弧长及扇形的面积（讲义）-苏科版九年级数学上册【附答案】

专题2.9弧长及扇形的面积（举一反三讲义）

【苏科版】

题型归纳

【题型1利用弧长公式求弧长】

【题型2利用弧长公式求长度】

【题型3利用弧长公式求圆心角】

【题型4求某点的弧形运动路径长度】

【题型5利用扇形面积公式求面积】

【题型6求弓形面积】

【题型7求图形旋转后扫过的面积】

【题型8不规则图形的面积计算】

举一反三

知识点1弧长公式

在半径为火的圆中，因为360。的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2;rR,所以1。的圆心角

所对的弧长是梁，即噂，于是〃。的圆心角所对的弧长为/=4・2加=鬻，弧长为/

3601X036018U

的弧所对的圆心角为〃=粤度.

知识点2扇形的面积公式

1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360。的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积

S=〃R2,所以圆心角是1。的扇形面积是小，于是圆心角为〃。的扇形面枳是S吗形=皿，

360矶360

还可以用弧长表示扇形面积，谄形其中/为扇形的弧长.

试卷第1页，共12页

【题型1利用弧长公式求弧长】

【例1】（2例5,青海•中考真题）

1.如图，线段力笈经过圆心O,交。O于点A,C,月。为OO的弦，连接月。,

（1）求证：直线是。。的切线；

（2）已知4c=2,求发的长（结果保留兀）.

【变式1一11（2025・陕西咸阳•模拟预测）

2.西安“不倒翁小姐蛆”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色

的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）.已知不

倒翁的边缘口，P8分别与。。相切于点力，B.若该圆的半径是3cm,ZP=60°,则石花

的长是（）

图①图②

A.6兀cmB.47tcmC.371cmD.271cm

【变式1-2]（24-25九年级上•河北沧州•期末）

3.如图，在平面直角坐标系中，已知点力（-4,0）,^（0,2）,。（4,0）,且点以。在就

上.若/胡。=22.5。，则前的长为

试卷第2页，共12页

B

A（）Dx

【变式1-3]（2025•河南驻马店•三模）

4.如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B.C.。均为顶点，则说小的长为

（）

/%，、»\/%/%，、/

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A2疗口行「二14

A・------7tD•-----7T。.九D.—兀

3223

【题型2利用弧长公式求长度】

【例2】（2025•福建厦门•二模）

5.如图，PM切于点P,弦?。〃。/，若NOMP=30。,劣弧。。的弧长为则线

C.3D.兀

【变式2—1]（2025•安徽合肥一模）

6.如图1,这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形

2

ABCDEF,。。是它的外接圆，连接OC,OD,作OG1CQ.若劣弧CO的长为一乃，则

3

OG=

试卷第3页，共12页

【变式2一2]（2025•广西钦州•一模）

7.如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中行

211

长度为三万米，蕊长度为R万米，圆心角乙400=60。，则裙长为米.

JIJ

()

A

图2

【变式2一3]（24-25九年级上•北京朝阳・期中）

8.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与8

之间的距离为10cm,双翼的弧4P与弧8。的长都为12冗，且与闸机侧立面夹角

A.72cmB.（72V3+10）cmC.（7272+10）cmD.82cm

【题型3利用弧长公式求圆心角】

【例3】

9.小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以

MN=20cm为直径的半圆。和边长为4cm的正方形力8C0,P,。分别为半圆。上的点,

试卷第4页，共12页

如图1所示，此时半圆。与水平面恰好切于点P,4P=12cm,延长。。与半圆。分别交于

点E,F.将半圆。向右无滑动滚动，使点。落在半圆。上，此时半圆。与水平面恰好切

于点。，如图2所示.

图1图2

⑴在图1中，求弦E尸的长；

（2）在图2中，求回所对的圆心角度数；（结果保留兀）

【变式3一1】

10.一个扇形的弧长是3知cm,半径是6cm,则此扇形的圆心角是度.

【变式3—2】

11.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm,当重物上升2?rcm时，滑轮的一条半

径04绕轴心。按逆时针方向旋转的角度为（）

----.

7\、滑轮

1）▲

ipdt

♦重物

A.60°B.90°C120°D.180°

【变式3一3］（2025・四川成都・模拟预测）

12.“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱劭部分如图所示，其中。财,ON的半

径分别是1cm和8cm,当OM顺时针转动3周时,ON上的点P随之旋转〃。，则〃=______.

