命题与证明（讲义）-2024沪科版八年级数学上册

专题13.3命题与证明（举一反三讲义）

【沪科版2024]

飕题型归纳

【题型1判断是否是命题】......................................................................2

【题型2写出命题的题设与结论】...............................................................4

【题型3判断命题真假】........................................................................5

【题型4举反例】..............................................................................8

【题型5逆命题】.............................................................................10

【题型6定理与证明】.........................................................................12

【题型7写出一个命题的已知、求证及证明】....................................................13

【题型8已知证明过程填写理论依据】...........................................................16

【题型9根据给出的论断组命题并证明】........................................................21

【题型10演绎推理】..........................................................................26

举一反三

知识点1命题

1.判断某一件事情的语句叫命题.

2.命题的定义包含两层含义

（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；

（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断.

知识点2命题的组成与分类

1.许多命题由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项；结论是由己知事项推出的事项.这样的命题通

常可写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结

论.

2.命题分真假命题,正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要判断一个命题是真命题，可以

用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出

一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”.

知识点3定义

我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内

不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义.这样的语句叫做这些名词的定义.

知识点4定理

公认的真命题称为基本事实.数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判

断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.

对干基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真

命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.

知识点5原命题与逆命题

将命题“如果P,那么q"中的条件与结论互换，使得到一个新命题"如果q,那么p",我们把这样的两个命题称

为互逆命题,其中一个叫作原命题,另一个就叫作原命题的逆金题.

知识点6证明及证明的一般步骤

1.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫

做证明.

2.证明的一般步骤

根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并

注明依据.

【题型1判断是否是命题】

【例1】（2425七年级卜四川德阳♦期中）下列语句是命题的有（）个.

①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段48=CD：⑤无论〃是怎样

的自然数，式子标-几+11的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相

平行.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题.掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定

义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案.

【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；

②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；

③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；

④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；

⑤对事件作出了判断（式子九2-n+11的值都是质数），是命题；

⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题.

综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，

故选B.

【变式11】（2526八年级上•全国•单元测试）下列语句是命题的是（）

A.W-ABIICDB.若zl=/2,Z2=z3,则41=43

C.两条直线被第三条直线所械D.一条铁路的两根铁轨是平行的吗

【答案】B

【分析】本题考查了命题.熟练掌握命题的定义是解题的关键.判断一件事情的语句叫做命题.命题必须具

有判断性，即对一件事情作出"肯定〃或"否定”的判断，不论其判断的结果是否正确.

根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性.

【详解】A.作A0||CD,不是命题，因为它不是判断性语句，是叙述一个过程的语句；

B.若乙1=△2,△2=43,则/1=匕3,是命题，因为它是一个具有判断性的语句；

C.两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句；

D.一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句.

故选：B.

【变式12】（2526八年级上•全国•随堂练习）下列选项中不是命题的是（）

A.正数大于负数B.过直线外一点作直线的平行线

C.三角形的任意两边之和大于第三边D.如果a=b,a=c,那么力=c

【答案】B

【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题.命题必须是一个完整的句子，它必须对某一

件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题.判

断一件事情的语句，叫做命题.根据定义判断即可.

【详解】解：A.正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；

B.过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意；

C.三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；

D.如果a=b,a=c,那么匕=c,是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；

故选：B.

【变式13】给出下列语句：①画出已知先等于两个已知角的和：②钝角总大于直角：③过点4画直线48IICD；

结论是.

［答案】乙4>乙B,乙B>Z.CLA>LC

【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可

求解.

【详解】解：如果乙4>乙8,乙8>乙C,那么乙4>±C,

（3这个命题的条件是4/>乙B,乙B>乙C,结论是NA>zC,

故答案为：①N/>4B,NB>NC,（2）/.A>zC.

【变式23］（2425七年级下•上海金山・期末）将命题“在三角形中，大边对大角〃改写成“如果......,那么......”

的形式是.

【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角

【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果〃后面是命题的条件，"那么〃

后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论.命题中的条件是一个二角形中一边大于另

一边，放在“如果〃的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面.

