湖北省2025年中考数学试卷（含答案解析）

湖北省2025年初中学业水平考试

数学试题

本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷却答题卜上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.数轴上表示数a,b的点如图所示，下列判断正确的是（）

A.a<bB.a>bC.b<0D.a>0

2.“月壤病”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地.如图是一种“月壤砖”

的示意图，它的主视图是（）

A.B.C.（/叫D."厂・/

4.一元二次方程r-4》+3=0的两个实数根为王，修，下列结论正确的是（）

A.X）+x2=-4B.%1+X2=3C.X1X2=4D.X.X,=3

5.数学中的，”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若4=56。,

则N2的度数是（）

1

A.34°B.44°C.46°D.56°

6.在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形D.射击运动员射击一次，命中靶心

7.如图，平行四边形A3CO的灼角线交点在原点.若A（T,2）,则点C的坐标是（）

C.(1,-2)D.(-1,-2)

8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函

数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9Q时，电流/可能是（）

9.如图，VA8C内接于OO，NBAC=30。.分别以点A和点8为圆心，大于《AB的长为半径作弧，两

瓠交于N两点，作直线交AC于点力，连接5。并延长交。＜9于点E,连按04,OE,WO^AOE

的度数是（）

A.30°B.50°C.60°D.75°

10.如图，折叠正方形八BCD的一边BC,使点C落在〃。上的点尸处，折痕叱交人。于点G.若

DE=2g，则CG的氏是（）

A.72B.2C.V2+1D.2无一1

二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11.一个矩形相邻两边的长分别为2,〃?，则这个矩形的面积是.

12.已知一次函数y=^+Ay随x的增大而增大.写出一个符合条件的々的值是.

13.窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格

构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦''的概率是.

步步锦龟背锦灯笼锦

14.计算上^—x的结果是.

x

15.如图1,在VA8C中，ZC=90°,BC=4cm,AB=ncm.动点P,。均以lcm/s的速度从点C同时出

发，点P沿折线C7A向点A运动，点。沿边CA向点A运动.当点。运动到点A时，两点都停止

运动.ZXPCQ的面积S（单位：cn?）与运动时间，（单位：$）的关系如图2所示.（1）〃?=；（2）〃=.

三、解答题（共9题，共75分）

16.计算：I-6|—\f2x>/8+2".

17.如图，48=八。,4。平分/小。.求证：ZB=ZD.

A

18.如图，甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼A处看乙楼顶部3的仰角为35。,4到地面的距离为18m,求

乙楼的高.（参考数据：tan35°«0.7）

19.为加屈劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务

劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间'’的

问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为

A（x<2）,B（2<x<3）,C（3<x<4）,D（x24）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期

末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下.

学期初调查数据条形图学期末调查数据扇形图

学期末调查数据扇形图

时间平均数中位数众数

学期初2.82.92.8

学期末3.53.63.6

（1）在学期初调查数据条形图中，8组人数是人，并补全条形图;

（2）七年级有500名学生，估计学期本七年级学生一冏参与劳动时间不像于3h的人数;

（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提岛？结合统计数据说明理山.

20.幻方起源于中国，月历常月于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空.

主

探究月历与幻方的奥秘

图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数.

（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则。是,。是

（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c•是_____,d是

（注：用含〃的代数式表示。和d.）

¥期H鹏期-中期星期二中期收里期五m；；、

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

图1图2

移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、

每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.

（3）若方框选取的数如图4所示.调整后,部分数的位置如图5所示,贝壮是./是

（4）若方框选取的数中最小的数是〃，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是（用

含〃的代数式表示《）.

21.如图，00是VA3c的外接圆，NR4C=45。.过点。作"_LA3,垂足为E,交AC于点。，交

0。于点过点〃作。。的切线，交C4的延长线于点G.

C

D

(I)求证：FD=FG；

(2)若A3=12,FG=10,求。。的半径.

22.某商店销售4,B两种水果.4水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克.

(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克，合计付款46元.这两种水果各买了

多少千克？

(2)妈妈让小明再到这家商店买4B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过

50元.设小明买A水果/〃千克.

①若这两种水果按标价出售.求机的取值范围：

②小明到这家商店后，发现A8两种水果正在进行优惠活动：4水果打七五折；一次购买8水果不超

过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折.(注:“打七五折”指按标价的75%出售.)

若小明合计付款48元，求小的值.

23.在VA8C中，ZACB=90°,将VA3C绕点C旋转得到△OEC,点A的对应点。落在边A3上，连

接BE.