・N

【题型4求某点的弧形运动路径长度】

【例4】（2025•河北衡水•噢拟预测）

试卷第5页，共12页

13.如下图，等边△/18C的边长为2,ZVIB。在直线/上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120。

至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120。至图②位置，…，以此类推，这样连

续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是.

14.如图，将等边AABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的介，长度不变,

AB、BC的长度也不变，则乙ABC的度数大小由60。变为（）

虺）。

D.

7t

【变式4一2］（2025•贵州毕节•一模）

15.如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为30cm,图②是其底面示意图，工人

在没有滑动的情况下，将石凳绕着点A在地面顺时针旋转，当旋转60。时，点。在地面划出

的痕迹长为（）

图①

A.1Q^cmB.10V2^cmC.10>/3^cmD.20^,cm

【变式4一3］（2025•安徽滁州•一模）

16.如图，边长为2瓜m的正六边形螺帽，中心为点。，0/1垂直平分边。，垂足为8,

AB=\7cm,用扳手拧动螺帽旋转90。，则点4在该过程中所经过的路径长为（）

试卷第6页，共12页

A.（17+百）兀cmB.（17+2石）7tcmC.10兀cmD.2071cm

【题型5_利用扇形面积公式求面积】

【例5】（2025・湖南常德•二模）

17.图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图.闸门关闭状态时,扇形力

与扇形8NC相交于点C,且两扇形的半径分别是矩形4WNB的两对边4必和8N.已知

"N=60cm,圆心角//l”C=N8MC=30。，则扇形4WC的面积等于cm2.（结果

保留不）

【变式5一1］（2025•山东聊城•三模）

18.如图，44为OO的直径，00的切线CE交历i的延长线于点足点。在部上,

（2）如图2,若NCEB=2NCBE,OE=5近,求扇形80。的面积.

【变式5一2］（2025•四川南充•三模）

19.如图，正五边形和正六边形有公共边力8=5cm.以点A为圆心，力8为半径画圆.则扇

形48的面积为一.

试卷第7页，共12页

【变式5一3］（2025•河南洛阳•三模）

20.如图，圆。是等边三角形48c的外接圆，点力是弧8C的中点，连接8。、CD.以点

。为圆心，3。的长为半径在圆。内画弧，阴影部分的面积为竽，则等边三角形48C的

边长为（）

B.472

【题型6求弓形面积】

【例6】（2025•江苏南通•二模）

21.如图，矩形力中，AB=A6,AD=2,以48为直径作半圆。，则图中阴影部分

的面积是（）

48

A.4^-8B.2^-4—7C-----

【变式6一1］（2025•宁夏中卫•三模）

22.如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图

形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长＜8=2,则“勒洛三角形”与等边4/18。围成阴影部

分的面积等于—（结果保留兀）.

试卷第8页，共12页

A

23.家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边48和CO平行且相等（如

图②），小华用皮尺量出80=1米，8。=0.5米，则阴影部分的面积为（）

尼邛卜方米

平方米D.

【变式6一3］（2025•辽宁铁岭•二模）

24.如图，在等腰三角形力8C中，AB=AC,HD=DC.DE上AC于点、E,。。是△力4。

的外接圆,交C4的延长线于点F.

（1）判断并说明DE与OO的位置关系；

⑵当N8=30。，=l时，求弧"'与弦力厂所围成的弓形面积（阴影部分）.

【题型7求图形旋转后扫过的面积】

【例7】（2025•四川达州•二模）

25.如图，在平面直角坐标系中，A/18C的顶点坐标分别是4（0,4）,8（0,2）,C（3,2）.

试卷第9页，共12页

（1）将A/18c以。为旋转中心旋转270。，画出旋转后对应的并求出力C边旋转扫过

的面积.

（2）将ZU8c平移后得到AJ282c2,若点A的对应点4的g标为（2,2）,求的面积.