【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角

故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角.

【题型3判断命题真假】

【例3】（2425七年级下•江苏苏州•期末）如图,线段AC,8。相交于点。，连接AD,2a并延长40至点E,乙BCA

的平分线与48DE的平分线相交于点M.①若41=2"CM,贝必臼的。；②若乙M=2乙80M,则4EIIMC；

③若乙力=43,则乙EDM+4BCM=90。；④若乙10。=4BC。，则4M—乙8=90°.以上命题中真命题的

个数是（）

【答案】C

【分析】根据角平分线的定义得到"C8=2乙BCM,由心力=2〃CM可得乙1=LACB,利用平行线的判定得

到4EIIBC,可判断①：根据角平分线的定义得到乙BDE=2乙8DM,liuM=24BDM可得4M=乙8。口再

根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推L1U4DB=乙ACB,再利用角平分线的定义求出

乙EDM+48cM=90。，可判定③；延长CM交BD千点产，利用角平分线的定义求出“OM+/8CM=90。,

利用三角形外角的性质得到“MD=乙CFD+乙BDM,乙CFD=乙8+乙BCM,进而得到ZTMO=+

/.BDM+LBCM=Z.B+90°,可判断④，即可得出结论.

【详解】解•：团CM平分匕4C8,

^LACB=2Z.BCM,

0Z4=24BCM,

必=Z.ACB,

团4EII8C,故①是真命题；

国。/平分NBOE,

回乙BOE=2乙BDM,

=2乙BDM,

囹4M二乙BDE,

由=无法证明力EIIMC,故②是假命题；

囹乙4=NB,Z.AOD=Z.BOC,

(3NADB=Z.ACB,

^Z-BDE+Z.ADB=180°,

0ZFDE+Z.ACB=180°,

国CM平分4/1C8,OM平分匕BOE,

团/EDM+乙BCM

11

=-/-BDE+-Z.ACB

乙乙

1

=-x180°

乙

=90。，

G3ZFDM+/-BCM=90°,故③是真命题；

如图，延长CM交8。于点尸，

a

B

0Z/WO=Z-BCO,Z.BDE+Z-ADO=180°,

田乙BDE+LBCO=180°,

团CM平分々AC8,DM平分乙BOE,

0ZFDM+乙BCM

11

=-Z.BDE+-Z-BCO

22

1

=-x180°

L

=90。，

0ZCMD=乙CFD+乙BDM,Z.CFD=+乙BCM,

（3ZCMD=ZB+Z.BDM+乙BCM=zB+90°,

回乙CMO—NB=90。，故④是真命题：

团真命题的个数是3.

故选:C.

【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定

义，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

【变式31】（2425七年级下•湖南长沙•期末）命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是—命题（真/假）.

【答案】真

【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键.

根据判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题是真命题进行分析即可.

【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等''的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝对值

相等，这是一个真命题.

故答案为：真.

【变式32】（2526八年级上•全国裸前预习）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一

条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行.其中是真命题的有.（请填写序号）

【答案】①④/④①

【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关健是了解对顶角的性质、平行线的判定等知识，根据对顶角的

性质、平行线的判定判断即可.

【详解】解:①对顶角相等，是真命题；

②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；

③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题；

④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；

其中是真命题的有①④；

故答案为：①④.

【变式33】（2425七年级下•内蒙古通辽•期末）如图，在三角形48c中，点D,E,F分别在边BC,AC,4B上,

连接DE,OF.下列四个命题中，是真命题的是（）

①若乙BFD=Z力，则。"INC；

②若4EDF=乙DEC,则DWI/IC；

③若4力+Z,AED=180°,则4BIIDE；

④若4B=乙EDF,则4BII0E.

A.①②B.③④C.①②③D,①②③④

【答案】C

【分析】本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行.但是有三个不能判断题目所需的

直线平行，所以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线.

先观察已知先的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论.

