图形的对称性 同步练习（含解析）-人教版八年级数学上册

15.1图形的对称性

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图案中，轴对称图形的个数为（）

3.如图，在VA8C中，BC=1,A8的垂直平分线分别交A3、BC于点。、E,4c的垂直平分线分

别交AC、BC于点、F、G,则△4EG的周长为（）

D.8

4.如图，两条平行直线〃，b,从点光源M射出的光线射到直线。上的A点，入射角为15。，然后反

射光线射到直线〃上的8点，当这束光线继续从8点反射出去后，反射光线与直线〃的夹角度数为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.如图，CO是VA8C的A8边上的高，且4B=2BC=8,点3关于直线CO的对称点恰好落在48的

中点E处，则VAEC的周长为（）

c

A.10B.12C.16D.18

6.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别与AB、4c边交于点。、E两点，8c边的垂直

平分线R7,分别与8C、4c边交于点尺G两点，连接BE、BG.若△BEG的周长为20,GE=2,

则AC的长为（）

7.在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（）

A.等腰三角形B.菱形C.等腰梯形D.正六边形

8.如图，在AABC中，AB=AC,BC=IO,SAABC=60,AOJ_8C于点。，石尸垂直平分A七交AB

于点E、AC于点凡在£尸上确定一点P,使P8+P。最小，则这个最小值为（）

A.10B.IIC.12D.13

9.如图，点八是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，的半

径为1,则AP+3P的最小值为（）

A.3B.73C.72D.2

10.如图把一个长方形43co纸片沿E尸折叠后，点。、C分别落在以、C位置，若NEFC=110。,

则乙回=（）

A.40°B.50°C.70°D.65°

11.已知过菱形钝角的顶点向对角的两边作垂线，垂足恰好落在该边中点，则这个菱形内角中的钝角

是（）

A.150°B.135°C.130°D.120°

12.如图，已知△ABO是等边三角形，BC=DC,E是4。上的点，CE〃/18,与BO交于点F.则

下列结论正确的有（）

①连接AC,则AC垂直平分线段8。；②△OE尸是等边三角形；③若NC3£）=40。，则NOCE=30。；

④若A8=8,DE=2,则C尸=4.

A.①②B.®©©C.②③④D.①③④

二、填空题

13.直角三角形的两个锐角互余的逆命题为.

14.下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是（填

写序号）；

15.画一个图形的轴对称图形的一般步骤：

①过已知点作已知直线的—，并确定垂足；

②在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知之间的线段的长，得

到线段的另一端点，即为对称点；

③连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的.

yjk

(1)画出对称中心E,并写出点E的坐标；

⑵画出与△AMG关于点0成中心对称的△&约G；

(3次釉上存在一点P,使PA+P3的值最小，则点。坐标是

20.观察这个三角形它是轴对称图形吗？若是请画出其对称釉.

21.在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题;

⑴如图I,0&的半径为4cm,通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦48折叠后恰好过圆心。求

A8长；

(2)如图2,弦A8,垂足为点C,劣弧4B沿弦A8折叠后经过02c的中点D,43=10cm,求0。?

的半径.

22.如图，在。A4C。中，AR=6,BC=4,ZB=60，点E是边人夕上的一点，点下是边6上一

点，将oABCO沿日若斤叠，得到四边形七~”，点人的对应点为点〃，点。的对应点为点G.当点

H与点C重合时.

⑴填空：点E到。。的距离是

⑵求证：ABCE^AGCF；

(3)ACE/的面积为；

23.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A,4的

距离必须相等，到两条高速公路OM和OV的距离也必须相等.发刖塔应修建在什么位置？在图上标

24.【阅读理解】

如果把一个命题（记作P）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作夕），那么这诙个命题叫

做互逆命题，其中命题〃称为原命题，命题称为原命题的逆命题.

例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角

【解决问题】

给出命题"“如果a=h,那么同=同.”

⑴写出命题〃的题设和结论，及逆命题以

⑵判断命题，/是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明.

《15.1图形的对称性》参考答案

题号12345678910

答案CDCABDACCA

题号1112

答案DB

1.C

【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可.

