立体几何中的向量方法（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题8.7立体几何中的向量方法

1理.解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

新课程考试要求

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

4.会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.

核心素养本节涉及的数学核心素养；数学运算、逻辑推理、直观想象等.

（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.

（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.

（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要

围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制

试题，以多面体为载体、证明线面（面面）的平行（垂直）关系是主要命题方向.空间的角

考向预测

与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，

考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，

并通过计算解决立体几何问题.距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查.此

类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问

则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.

【知识清单】

知识点1.利用空间向量证明平行问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：/是空间一直线，A,8是直线，上任意两点，则称晒直线/的方向向量，与;&平行

的任意非零向量也是直线/的方向向量.

②平面的法向量可利用方程组求出：设功。是平面。内两不共线向量，〃为平面。的法向量，则求法向量

n•a=0,

的方程组为•

n-b=0.

2.川向量证明空间中的平行关系

①设直线Z和4的方向向量分别为匕和&，则（〃，2（或人与乙重合）0匕〃与

②设直线/的方向向量为匕与平面。共面的两个不共线向量匕和匕，则1//。或1UQQ存在两个实数X,

必使v=xvt-\ryv2.

③设直线/的方向向量为外平面。的法向量为〃，则/〃。或/u匕Lu.

④设平面。和£的法向量分别为5,4,，则a//£=©〃

知识点2.利用空间向量证明垂直问题

1.用向量证明空间中的垂直关系

①设直线九和人的方向向量分别为匕和匕，则匕=匕•噎=0.

②设直线/的方向向量为心平面。的法向量为u,则

③设平面a和£的法向量分别为修和四,则a±Baujugu,•必=0.

2.共线与垂直的坐标表示

设a=（a]，%，a）,6=（6”瓦,“），则a〃/x=>a=4/><=>历=4"，a2=4b2,A=4A（，lER）,

a_L/Qa・〃=0=为”+先包+电力=0（热〃均为非零向量）.

知识点3.异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角

①定义：设。，力是两条异面直线，过空间任一点。作直线加〃a,h'//b,则/与犷所夹的锐角或直

角叫做。与b所成的角.

②范围：两异面直线所成角〃的取值范围是（0,g].

n•h

③问量求法：设直线〃，b的方向向量为小从其夹角为0,则有cosOhcoselh「一|.

141回

知识点4.直线与平面所成角

1.直线和平面所成角的求法：如经所示，设直线/的方向向量为e,平面。的法向量为〃，直线/与平面。所

成的角为8，两向量e与〃的夹角为。，则有sin0=|cosO|=£4

®伽I

知识点5.二面角

1.求二面角的大小

（1）如图1,AB、8是二面角。一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=<~AB,丽〉.

（2）如图2、3,晨元分别是二面角。一/一少的两个半平面a,创勺法向量，则二面角的大小。=<巧,〃2>（或

万<〃],%>).

知识点6.利用向量求空间距离

1.空间向量的坐标表示及运算

（1）数量积的坐标运算

设“。2，。3），b=（b\,岳，岳），

则①。土〃=（4［±人］,。2士岳,。3±人3）；

②加=（痴］,Z<72»筋3）；

③:〃6=4法1+。2力2+4363.

（2）共线与垂直的坐标表示

设"=（〃1，。2，。3），b=（b\,岳，53），

则a〃力今f/2=x/>2,a3=i〃3（2£R），

aLb^ah=0^>a।/?i+aibi+a3bj=（）（«,b均为非零向吊：）.

（3）模、夹角和距离公式

设a=（m,s,。3）,b=（bi,b2,心），

则|川=7a-a=4心+射+质，

.“a-b061+4262+4363

cos（a,b）=--------=；=—,

同网Jal+质+a+、/尻+6?+房

设,4（ai，bi，ci）,B（ai,b”C2），

则dAB=|'AB|=/一4+的-仍心-次.

2.点面距的求法

如图，设为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则4到平面a的距离d=b"〃L

【考点分类剖析】

考点一：利用空间向量证明平行问题

【典例1】（湖北高考真题）如图，在棱长为2的正方体48C。—14GA中，瓦RM,N分别是棱

48,4。,/£，4。1的中点，点P,。分别在棱。A,上移切，且。尸=8。=4（0<4<2）.

（1）当4=1时，证明：直线BCJ/平面EFP。.