BB______________P

C

国2

(1)如图1,求证：△BCEs&ACD；

(2)如图2,当8C=2,4C=1时，求M的长；

(3)如图3,过点E作A8的平行线交AC的延长线于点"，过点6作AC的平行线交石”于点G,DE

与BC交于点K.

①求证：AC=CF；

②当萼=0时，直接写出铛的值.

GB6''''KE

24.抛物线与X轴相交于点A(TO)和点8,与＞轴相交于点C,7是抛物线的顶点，P

是抛物线上一动点，设点〃的横坐标为

（1）求C'的值;

（2）如图I,若点P在对称轴左侧，过点尸作对称轴的垂线，垂足为〃，求上—的值;

TH

（3）定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧仞V（含端点”和N）.过M,N分别作“

轴的垂线//,过抛物线弧MN的填面点和填低点分别作>轴的垂线/."，直线/"4与A围成的矩形

用做抛物线弧MN的特征矩形.若点〃在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为一.

①求/关于/的函数解析式；

②过点。作QQ〃'轴，交抛物线于点。，点。与点C不重合.记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g.若

-J

,2,直接用里PQ的长.

参考答案

1.A

【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键.

狼据数轴的特点得到a<O<b,由此即可求解.

【详解】解：根据题意，aVO<b,・・・aVb,故选：A.

2.B

【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）.主视图是从正面看到的视图,

据此即可得出答案.

【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为

故选：B.

3.C

【分析】本题考查的是合并同类项，同底数塞的乘法与除法运算，塞的乘方运算，根据合并同类项，

同底数昂的乘法与除法运算，慰的乘方运算，逐•计算各选项的结果，判断是否为“

【详解】解：A.加+加=2加,结果为2加，非阳6,

B.=〃产a=nt5，结果为方,非〃产,

C.（加2丫=机内=66,结果为加6,符合题意,

D.m*345+m2=〃产=nr,结果为〃，，非〃/；

故选：C

4.D

【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算

根的和与积，结合选项判断正确答案.

【详解】解：对于方程丁-4廿3=0,设其根为为和马，

根据根与系数的关系:

.=b=-—4c3c

..Xj+x2~~-j-=4，-'^x,=-=j=3

故选：D

5.D

【分析】此题考杳了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.由平行

线的性质得到Z1=Z3=56°，再山对顶角相等得到N3=N2=56。即可.

【详解】解：如图，

C

VZl=56°,两条平行线小。被笫三条直线。所截，

:.Z3=Z1=56°,

?.Z2=Z3=56°,

故选：D

6.B

【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下

必然小会发生的事件，对各选项逐一分析.

【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；

选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；

选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意：

选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；

综上，只有选项B符合不可能事件的定义，

故选:B.

7.C

【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平

行四边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点。中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即

可得到答案.熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键.

【详解】解：•・•平行四边形A8CZ）的对角线交友在原点，

：.OA=OC,

.•.点A与点。关于坐标原点0中心对称，

:点、A的坐标为A（T,2）,

，点。的坐标是（L-2）,

故选：C.

8.A

【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为HO),根据当B9时，/=4,

R

可得该反比函数解析式为1常，再结合在第•象限/随R的增大而减小可得答案.

A

【详解】解—：设该反比函数解析式为/=。仕/0),

1\

由题意可知，当R=9时，/=4,

••4,=一k,

9

解得：％=36,

，该反比函数解析式为/=等，

A

・•・在第一象限/随区的增大而减小:

，当R>9时，/<4,

・•・电流可以为3A,

故选：A.

9.C

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由MN是A8的垂直平

分线，可得ZM=O8,可得NBAO=NA3£>=30。，再进一步求解即可.

【详解】解：由作图可得：是A8的维直平分线，

:.DA=DB，而NZMC=30。，

・•・NBAD=ZABD=30°，

:.ZAOE=2ZA^D=60°,

故选：C

10.B

【分析】如图，过G作G〃_LBC干〃，由对折可得：BC=BF,CE=EF,ZBFE=ZBCE=90°=ZDFE,

乙FBE=/CBE,证明/。律=//。石=45。，而QE=2夜，可得DF=EF=DE-sin45。=2,求解

CD=BC=2>/2+2=BFOB=^-BD=y[2+2,证明OG="G,Rt^OBG学RtAHBG,可得

乙

BH=BO=02,再进一步求解即可.

