数轴的六类综合题型（压轴题专项训练）教师版-2024华东师大版七年级数学上册

专题01数轴的六类综合题型

目录

典例详解

类型一、用数轴上的点表示有理数

类型二、利用数轴比较有理数的大小

类型三、数轴上两点之间的距离

类型四、数轴上的折合问题

类型五、数轴上的动点问题

类型六、数轴上的规律探究问题

压轴专练

等类型-、用数轴上的点表示有理数

I.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0

的位置.；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，

它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。

2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个布.理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，

负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点

左侧2个单位长度处，0用原点表示。

3.数轴上点与有理数的关系：数轴上.的点与有理数并非••对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴

上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理

解有理数的顺序与数量关系。

例I.己知5个数分别为0,(-2『，-(-1),-|-5|,-3；

⑴将题中5个数在数轴上表示出来；

-6-5-4-3-2-10123456

(2)将题中5个数按从小到大的顺序用"”连接起来.

【答案】(1)作图见解析

(2)-|-5|<-3^<0<-(-1)<(-2)2

【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准

确表示在数轴上是解题关键.

(I)首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可；

(2)在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合

数轴比较各数大小即可.

【详解】(1)解：(一2『=4,-(一1)=1+5|=-5,

在数轴上表示出来，如图所示；

-|-5|昌0-(-1)(-2)2

__।__：।___।___।__：:__।___।___：J___।_>

-6-5-4-3-2-10123456

(2)解：由各点在数轴上的位置可知：

—|—5|<—3^<0<—(―1)<(—.

【变式1-1](1)请你在数轴卜.表示下列有理数：|-2.5|,0,_I2,+(-?).

(2)将上列各数用">〃号连接起来：.

IIIIIIIII]I»

-5-4-3-2-I012345

Irq、

12

【答案】(1)见解析；(2)|-2.5|>->0>>1>+--

【分析】(1)根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在

数轴上表示各有理数：

(2)根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题.

【详解】解：⑴因为+，■|)=[，|-2.5|=2.5,_『=_],

则在数轴上表示有理数如下图所示：

31

+(-2)-1202|-2.5|

1।।1.4i.i।

-5-4-3-2-10I2345

(2)由数轴可知：卜2.5|>；>0>-12>+1[).

故答案为：卜2.5。彳\>。>一12>+(,\\

【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简，在数轴上表示有理数，以及利用数轴比

较大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识.

【变式1-2］已知下列有理数：-(-4卜-|,0,1,(-1)3

(1)(7)3中，底数是,指数是.

(2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数.

⑶把这些有理数用"V"号连接起来.

【答案】⑴-1，

(2)数轴见解析，(-I)'与1是相反数

(3)-1<(-1)3<0<1<-(-4)

【分析】(1)根据乘方的意义解答即可；

(2)先化简乘方、多重符号，然后在数轴上准确找出各数对应的点；

(3)从数轴上按照从左到右的顺序用“<〃号把这些数连接起来即可.

【详解】(1)解：(-1)3中，底数是T,指数是3.

故答案为:一1,3；

(2)解.：O=4,(T)3=-1,

如图，(-碟与1是相反数，

戈(-1)*0I

、•一X~I^；一”

(3)-|<(-l/<0<l<-(-4).

【点睛】本题主要考查了有理数乘方、化简多重符号、数轴、有理数大小比较等知识点，准确在数轴上找

出各数对应的点是解题的关键.

【变式1-3］有理数：-22,0,|-2|,-(Y),-|-31|,4.5.

⑴将上面各数在数轴上表示出来，并用""连接起来；

IIIIIlliIII»

-5-4-3-2-1012345

⑵将上面的数填入相应的圈内.

正有理数集合整数集合

【答案】⑴见解析，—22<-—33<0<(—2)<-(一4)<4.5

(2)见解析

【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数大小比较，绝对值与相反数，有理数的分类，解题的关键是

熟练掌握数轴上点的特点.