【详解】解：®^BFD=AA,则DFIL4C,是真命题；

②若4EDF=^DEC,则D/IMC,是真命题；

③若N4+44ED=180°,则48IIDE,是真命题；

④若N8=（EDF,无法判断4孙。凡是假命题；

故选:C.

【题型4举反例】

【例4】（2425七年级下•陕西西安•期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角〃是假命题的反例是（）

A.Z1=82°,Z.2=40°B.41=89°,Z2=2°

C.41=65°,z2=30°D.Z1=30°,z2=20°

【答案】D

【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角"是假命题，需找到两个锐角的和不是

钝角的例子，即可判断.

【详解】解：A、82。+40。=122。，是钝角，不符合题意；

B、89。+2。=91。，是钝角，不符合题意；

C、65。+30。=95。，是钝角，不符合题意；

D、30。+20。=50。，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意.

故选：D.

【变式41】为说明命题“如果⑷=|力那么Q=b”是假命题，你举出的一个反例是.

【答案】a=1,b=-l（答案不哇一）

【分析】根据绝对值的性质可得当3=|可，得出。=6或。=-匕，举例只要两个数互为相反数即可得.

【详解】解：v|a|=\b\,

•••a=b或a=—b,

例如：Q=1,匕=一1时，|a|=⑸，

（3命题“如果|a|=网，那么a=b"是假命题，

故答案为：a=1,b=-l（答案不唯一）.

【点睛】题目主要考查绝对值的性质，深刻理解绝对值的性质是解题关键.

【变式42］（2425七年级下•湖北宜昌•期末）对于命题“如果/1-/2=90。,那么21手22”,能说明它是假

命题的反例是（）

A.Z1=45°,Z2=45°B.zl=30°,z2=60°

C.Z1=60°,Z2=60°D,Z1=30°,z2=40°

【答案】A

【分析】本题考杳举反例，要说明命题“如果+42=90。，那么41N42〃是假命题，需找到满足+N2=

90。但41=42的反例.

【详解】解：A、Z1=45°,Z2=45°,和为90。，且N1二42,满足反例条件.

B、41=30。,匕2=60。，和为90°,但42,支持原命题.

C=60。,42=60。，和为120。，不满足条件.

D、Z1=30°,Z2=40°,和为70。,不满足条件.

故选A

【变式43】（2425七年级下•全国•课后作业）判断命题“如果0<72V1,那么浓-1>0〃是假命题，只需举

出一个反例，反例中的值可•以是.

【答案】（答案不唯一）

【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题.本题考查了举反例

判断假命题，只要从符合0</<1中找出一个数，能使小-1〉0不成立，就可以说明此命题是假命题，

所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键.

【详解】解：当九:时，符合条件0V"VI,

•54

但n2-1=G）-1=-^<0,

团命题“如果0<n<1,那么n?-1>0〃是假命题.

同样当几=：时，也可以判断命题,如果0〈九V1,那么是假命题，

故答案为：3（也可以是:等，答案不唯一）.

【题型5逆命题】

【例5】（2425七年级下•江苏无锡・期末）下列命题中：

①相等的角是对顶角；

②直角三角形两个锐角互余；

③如果Q=b,则|a|=向；

④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等.

逆命题是真命题的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可,

掌握命题与逆命题是解题的关键.

【详解】解：命题①的逆命题：“对顶角相等〃，对顶角一定相等，故逆命题为真；

命题②的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形"，若两锐角之和为90。，则第三个角为90。，故三

角形为直角三角形，逆命题为真：

命题③的逆命题："若|a|=g|,则。=非，绝对值相等时，Q与b可能相等或互为相反数，逆命题为假；

命题④的逆命题："到线段两端距离相等的点是中点"，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆

命题为假；

综上，逆命题为真的有2个，

故选：B.

【变式51】下列命题：①如果a>b,那么a+c>b+c；②如果於0,bVO,那么abWO；③直角三角形有两

个锐角.