【详解】解：从左到右，笫一、二、三个图形是轴对称图形，第四个图形不矩轴对称图形，所以轴对

称图形的个数为3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，仔细辨别图象是解题的关键.

2.D

【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.

利用轴对称图形的定义逐项进行判断即可.

【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；

B.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；

C.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，故符合题意；

故选：D.

3.C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得AG=CG,

再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键.

【详解】解：垂直平分AB,G/垂直平分AC,

AAE=BE,AG=CG,

J△AEG的周长为AE+AG+EG=8E+CG+EG=3C=7,

故选：C.

4.A

【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该

直线的夹角相等“得到Na=I5。，由平行线的性质可得ZABC=15。，即可得出结论.熟练掌握平行线

的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，

•••从点光源M射出的光线射到直线，上的A点，入射角为15。，然后反射光线射到直线〃上的〃点,

，Za=15°,

'：a//b,

，ZABC=Za=\50,

・•・当这束光线继续从8点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为15。.

故选:A.

।/___________a

CBb

5.B

【分析】本题考查轴对称，根据轴对称的性质，得到CE=AC,由线段中点得到AE=BE=；AB,

再根据三角形的周长公式进行求解即可.

【详解】解：VAB=2BC=S.

,BC=4,

•・•点B关于直线。力的对称点恰好落在的中点E处，

；・CE=BC=4,AE=BE=-AB=4,

2

:.YBEC的周长为CE+AE+a1=12；

故选:B.

6.D

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到E4=EB,GBGC,根据三角形的周长公式计算，得到答

案.

【详解】解：・・・。£是A3边的垂直平分线，

：,EA=EB,

•・•尸G是8C边的垂直平分线，

:・GB=GC,

二•△BEG的周长为20,

；・GB+EB+GE=20,

/.EA+GC+GE=20,即AC+2GE=20,

•：GE=2,

AAC=20-2x2=16,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是线段垂更平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

7.A

【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可.

【详解】A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；

小、连接菱形的对角线即是对稀釉，故本选项错误；

。、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；

。、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键.

8.C

【分析】根据三角形的血积公式得到AQ=6,由比垂直平分A8,得到点A,8关于直线加对称，

于是得到AD的长度=PB+P。的最小值，即可得到结论.

【详解】解：・・・8C=10,S/"=6。，AD_L8C于点。，

：.AD=\2,

•・•£/垂直平分入B,

：,PA=PB,PB+PD=M+PD,

如图，当P为EF与A。的交点时，以+尸。取最小值，

此时，m+PD=AD=12,

••・PB+P。的最小值为⑵

故本题选：C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道A。

的长度;PB+PZ）的最小值是解题的关键.

9.C

【分析】作点A关于MN的对称点4,连接交MN于点P,则以+P4最小，连接OV/4.,根据

点A与/V关于"N对称，点人是半圆上的一个三等分点，可用NAOV=NAON=60。，PA=PA\由点B

是人N的中点，可得/8。230。，可求乙498二90。，在Rs043中根据勾股定理48=旧否布7

=0即可.

【详解】解：作点A关于MN的对称点4,连接交干点P,则%+P8最小，

连接04A4。

•••点A与4关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

f

AZA'ON=ZAON=60°fPA=PA,

•・•点B是4N的中点，

・••ZB0N=3()。，

/.ZA'0B=NA'0N+ZBON=60>+3()°=90°,

又♦.•OA=O/V=1,

在R"。4方中，

=y/OA,2+OS2=7l2+I2=y/2，

/.R\+PB=PA,+PB=A,B=75.

故选：C.

【点睛】本题考查弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质，掌握弧与圆心角的关系，勾股定理,

轴对称性质作对称点，利用两点之间线段最短求最值是解题关键.

10.A

【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，计算解答.

【详解】解：•・•长方形A3C。沿打折叠后，点。、C分别落在以、C位置,

/.QEF=3EF,

•••长方形ABC。，

・••BC//AD,

/.ZDEF+ZEFC=180°,

，•/EFC=110。,

・••/£＞历=70。，

，NDEF=/DEF=70°,

，ZAEZ/=180°-/UEF-/DEF=40°.