【变式7一1］（2025•江苏连云港一模）

26.如图，在等腰直角三角形48C中，直角边长是2,若将此三角形绕直角顶点C顺时针

旋转90。，那么斜边48扫过的面积为（）

A.兀B.-n-2C.2兀D.2n-2

2

【变式7—2］（24—25七年级下•江苏无锡•期中）

27.当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器.如图所示

是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷43在.”处固定连接（不能转动），若

测得4。=80。〃，80=20皿，当杆。必绕点。转动90。时，雨刷扫过的面积是（）

A.1600祀〃/B.1500乃5?2C.900乃5?2D.800.TCW2

【变式7-3］（2025•山东东营•模拟预测）

试卷第10页，共12页

28.如图，在RtZUBC中，48c=90。，N84C=30。，AC=2.RtZUBC可以绕点4旋

转，旋转的角度为60。，连续旋转两次，分别得到Rt△力4G和Rl△4&G，则图中阴影部分

的面积为.

【题型8不规则图形的面积计算】

【例8】（2025•湖北襄阳•一模）

29.如图，48是。。的直径，C,E是。。上两点，4C平分NBAE,交/£的延

（1）求证：CO是。。的切线：

（2）若,4E=〃C=2,求图中阴影部分的面积.

【变式8一1］（2025•山东青岛•中考真题）

30.如图，在扇形力。8中，408=30。，0/=26，点。在。台上，且OC=/C.延长C3到

D,使。。=0.以。，CO为邻边作平行四边形力则图中阴影部分的面积为

（结果保留不）.

31.如图，在RtZ\/18。中，ZC=90°,4c=8C,点。在边上，04=2后，以。为圆

心，04长为半径作半圆，恰好与BC相切于点O,交力B于点E,则阴影部分的.

试卷第11页，共12页

B

【变式8一3］（2025•四川资阳•中考真题）

32.如图，在正六边形48CQE尸中，AB=2,连接4C,4E,以点。为圆心、CO的长为

半径作圆弧CE,则图中阴影部分的面积是.

试卷第12页，共12页

1.(1)见解析

⑵3

【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质.

(1)先由三角形内角和定理得出/力。4=120。，再根据。力=。。得乙4=NOD4=30。，进

而可得NODB=90°,再根据切线的判定可得出结论：

(2)根据含30度角的直角三角形的性质得设OQ=OC=〃，则/":(r+Z),

求出「，再得NOOB=N/+NOD4=60。，然后根据弧长公式求解即可.

【详解】(1)证明：连接OQ,

•.•4=/8=30。，

:"ADB=180。-N4-=120°,

vOA-OD,

.•./月=/。。月=30。，

.•・/0。8=120。-30。=90。，

.'.OD1BD,

且O力是。。的半径，

•••直线4。是。。的切线：

(2)解：在RSOOB中，/0。8=90。,/4=30。,

:.OD=-OB,

2

设O0=OC=r,

1

.-.r=-(rz+2),

解得/-2,

vZDOB=ZJ+/ODA=60°,

•我的长为:鬻*•

2.B

答案第1页，共27页

【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内用和.利用切线的性质可得

NP4O=NPBO=90。,进而得到/力。？=120。，以及痂所对圆心角，最后利用弧长公式

求解即可.

【详解】解：如图，连接04,OB,

P

AfivPA,PB分别与相切于点/,B,

M

/.ZPAO=ZPBO=9Q°,

;ZP=60°,

/.404=120°,

丽所对圆心角为360：4104=240。,

•••该圆半径是3cm,

.---.八曰240x；rx3,(、

「•4W8的长是———=4;r(cm),

1oU

故选:B.

3.—

44

【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系,

以及弧长的计算.解题的关键是求出圆的半径与左所对的圆心角.根据4Q1O8,延长80

到圆心E,在町A。创设未知数求出半径的长，根据同孤所对的圆心角等于圆周角的两倍,

即可求出命圆心角4EC=45。，利用弧长公式即可求解.

【详解】解：•••4-4,0),D(4,0),

AO=DO,

C_Ly轴，

•••圆心在y轴上，

设圆心为点£连接CE、AE.DE,

答案第2页，共27页

•••在坐标系中：4-4,0),例0,2),D(4,0),

可知：AO=OD=4,OB=2,

此时由于半径相等：AE=BE=DE,

.♦.设OE=x,则4E=8E=2+x,

•••由题可知：ADLBE.

.•・在•△0口中有勾股定理：AO2-^OE2=AE2,

.-.42+x2=(x+2)2,解得：x=3,

.•・半径为：5,

•••同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，Z5JC=22.5°,

:"BEC=2NBAC=45°,

45xnx5_5n

启的长为:

18()F

故答案为：

4.A

【分析】如图，由题意可得：。为反方所在圆的圆心，为格点，取格点4旦F,连接

OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD,过O作OH_L力。于，，QBF处DOAmBDE,可得

△BOD为等边三角形,ZBOD=60°,求解OD=』2+⑻=腐=26；再利用弧长公式

计算即可.

