离散型随机变量及其分布列均值与方差（讲）-高考数学高频考点复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第54讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）

题型目录一览

①离散型随机变量

包离散型随机变量的分布列

③离散型随机变量的分布列的性质

④离散型随机变量的分布列的均值

⑤离散型随机变量的分布列的方差

一、知识点梳理

一、离散型随机变量的分布列

1.随机变■的定义

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关

系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量

常用字母x,丫，八八…表示.

2.离散型随机变量的定义

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.

注：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，

这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,

但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.

3.离散型随机变■的分布列的表示

X当xiXn

PPlPlPiPn

4.离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

注：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数.

②随机变量《所取的侑分别对应的事件是两两百斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

二、离散型随机变量的均值与方差

1.均值

若离散型随机变量X的分布列为

Xx2

PPlPiPi・♦♦Pn

2.均值的性质

3.方差

若离散型随机变量X的分布列为

Xx2E

pPiPiPiPn

4.方差的性质

二、题型分类精讲

题型二房散型随机变量的概念

畲策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系

①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；

②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结

果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.

【典例1］（单选题）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）

A,将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B.某人早晨在车站等出租车的时间

C.连续不断地射击，首次命口目标所需要的次数

D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

【题型训练】

一、单选题

I.在下列表述中不是离散型随机变量的是（）

①某机场候机室中一天的旅客数量X；

②某寻呼台•天内收到的寻呼次数X；

③某篮球下降过程中离地面的距离X；

④某立交桥一天经过的车辆数X.

A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

3.①某座大桥一天经过的车辆数为X：

②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；

③一天之内的温度为X；

④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得。分，用X表示射手在一次射击中的得分.

上述问题中的X是离散型随机变量的是（）

A.B.①®④C.©®®D.②③④

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局三次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

5.下面是离散型随机变量的是（）

A.电灯泡的使用寿命X

B.小明射击I次，击中目标的环数X

C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X

D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置x

题型三声散型随机变量的分布列

⑨策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤

X012

_1_

P

244

2.一袋中装5个球，编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3个，以C表示取出的三个球中的最小号码,

则随机变量小的分布列为（）

123

11

P

33

123

331

P

51010

3.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X,

则X的分布列为（）

A.

X012

P0.080.140.78

B.

X012

P0.060.240.70

C.

X012

P0.060.560.38

D.

X012

P0.060.380.56

二、多选题

4.已知随机变量彳的分布列为:

自-2-10123

11

P

6366nn

A.1B.2C.3D.4

5.已知随机变量片的分布列为:

0-2-10123

134121

p

121212121212

A.5B.7

C.9D.10

三、填空题

7.数字1,2,3,4任意排成一列，如果数字人恰好出现在第％个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合''个

数j的分布列.

8.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变

量X的概率分布列如下:

X012

P彳2•q

10.某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢健子、广场舞、投篮、射门等体育活动.在一次“定

点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，

则小组得3分：如果只有一个人投中，则小组得1分：如果两人都没投中，则小组得0分.甲、乙两人组

成一组，甲每轮投中的概率为1,乙每轮投中的概率为且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果

亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为.

四、解答题

⑴求X的分布列:

12.2022年卡塔尔世界杯(英语：FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在

卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，

体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计

人数如下表所示：

班级12345

喜欢观看世界杯的人数3935383836

班级67891()

喜欢观看世界杯的人数3940374038

⑴该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜

欢观看世界杯的人数不全相同的概率；

(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X,用上表中的频率估计概率,

求随机变量X的分布列与数学期望.

(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图)，标出增长率并补全折线图；

(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为小,平均数为了，比较和小与工的大小(只需

写出结论).

14.(I)从0,I,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中随机的油取出两个数字，记两个数字的和为X.

(i)求X的分布列；

题型ma散型随机变量的分布列的性质

畲策略方法分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

⑵随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范

围内的概率.

