山西省2025-2026学年高二年级上册开学考数学试题（含解析）

2025-2026学年高二上学期开学测试

数学试霞

一、单选题

函数〃力二炳百二句的定义域为（

1.)

(55153

A.5B.22C.一8句D.

彳5.75

2.“不等式/加2+X+4〃?>O在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（)

1

A.m>—B.0<m<—C.m>—D.m<-

4488

恒有"誓则不等式

3.已知定义在R上的函数/（“满足,且当%1时,

/（1）>心+1）的解集为（）

C.(f-2)U停收)D.

A.(-2,0)B.-21l(-OO,-2)5°，+QO)

4.设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则於))

A.是偶函数，且在g,+8）单调递增且在（一*）单调递减

B.是奇函数,

C.是偶函数，且在（—，-；）单调递增D.是奇函数,且在（9，-2单调递减

LHI71j,则sin(2a+^n)=(

5.若『9一二)

6

24r24

A.---D.——

25B•总25

6.把函数），=.”幻图像上所有点的横坐标缩短到原来的±倍・，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移9个单

位长度，得到函数），=可旺的图像，则小）=（）

X74xn

A.sinB.sin—+一

12)212

.(八冗

C.sin2x-D.sin2x+—

[12；

7.已知非零向量。为满足同=2瓦且则［与小的夹角为（）

n2兀

BD.——

A・T-?C丁3

8.如图，已知正四棱锥P-A3CQ的所有棱长均为2,E为棱用的中点，则异面直线座与PC所成角的余

弦值为（）

c.-D.当

3

二、多选题

9.若〃=(2,0),力=则()

A.。力=2B.卜+4=卜叫

C.。与6的夹角为3D.b在。方向上的投影向量为ga

10.如图，正方体A8CO-A4G2的极长为1,则下列四个命题正确的是()

A.直线3c与平面ABCQ所成的角等于今

B.点C到面八的距离为正

2

c.两条异面直线AC和3G所成的角为J

D.二面角。-8G-。的平面角的余弦值为-辛

11.如图，在边长为2的正方形人8c。中，E,尸分别是AC,CO的中点，G是打的中点，将“跳:，A4DF

分别沿4E,",折起，使8,。两点重合于"，下列说法正确的是()

A.若把△(?所沿所继续折起，。与〃恰好重合

B.AH1EF

C.四面体尸的外接球体积为几尤

D.点〃在面4所上的射影为△AM的重心

三、填空题

12.在V4BC中，角A&C的对边分别为。也c,已知吧C=3,cosB=!，V4BC的周长为7,则边长b为___.

sinA6

13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张,则抽到的3张卡片上的数字之和不

小于10的概率为.

14.抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86,85,88,86,91,89,88,87,85,92,则该运

动员这10次成绩的80%分位数为.

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,sin(A-4)=sinC-sin3.

(1)求角A；

(2)若VABC外接圆的半径为马生，求VAAC面积的最大值.

3

16.如图，三棱台中：平面AC"_L平面ABC,NAC8=NACO=45。，DC=2BC.

(I)证明：EFLDB；

(II)求。尸与面。8c所成角的正弦值.

则f(x7)>/(2x+l)=ga-2Ag(2x)=|x-2|v|2X，

即得(X-2)'W，3/+4X-4)0.(3X-2)(X+2)>0

2

解得xv-2或4>§.

故选:C.

4.D

根据奇偶性的定义可判断出/(x)为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出

/卜)单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出/(“单调递减，从而得到结果.

\乙)

【洋解】由〃x)=I川"+1|-1川2/—1|得/")定义域为Rxh关于坐标原点对称,

乂/(-x)=In11-2A|-In|-2A--1|=ln|2x-l|-ln|2x-i-l|=-/(.v),

\/(%)为定义域上的奇函数，可排除AC；

/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

11\Ii\

Qj=ln(2x+1)在一不，5上单调递增，y=ln(l-2x)在:、,上单调递减,

(11、

\/(X)在-不；上单调递增，排除B；

当xe(-oo,-时，/(x)=ln(-2x-i)-ln(l-2x)=ln|^-=ln|1+

•・・〃=1+=在1-8,-2上单调递减，"〃)=ln〃在定义域自单调递增，

2x-1\2)

根据复合函数单调性可知：/(X)在.8，-；]上单调递减，D正确.

乙)

故选：D.

5.B

【详角星】因为cos(看-a)=].

