江苏省徐州市2024-2025学年高一年级下册期末抽测数学试题（含答案解析）

江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知iz=3+i,贝上的虚部为（）

A.-3B.-1C.1D.3

—rr

2.已知「二（5,-1）,b-（3,1）,pii]a-b=（）

A.2B.2亚C.4D.8

3.用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高

三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（）

A.1400人B.1600人C.1800AD.2000人

4.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数

字之和是奇数的概率为（）

1212

A.-B.-C.~D.一

2s92

5.设a,。为两个不同的平面，刖，〃为两条不同的直线，则下列命题正确的是（：■

A.若〃？//n,a,则〃？IIa

B.若m_LP，nHp,则〃?_L〃

c.若a_L。，mUa,〃_L。，贝如_L〃

D.若mUa,nHp,〃？〃”，则。〃S

6.在梯形48CQ中，ABWCD,AD=\,/1B=2,1_BAD=60o,若7一e在上的投影向

量为耳力8则万=(

A.—AB+ADB.

2n/

C.-D.ABH—AD

44

7.已知一个古典概型的样本空间。和事件力，B,满足〃（C）=8,〃Q）=3,“（8）=4.

n（A+B）=5,则（）

A.A,8相互独立B.A,B互斥

C.P（/B）=；

D.小)q

试卷第I页，共4页

兀n二也

8.已知cosa—+cosa+-则cosla--)

3J6丁6)

AOBO157

C.——D，获

16X16

二、多选题

9.有两组样本数据：2,6,4,2,1和4,8,6,4,3,则这两组样本数据的（）

A.样本平均数不相同B.样本中位数相同

C.样本标准差不相同D.样本极差相同

10.在锐角V/18C中，sin(J+B)=1,sin(4-8)二?：则(

•/„2

A.sinJCOSD=-B.tan/I=2tanB

s

4

C.tan(JiB)=JD.tan/=2+%

11.如图①，在长方形/18C。中，AB=6AD=3tM,N为力。的三等分点，P,PQ为

8C的三等分点，连接8必，PN、QD,分别交力。于点K,G,。.如图②，将沿力。

翻折至△43,形成三棱锥厂•48C,则（）

B.当NG_L8K时，直线A/G与O0所成的角方

C.当二面角歹・1C-4为生时，BN=—

D.直线O/上的点到直线尸G的最短距离为正

2

三、填空题

12.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为

试卷第2页，共4页

5

13.已知数据1,2,4,刀的方差为Z，则〃？二

14.记V/l8c的内角/,E,。的对边分别为a,b,c,若

Ji(Qsin/+bsin8—csinC)=asinBsinC,c=4,则v44c的面积的最大值为

四、解答题

15.近日，江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注

程度，随机选取了200名年龄在［15,55］内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的

频率分布直方图.

(1)求选取的市民年龄在［25,45)内的人数;

(2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计:

(3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据1勺70%分位数.

16.已知复数二।=cosx+i,=2=1+(1-Gsinx)i,1小,亭.

I3；

(1)当x=1时，求zR和卜-2句|：

(2)设4，Z?在复平面内对应的点分别为儿B,。为原点，若斡力,谈分，打

17.如图，在V/8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2cosc(acosA+6cos4)=c.

试卷第3页，共4页

《江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABCDBCCDADABD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】利用复数的除法法则化简即可

【详解】由题意得，二=出="11=］一3i：故z的虚部为-3.

ii2

故选：A

2.B

【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可.

【详解】因为万二（5,-1）石=（3,1）,

所以万一；=（2,-2）.

所以忖一同=（4+4=.

故选:B.

3.C

【分析】根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可

【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽

20人,

高三年级抽10人，所以高二年级要抽取45・20-10=15人，

因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是与=上,

60040

45

所以该校学生总数是丁=180°,

40

即该校学生总数为1800人.

故选：C.

4.D

【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数

的条件的组合数即可求解.

【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张，

答案第I页，共13页

所有可能的组合有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种等可能的结果,

和为奇数的条件是一奇一偶，

符合条件的组合为：(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),

所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为:二二

故选：D.

5.B

【分析】根据线面位置关系，逐项检验，可得答案.

【详解】对于A,由〃则mHa或a,故A错误；

对于B,由〃口氏则3/-。，使得/〃〃，由〃zJLS，则〃?即机〃，故B正确;

对于C,由题意可得，〃与6的位置关系可能为相交、平夕亍或在面内，

当机与6相交时，〃与加的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误；

对于D,当an。:/且〃?]]“II/时，m//n,mHa,n/3,故D错误.