线线平行证明两直线的方向向量共线

①证明该直线的方向向量与平面的某一法

向量垂直；

线面平行

②证明直线的方向向量与平面内某直线的

方向向量平行

①证明两平面的法向量为共线向量；

面面平行

②转化为线面平行、线线平行问题

【变式探究】

（选自天津高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,NB4C=90°.点D,E,N分别为棱PA,

PGBC的中点，M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

（［）求证:MN〃平面BDE；

【答案】（I）证明见解析

【解析】如图，以A为原点，分别以布，AC,方方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

依题意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N

(1,2,0).

p

(I)证明：DE=(0,2,0),DB=(20,-2).设〃=(.%y,z),为平面BDE的法向量，

=0f2y=0------

则n-_DE,即《,.不妨设z=l,可得〃=(1,0,1).乂MN=(1,2,-I),可得MV-〃=O.

nDB=0[2x-2z=0

因为MN<z平面BDE,所以MN〃平面BDE.

【总结提升】

证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平

面内的不共线的两个向量共面.，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计

算问题.

考点二：利用空间向量证明垂直问题

【典例2】(2021•浙江高二期末)己知正方体力,E是棱6c的中点，则在棱CQ上存在点尸，

使得()

A.AF//D.EB.AF1D.E

C.4F〃平面D.力尸，平面GAE

【答案】B

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体极长为1,写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向

量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则力。,0,0).D.(0,0,1),£(1,1,0),设F(0,l,^)((0<z<l),

——1___

则AE=（5，I,—I）,

因为所以"，年不可能平行，即力&不可能平行，

-1T

--------11-------

又/八。七=-5+1-2=0,z=-,因此4£。山可以垂宜，即力尸与。也可能垂直.

C,(0,1,l),斌=(0,1,0),

设平面GRE的一个法向量为;;=(x,y,z),

n-D[CX=y=0

则，一1，取x=2,则；;=(2。1),

MD,E=-.r+y-z=0

万与;;不可能平行，因此力尸与平面不可能垂直，

~AF-n=-2+ze[-2,-\],因此亦与]不可能垂直，因此力厂与平面CQE不可能平行,

故选：B.

【规律方法】

用空间向量证明垂直问题的方法

线线垂证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它

直问题们的数量积为零

线面垂直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用

直问题线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直

面面垂两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判

直问题定定理转化为证明线面垂直

【变式探究】

在边长是2的正方体43CQ-44GA中，E,F分别为

AB,AXC的中点.应用空间向量方法求解下列问题.

(1)求EF的长

⑵证明：£尸〃平面44QQ；

⑶证明：£/_1平面4co.

【答案】(1)、6.(2)见解析；(3)见解析.

♦

【解析】

⑴如图建立空间直角坐标系

4=(2,0,2),4=(2,0,0),3=(2,2,0),C=(0,2,0),A=(0,0,2)

£=(2,1,0),F=(1,1,1)

EF=(-L0J),|EF|=V24分

(2)=(-2,0,2)AD,||EF

而M(Z面ADD〕A1

EF//平面44DQ8分

(3)VEFCD=05EFAJD=0EFlCD,EF±A,D

又CDcA]D=D

二.EF1平面A.CD.

【总结提升】

1.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转

化为直线与直线垂直证明.

2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两

线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础.

3.证明线面垂直，可利用判定定理.如本题解法.

4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直.

考点三：异面直线所成的角

【典例3】(2021•天津高二期末)如图，在棱长为1的正方体■小囱中，E,产分别为。BD

的中点，点G在C。上'旦CG^S

(1)求证：EFVBxC,

(2)求律与GG所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

17

【解析】

如图建立空间直角坐标系，(1)利用空间向量证明，(2)利用空间向晟求解

【详解】

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则E(0,0,1),F(11,0),C(0,1,0),(1,1,1),C.(0,1,1),6(0,1,0),

uiir111.

(1)8c=(-1,0,7),

UUflUUC1

•；EFB\C=0，EF±BQ,

UUU'1

(2)由(1)知C0=(O,-二,-l),

4

・・•।|弗C]G|-=Vt(T)+p^Y--JTT+(T-l)T=.而7-，

uur

1^1=

ULUuuir11I13

EA-C1G=-xO+-x(--)+(--)x(-l)=-,

设£产与GG所成角为6,则

3

EFCfi而

COS08

百~VT~

--TXn

RR2--4

【特别提醒】

n一

0,

提醒：两异面直线所成角"的范围是I2」，两向量的夹角。的范围是[0,Ji],当两异面直线的方向向量

的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面宜线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补

角才是两异面直线所成的角.