其中原命题与其逆命题都是真命题的有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

【答案】A

【分析】运用不等式的基本性质艮】可判断①的原命题和逆命题是否正确；

运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题〃如果abWO,那么a20,bV0〃是否正

确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题"如果一个三角形有两个锐角，那么这

个二角形是直角二角形”正确与否，问题即可解答.

【详解】①：原命题"如果a>b,那么a+c>b+c”是真命题；逆命题"如果a+c>b+c,那么a>3”是真命题.

（2）：原命题“如果薛0,b<0,那么abwO”是真命题；逆命题“如果abwO,那么堀0,b<0”是假命题，可能

还存在a>0,b<0,或a<0,b>0,或a$0,b>0的情况.

③：原命题“直角三角形有两个锐角〃是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是宜

角三角形”是假命题，如钝角三角形.

故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.

故选A.

【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写

出其逆命题是解题的关键.

【变式52】（2425八年级下•福建三明•期中）以下命题的逆命题中，属于真命题的是（）

A.如果Q>0,b>0,则Q+b>0B.直角都相等

C.两宜线平行，同位角相等D.若。=上则/=/

【答案】C

【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，

逆命题的真假识别方法是解题关键.

首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案.

【详解】解：A.逆命题为：如果a+b>0,则a>0,b>0,反例3+（-2）=1>0,a=3>0,b=-2<0,

故该选项的逆命题是假命题，不符合题意；

B.逆命题为：相等角是直角，反例乙A==30。，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题

尽；

C.逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题,

符合题意；

D.逆命题为：小二82,则Q二d反例32=（—3）2,3工—3故该选项的逆命题是假命题，不符合题意；

故选：C.

【变式53】（2425八年级下•江西萍乡•期中）命题”等腰直角三弟形的两个锐角相等〃，请写出它的逆命

题.该逆命题是（填"真"或"假"）命题.

【答案】有两个角相等的三角形是等腰直角三角形假

【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命

题；经过推理论证的真命题称为定理.也考查了逆命题.根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆

命题，然后分析其真假即可.

【详解】解：逆命题为有两个角相等的三角形是等腰直角三角形，该逆命题是假命题，

故答案为：有两个角相等的三角形是等腰直角三角形，假.

【题型6定理与证明】

【例6】请举出一个关于角相等的定理：—.

【答案】两直线平行，同位角相等

【分析】任意写出一个角相等的定理即可.

【详解】解—：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等

故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）.

【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可.

【变式61】下列语句中，是定义的是（）

A.若两角之和为90。，则这两个角互余B.相等的角是对顶角

C.同角的余角相等D.延长3C至。使CD=8。

【答案】B

【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解•：A.若两角之和为90。，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；

B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意;

C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；

D.延长BC至。使CD=8C,不是定义，不符合题意；

故选：B

【变式62】（2425七年级下•全国裸后作业）定理可以作为证明后续命题的，根据,可以得到

推论：三角形的外角等于与它不相邻的的和.

【答案】依据三角形内角和定理及平角的定义两个内角

【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平常的定义推出三角形的外角的性质，作答即

可.

【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内帝和定理及平角的定义，可以得到推论：三

角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；

故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角

【变式63］下列命题可以作定理的有个.

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程+7=英它的根；④三角形的内角

26

和是180。；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.

【答案】2/两

【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题,

举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理.

首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到①、②、

③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题.

【详解】解：①2与6的平均值是4,故此命题是假命题，不是定理；

②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；

③把5代入方程;％+7=嗜，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；

N6

④三角形的内角和为180。，是经过证明的是真命题，故是定理；

⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；

综上所述：③和④是定理，共2个.

故答案为：2.

【题型7写出一个命题的已知、求证及证明】

【例7】命题：直角三角形的两锐角互余.

A

⑴将此命题写成”如果...，那么..."：；

（2）请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明

过程.

【答案】（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余

⑵该命题是真命题，详见解析

【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：

（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；

（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明.

【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；

故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余

（2）解：该命题是真命题

已知：如图，在△48C中，ZF=90°

求证：Z-A+Z.C=90°

证明：•••乙4+43+4（？=180°

:.Z.A+Z,C=180°-乙B

•••乙B=90°

•••NA+“=180°-90°=90°.