故选：A.

【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性

质，折叠的性质是解题的关键.

11.D

【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形各内角为60。的性质，本题中

计算ZABC=60°是解题的关键.

根据题意画出图形设角A为钝角，作AE_L8C,且石为8c的中点可以求证VA8C为等腰三角形，即

AB=AC,根据A8=8C,即可求证VA8C为等边三角形，则/8=60。，即可计算菱形的内角中钝角

的度数.

【详解】解：过A作AE_L3C,

由题意知A£_L3C,且£为叱的中点，

，AB=AC,

二菱形48c。，

:.AB=BC,

/.AB=AC=BC,

:.VABC为等边三角形,

/.ZABC=60°,

'菱形AACO,

工AD//BC,

.­.Zfi4D=180o-Z4BC=180°-60°=120o.

故选：D.

12.B

【分析】如图，连接AC,由△A8O是等边三角形得从而得点A、CO都在线段8。的垂直

平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得N/WD=NE")=60。，NDEF=NDAB=60。,即可判

断②正确，三角形的外角性质得/。n=/小石-/。。8=60。-40。=20。，从而判断③错误，先找到CE=AE,

又由△48。和4。五产都是等边三角形,AB=8,OE=2,得AD=A8=8,E尸=。E=2,从而有C4CE-E/=4,

即可判断④正确.

【详解】解：如图，连接AG

C

•••△A4O是等边三角形，

：.AB=AD,NABD=NDAB=NEDF=60。,

BC=DC、

工点小。都在线段4。的垂直平分线上，

・••连接AC,则AC垂直平分线段8。，故①正确,

f：CE//AB,

/.ZABD=ZEFD=60°,/DEF=NDAB=60。,

•••△QEF是等边三角形，故②正确，

,/BC-BD,NCRD=40°,

，NCDB=NCBD=4()。,

•・•NDFE=6。。,

:.ZDCE=ZDFE-ZCDfi=60°-40o=20°,故③错误，

〈AC垂直平分80,AB=AD,ZBAD=60°,

：.ZCAB=ZCAD=30\

,:ABHCE,

：.ZACE=ZCAB=ZCAD,

:・CE=AE,

•••△48。和△OE/都是等边三角形，AB=8,DE=2,

：,AD=AB=S,EF=DE=2,

：.CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=S-2-2=4,故④正确,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质,

熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键.

13.有两个角互余的三角形是直角三角形

【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大.直接写

出原命题的逆命题即可.

【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形，

故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形.

14.④

【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成

轴）对称.

直接利用轴对称图形的概念分析得出答案.

【详解】解：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形.其中，不一定是轴对称图形的是④.

故答案为：④.

15.垂线点和垂足轴对称图形

【解析】略

16.10cm

【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算

是解题的关键.将杯子侧面展开，作A关于痔的对称点4,连接A3,则A'8即为最短距离，利用

勾股定理进行计算即可.

【详解】如图，将杯子侧面展开，作4关于政的对称点A,连接48,则即为最短距离，

/.=—x16=8（cm）,BD=BE+DE=5+1=6（cm）

A'B=yjA'D2+DB2=58?+6?=I0（cm）

•••蚂蚁从外壁A处爬行到内壁8处的最短距离为10cm

故答案为：10cm.

17.75

【分析】连接AC,CQ,则CQ的长即为APFPQ的最小值，再根据菱形A8CO中，N8CD=12（尸得出

NABC的度数，进而判断出△/3C是等边三角形，故4台。。是直角三角形，根据勾股定理即可得出

CQ的长.

【详解】解:连接AC,CQ,

C关于直线8。对称，

:・CQ的长即为APbPQ的最小值，

VZBC£>=120°,

JNA8O60。，

•••△ABC是等边三角形，

•••。是A4的中点，

・・・CQ_LA8,BQ=^BC=^x2=l,

CQ=^BC2-BQ2=>/22-l2=6•

故答案为：73.

【点睛】本题考查了轴对称•最亚路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键.