【详解】解：如图，由题意可得：O为标所在圆的圆心，为格点，取格点/，连接

OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD,过。作OH_L力。于”，

答案第3页，共27页

•••由题意可得：OF=4=BE=AD,Z,OFB=120°=ZBED=ZOAD,BF=OA=DE=2,

：.QBF处DOA处BDE,

：.OB=DO=BD,

•••△8。。为等边三角形，

由等i力三角形的性质可得：ZAOH=30°,0/1=2,而N4〃O=90°.

••AH=1,OH=422-\2=5

:.DH=5,

•••8="+（可=728=277；

..近的长60兀x2近二亚口

1803

故选：A

【点睛】本题考查的是等边二.角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性

质，弧长的计算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键.

5.B

【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角

三角形的性质：连接OP，。。，根据切线的性质得出根据含30度角的直角三角

形的性质得出MO=2尸O,进而得出△8。是等边三角形，贝匕/"。=60。，根据劣弧

的弧长为设。尸=〃，得出〃=1,进一步即可求解.

【详解】解：如图,连接。尸。。,

答案第4页，共27页

：.OP1PM,

-.•zawp=3o°,

AZPOM=60°,MO=IPO

-,-PQ//OM,

.•.NOP。=60。，

•：OP=OQ,

.•.△OPQ是等功三角形，

.•.ZPO0=6O°

•.•劣弧尸。的弧长为。，设02=厂，

6071

:.---nr=—

1803

解得：r=1

.'.OM=2PO=2f

故选：B.

6.V3

【分析】先求出中心角NCOQ=60。，再根据弧长公式求得半径为2,然后解RtaOG。即可.

【详解】解：•••正六边形A8CDM,。。是它的外接圆，

.•.中心角ZCOD=至360-°=60。，

6

•••劣弧CQ的长为：乃，

:.—2n=6-0--^---x-O--D--,

3180

解得：。。=2,

-OG1CD,OC=OD

.•.NGOQ=』NCOO=30。，

答案第5页，共27页

•••OG=OCxcosZ.GOD=柩，

故答案为：G.

【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较

强，熟练掌握知识点是解题的关键.

7.1

【分析】本题考查了扇形的弧长公式.解题的关键在于王确的计算.

由题意知，/而=如常=|乃，七="鬻'=9乃，计算求解08的值，然后根据

48=。8-。力计算求解即可.

【详解】解：由题思知=~=7乃，前=180=胃''

解得04=9，0B=?，

JJ

.•.AB=OB-O4=l,

故答案为：1.

8.D

【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点力作力£_L。，过点8作8"_L。。，在

中，可求得力E同理可求得8/=18。，再由弧长公式可求得4E=8尸=36cm,即

22

可求解.

【详解】解：过点/作4E_LCP,过点8作8/J.。。，如图，

则Rt△力CE中，ZPCA=30,

:.AE=—AC,

2

RtABD尸中,/BDQ=30,

:.BF=-BDt

2

答案第6页，共27页

•••双翼的弧AP与弧BQ的长都为12兀，NPCA=NBDQ=30°,

30^-xAC,_30TTXBD..

•••------=11.71,--------=12^,

180180

:.AC=BD=72cm,

AE=BF=36cm,

•••双翼边缘的端点4与8之间的距离为l()cm,

・••当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10=82cm,

故选：D.

9.(l)£F=16cm；

【分析】（1）如图1,连接OE,OP,O尸与EF交于点T,可得四边形4O7P为矩形，得

到0P1E7L夕7=力。=4（：01,进而得/?7'=尸7.由"\二20（：01可得。7=6011.在n2\。£7'