所以cos^-2cz=cosl2^-a

故选：B

6.B

【详解】解法一：函数y=/。)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到y=/(2x)的

图象，再把所得曲线向右平移?人单位长度，应当得到y=/的图象,

根据已知得到了函数)，=sin1的图象，所以/,卜一?)=sin(x—?)

令1=21用t71TVt7T

，则X=一+—,4-----+—

234212

所以f(，)=sin(；+W),所以f(x)=sin|尹京

解法二：由已知的函数y=sin(x-逆向变换,

第一步：向左平移？个单位长度，得到产sin1+?-讣sin(x+部勺图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到丁=而|^+专)的图象,

即为尸/(力的图象，所以/(»="＞目.

故选：B.

7.A

由己知可得(〃—〃)•〃=(),结合已知计算可求得cos(a,〃)=g,进而可求夹角.

【详解】因为(。―

所以,一科〃=0,所以〃./"/?=(),

所以同.忖85«/)一Wf=0,因为同=2忖,卜0,

所以cos(a./»=；,又因为。«〃力》471,所以a，〃〉=g.

所以a与〃的夹角为g.

故选：A.

8.B

根据题中条件连接AC,取AC的中点。，连接OE,OB,作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可;

【详解】连接AC,取AC的中点。，连接

P

AB

由寇意知，EOPC,则异面直线与尸C所成角为NSEO（或其补角）,

在△BE。中，EO=\,BO=jl、BE=6

BE2+EO1-BO2x/3

则cos/BEO

3BE2EO

则异面直线质与PC所成角的余弦值为由.

3

故选:B.

9.AD

根据数量枳的坐标表示及向量模的坐标表示判断A、B、C,再根据投影向量的定义计算判断D；

【详解】解:因为"=(2,0),〃=所以〃./?=1X2+0X>/5=2,同=2,忖=+(6)=2，

所以〃+方,a-)=(1,-6),则卜+.=小32+(G)=26，d-£>|=^!2+(-V3j=2,故AiE确，B错误;

八ab21兀

设。与人的夹角为6,则cos0=W「i=57I=5,因为。目0,句，所以。二三，故C错误;

ab1211

b在〃方向上的投影向量为WRvyQXiazzaa,故D正确；

故选：AD

10.AB

根据线面角的定义及求法即可判断A；由点到平面的距离的求法即可判断3;由异面直线所成角的定义及

求法即可判断C；由平面角的定义及氽弦定理即可判断£>.

【详解】解：如图，取8G的中点“，连接CH,易证CVJ•平面人BGR,

所以ZC.BC是直线8c与平面ABCR所成的角为£,故A正确；

点C到平面A4G2的距离为CH的长度为立，故8正确；

?

易证BC./MD,,所以异面直线DQ和BG所成的角为乙4"C或其补角,

因为.AC。为等边三角形，所以两条异面直线2c和8G所成的角为?，故C错误;

连接。〃，由8。二。。1,所以DHJ.BQ,又CHLBG，

所以NCH。为二面角BG-。的平面角,

易求得DH=旦,又CQ=1,CH=—,

22

由余弦定理可得cosNC〃0==旦，故。错误.

2DH•CH3

故选：AB.

11.ABC

根据==可说明〃与C恰好重合判断A,根捱线面垂直的性质定理可判断B,将四面体

A-HEF补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积判断C,根据线面垂直证明线线垂直,

说明点H在面AM上的射影为三角形的高的交点判断D.

【详解】对于A,因为HE=HF=CE=CF,故把△口：尸沿石尸继续折起，。与〃恰好重合，A正确;

对干B,如图，

因为AHLHE,AH工HF,HEcHF=H,HE,HFu^^HEF,

故A”_L平面而E/u平面”跖，故AH1EF,故B正确；

对于C,由折前平面图形可知，HE,HF,HA两两垂直,将其补成相邻三棱长为1,1,2的长方体,

则K方体外接球和四面体外接球相同，如图，

长方体对角线长/=^22+12+12=而，所以长方体外接球的半径为R=乎，

故外接球的体积为V=g兀｛半)=痼，故c正确；

对于D,设P为点H在平面A所上的射影，连接EP,AP,则小_LE/L

由B知A〃_LM,又AHHP=H,AH,HPU平面AHP,故EFJL平面A”P,

又APu平面4〃尸，故£FJLA尸，

同理可证人厂IEP,即点尸为三角形△AM高线的交点，

所以点，在平面AEF上的射影为的垂心，故D错误，

综上，正确答案为ABC,

故选：ABC

12.3

根据正弦定理得c=3〃，由周长得〃=7-4〃，最后利用余弦定理列方程求得。=1,即可得解.