故选：B.

6.C

【分析】设£?=力则7W=疝万一+7万，利用投影向量可得胃之耨=2,利用向量的数

量积的定义及运算律可求解.

【详解】依题意，设。0=M8,则力「二力方+。e=A48+1万，

__]一记前

因为7在7”上的投影向量为548所以羽2-AB=-AB

2'又AB=2,

所以X.方=4x：=2,所以卜方+而)•前=2：即“荔2+荔茄=2：

1—.1——

因力。=1,AB=2,上410=60。，则4/+2xlxcos60。=2,解得Z=一，所以4C=—+/£.

44

故选：C.

7.C

【分析】根据占典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得

答案.

答案第2页，共13页

【详解】由题意可得尸（z小、忌n（A\费3，P/M、忌n（B\丁4于1尸（"8、）=n（A+B）5

由P（4）+尸（8）=：+：=］则P（/出）=［P（4）+P（8）］-P（4+8）=；故C正确，B错误:

X2o4

由PW）P（8）=%；='工户（力8）则事件48不是相互独立的，故A错误：

由产（4）=1-2（力）=丁则D错误.

故选：C.

8.D

【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到COSa-二”利

I12；

用二倍角余弦公式即可求得.

71n

【详解】因为cosa-g+COS"E=cos——a+cosa+

I6)U)\6,

.71V2

=sina+—+cosa+—=\5siin：a+

6J6)4

所以sinfa+如］=cosfa-nE、I

I12；Ir12J4

所以cosla--,=-

\6.-r

故选：D

9.AD

【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可.

【详解】对于A,两组数1的平均数分别为2+6+：+2+1=为4+8+；+4+3=5故人正

确：

对于B,数据1,2,2,4,6的中位数是2,数据3,4,4,6,8的中位数是4,故B错误；

对干C,两组豹据的标准差都为+3?+1+（-1）2+（2）2=32,故。错误：

对于D,两组数据的极差分别为6-1=5,8-3=5,故D正确.

故选：AD

10.ABD

【分析】对于选项A,将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得sin/cosA的值；对

于选项B,根据条件求出sin/lcos8,cos/lsin8的值，进而可得到tan力,tan8的关系；对于选

答案第3页，共13页

项C,根据sin(力+8)先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D,首先将

tan)+tan£展开然后根据tan4=2tan8求出tan力.

1-tan/ItanR4

【详解】对于选项A：

因玲皿(4+8)=《,5吊(/_8)=:，

J听以sin力cos8+cos/sinB=±①

sin力cos8-cosAsin8=:②

31

+

所以•/D552所以A正确；

sinAcosB=-——=-

75

对于选项B：

3+13_I

因为sinAcosB=---=-，cosJsinB=~~~

7S9s

所以sin/c°sg=2,HPtanA=2tan5,所以B正确：

cosJsinB

对于选项C：

因如in(/1+8)=(,力+8>1，所以cos(/+B)=Jl-sin?(/+B)=Jl一|二一］.

3/4、3

所以tan(/l+B)=w+--=—1：所以C正确；

对于选项D：

,c\3tan4+tan83

因为an(-8)二-『「Kn/一"屋

-tanA与，与

23tanAA3

又tanJ=2tan5,所以一;------=T——f-=-T>

l-ltan2J2-lanA4

9

化简得tan?4-4tan4-2=0,所以解得tanA—士^~八+8—2±芯

y

又A是锐角，所以tanA>0,所以tan4=2+〃，D正确.

故选：ABD.

11.ACD

【分析】在矩形45CQ中可证8WJ_/1C、PN工AC、QD.LAC,故可证力。_L平面尸GN,

从而可判断A的正误，对于B,连接"GIG,上MG8或其补角为异面直线MG,。。所成的

答案第4页，共13页

角，结合余弦定理计算后可判断其正误，对于C,在平面NG尸中，过N作Nr_LPG,垂足

为7,连接37,结合余弦定理及垂直关系转化计算后可判断其正误，对于D,由公垂线可

知直线。尸上的点到直线PG的最短距离即为。G=立，故可判断其正误，

2

【详解】对于A,在矩形48C。中，因为为/O的三等分点，故=LAD,

q

同理而MN//BP,故四边形8P/VM为平行四边形，故BMHPN,

同理PM/O0.