(1)根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可;

(2)根据有理数的分类解答即可.

【详解】(1)解：—22=T，卜2|=2,-(-4)=4,—3；|二—3；,

如图所示：

一22十3；|0|-2|-(-4)4.5

—।-------------1----1----1----1---1---1---_>，

-5-4-3-2-1012345

故-2:<一一3；<0<|-2|<-(-4)<4.5.

覆类型二、利用数轴比较有埋数的大小

1.数轴比较大小的基本原理.：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，

正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽

象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。

2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0,0大于负数，正数大于负数；同

为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3>2；同为负数时，离原点越远的点表

示的数反而越小，如-2在T左侧，则-2VT。

3.应用与意义；通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排

序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密

结合，提升数学思维能力。_________________________________________________________________________

例2.数轴上表示数。的点如图所示，把-。，b,4按照从小到大的顺序排列，正确的是（）

~a6~h>

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<bC.a<-b<b<-aD.a<b<-b<-a

【答案】C

【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是

解题的关键.

比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数.观察数轴得出即

可逐一判断.

【详解】解：由数轴可知，a<-b<b<-a,

故选：C.

【变式27]“，b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

__________11II>

b-10a

A.a<0B.a>\C.b>-\D.b<-\

【答案】。

【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可.

本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解

题的关键.

【详解】解：根据题意，得

财错误，不符合题意；

B错误，不符合题意：

C错误，不符合题意；

。正确，符合题意；

故选D.

【变式2-2]如图，点A表示的有理数是x,则X,-A,1的大小顺序为（）

x

------11--------------+―►

-1------A------0

A.x<-x<\B.-x<x<\C.x<\<-xD.I<-x<x

【答案】A

【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大,

进行比较即可.

【详解】解：由图可知：-l<x<0,

所以0v-4<1,

故选A.

【变式2-3】已知〃、从c三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是()

A.a+b<0B.b-c<0C.ac>0D.—<0

b

【答案】。

【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可知cv》<Ova，|4>»|,据此逐

项判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键.

【详解】解：根据数轴可知c<b<O<a,|4>四，

则A、a+b>0,原选项结论错误，不符合题意；

B、b-c>0,原选项结论错误，不符合题意；

C、ac<0,原选项结论错误，不符合题意；

D、?<(),原选项结论正确，符合题意；

b

故选：D.

国类型三、数轴上两点之间的距离

1.距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本

质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负

值。

2.计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和乩则两点间距离d=|〃-

b\<,无论〃、历E负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，仁|3-(-2)1=|5|=

5；当。、〃中有0时,如0与4,距离为|()-4|二4。

3.应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系

,如计算行程问题中的位置间隔，或根据己知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念

的理解与运用。

例3.如果直线上点A到原点(表示0的点)的距离为2,点B到原点的距离为7,那么点A与点8的距离

可能是.

【答案】5或9

【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握两点之间距离的计算是关键.

根据题意，分类讨论：当两点在原地同侧时；当两点在原点异例时；由两点之间距离的计算即可求解.

【详解】解：当两点在原地同侧时，A8=7-2=5；

当两点在原点异侧时，”(-2)|=9或卜2-7|=9；

0点A与点8的距离可能是5或9,

故答案为：5或9.

【变式37]在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个

单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是.

【答案】7或一3

【分析】本题主要考查了数轴的动点问题，准确计算是解题的关键.

根据题意，分两种情况讨论即可求解；

【详解】解：从数轴上A点出发向左爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则A点表示的数是2+5=7；

从数轴上A点出发向右爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则A点表示的数是2-5=-3；

综上所述，点A所表示的数是7或-3：

故答案为：7或-3

【变式3-2]如图，数轴上点A、8所表示的数分别为-2、4、P、。两点分别从A、3两点出发同时以I

个单位长度/秒的速度在数轴上运动，M、N分别是A尸与8Q的中点，当运动时间为3秒时，M、N两

点之间的距离是.