18.当（1）中的梯形为等腰梯形且底角为60。（或120。）且梯形的腰与上底相等时，可以经过旋转

和轴对称形成（2）中的图案

【分析】通过观察图中梯形之间的数量关系可求出梯形的内角度数分别是120度、60度，从而确定

它所满足的条件.

【详解】解：当（1）中的梯形为等腰梯形且底角为60°（或120。）且梯形的腰与上底相等时，可以

经过旋转和轴对称形成（2）中的图案.

通过观察图例可知：拼接点处有3个角，分别是120%所以可知梯形满足的条件是：

①等腰梯形，

②底角为60。（或120°）,

③梯形的腰与上底相等.

【点睛】主要考查了轴对称的性质和梯形的性质以及旋转的性质.轴对称图形具有以下的性质：（1）

轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线.要注意旋转的

二耍索：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

19.⑴（T—1）

(2)见解析

⑶*冽

【分析】本题考查了画对称图形，画两个图形的对称中心，求一次函数的解析式，求一次了数与坐标

轴的交点坐标，最短路径问题等，

(1)连接44、BB\、CClt它们的交点为E；

(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出人、a.G的坐标，然后描点即可;

(3)作点八关于x轴的对称点4,连接交x轴于点P，点P即为所求.

【详解】(1)解：如图，点E为所作；点E坐标为

(2)解：如图，为G为所作:

(3)解：作A点关于x轴的对称点A,连接84'交工轴于点P,如图，则4(-3,-2),

设直线84,所在直线解析式为：y=kx+bt

•.•8(-5,1)、4(-3,-2)

f-5k+0=l

-3k+b=-2

k=--

2

解得：

,13

b=--

2

.313

=x

,:y~~一~-

y=0

13

・・X=-----

3

【详解】是轴对称图形

21.(1)473cm

(2)3逐cm

【分析】(1)如图1,作交48于N,交0Q于M,连接A。，由题意知，

0、N=MN=gx4=2cm,AN=BN=3AB,在即AAGN中，由勾股定理得AN=JAO：-。声一求出

AW的值，进而可求AB的值；

(2)如图2,延长02c交O。?于E,连接设半径为小由题意知AC=CA=；A8=5cm,由折

叠和中点的性质可知。2。=。。=四=；，\在R/AAO2c中，由勾股定理得AC2=AOJ-OC2,即

5?='求出满足要求的解即可.

【详解】（1）解：如图1,作交A8于N,交0G于M,连接从。

M

,1丁、、

〃：\、B

图1

由题意知，Q^=M/V=-x4=2cm,AN=BN△AB

22

在Rh40N中，由勾股定理得AN=/4。I2一«"2=26

:.AB=46

AB的长为4>/3cm.

（2）解：如图2,延长。夕交0。2于E,连接斗。2,设半径为一

图2

由题意知AC=CB=；A8=5cm,由折叠和中点的性质可知。?。=DC=CE=gr,

在肋zMa。中，由勾股定理得AC』。:一0C，即5』-（十）

解得：r=3x/5,r=-3x/5（不合题意，舍去）

•••半径的长为35/5crn.

【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与

灵活运用.

22.（1）26

（2）见解析

（吗召

【分析】（I）要求点E到。。的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出ARC。之间的距离

即可，已知AC和一。，从而想到过点C作A8的垂线，构造直角三角形求解；

（2）要证△4CE/AGb,根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得8C=CG,

NB=NG,/BCD=NECG,观察图形可知NEC/是N8CO与ZECG的公共角，从而可得

ZLBCE=ZGCF,利用ASA即可证明；

（3）要求由（2）中全等三角形知需求CE,过点£作样_L3C,想到用勾股定理，需求EP和PC,

在Rt△加了中，设3尸=/〃，已知N3,表示出弧，BP,再结合折叠的性质及8c表示出PC,CE,

解Rtz^EPC,即可求出CE的长，根据三角形面积公式，求出结果即可.

【详解】（I）解：过点C作CK1A3于点K,如图所示：

BK=LBC=LX4=2,

22

:.CK=yjBC2-RK2=x/42-?2=26，

•・•点C到AB的距离和点E到CD的距而都是平行线AB,CO间的距离,

•・•点C到AB的距离是26，

，点七到CO的距离是2G