在直角三角形/8M中，AB=;故tan上4V78=J5

而上4W8为锐角，故上41四=60°,同理上D4C=30。，故上JKA/=90°,

故3M_L/C,故PN_L/fC,同理QO_1_NC,

故在三棱锥b-力8c中，有PG4C,NG工4C,

而NGCiPG=6,可6,尸6「平面汽6尸，故4CJ_平面NGP,故A正确:

对于B,连接MG,8G,AA的分析可得,MK//NG,

故上MG8或其补角为异面直线MG,OQ所成的角，且MK_LBK,

而MK=；/M=Jx；x3=；,BK7ABi+AM?-MK=g,

故在图②中，=J-+-=—，

\442

而8G=JBK-KG2=J-+

"+改2卜G

同理MG=dMK'KGJ12=1

.,_53

由余弦定理可得c°s上=2

2xlxV32G4

故直线MG与0。所成的角不是T，故B错误；

对于C,当二面角产・/C・4为甘时，在平而NGP中，过N作NT」.PG,

垂足为丁，连接57，

由A的分析可得/VG_L/1C,PG_L4C,故上PGN为二面角/-4C-8的平面角,

故上PGN=M，故上TGN=［故nV=GNX迫」4Vx正二更：

?399?7

TG=GNx-=-ANx-=-t其中8G=A8=VLAG=-AC=43.

7???7

答案第5页，共13页

故上4G4=600,故上5G9二300,所以上8G7=1500,

故3尸=8G2+G刀一23G.GTCOS上8G7=3+」+2xlx.限立—,

4774

因为力C_L平面PNG,而/ICu平面力4。，故平面力8。_1_平面PNG,

而平平面PNG=PT,PT厂平面PNG,故NTJL平面力4C,

因为87「平面48。，故拉T工BT,=BT2+TN2=—+,

449

故8V二'以，故C正确：

7

对于D,由A的分析可得OGJLPG,OG.LOF,

故OG为PG与OF的公垂线，

故直线。尸上的点到直线尸G的最短距离为即为OG=1/1。=①故D正确:

49

故选：ACD.

12.8JI

【分析】由题意可得母线长与底而半径，利用侧面展开图是扇形可求侧面积.

【详解】由题意可得圆锥的母线长/=4,底面半径为r=2,

所以圆锥的侧面积为，x2;ix2x4=8兀.

2

故答案为；87c.

13.9或3

【分析】根据方差公式计算即可.

【详解】数据1,2,4,冽的平均数为上^,

4

+人+**I(7+m丫(1+mY(7+mY(7+wYf

4I4)I4}I4)I4)乙

答案第6页，共13页

化简可得(3+m)'+(m-1)*+(m-9)~+(7—3/〃1=80,

5

即3〃尸—14m+15=0,解得力=-或〃？=3.

故答案为：!或3

14.4丁2

【分析】由题意得cosC=lsinC=2五结合余弦定理、基本不等式有“6的最大值为12,

结合三角形面积公式即可得解.

【详解】由题意.、i2(J+b:—r)=absinC,所以

si©6侬+1)=26上工26。£：

ab2ci)

而C£(0,n),sin~C+cos2C=I,解得cosC=；,sinC=

224

由余弦定理有c°=16=/-2/cos。=4?+〃一孑力22t/力一个6二-^ib,

所以HW12,等号成立当且仅当Q=/,=26，

所以打的最大值为12,所以V43C的面积的最大值为Ll2x2包=4扬.

7?

故答案为：4J2.

15.(1)140人

(2)37岁

(3)42.5

【分析】(1)根据频率分布直方图求出市民年龄在［25,45)内的频率，进而可求出频数.

(2)根据频率分布直方图求平均数.

(3)根据百分位数的定义和公式进行求解计熨.

【详解】(1)由频率分布直方图可得市民年龄在［25,45)内的频率为0.03x10+0.04x10=0.7,

由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在［25,45)内的人数为0.7x200=140.

所以选取的市民年龄在［25,45)内的人数为140人.

(2)由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为

(0.01x20+0.03x3()+0.04x40+0.02x50)xl0=37.

答案第7页，共13页

所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.

(3)由频率分布直方图，可知市民年龄在口5,35)内的频率之和为0.01x10+0.03X1()=0.4,

市民年龄在［15,45)内的频率之和为O.Olx10+0.03x10+0.04x10=0.8,

所以70百分位数应在［35,45)中，设为x,

可得0.4十(x-35)x0.04-0.7,解得x=42.5.

所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.

35

16.(l)l+-i,-

⑵1

【分析】(1)根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答

案：

(2)由复数的儿何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，

可得答案.