中，利用勾股定理求出£7,即可求解；

（2）如图2,连接。。，OD,延长。交。。于点G,可得四边形4OGQ为矩形，得到

AQ=DG,QG=AD=4cm,Z.OGD=90°»由MN=20cm可得OG=6cm,进而由勾股

定理得QG=8cm,即得4Q=OG=8cm,得到用的长为4P-40=4cm,再根据弧长公

式即可求解；

【详解】（1）解：如图1,连接OE,OP,OP与EF交于点、T,

M__Q_N

^^T\Q^F|•.•半圆。与水平面相切于点尸，OP为半圆。的半径，四边形力BCO

图1

为正方形,

AOPA=Z.DAP=AADT=90°,

••・四边形力。9为矩形,

.-.OP1EF,PT=AD=4cm,

ET=FT

•:MN=20cm,

...OE=OP=10cm,

答案第7页，共27页

：.0T=6cm,

.•.在RtZ\O£T中，Fr=V102-62=8(cm),

.•.Eb=2£T=16cm；

(2)解：如图2,连接5?,OD,延长CO交。。于点G,

Mi-n

•••四边形/BCD为正方形，半圆。与水平面相切于点Q,。。为半圆O

Q4B

图2

的半径，

："GQA=ZDAQ=ZADG=90°,

四边形4OG。为矩形，

AQ=DG,QG=AD=4cm,ZOGD=90°,

vMN=20cm,

...OO=O0=lOcm,

:.OG=6cm,

•••在RtZXOQG中，Z)G=7102-62=8(cm)，

...A0=£)G=8cm,

•••=12cm,

二所的长为4P-力。=4cm,

10/m.

二----=4,

180

解得〃二一

it

卫)。

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理,

弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键.

1().36

【分析】利用弧长公式列方程求解即可.

【详解】解：设扇形的圆心角为〃O.

答案第8页，共27页

+6n兀•6

由题意得：产百,

解得：“=36.

故答案为36.

【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键.

11.B

【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升271cm时，即弧长是27tcm,设旋转的角度

是〃。，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键.

【详解】解：•••滑轮的直径是8cm,

二•滑轮的半径是4cm,

设旋转的角度是〃°，

》r/mx4C

由题意得：=2兀,

IOV

解得：〃=90,

・•・滑轮的•条半径。4绕轴心。按逆时针方向旋转的角度约为90。，

故选:B.

12.135

【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数.先求出点尸移动的距离，再根据弧长

公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3x2兀xl=6nm,

解得：”135.

故答案为：135.

13.8乃

【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长

的计算公式、发现规律是解决问题的关犍.首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循

环，找到规律然后计算即可.

【详解】解:如图所示，

AAAA?V\AAAA

BCA\82c34B$CbAiC9

C\AzB、C&AsC7Av.Bq

答案第9页，共27页

解：转动一次顶点/至点4,旋转120。，路线长是：^X^x2=^,

Ic()3

转动第二次顶点4至点出，未动，路线长是：0,

转动第三次顶点4至点4,旋转120。，路线长是：黑x;rx2=。不，

ISO3

以此类推，每三次循环，

48

故顶点N转动三次经过的路线长为：=1万，

•••9次旋转重复了9+3=3(遍)，

Q

・•・顶点月转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：§乃x3=8万.

故答案为：8万.

14.D

【分析】设NABC的度数为n,根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可.

【详解】解：设ZABC的度数大小由60变为n,

则AC=^^,由AC=AB,

Io0

反为180

解传n=---

冗

故选D.

【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式1=窑是解题

1oU

的关键.

15.B

【分析】本题主要考查勾段定理和弧长公式的应用.解题关键在于确定点C的运动轨迹是圆

弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算.本题需要先确定

点C的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度.点。绕点A顺时针旋转60。，其运动轨迹

是以A为圆心，力。长为半径的一段圆弧，先求出力C的长度，再利用弧长公式计算.

【详解】解：••・底面是边长为30cm的正方形，

•••对角线AC的长度为Co2.3()2=j2x30?=30>/2cm.

•••“=60。，半径=二4。=20缶m.

・•・点C在地面划出的痕迹长/=60x4x308=10近兀cm.

180

16.C

答案第1()页，共27页

【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式,

利用正六边形的性质和勾股定理求出(阳的长度，进而得到。力的长度，最后根据弧长公式

进行计算即可.

【详解】解：如图所示，连接OD0C.

••.△OOC是等边三角形,

•*-OD=OC=DC=2>/3ciii，

-OBLCD,

BC=BD=Gem,

：•OB=ylOD2-BD2=3cm，

vAB=17cm,

•••OA=OB+AB=20cm,

•••点力在该过程中所经过的路径长=笠3=lO^-(cm).

180

故选：c.

17.300乃

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关

知识点是解题的关键.

