田<1,所以^-<a,<I.

「3-石、

综上，外的取值范围是

「3-石

故答案为।

15.⑴。・■三

(2)4095

【分析】(1)利用①与S,间的关系求通项公式即可;

(2)由等比数列的前〃项和公式可得结果.

【详解】⑴数列｛凡｝的而〃项和为工，4=1,S“=2—2a…

当“二1时，a,=2—2a2=1,所以a：=g,

当〃之2时,由工二2一2%讨，可得J=2-2an,

两式相减得见=2勺一2%“，得到氏=2a,“

又为=1。0,又彳"丞

满足乎,g，所以数列｛4｝是首项为1，公比为!的等比数列，所以4=/■.

2，由1|)知工=2>:所以数列-'航12项和7；,・WZH1・2'L|・"W

0.auI_J

16.(1)证明见解析

⑵[T,+8)

答案第8页，共15页

【分析】(I)由己知分别求的、(2x)和2/(x)g(x)的解析式，即可证明;

(2)由已知可得g(2x)=2g2(A)—1,由g(x)>0,不等式等价变形为

■之一2g(”恒成立,换元令/=g(A)构造新函数设求解1的

*(x)

取值范围，通过求导判断函数的单调性求解最值即可得到答案.

［J.因为-C/所以，(”1,/.

因为/(x)=W：・以工卜^^，

所以2/3小心了，亨

所以/⑵)=2/(x)g(x).

因为*卬■eF，户.4卜二丁

=2/(

由g(2x)+mg(xj>0,得2g2(x)—l+Wg(x)>0.

因为xb-M］,所以卜一'C'2We，。'-I《当11仅当X=0时取等号)，麴(X)>0,

—2

I-2j?Jlx)I

所以原不等式等价于刖」:-,、2MI)恒成立.

8(x)8(同

因为g(jr)"；e'"•卜I』,所以#T)=°；>=*"，故4幻为偶函数，

所以g(x)在［―1,1］上的值域等价于g(x)在［(),】］上的值域.

因为X,(，卜匚C2族rW［0,।］上恒成立,所以虱工)在［()，1］上单调递增,

I

所以21).=8(。)=1*勾.=*1)£^-，即g(x"L^~

2/

c.c"

令，X("，则，wI、一；—,

)・；也，•1「,；..

•-in

则”(，)-；，n,所以力⑺在I」’：上单调递减，

答案第9页，共15页

所以恤)“=碎)=］，|=_|，

因为桁27「力(叶恒成立，所以用-h，即〃?2—1,

g(x)2

所以实数〃？的取值范围是［—1,+8).

17.(1)证明见解析

(2)证明见解析

喈

【分析】(1)设丛C交BC于点O,连接。O,先证然后由线面平行的判定定理

即可证明；

(2)先证明DE_L4C,由线面垂直的判定定理可得80/平面4CG4,即小CJ_8。，然

后由线面垂直的判定定理即可证明出CJ_平面；

(3)设正三棱柱底边边长为2a,取8C的中点凡连接彳凡取中点G,连接OG,过

G作GH垂直.BE于点H,连接。“，由二面角的定义可得上。〃G即为所求二面角的平面角，

通过三角形中的边角关系即可求解.

【详解】(1)

设交BG于点O,连接。O,

在正三棱柱力阮'一力四G中，BBJiCC\且〃为=CC,,

所以四边形88GC是平行四边形，则。为的中点,

因为。为力C的中点，故4B"/0D,

因为力济丈平面G8Q,。。匚平面G8Q，所以力8〃平面G8。：

答案第10页，共15页

(2)在正三棱柱/5c・48£中，44J/C4且/a=CC,,

又AAXS_AC,可得正方形4CG4，故4G」_aC，

因为0,£•分别是4C,CG的中点，所以4C"/DE,故用。£j_4C；

在正三棱柱中CG_L平面48C,8QC-平面48C,所以8O_1_CG，

在正三角形/8C中，。为/C的中点，所以8。_1_4。

因为CQI/C=C,CC,HCL平面4CC4,所以8。_£平面/1CC4,

因为4cL平面力CC&，所以4CJ_8。,

因为OEJ-4C,BDCDE=D,BD,DEu平面BDE,故4C-L平面3QE；

(3)

设正三楂柱底边边长为2a,

取BC的中点F,连接AF,取CF中点G,连接DG,过G作G“垂直BE于点H,连接DH,

因为三角形4BC为正三角形，且尸为8c中点，所以

因平面48C_L平面BC'GS,且平面48Cn平面8CG与二8。，力/l平面48C,

所以彳产_1_平面6CC0,

因为。为力C中点，G为FC中点,所以DG///户,所以。GJ_平面8CG",

又BEL平面8CG"，所以OGJ_〃E，

又〃G_LBE,HGHDG=G,DG,“GL平面”GD,

所以BE_L平面QHG,又平面O〃G,所以O”_L££,

则上OHG即为所求二面角的平面角，

答案第11页，共15页

因DG=：/F=曰＜1'

在直角三角形8CE中，sin上£*=空=/-=¥，

ot5

又HG±BE,所以在RU8HG中，8；；=：・：LJ二:u

则HG=BGsmNE8cx—=.