AB

1[11]]111A

-2-101234

【答案】3或6或9

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想

解题是关键.

分①点P，Q同时向右，同时向左，点P向左点。向右，点尸向右点Q向左四种情况，结合数轴上两点间

的距离和线段中点的定义计算求解.

【详解】解：①当点尸，Q同时向右运动时，

当运动时间为3秒时，点P表示的数为1,点。表示的数为7,此时AQ=7-(-2)=9,

p6NO

.••11I

A—/

Oi23456

-47-

回M、N分别是AP与8。的中点,

1-（一2）=37-43

QN=

2-222

团M、N两点之间的距离是AQ—AM-QN=6；

②当点P,Q同时向左运动时,

当运动时间为3秒时，点Q表示的数为-5,点。表示的数为I,此时4P=4-(-5)=9,

PMAQNB

-5-4-3-2-10I234567

>N分别是AP与伙2的中点，

0M>N两点之间的距离是8P-PA7-8N=6；

③当。向左，点Q向右运动时，

当运动时间为3秒时，点P表示的数为-5,点。表示的数为7,此时八2=7-(-5)=12,

PMABNQ

—4-----------A-1----1----1----1---1-----A--1•1，A

-5-4-3-2-101234567

回朋、N分别是4"与8。的中点，

0P,w=zM^)=3,QN=T±

2222

回朋、N两点之间的距离是PQ-PM-QN=9；

④当。向右，点Q向左运动时，

当运动时间为3秒时，点P表示的数为1,点Q表示的数为1,此时AB=4-(-2)=6,

tAP^Q\NtBti

-3-2-10~~1~~2345~~67

田M、N分别是4p与BQ的中点，

0MsN两点之间的距离是A8—AM—8N=3；

综k,M、N两点之间的距离是3或6或9,

故答案为：3或6或9.

【变式3-3】一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度(从-2到4)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，

然后在重叠部分某处剪•刀得到三条线段.若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的

数可能是.

【答案】；或1或二

44

【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公

3

式解决折叠问题是解题的关键.设三条线段的长分别是工，x,2x,由题意可得4x=6,求=再分

三种情况讨论：①当4?:AC：a)=1:l:2时：②当"C:C7)=1:2:1时；③当AA:BC:CZ)=1:2:I时；分别求

解即可.

【详解】解：13三条线段的长度之比为1:1:2,

(3设三条线段的长分别是孙X,2X，

(3-2到4的距离是6,

/.4x=6.

3

A=一,

2

33

••・三条线段的长分别为5，5,3,

①当80:8=1:1:2时，折痕点表示的数是-2+13+；3乂51=不1

t_______111

ABCD

②当gBC:CD=l:2:l时，折痕点表示的数是-2+1+]=1：

*I

I，I，，

AB\CD

*I

③当A8:8U8=2:1:I时，折痕点表示的数是-2+3+53X3I=7^；

■

I

Iill,

ABI\CD

I

综上所述：折痕处对应的点表示的数可能:或1或二.

44

故答案为：；1或1或7：.

44

覆类型四、数轴上的折登问题

1.确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点

数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。

2.计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利月对称中心与已知点的距离，可求出该点

折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。

3.解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段尺度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上

两点间距离公式,两点数值差的绝对值），建主方程求解未知量，湛突破此类问题的核心交法.

例4.【操作探究】已知在纸面上芍一数轴（如图所示）.

-5-4^3:-2^1012345

【操作一】

（1）折叠纸面，使表示1的点与表示-I的点重合，则表示-2的点与表示的点重合；

【操作二】

（2）折叠纸面，使表示T的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示的点重合，此时若数轴上

48两点（A在8的左侧）之间的距阳为9,且A8两点经折叠后重合，则A,B两点表示的数分别是多少？

【答案】（1）2；（2）-3,点A表示的数为-3.5,点3表示的数为5.5

【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键.

（1）利用轴对称的性质解答即可；

（2）利用轴X寸称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点

9

距离折痕处的距离分别为结合数轴解答即可.