【变式71】（2425七年级下•江苏南京•期木）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明.

定理：三角形的外角等于的和.

已知：

求证：

【答案】见解析

【分析】本题主要考杳了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角

的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可.

【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和.

已知：乙4c。是AABC的一个外角.

求证：Z-ACD=+

证明：如图所示，在△48C中，Z4+ZJ?+Z,ACB=180°,

0Z/1CF4-Z.ACD=180°,

[I1Z/1CD=Z.A+Z.B.

【变式72]证明：平行于同一条直线的两条直线平行.

已知：.

求证：.

证明:

【答案】见解析

【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可.

【详解】已知：如图，直线a、b、c中，a\\b,bile,

-------------------b

-------------------c

求证:a\\c.

^a\\b,

0Z.1=Z.2,

助lie,

0z2=z.3»

0Z.1=z.3,

13alic.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关犍是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式73］（2425七年级下•山东泰安•期中）证明三角形的内角和为180,要求：根据题意画出图形，结合

画出的图形写出已知和求证，并尝试证明.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集

中到同一个顶点，再由平角为180。，证明即可.

【详解】解：已知：如图，△洋BC,

求证：4A+乙8+4。=180°：

证明：过点4作EFIIBC,如图,

团"IIBC,

:.乙B=z.1,Z.C=Z.2,

•••zl+Z.BAC+Z2=180°,

Z.A+Z-B+Z.C=180°,

•••三角形内角和180。.

【题型8已知证明过程填写理论依据】

【例8】（2425七年级下•吉林长春•期末）【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部

分内容.

如图，在△48。中，4/18。的平分线与41cB的外角平分线相交于点。.试找出乙。与

的内角44之间的关系.

(1)小明阅读题目后.没有发现数量关系与解题思路.干是尝试代入N4的度数，即可求N。的度数.

①当乙4=60。时，ZD=度；当乙4=120。时，乙0=度；

②于是小明猜想乙。与乙4之间的数量关系为；

(2)以下是小明完成猜想证明的部分过程：

证明：•••8。平分乙A8C,

：•Z.DBC=乙ABD=^ABC.

2

•••C。平分々4CE,

ADCE=Z,ACD=-Z-ACE.

2

证明过程缺失

请你补全缺失的证明过程.

【结论应用】(3)如图，在四边形48CD中，BF平分乙48C,CG平分外角4CE,连结”.若〃=140°,ZD=90°,

则/F+乙G=度.

【答案】⑴①30：60：②4(2)见解析；⑶205

【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是灵活应用三角形的外角性

质.

(1)①当乙4分别是60度和120度时,得到乙。的度数；

②猜想得到乙。

(2)由角平分线定义得到NDBCADCE=^ACE,由三角形的外角性质推出;44+：乙48。二

ZD+-Z/15C,即可证明乙0=2/力；

22

(3)延长8/1和CD交于M,延长8E和CG交于N,由三角形的外角性质求出zM=50。，由(2)的结论即可

求ll"N=x50°=25°,由三角形的外角性质即可求出4BFG+乙CGF=205°.