证明△CMN是等边三角形，求出/LW=CM=60cin,得到

S用形/眩=笞疾=殁黑=300乃(cm。即可得到答案•

【详解】解：:矩形力MN8,

AM=BN,4AMN=/BNM=90°,

•••N4WC=/8NC=30。，

...4cMN=4AMN-ZAMN=60°,4CNM=/BNM-4BNC=60°,

答案第11页，共27页

AM=CM、BN=CN,

CM=BN,

「.△CMN是等边三角形,

:.CM=MN=60cm,

AM=CM=60cm,

30乃4小30.7x602

•9=300万(cm2)，

360360

故答案为：300乃

18.(1)见解析

吟

【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求扇形面积，勾股定理，等

腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。

(1)由切线的性质可得/。8=90。，则NC£4+N3=90。，再由等边对等角和三角形外角的

性质得到N3=2/2,再证明/4=N2,NCW+/3=90。，即可证明NCE4=NO。.

(2)先证明N3=NC£4=45。，则N4=22.5。，由圆周角定理得到/OO8=2/4=45。，进

一步求出C。=5,据此利用扇形面积计算公式求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接CO,

•••CE是。。的切线,

ZOCE=90°,

ZCE^+Z3=90°,

：OC=OB,

•••Z1=Z2,

/.Z3=Z1+Z2=2Z2,

vJc=5D>

N4=N2,

为直径,

...ZJC/?=90°,

答案第12页，共27页

/.ZC4O+Z4+Z2=90°,即/。。+/3=90。，

:"CEA=Z.CAD.

(2)解：如图，连接CQDO,由(1)得N3=2/2=2/4,

:"CEA=N3,

•••NEC。=90。，

.•.Z3=N*=45。,

/.Z4=22.5°,

.../"M=2N4=450.

•：OE=56,

CO=5,

454x5z25

S"形BOD=-------=—兀.

3608

，八557r

19.——cm

6

【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出

NCAB、N。/出的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内

角和公式是解题的关键.

【详解】解：由正五边形和正六边形可得：NC"=("27180。=108。,

(6-2)x180°

NDAB=----』-----=120°,

5

Z.CAD=3600-Z.CAB-/DAB=360°-108°-120°=l32>,

色132X^-X52132X^X2555兀

•••扇形4c。的面积为---------=----------=——cm'

3603606

故答案为：竺cn?.

6

20.C

【分析】连接04、OD,。。与4C交于点E.根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性

质，得到/〃QC=120。，再结合扇形面积公式，求出80=4,由垂径定理可得4E=CE,

答案第13页，共27页

0C18C,BD=CD,再解直角三角形，得至ljBE=2退，从而得到反?=4/§，即可求解.

【详解】解：如图，连接04、OD,与8。交于点E.

4ABe是等边三角形,

...AA=60°,

•••四边形N8C。内接于。。,

4+/8。。=180°,

Z5£)C=120°,

•••阴影部分的面积为粤,

1204BQ?162r

:.--------=---,

3603

/.5D2=16,

:.BD=4（负值舍去），

•••0。是半径，点。是弧8C的中点,

BE=CE,OCLBCtBD=CD,

NDBC=NDCB=30°,

:.DE=-BD=2

2t

BE=>JBD2-DE2=2y/3，

BC=2BE=A0

等边三角形ABC的边长为4j5.

故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形，扇形面积，垂径定理，等腰三角形

的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键.

21.B

【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理.设C。与半圆。交于点E,F,

答案第14页，共27页

过点。作OMJLCO于点W,则QW=4O=2,CE=4丘=2也,根据垂径

定理可得E/二2屈W,乙FCM=LKM,再结合勾股定理可得,g=26=4,

从而得到/既加=90。，然后根据%形4一4防，即可求解.

【详解】解：如图，设C。与半圆O交于点E,F,过点。作OM_LCO于点〃，则

OM=AD=2.CE=\阳=1x4亚=2也,

22

/A'、、：r//\\

、I✓

AoB

••.EF=2EM,AFCM=Z£OW,

:间:A/CE2-=2、

:.OM=EM,B~—2d/=4,

.•.△EOM是等腰直角三角形，

：•LFCM=乙KM=45。，

.••NEQF=90°,

・・・图中阴影部分的面积是q_c_903（2.）屋2--2冗4・

J房形£0尸0AEOF-3602Z4

故选：B.