【详解】解：如图，过G作于"，

•・•正方形八BCD,

?.BC=CD=AB=AD,NBC。=ZADC=90。，ZDBC=/BDC=45。,AC=BD,OA=OC=OB=OD,

ACJLBD,

由对折可得：BC=BF,CE=EF,ZBFE=ZBCE=90°=ZDFE,/FBE=/CBE,

:,NDEF=NFDE=45。，而DE=26,

；・DF=EF=DEsin45°=2,

:.CD=BC=2&+2=Bk，

:.AC=BD=BF+DF=2x/2+4，

:.OB=LBD=6+2,

2

'：4FBE=/CBE,GH±BC,AC-LBD,

：・OG=HG,

VBG=BG,

:.Rt^OBG^Rt^HBG,

:.BH=BO=yfi+2,

:.CH=BC-BH=旧

同理可得：CH=GH=6,

:.CG=j2+2=2;

故选:B.

【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判

定与性质，锐角三角函数的应月，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关健.

11.2m

【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长x宽即可解答.

【详解】解：根据题意可得矩形的面积是2机，

故答案为：2m.

12.2（答案不唯一）

【分析】本题考查了•次函数件质，熟练掌握函数的性质是解题的关键.根据函数的性质，书>0时，

J随工的增大而增大解答即可.

【详解】解：•・•一次函数丁=依+。中y随x的增大而增大，

:・k>0,

故可取A=2.

故答案为：2（答案不唯一）.

【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可.

【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦''三种窗格，

故选中“步步锦''的概率是g,

故答案为：;.

14.2

【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可.

v'JXhjt、bjix~+2xx~+2A*x~2,v_

【详解】解：-------x=---------------=—=2；

XXXX

故答案为：2

15.812

【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解

题的关键：

（1）观察图象可知，当1=4时，点P与点8重合，得到CP=CQ=4,利用直角三角形的面积公式进

行计算，求出，〃的值即可；

（2）根据图象当/=10时，5=10,此时CQ=10,8P=10-8C=6,过点P作尸QJ.AC,根据面积公

式求出尸。的长，证明△4）尸“24。3,列出比例式求出A尸的长，进而求出AA的长即可.

【详解】解•：（I）观察图象可知，当1=4时，点尸与点8重合，

:动点P，Q均以lcm/s的速度从点。同时出发，

:.CB=CP=CQ=4cm,

,:ZC=90°,

m=—CPCQ=-x4x4=8；

故答案为：8：

（2）由图象可知,当，=10时，5=10,此时。。一10,。"一10-4。一6,

过点尸作尸。_LAC于点。，如图：则：ZPZM=90°.

?.PD=2,

•・•ZPm=ZC=90°,ZA=ZA,

.APPD2I

••==™"，

ABBC42

：.AP=-AB

2t

；.P为AB的中点，

AB=2BP=12；

故答案为：12.

16.6

【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算

乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案.

【详解】解；|-6|-A/2X78+22

=6-716+4

=6-4+4

=6.

17.见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

先根据角平分线得到/84C=ND4C,再由SAS证明△BACg/kDAC,即可得到NB=NO.

【详解】证明：・・・AC平分NfiAD,

:.ZI3AC=ZDAC,

VAB=AD,AC=AC,

；・△6Ag〃MC(SAS),

；・ZB=Z£).

18.乙楼的裔为39m

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键.

由题意得，四边形AEDC为矩形，ZBAC=35°,AE=18m,OE=3()m,则NAC8=90。，CD=AE=18m,

AC=DE=30m,然后解RtZXABC求出BC,再由8。=8C+C。即可求解.

【详解】解:如图，

18m

由题意得，四边形AEOC为矩形，ZBAC=35°,AE=18m,DE=30m

AZACB=180°-ZACD=180°-90°=90°,CD=AE=18m,4C=DE=30m,

•・•在RlZ\48C中，tanZBAC=—,

AC

:.BC=AC-tanZ.BAC=30xtan35°=30x0.7=21m,

4O=AC+C£>=21+18=39m，

答：乙楼的高为39m.

19.(1)20.补全图形见解析

(2)340人

(3)有提高，理由见解析

【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，平均数，中位数，众数的

含义；

(1)先由总人数减去已知小组的人数可得3组人数，再补全图形即可；

(2)由总人数乘以学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数的百分比即可得到答案；

(3)根据平均数，中位数，众数的含义进行分析即可.

【详解】(1)解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是50-9-15-6=20人，

补全条形图如下：

时问

(2)解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数有:

500x(52%+16%)=340(人).

答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数有340人：

(3)解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了,

，该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.

20.(1)5.11(2)〃+1,〃+7(3)11,3(4)〃+8

【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的

关键：

(1)观察口历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；

(2)观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；

(3)根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；

(4)先根据〃是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可.