【变式探究】

（2021•江苏省苏州第十中学校高一月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中

/ADC-^ACD-90,DC—3,4。——5,当。6=向■时，此时A、艮C、。四点外接球的体积为

异面直线ABXD所成角的余弦为.

【解析】

求得NJQB=90"，取力4的中点O,由。力=。。=。力二。4得点。是四面体/BCZ）外接球的球心，外接球半

径火=5/3，进而可得外接球的体枳；证得8。_L平面4C。，建系如图，由空间向量的夹角公式打得结果.

【详解】

依题意可知4。=4,48=5及，当04=南时，AD2+DB2=AB2＞则4。5=90",取力B的中点O,则

()D=()A=OB；又/ACB=90，则OC=C4=O4,所以OD=0C=OA=OB,即点。是四面体力BCO外接

球的球心，外接球半杼及亚.故外接球的体积P=2；r/?3=2；rx(卒］=空旦江.

223312J3

依题意DC=3,8c=5,当。8=后时，DC2+BC2=DB\则6C_LCO,乂8C_L4C,且CDI/1C=C,

所以8C_L平面力co.以点c为原点，c4a5为X轴，y轴建立空间直角坐标系如图.

过点O作O〃_L4C于点”，由4)xOC=/CxHZ)得则C"二卜一件一二三,所以。弓，°弓)

又。(0,0,0),4(5,0,0),5(0,5,0),则万一(一5,5,0),丽=僧,0用.

设异面直线彳8,C。所成的角为9,则cos。=cos

故答案为：①心2乃：②迪.

310

【总结提升】

向量法求两异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量％,匕

⑶代入公式Icos〈匕，％〉|=J：「求解.

IV.IV,

考点四：直线与平面所成角

【典例4】(2021•浙江高考真题)如图，在四棱锥P-48co中，底面188是平行四边形，

/.ABC-120°,AB-\,BC-4,PA-y/i5M、N分别为AC,p。的中点，PDIDC,PMLMD.

p

(1)证明：AB1PM；

(2)求直线4V与平面PDW所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

6

【解析】

(1)要证,48_LPM,可证。C_LPM,由题意可得，PD1DC,易证OM_LQC,从而QC1平面PDW,

即有QC_LPM,从而得证；

(2)取力。中点E,根据题意可知，必及两两垂直，所以以点”为坐标原点，建立空间直角坐标

系，再分别求出向量不和平面PD”的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】

(1)在△QCW中，DC=\,CM=2,/QCM=60°,由余弦定理可得。历=,

所以DW+OC=CA/N,DWLOC.由题意OCJ.P0且POcDW=O,「.Z)。，平面PDM,而PMu平

面PDW,所以。C1尸M,又48//。。，所以4

(2)由PMJ.MO,力8_LPW，而48与。M相交，所以PMJ.平面44cQ,因为4必二疗，所以=2血，

取中点连接ME,则ME,DM,两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则A(-也,2,()),P(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(百,一1,0)

又N为PC中点，所以N性-；,目,丽.=(除等q.

由(I)得CQL平面PQM,所以平面尸ZW的一个法向量万=(0J,0)

5

|国•利.叵

从而直线力N与平面PDW所成角的正弦值为疝。=2

网刊一哥尹

p

B

【规律方法】

利用向审法求线面角的方法

（I）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

⑵通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角

就是斜线和平面所成的角.

【变式探究】

（2020•北京高考真题）如图，在正方体力一4为。011£为8片的中点.

Ai%

D/______

D

（［）求证：6。"/平面/。£：；

（II）求直线力4与平面4。也所成角的正弦值.

2

【答案】（I）证明见解析；（II）

【解析】

在正方体48CQ-4用G2中，AB〃AB1且AB=A1Bi，44〃GA且44=*，

:.AB〃GDEAB=CR,所以，四边形45GA为平行四边形，则BC"/g,

•••8Ga平面/。七，力"u平面力.•.8C1〃平面4"E；

（II）以点/为坐标原点，AD.AB、所在直线分别为了、y、z轴建立如卜图所示的空间直角坐

标系4一盯z,

设止方体力8co-力百GR的棱长为2,则力（0,0,0）、4（0,0体）、D,（2,0,2）,£（0,2,1）,

函二（2,0,2）,下=（0,2』）,

n-AD.=02x+2z=0

设平面力。£的法向量为〃=（x,p,z）,由，—1,得J

n-AE=02y+z=0

令z=—2,则x=2,y=L则3=(2,1,-2).

n-AA14_2

cos<AAX>=

n♦A372~-3-

2

因此，直线AA｛与平面AD】E所成角的正弦值为1.