22.2九一3G

【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点,4作

AHtBC于H,由等边三角形的性质得到4c8=60。，BH=；BC=\,则由勾股定理可得

AH=^AB2-BH2=百，再根据S叨影=3（S成形心-&小）计算求解即可.

【详解】解：如图所示，过点4作力〃_L8C于，，

•••△49C是等边三角形，"=2,

BC=AB=2,Z.ACB=60°,

:.BH=>BC=\,

2

••AH=dAB°-BH2=也•

答案第15页，共27页

K>ACB9MBe

J60nx22

=3-----x-2-x--V3

3602

=2n-3V3,

故答案为：2n—35/3.

【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握

特殊角的三角函数关系是解题关键.设圆心为O,连接CO,过点。作OE_LC。于点£,进

而得出CD,EO的长以及Z.COD的度数，进而由S弓形⑺面弟一S审影coo—S11ca,得出弓形CD的面

积，进一步即可求得阴影部分的面积.

【详解】解：设圆心为O,连接CO,过点。作OE_LCD于点E,

图②

由题意可得出：NBCD=90。,

.•・8。是€＞。的直径，

1米，4C=0.5米，

:.BC=gBD,CD=《BD?-CD2=等米,

ZBDC=30°,

：.OE=-OD=-^t

24

•：（JC=OD,

答案第16页，共27页

：.40CD=NBDC=30。,

.••"00=120°,

」xL回仇阖平方米,

S弓形面积=S扇膨C00-S^OD

3602421216

，阴影部分的面积为：2x平方米.

•••故选：B.

24.(1)直线OE与。。的位置关系是相切，理由见解析；

2

(2)-7T-y/3.

【分析】(1)连接OO,由等腰三角形三合一定理可得4。/8C,故有乙408=90。，所以

力用为。。的百■杼,从而得到。。是△力8c中位线，则OD〃4C,得到OE1OO,最后由切

线的判定即可求证；

(2)连接0/，过。作0//_L力尸于点〃，证明4。/尸是等边三角形，则有乙1。〃=60。，

40〃=3()。，OA=AF,然后根据直角三角形的性质可得4Q=24E=2,AB=2AD=4,

OA=AF=2,AH=\,最后通过弓形面积为S凰形的■即可求解.

【详解】(1)解：直线QE与。。的位置关系是相切，理由：

连接O。，

•：AB=AC,BD=DC,

/.AD1BC,

•••//O8=90。，

.•.48为。。的直径，

•••OA-OB,

是△Z8C中位线,

：.OD〃AC,

答案第17页，共27页

VDE1AC,

：.DELOD,

•••o。是O。的半径，

••.DE与OO相切;

(2)解：如图，连接。尸，过。作OH14产于点”,

•••AH=FH,

•：AB=AC,ZB=30°,

.-.Z5=ZC=30°,

：.ZOAF=ZB+ZC=GO0,

,:OA=OF,

.•.△。力/是等边三角形，

.•.N/。尸=60。，N4O"=30。，OA=AF,

•••408=90。，ZC=30°,

:.ZDAC=60°,

vDE1AC,

.-.ZJ£D=90°,

/ADE=30°,

•••AD=2AE=2,

同理：AB=2AD=4,

OA=AF=2,

二AH=1,

由勾股定理得：OH=ylOA2-AH2=722-12，

••・弓形面积为S扇形48-S,A0F

60万x2?1

----------X2x6

3602

答案第18页，共27页

二|•乃一VJ.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的

判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

25.(1)见解析，4C边旋转扫过的面积”

4

(2)见解析，A/1GG的面积为事27或;3

【分析】本题考查了作图一旋转变换，坐标与图形变化一平移，利用网格求三角形的面积,

解题的关键是熟练掌握旋转变换、平移变换的性质.

(1)分类讨论：①当A48C以。为旋转中心顺时针旋转270。时；②当A48C以。为旋转中

心逆时针旋转270。时，逐一作图求解即可；

(2)根据力(0,4)向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到4(2,2),即可作

图，冉由①当A48C'以。为旋转中心顺时针旋转270。时：②当A48c以。为旋转中心逆时

针旋转270。时，分类讨论,即可解答.

【详解】(1)解：①当A/8C以。为旋转中心顺时针旋转270。时，如图，设以。。为半径的

圆与轴交于点色石，

由4(0,4),C(3,2)得04=4,OC=yl22+32=>/\3»

••・旋转,

ZAOC=ZA}OC^

••&=#，

答案第19页，共27页