【详解】解：(1)由图可知：“=4+1=5,〃=4+7=11；

故答案为：5.11；

(2)由图可知：c=〃+l,4="+7；

故答案为：〃+1,〃+7；

(3)由题意，得：^=2+10+18-17-2=11,/=2+10+18-10-17=3；

故答案为：11,3；

(4)\•最小的数为"，则剩余的数为:，?+1,〃+2,〃+7,〃+8.〃+9,〃+14,〃+15,〃+16,

；・3(〃+g+〃+16)=〃+，?+l+"+2+〃+7+〃+8+〃+9+〃+14+〃+15+“+16,

解得：…+8：

故答案为：〃+8.

21.(1)证明过程见详解

13

(2)。0的半径号

【分析】(1)根据垂直，切线的性质得到A8||G产，打得是等腰直角三角形，由此即可求解；

(2)根据垂径定理得到8£=6,VAOE是等腰直角三角形，由(1)得到口＞=10,贝!历=4,

如图所示，连接。A，设=则O/=OE+防=x+4=OA,由此勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：•.*DF±Ai3G尸是OO的切线，即Z)尸J_G尸，

:.AB\\GF,

:.Za4C=NG=45。，

；・ZFZX；=90°-45°=45°,即△。尸G是等腰直角三角形，

；・FD=FG；

(2)解：*：DF±ABt

Z.AE=BE=-AB=6,

2

•・•zaAC=45°,

，Z4DE=90o-45°=45°,即VA/如是等腰直角三角形，

，EA=ED=6,

由（1）得/D=FG=10,

:.EF=DF-DE=\0-6=4,

如图所示，连接0A,设=M则O/=0E+£F=X+4=0A,

GdF

，在&△AOE中，OA2=AE2+OE2,

222

;.（X+4）=6+X,

解得，x=1,

:.OA=x+4=-+4=—,

22

13

・•・OO的半径

【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，

切线的性质等周四，数形结合分析是关键.

22.（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克

（2）（10</«<1：©m=1.25

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用；

3）设购买A种水果x千克，8种水果），千克，根据在这家商店按标价买了A,4两种水果共3千克，

合计付款46元.再建立方程组解题即可；

（2）①设小明买八水果加千克，则K种水果购买了（帆+1）千克，根据要求8水果比A水果多买1千

克，合计付款不超过50元,再建立不等式求解即可;②设小明买A水果加T•克，则8种水果购买了（加+1）

千克，根据不同的优惠方式可得146x0.75+18+18〃以0.75=48,再解方程即可.

【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，8种水果），千克，

x+y=3

依题意得：L:.，

[I4x+18}*=46

x=2

解得：「

y=l

答：购买4种水果2千克，B种水果1千克.

（2）解：①设小明买A水果〃?千克，则8种水果购买了（加+1）千克,

；・14〃?+18（"?+1）＜50,

解得：，〃W1,

，结合实际可得：。＜〃/1；

②设小明买A水果〃?千克，则B种水果购买了（阳+1）千克，

14nix0.75+18+18/??x0.75=48,

解得：m=1.25.

23.⑴见解析

⑵BE—

（3）①见解析；②《

【分析】（I）根据旋转可得AC=CD.CB=CE,ZACD=NBCE，则二£=空，即可证明ABCE^ACD.

CBCE

（2）根据8c=2,AC=1,Z4C4=90。，可得AC=CO=1,/W=石，即可得出〔an/A=—=2,过。

AC

作。，_L4C,则tan乙4=里=2,gpDH=2AH,在△CD"中勾股定理求出A"=2,则

AH55

在△的中勾股定理求出AD,根据△BCES^ACD,得出黑=与£，即可求出BE=拽.