【详解】由坐=3及正弦定理得c=3。，由VA8C的周长为7得力=7-LC=7-痴，

sinA

故由cosB=g及余弦定理得=1,

62ac6

所以42+(3々)2一(7-40)2=3"(却，

化简得7/—56。+49=0，解得〃=1或。=7(舍去)，所以。=7-4=3.

故答案为：3

13.-/0.4

5

列举基本事件，利用古典概型概率公式求解.

【详解】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，

样本空间。=｛(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2.4,5),(3,4,5)｝共1()个基本事

件，即〃(Q)=10

用A表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”,则A=｛（1,4,5）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）｝共4个基本事件,

即〃（A）=4

/、〃⑷42

所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率。（4=—祥=正=不

2

故答案为：

14.90

利用百分位数的定义即可求解.

【详解】将训练成绩从小到大排序为：85,85,86,86,87,88,88,89,91,92,

QQiQ1

因为10x80%=8,所以该运动员这1（）次成绩的80%分位数为气三=90.

故答案为：90.

15.（1）A=W

⑵26

（1）先根据sin（A-8）=sinC-sin8展开，结合正弦和差化枳公式进行化简，可得出cosA=；,进而得出

角A的值.

（2）根据题意和正弦定理可得出边长"的值，再由第一问和余弦定理得出〃和c的关系从+1=。0+8,结

合基本不等式即可求出V4BC面积的最大值.

【详解】（1）由sin（4-8）=sinC-sinb得，sin（A-B）=sin（A+B）-sinB,

所以sinB=sin(A+8)—sin(A-8)=2cosAsin3,又0<8<兀，所以sin8>0,

所以cosA=1,因为所以A==；

23

（2）由VA8C外接圆的半径为辿，则得〃=生色sinA=2&♦

33

由余弦定理得，cosA=+C~,即力:+（?=Z?c+8,

2bc

所以从+/=乩+8之3。,解得反48.

所以SM8c=gbcsinAV2g，故VA8C面积的最大值为2G.

16.（I）证明见解析：（II）2

3

【详解】（I）I方法一上几何证法

作OH_LAC交AC于〃，连接区”.

•・•平面4。/CJ■平面A8C,而平面AORTA平面ABC=AC,平面AQR7,

平面ABC,而8。u平面ABC,即有O"_L8C.

•・•ZACB=Z4CD=45°,

；•CD=42CH=2BC^>CH=42BC.

在中，BH2=CH2+BC2-2CH-fiCcos45°=BC2，即有^^+/、。”？，...BH±BC.

由棱台的定义可知，EFHBC,所以£>"_L$，BHLEF,而8〃。。〃="，

；・EV_L平面B//D,而皿u平面的/D,AEFLDB.

［方法二］【最优解】：空间向量坐标系方法

作DO_L4c交AC于0.

•・•平面AOR7_L平面ABC,而平面AOR7。平面A8C=AC,OOu平面AOR7,

・・・£Q1.平面ABC,以。为原点，建立空间直角坐标系如图所示.

设。C=1「・・ZAC8=ZAC7）=45。，DC=2BC=B

・•・BC=乎,・•.0（0,0,1）,C（0,1.0）,8（；,；,0）,

，BCLBD,又•.•棱台中BC//EF,：.EFA.BD；

［方法三］:三余弦定理法

•・,平面ACFD1平面A3C,cosZBCD=cosZACBcosZACD=cos45°cos45°=-,

2

・•・/BCD=3°，

又TDC=2BC.

：.<CBD=90。,即C8_L3。，

又，：EFUBC,AEFLDB.

(H)［方法一］:几何法

因为。C/C〃，所以。尸与平面08c所成角即为与C”平面DBC所成角.

作HGLBD于G,连接CG,由(1)可知，BC上平面BHD,

因为所以平面8CO_L平面W7D,而平面BCD、平面BHD=BD，

〃Gu平面BHD,工“G_L平面BCO.

即。”在平面08c内的射影为CG,/"CG即为所求角.

BHDH42aa夜

在RlAHGC中,设8C=a,则CW=缶,HG=-------=-7=—=—f=a,

BD瓜i73

HG=\=0

:.sin4HCG

~CH~43~~

故"与平面DBC所成角的正弦值为立.

3

［方法二］【最优解】：空间向量坐标系法

设平面BCD的法向量为“=（K），,z）,

由⑴得小（总—/1）取+3（）；

11八

—x-y+z=0

77