241n

.凶2a屈

tanZD//G=----=%=------

HGW53

a

1（）

即二面角Q-4E・C的正切值为平.

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据斜率公式以及点斜式即可求解直线方程:

(2)联立直线与曲线方程可得(l+2必)/+46x+2m2-2=0,根据判别式为0即可求解;

(3)根据y=・(占+》2卜+»2+3以及(2)中小=2M+1得0R的方程:

2Mx+G，「l)j，-必+5=0,验证(2)的结论即可求解.

2

［详解］(1)设力(巾,凹)，B(X2,y2)，因为力，8在曲线G'X+y=3上，所以有:

乂=3-x^,y2=3-x；,易知匹Hx2，

所以直线AB的斜率・左2.・©.)・史士・・(3♦】|

根据点斜式方程，直线力〃过点力(口,”)，贝U直线XA的方程为尸乂=-(x,+.r2)(x-x.).

将M二3-X：代入上式得：y-（3-X：）=-（X1+X2）（x-X1）,

展开可得：y-3+4=+工2卜+M&+占),

化简得y=-（X）+x2）x+x?+x]x2+3-寸，

即y=-（X1+x2）x+x[x2+3,得证.

答案第12页，共15页

（2）将直线：¥=去+小代入曲线〔.:II.可得：-+（£v4-/w）=I,

22

展开并整理得：（1+2犬）f+4kmx+2m2-2=0.

因为直线/与曲线G相切，所以此一元二次方程的判别式△=0.

则4=（4粒）‘-4（1+2*）（2川-2）=0

展开得:16K〃/・4（2〃/-2十4A2m2・4.）二o,

化简可得加=2炉+1,得证.

（3）设P,Q,R三点横坐标分别为（%1,%）,（4%），（孙乃），

结合（1）可知直线PQ的方程：y=-（.r,+x2）x+xhv2+3,

直线PQ与曲线C>相切，再结合（2）中加=21c+1得：（X[X2+3）'=26+x2）~+1.

整理得：2片+2x1-x坦-2X1X2-8=0«2（3叫）+2（3-yJ-（3”J（3-y2）-2x,x2-8=0

再整理：+y必-(%+v2)+5=0+&・1%-必+5=0.

同理可得2x吊+（H-1）为-必+5=0，

所以直线2%|X+（当-l）y-y）+5=0既过点0（上,月）又过点穴（工3,外）

即直线QR的方程：2,r,x+（%-l）y-凹+5=0.

再次结合（2）可推算：

”J./生丫"丫.1尸・（%丁）；理川寸7：钟上罕.

k>iI>'i_U（/i-1（>1"I

所以，直线。R与曲线。2相切.

答案第13页，共15页

19.(1)单调递增区间是单调递减区间是：B'X.

(2)证明见解析

(3)存在

【分析】(I)对函数/(x)求导，利用£(x)的正负，即可求得单调区间.

(2)将不等式恒成立转化为函数，令g(x)=(eA-x-l)sinx+(e'-l)cosx,求函数的单调区

间进而求出最大值，即可证明结论.

(3)根据题干，利用三角恒等式将递推关系转化为角度递增问题，求出义二cos(2"T8),分

析数列的有界性即可.

【详解】(1)求函数/'(X)的单调区间

=xsinx+cosx,xG[。,我]求导可得:f,(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx

•当XW0；)时，cosx>0,x>0,所以/()二xcosxN0,函数/*(x)单调递增.

•当xq,.x时，cosx<0,X>0,所以/；(x)=XCOSX<0,函数/(t)单调递减.

综上，/(x)的单调递增区间是Qf),单调递减区间是：.

(2)证明不等式(e、-x-l)sinx+(e'-l)cosx<e恒成立

本题可构造函数，结合(1)中函数单调性进行证明.

令g(x)=(cv-x-l)sinx+(cv-1)cosx,xG[o,n],

将其变形为g(x)=er(sinA