【详解】(1)解：①当44=60。时，设4/BC=2a,则乙ICE=2a+60。，

回BD'F分N4BC,CD'F分N4CE,

团/DBC=Z.ABD=-2/.ABC=a,2乙DCE=Z.ACD=-/.ACE=Q+30°,

团4D=乙DCE-Z.DBC=a+30°-a=30°；

当乙4=120。时，设乙48C=2仇则乙4CE=20+120。，

团BD平分4ABC,C。平分，

团/D8c=乙ABD=^ABC=0,乙DCE=LACD=*CE=/?+60°,

0ZD=乙DCE-乙DBC=0+60。一/?=60°：

故答案为：30,60；

②于是小明猜想N。与24之间的数量关系为N。=344

故答案为：

(2)证明：团80平分

团乙D8C=Z-ABD=-2Z-ABC,

团CD平分乙4C£,

团iDCE=Z.ACD=-Z-ACE,

2

田乙DCE=+乙DBC,

吗/ACE=4+2BC,

^/-ACE=Z.A+/.ABC,

^AA+^Z.ABC=NO

0zD=-2z.A；

(3)如图,延长B4和CD交于M,延长BE和CG交于M

M

13BF平分448C,CG平分外角NDCE,

，

=-2Z.M

0Z/WC=90。，

团乙10M=180°-90°=90°,

团4M=Z-BAD-Z-ADM=140°=90°=50°,

(3zW=-x50o=25°,

2

团4BFG=ZN+乙FGN,乙CGF=△N+乙NFG,

©乙BFG+Z-CGF=Z.N+Z.FGN+Z/V+乙NFG=180°+25°=205°,

故答案为：205.

【变式81】补全下列推理过程：

如图，EF1BC,AD1BC,zl=Z2,试说明OG||84.

解：0EF1BC,AD1BC,（已知），

⑦乙BFE=^BDA=90°（垂直的定义），

0EF||AD（）.

0Z2=43（）.

团41=42（已知），

团（等量代换），

WGIIAB（）.

【答案】答案见详解；

【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接滇写即可得到答案;

【详解】解：团EF1BC,AD1BC（已知），

^LBFE=^BDA=90°（垂直的定义），

0FFIIAD（同位角相等，两直线平行）,

回乙2=乙3（两直线平行，同位角相等）,

0Z1=Z2（已知），

0Z1=Z3（等量代换），

团OG||AB（内错角相等，两直线平行）.

【变式82］（2425七年级下•湖南衡阳•期末）如图，。是△4BC边3C上的一点，乙8=乙440,LADC=70°.

⑴求4B的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容.（理由或数学式）

解：（1）团44DC是△4BO的外角，乙40c=70。（已知），

团4B4-=Z.ADC=70°（）.

又叵48=乙BAD（已知）,

团乙B=（等量代换）

⑵若平分乙区4C,求乙C的度数.（请写出完整的解答过程）

【答案】（1）答案见解析

（2）75°

【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识.熟记三角形的外角性质、

角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键.

（1）由，力。。是△48。的外角，利用“三角形的一个外角等「和它不相邻的两个内角的和“，可求出的度数;

（2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于180。〃，可求出乙。的度数.

【详解】（1）解:团乙40c是△ABD的夕卜角，/力。。=70。（己知），

团乙B+乙&4。70。（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

又RZ8=乙BAD（已知），

0ZF=35°.（等量代换）；

（2）解：团/1。平分N8/1C,匕8/10=35。（已知），

^LBAC=2x35°=70。（角平分我的定义）.

团在△力8。中，28=35°,Z.BAC=70°（已证），

团”=180。-35。-70。=75。（三角形的内角和定理）.

【变式83］（2425七年级下•广东茂名•阶段练习）如图，Z1=Z2,Z3+z4=180°.试说明：ACWFG.

请你完成下列推理过程（括号内写出理由）：

解：因为乙1=/2,（已知）

所以____________U___________.（）

因为43+44=180°,（已知）

所以____________L，（）

所以4cl尸G.（平行于同一条直线的两条直线平行）

【答案】4C；OE：内错角相等，西宜线平行；OE；FG；DEWFG；同旁内角互补，两直线平行

【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行可得出力QICE，根据同旁内角互补，两直

线平行可得由OEIIFG,然后根据平行线的传递性即可得证.

【详解】解•：因为，1=42,（已知）

所以力CIIDE.（内错角相等，两直线平行）

因为43+44=180°,（已知）

所以DEI尸G,（同旁内角互补，两直线平行）

所以ACI尸G.（平行于向一条直线的两条直线平行）

故答案为：AC；DE；内错角相等，两直线平行；DE；FG；DEIFG；同旁内角互补，两直线平行.

【题型9根据给出的论断组命题并证明】

【例9】如图，直线a,b,。被直线〃?，〃所截，有下列命题:

m

@LBAC=LBDCx@£AFE=£FED；③milTI.