【详解】(1：当x=；时，二［=：+"二2=1-；，

所以二2二'-!-2-2=-|+2i

贝华宿二=?

(2)由已知得4(cosx,l),JJsinx)：

因为刀J_r)Q,所以0彳=cosxx1+lx(1-6sinx卜0,

所以走sinx-」8sx=L即sin》一外二：，

777k6；2

因为写］,所以x—所以、一四=四，即x=g.

V3J6V627664

%⑴［

喉

【分析】(1)由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答

案：

答案第8页，共13页

(2)由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦

定理，可得答案.

22_.2»22_2

[详解】(1)在VABC中，由余弦定理可得acosB+bcosA=a----------1-b-----------=c

lac2bc

所以2cosc{acosB+〃cos4)=c即2ccosC'二c,所以COS。=—,

又因为CW(0,7T),所以。=g.

(2)因为a=2,Z>=3,由余弦定理袱2=。2+/一2。685。=4+9—2'2>3、1=7,即0=行,

9

4+7-919+7-4_2

所以cos8二-----尸=-7=,COSJ=

2x2力2V72x377-V7

连接。DF,则C£'=DE,设为x,CF=DF,设为六

在V8Q£中，由余弦定理得/=(2-疗+N-2x(2-勾x以解得x=3,

v7422V714

由余弦定理得V=(3-犷+^-2x(3->)x(x-^r,19

在△力。尸中,解得

IO

所以_L+_L=W+幺型

CECF191919

18.(1)(0,I)

(2)]

(3)证明见解析

【分析】(1)按题目所给定义带入相应值求解:

(2)根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切

公式进行计算即可.

<3)按题目所给定义将不等式化简为证明cos(〃-1)x2cos(〃-1)(,当/=:时，不等式对

答案第9页，共13页

6WN.成立，当XWo,1U1,兀时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立.

I4八4，

HCfx/3。(cos理snf6n

【详解】(1：因为。“二

cos—,sin—=—।,I66J=---

66乂22)2'2

X/

uiiruuir

所以4+4=T*2+-T'2=(0，1).

5

'6\/\7

(2)因为〃/、二(cosx,sinx)与。=(1,2)共线，所以2cosI一sinx=0,

因为X£(O,TT),所以sinx40,cosxH0,所以tanx=‘皿”=2cosx=1,

ccqrccqr

g、i.2tanx2x24

所以tan2x=------=——=——.

1-tarTx1-43

13；因为a,7一4J二yj(cosnx-cosx)2+(sinnr-sinxj二^2-2cos(〃-l)x

一心，只要证

方法I:①当X=四时，COS——见2cos(〃-1)2对V"£N*成立,

4

②当xw0,—|U—,n时.取〃=2,cosx>cos—解得0<x<3,

I4八4)44

取〃=9,cos8a->COS2TC=I»所以8x=4n,6n,即x=：,—,

24

兀3〃八兀八九,.兀1

又因为7，7e°，7:所以不存在°。UI，兀便原不等式成立.

综上所述,当且仅当/二:时，卜二-无卜a,,1-4;.

方法2：令&二〃一1,k£7,则Cosb2cos如，

4

①当x二'时，cosA?2cos以成立，

444

②当0cx<=时，取k=8,0<h<2几，一I<coskx<1,而cos蛆=cos2?r=1,

44

所以coskx<cos—.

4

③当时，取A=2,—<kx<n,coskx<0,而x)s—=cos—=0.

47947

答案第10页，共13页

所以coskx<cos——.

4

④当乙<X<7I时，取k=1,三<b〈冗，cosh<0.Wcos—=cos-=—»J^^os^x<cos^-.

?94424

综上所述，当且仅当好;时，取

19.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶？

【分析】(1)由题意可得/1D78C,由线面平行的判定定理可得结论；

(2)取力8中点E,连接PE,DE,DE_L平面P4B,可求得DA=DB=DC=DP,从而

可得结论；

(3)设尸在底面44CO上的射影为点G,“6_|_平面匐。。，则上『CG就是，C与平面力"?。

所成的角.当点G在CE上，则上PCE就是PC与平面48CO所成的角，求解可得范围，当

点G不在CE上，连接CG,EG,设上PEG=6上GEC=dae0,y,9e(0,n),可

求得GE=cosC(,PG=sinCT,进而得

sin上PCG=J1一^^3,求解即可.

V8-2V7costz

【详解】(1)因为底面/BCO为菱形，所以力Q//8C,

又因为4)丈平面P