考点五：二面角

【典例5】（江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中调研数学试题）已知在四棱锥P-48CQ中，PD1

平面ABCD,AD1DC,AB//DC,DC=2AB,Q为PC的中点.

（1）求证;平面P/1Q;

（2）若PD=l,BC=6,BCA.BD,求锐二面角Q-8。-。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）底.

3

【解析】

（1）取尸。的中点为G,分别连接力G,QG,证明3。〃4G后匕得线面平行：

（2）以Q4OCQP分别为z轴，）轴，z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】

（1）证明：取的中点为G,分别连接力G,0G

又因为。为PC的中点，所以G。//。。，且GQ二；OC

又因为4B//DC,DC=24B,所以G0//力&G0=,

所以四边形力40G是平行四边形，所以月。〃力G

又BQ仁平面PAD,AGu平面049,所以BQ//平面PAD

(2)解：由题意O4OCOP三条直线两两相互垂直.

以Q4QCQP分别为z轴，尸轴，z轴建立空间直角坐标系如图,

因为在四边形ABCD中，AB//DC,AD±DC,DC=2AB,

所以点B在线段CD的垂直平分线上.乂因为8c=啦,8C1BD,

所以8。=8。=&,。。=2

所以有点Z)(0,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),0(0,11

所以诙=(01T)丽=(T，°，J

设平面3。。的一个法向量G=(x,乂z),

m-DQ=0xx+lxj^+—xz=0

则令z=2,得而=(1,7,2)

m•BQ=-lxx+Oxy+gxz=0

易知平:面BCD的一个法向量为。户=(0,0,1),

因为而|=Vl+l+4=x/6,|DP|=l,^-DP=2,

m-DP_2_V6

所以cos<m,DP>=

\m\-\DP\~3

所以锐二面角。一如C的余弦值为名

【规律方法】

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向最，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小.但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则

这两个向鼠的夹角的大小就是二面角的大小.

【变式探究】

(2019年高考全国in卷理)图1是由矩形力分况Rt△月8c和菱形的'”组成的一个平面图形，其中力用1,

B吩B22,NFBC=60°,将其沿9比折起使得跖与炉重合，连结恢如图2.

(1)证明：图2中的儿C,G,〃四点共面，且平面1比工平面比在我；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】(1)见解析；(2)300.

【解析】(1)由已知得力〃〃/阳CG"BE,所以必/CG,故AD,访确定一个平面，从而从C,6；〃四点

共面.

由已知得力4_L跳；ABVBC,故力4_L平面506瓦

又因为/16U平面4%,所以平面/切C_L平面

(2)悍EHLBC,垂足为〃.因为夕/U平面比'应平面平面月8£所以夕平面力AC

由已知，菱形86a的边长为2,N反e60°,可求得研1,止百.

以〃为坐标原点，麻的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系〃-*%，

则4(-1,1,0)。(1,0,0)G(2,0,G),CG=(1,0,百)，AC=(2,1,0).

设平面/ICG加法向量为止（笳八/）,则

_CG-w=0,叫x+4iz-0,

ACn=0,2x-y=0.

所以可取炉(3,6,-V3).

乂平面比‘以的法向量可取为2ZF（0,1,0）,所以COS〈〃,〃1〉="=也

I«II〃”2

因此二面角6-CG-月的大小为30°.

考点六：利用向量求空间距离

【典例6】（2021•北京高二期末）如图，在长方体力中，底面44CQ是边长为1的正方形，力4=2,

瓦尸分别为«，河的中点.

（1）求证：D1F〃平面BDE；

（2）求直线与平面BQE所成角的正弦值;

（3）求直线A尸与平面8DE之间的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）在；（3）空.

33

【解析】

（1）推导出。//〃E,由此能证明。///平面5WT；

（2）以。为原点，。力为x轴，DC为N轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线。E

与平面所成角的正弦值.

（3）由A尸〃平面从组,西=（0,（）,2）,平面。5七的法向量沅=。,-1,】），利用向量法能求出直线。尸

与平面8DE之间的距离.

【详解】

解：(1)取8片的中点G,连接做GG.

因为44〃G2,且通尸GA；ABJ，FG,且AB「FG,

所以尸G〃GA，且FG=GA.

所以四边形CRFG为平行四边形.