从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由.

【答案】见解析

【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即

可.

【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②团③;

②③回①；①③回②.以上3个命题都是真命题，

①②团③，

Z.AFE=乙FED,

•••bIIc,

“AB+/.ABD=180°,

vZ.BAC=Z.BDC,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

•••m||n；

②③团①，

vZ.AFE=/.FED,

•••bIIc,

Z.CAB+/.ABD=180°,

m||n,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

:.Z.BAC=乙BDC；

①③团②，

mII九，

•••/.ABD+Z.BDC=180°,

Z.BAC=Z.BDC,

Z.BAC+Z.ABD=180%

bIIc,

•••Z.AFE=乙FED.

【变式91］如图，现有以下3个论断：①4BIICD；②"="；③"=N工请以其中2个论断为条件,

另一个论断为结论构造命题.

⑴请写出所有的真命题；

⑵请选择其中一个命题加以证明.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题;

（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可.

【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；

命题2：由①③得到②：

命题3：由②③得到①；

（2）命题1证明如下：

蜘BIICD,

团4B=4CD",

0z.5=z.C9

团/。=zCD?，

团CEIIB产，

（3zE=zF；

命题2证明如下：

团4BIICD,

团乙8=乙。。/，

团。£||8F,

Hz.C=Z.CDF,,

团ZB=4C；

命题3证明如下：

0zF=zF,

fflCfHFF,

0z.C=z.CDF,

（3NB=ZC,

0z.^=z.CDF>

团AB||CD.

【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的

关键.

【变式92］【阅读】在证明命题"如果Q>b>0,cV0,那么a?+加>ab+ac"时，小明的证明方法如下：

证明：0a>d>0,

团Q2>.0a2+be>___.

回Q>匕，c<0,

Me>___.团ab+be>___.

0a2+be>ab+ac.

【问题解决】

⑴请将上面的证明过程填写完整；

⑵有以下几个条件：①a>b,@a<b,③aVO,®b<0.请从中选择两个作为已知条件，得出结论

|a|>g|.你选择的条件序号是并给出证明过程.

【答案】（1）见解析

⑵②④，证明见解析

【分析】（1）根据a>b>0,可得标〉〃〃.从而得到a?+be>ab4-be.再由a>b,c<0,可得be>ac.从

而得到ab+be>ab4-ac.即可求证；

（2）选择②④.理由：根据a<b,b<Q,可得a<0.再由绝对值的性质可得|a|=-a,\b\=-b.然后根

据“<〃，可得—a>—b,即可.

【详解】（1）证明：0a>b>O,

回M>出）.

0a2+be>ab+be.

^a>b,c<0,

毗>ac.

^ab+be>ab4-ac.

0a2+be>ab+ac.

（2）解团选择②④.

证明如下：加。，b<0,

国a<0.

回⑷=­a,\b\=—b.

0（7<Z?,

0-a>-b.

（3|a|>\b\.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关

键.

【变式93］如图，已知直线EFIIGH,给出下列信息：

@AC1BC；②8c平分乙。CH；③々AC。=LDAC.

EADBF

G3C^H

⑴请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件

是一，结论是_（只要填写序号），并说明理由.

（2）在（1）的条件下，若乙4CG比，3cH的2倍少3度,求〃力C的度数.

【答案】（1）①②；③；理由见解析

（2）59°

【分析】（1）由角平分线的定义可得48C。再根据等角的余角相等可得出ZJ1CZ）=/ACG,再由

平行线的性质可得4力CG=4D4C,从而结论得证；

（2）由（1）得：Z.ACG+Z-BCH=90°,根据41CG比，8cH的2倍少3度，可得关系式乙4CG=2Z8CH—3。,

求得乙BCH=31°,LACG=59°,再根据乙。力C=乙4（?。即可得到乙ZMC的度数.