【题型训练】

一、单选题

1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数〃的值是（）

X3459

a

P

一226

2.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.10.30.10.2

3.随机变量的分布列如下:

4.若随机变量X的分布列为

2

A.B.0C.D.

323

87716

A.B.C.D.

7816

321684

A.B.C.D.

633?157

二、多选题

7.已知随机变量X的概率分布如下表（其中〃为常数）:

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的是（）

A.。=0.1B.P（X<2）=0.7

C.P（X>3）=0.4D.P（X<1）=0.3

8.已知离散型随机变量X的分布列为

X1246

P0.2mn0.1

则卜.列选项正确的是（）

9.一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球,

每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量久则下列说法正确的是（）

三、填空题

10.已知随机变量X的分布列为

11.离散型随机变量X的概率分右中部分数据丢失，丢失数据以X,〉，代替，其概率分布如下:

X123456

p0.200.10X0.10y0.20

12.随机变量X的分布列如下，其中a,〃，c,成等差数列，则公差〃的取值范围是.

X-101

题型四离散型随机变量的分布列的均值

伞策略方法求离散型随机变量X的均值的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值.

(2)求X取每个值时的概率.

(3)写出X的分布列.

(4)由均值的定义求七(X).

【典例2】(单选题)已知随机变量X的分布列为

【题型训练】

一、单选题

1.已知随机变量X的分布列为:

X123

P0.20.5111

则X的均值是()

A.2B.2.1

C.2.3D.随机的变化而变化

2.随机变量X的概率分布为

X124

P0.40.30.3

A.IIB.15C.35D.39

3.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（）

A.6B.7.8

C.9D.12

5266202

A.B.C.D.-

981819

A.4B.5C.6D.7

7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用

身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是04,同学乙猜对成语的概

率是0.5,且规定猜对得1分，猜错得。分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（）

A.0.9B.0.8

C.1.2D.1.1

二、多选题

则下列说法正确的有（）

X1234

1

Pmn

4n

则下列正确的是（）

10.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随

机变量x为取出白球的个数，随机变量y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一•个黑球得1

分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是（）

三、填空题

gi35

p0.5Hl0.2

12.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的概率分布为

X1234

P0.50.20.20.1

13.小青准备用9万元投资A,B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股I

万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资4种股票。万元，则小青两种股票的收益期望和为万元.

股票A的每股收益分布列

收益X/万元-103

概率0.30.20.5

股票B的每股收益分布列

收益y/万元-34

概率0.40.6

四、解答题

(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；

(2)求甲停止答题时答对题FI数量X的分布列与数学期望.

15.2022年北京承办了第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项(滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪

车、雪橇、冬季两项)，15个分项(高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、

短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项)，共计109个小项.某

校为了调查学生喜欢冰雪运动与性别的关系，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2x2

列联表(单位：人).

是否喜欢冰雪运动

性别合计

喜欢不喜欢

男aC

女bd

合计

(1)完成2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；

(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从中抽取3人调查其喜欢的项目，用X表

示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

16.某梯级共20级，某人上梯级〔从。级梯级开始向上走)每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为:，

上两级的概率为|,设他上到第〃级的概率为P”.

⑴求他上到第10级的概率儿(结果用指数形式表示)；

(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望.

(1)设随机变量X表示甲队的总得分，求X的分布列和数学期望：

(2)求甲、乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.

18.设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2

个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2

个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；

若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.

(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；

(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分

布列及数学期望.

题型五离散型随机变量的分布列的方差

全策略方法求离散型随机变量X的方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值.

(2)求X取每个值时的概率.

(3)写出X的分布列.

(4)由方差的定义求。(X).

X-212

\_\_

Pa

65

D.5

D.-3

【题型训练】

一、单选题

1.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.

Xa

P0.40.20.4

X-201

Pab

3

23

D.

81

5

D

9-

2

D19

4一

16

7

478D.

7.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一

局甲赢的概率都是:，随机变量X表示最终的比赛局数，则()

二0

01

二、多选题

10.设离散型随机变量Y的分布列如下表:

X12345

Pm()