ADAC5

（3）①设旋转角为。，则/4CO=N8CE=o,AC=CO,C8=CE,根据等腰三角形的性质和三角形内

角和定理即可得出NCD4=NA=90。—（a,NCEB=NCBE=90。,根据NAC8=90。，得出

/BCF=90°,ZDCB=90°-a,NECF=900-a,即可得NOCB=NEb,根据Gb〃A8,得出

ZF+ZA=180°,即可得NCD8=//，证明△8C*Z\ECE,得出CD=C/，结合C£＞=47,得出

AC=CF：

②根据工GF=二S，设G尸=5太G6=6k,证明四边形48G〃是平行四边形，得出

GB6

AB=GF=5^AF=BG=6k^G=ZA,由①得8=AC=b=3女，在RhABC中，勾股定理得出

nr4*44

BC=4k,则sinN4=—则sinNG=sinZA=-,根据ACBD^^EF,得出NCBD=Z.CEF,

AB5k55

BP4

根据6户〃人8,得出N/,EB+N/WE=180。，证明NbE8=90。，NBEG=90。，则sin/G=—=-,求

BG5

24I

出BE=一k,由①可得ZAOC=NC£8=90°——a,NAOC+NCO8=180°,得出ZC^+ZCL>«=180°,

52

证出点CD8,E四点共圆，根据圆周角定理得出N8m=NBCO,证明VBEKsVOCK,得出

DK_CK_3k_5

而=而二苞=G，设QK=5x,8K=8x,CK=5FEK=8y，则8c=8K+CK=8x+5y=4k①，根

一K

5

据旋转可得OE=4A=5Z,WODE=DK+EK=5x+Sy=5k®,联立①②求出乂丁，再根据整=翌即

KE8y

可求解.

【详解】（I）证明：•・•将VA8C绕点C旋转得到△OEC,点A的对应点。落在边A8上，

:.AC=CD,CH=CE,ZACD=NBCE,

.ACCD

''~CB~~CE'

:.Z\BCEsAACD.

（2）解：VBC=2,AC=\tZ4CB=90°,

•*.AC=CD=lAB=ylAC2+BC2=>/22+l2=>/5»

:.tanNA==2,

过。作。"_LAC，

:.DH=2AH,

在△CDH中CH'DH'CD"

即（1-A”『+（24”）2=1。

2

解得：AH=g,AH=0（舍去），

4

Z.DH=一，

5

在AADH中AH2+DH2=AD2«

:.AD=^7\H2+（2AH）2=y/5AH=—，

5

VABCEsAACD,

.BEBC

・------=-----，

ADAC

BE2

即匹=，，

~T~

.«r_4x/5

••DLJ=­・

5

(3)①证明：设旋转角为a,

则ZACD=NBCE=a,AC=CD,CB=CE,

18

:.^CDA=Z4=-°°~a=90°--a,/CEB=NCBE=°°-a=90。一1a,

2222

•・•ZACB=90°,

:./BCF=90°,NDCB=90°-a,

:.NEb=90。-a,

:./DCB=NECF,

,:GF〃AB,

：.ZF+Z4=180°,

:.ZCDA+ZCDB=180。,ZCDA=ZA,

:.NCO8=〃，

•・•NDCB=NECF/CDB=NF.CB=CE,

；.△BQ注△£(#(■),

：.CD=CF,

7CD=AC,

:.AC=CF；

:.设GF=5k,GB=6k,

•：GF//AD.BG//AF,

，四边形ABGF是平行四边形，

Z.AB=GF=5k,AF=BG=6k,NG=ZA,

由①得CD=AC=CF=3氏，

在RhABC中，AB2=BC2+AC2»

:.8C="B2_4C2=J(5k)2-(3&)2=4k，

*/二生i」，

AB5k5

4

:.sinZG=sinZ.A=—

5

△CBD^CEF，

ZCBD=4CEF,

'：GF//AB，

，N庄B+N4BE=180°,

即NCEF+/CEB+NCBE+NCBD=180。,

即2(ZCEF+NCEB)=2ZFEB=180°,

:./FEB=90。,

:./BEG=90。,

・」BE4

..smZG=-----=—,

BG5

即些=%

6k5

:.BE=—k,

5

由①可得ZADC=/CEB=90°-3。，NA。。+NCDB=180°,

,NCEB+NCDB=180°,

工点CD,BE四点共圆,

；・/BED=/BCD,

'：NBEK=NKC。,NBKE=NDKC,

Z.NBEKKDCK,

DKCKCD3k5

^~BK~~EK~~BE~24~~S^

K

5

设OK=5x,BK=8x,CK=5义EK=Sy,

则BC=BK+CK=8x+5y=4k®,

根据旋转可得。石=A8=5左，

:.DE=DK+EK=5x+8y=5k®,

720

联立①②可得户系,产等，

,KD=5xj

.・应=sT父苕=a

【点晴】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质,

圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握

以上知识点，证明三角形相似.

3

24.（1）c=--

2

（2）2

-/2+4r（0<r<1）

（3）①/=<2/+1（1<品2）②尸Q=也或J17-2

r+1（2</<3）

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进

行求解，是解题的关键：

（1）待定系数法进行求解即可；

（2）一般式化为顶点式，求出7点坐标，根据P点横坐标，得到进而求出以7,7H,

进行求解即可；

（3）①求出。点，8点坐标，分0<Yl,1<Y