【详解】（1）解：条件：①②，结论：③.理由如下：

团BC平分乙CCH,

团乙BCD=Z.BCH,

团4c1BC,

^Z.ACD+乙BCD=90°,Z-ACG+乙BCH=90%

0Z/1CD=Z.ACG,

团"IIGH,

^Z.ACG=LDAC,

0Z.4CD=Z.DAC.

故答案为：①②；③.

（2）由（1）得：^ACG+^BCH=90%

团NACG比NBC”的2倍少3度，

0Z/1CG=2Z,BCH-3°,

^2LBCH-3。+Z.BCH=90°,

解得：Z.BCH=31°,

^ACG=90°-乙BCH=59°,

^/.DAC=Z.ACG=59°.

回乙D4c的度数59。.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识.理解和掌握平行

线的性质，等角的余角相等是解题的关键.

【题型10演绎推理】

【例10]（2025・山东济宁•二模）某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，

按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话

给出以下四个结论：

①如果李明和赵伟同•组，那么张雪和王凯也同•组；②如果李明和赵伟不同•组，那么张雪和王凯也不

同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同■组：④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和

赵伟也不同一组.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C,①④D,①②③

【答案】C

【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键.

设中间隔着的人用刀代替，令右为前，左为后，则排序为：…，X,X,王凯，X,张雪，X,赵伟，X,X,李

明，》,X,然后再根据选项分析即可.

【洋解】解：依题意，设中间隔看的人用W弋替，令右为前，左为后，则排序为：

…，X,X,王凯，X,张雪，X,赵伟，X,X,李明，X,X,•­•

对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟，X,X,李明）这样排列，那么（王凯，X,

张雪，X）为一组，故①正确；

对干②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明，X,X,X）,（X,赵伟，X,X）.则（％,王

凯，X,张雪），故张雪和王凯可能在同一-组，故②错误；

对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（X,王凯，X,张雪），则（X,赵伟，X,工），故李明

和赵伟可能不在同一组，故③错误：

对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（％,X,X,王凯），（，张雪，X,赵伟），（X,X,李

明，X）,符合题意李明和赵伟也不同一组；

或者可以排列（，X,王凯，X）,（张雪，X,赵伟，X）,（X,李明，X,X）,符合题意李明和赵伟也

不同一组，故④正确，

故选：C.

【变式101］（2025•湖南长沙•一模）有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8,将这三张牌按任意左右顺

序排列，再根据下列步骤操作：

第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动：

第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动；

第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动.

经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（）

A.红心4B.红心2

C.红心8D.红心A、红心2、红心8都有可能

【答案】C

【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，三张牌的所有排列组合共有6种：A,2,8,A,8,2,2,

A,8,2,8,A,8,A,2,8,2,A,据此分6种情况分别求出三步操作后最右边的牌即可得到答

案.

【详解】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种：

A,2,8,

A,8,2,

2,4,8,

2,8,A,

8,4,2,

8,2,A,

第一种初始排列：人，2,8,

第一步：红心2的位置是中间，左边是A.所以红心2与左边的A互换位置，变为2,A,8,

第二步：处理红心8的位置，此时排列是2,A,8.红心8在最右边，所以不动.

第二步：处理红心A,此时红心乂在中间位置，左边是2,所以A与左边的2互换位置，得到A,2,8.,

所以第三步结束后的排列是42.8.所以最右边是8.

第二种初始排列：4，8,2,

第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8.所以第一步

需要把红心2和左边的8互换位置，得到A,2,8.

第二步处理红心8的位置.此时排列是A,2,8,红心8在最右边，所以不动.

第三步处理红心A,此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动.最终排列还是A,2,8,最右边是8.

第三种初始排列：2,A,8,

第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2,A,8,

第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2,A,8,

第三步：红心A在中间位置，左边是2,所以红心4与2互换位置，得到A,2,8.最右边还是8.

第四种初始排列：2,8,A,

第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2,8,A,

第二步：红心8在中间位置，右边是A.所以将红心8与右边的A互换位置，得到2,A,8,

第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2,所以互换，得到A,2,8.最右边是8.

第五种初始排列：8,4,2,

第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8,2,A,

第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边