【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点，

・••-2示的点与数2表示的点重合；

（2）Q-1表示的点与3表示的点重合，

.,・对称中心是1表示的点，

「.5表示的点与数-3表示的点重合，

・•,数轴上A、3两点之间的距离为9（A在8的左侧），

97

二点A表示的数是1-；=-：=-3.5,

22

点8表示的数是l+J9=q11=5S

22

【变式47】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面.

⑴若:表示-1的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示—的点重合；

⑵若表示I的点与表示-5的点重合，回答下列问题：

①友示0的点与表示—的点重合：

②若数轴上A、8两点之间的距离为8,（A在8的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、3两点表示

的数多少？

【答案】（1）-3

⑵①-4；②-6，2

【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键.

（1）根据对称的知识，若-1表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点：

（2）由表示1的点与表示-5的点重合，可确定折痕是表示-2的点，则：

①表示0的点与表示T的点重合；

②由题意可得A、6两点距离折痕的距离为4,据此求解.

【详解】（1）解：QT表示的点与I表示的点重合，

二折痕在原点处，

・•・表示3的点与表示-3的点重合，

故答案为：-3：

（2）解:①；表示1的点与表示-5的点重合，

・•・折痕在手=-2处，

二表示。的点与表示-4的点重合，

故答案为：-4；

②若数轴上A、8两点之间的距离为8（A在3的左侧），

则点A表示的数是-2-4=-6,

点8表示的数是-2+4=2.

所以A、8两点表示的数分别是-6.2.

【变式4-2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面.

~5~4~3~2-10I2345

⑴若表示-2的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示的点重合；

（2）若表示I的点与表示-3的点重合，回答下列问题：

①表示3的点与表示的点重合；

②若数轴上A、8两点之间的距离为12,（A在8的左侧），且A、8两点经折叠后重合，求A、8两点表

示的数多少？

【答案】⑴一1

⑵①-5；②A、5两点表示的数分别是-7,5

【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，

（1）根据对称的知识，若表示-2的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到I的对称点；

（2）由表示1的点与表示-3的点重合，可确定对称中心是表示-1的点，则：

①表示3的点与对称中心距离为4,与左侧与对称中心距离为-5的点重合；

②由题意可得A、8两点距离对称中心的距离为6,据此求解即可.

【详解】（1）解：团表示-2的点与表示2的点重合，

团对称中心是原点，

团表示1的点与表示-1的点重合，

故答案为：-1;

（2）解：团表示1的点与表示-3的点重合，

团对称中心是表示-1的点，

①表示3的点与表示-5表示的点重合，

故答案为：-5；

②若数轴上A、8两点之间的距离为12（A在8的左侧），且A、8两点经折叠后重合，

团且A、8两点到-1的距离相等都为j=6,

则点A表示的数是-1-6=-7,点B表示的数是-1+6=5.

团A、4两点表示的数分别是-7,5.

【变式4-3】数釉是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间

的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究：

IIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1012345

⑴折叠纸条，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-5的点与表示的点重合.

⑵在数轴上48两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示-4的点

重合.此时人，B两点也重合，则点八表示的数是.

⑶定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点尸，Q重合，折痕与数轴的交点为点M,则称点M为点

尸和点。的“叠点〃.

点C,。，。在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点0是原点，点。在点0的右侧且到点0的距离

是7.折叠纸条使点C和点。重合，点E是点C和点。的“叠点〃.若存在点F在点C与点。之间，且其在

数轴上对应的数为〃?，制=2.求点尸到“叠点空的距离.

【答案】⑴5

(2)-1011

(3)1

【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点

公式解决折叠问题是解题的关键.

(1)利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；

(2)①利用中点坐标公式求出妖痕点，设A点表示的数是x,则B点表示的数是x+2024,根据中点坐标

公式求出-即可求解；

(3)根据题意分别求得。,2瓦尸表示的数，进而即可求解.

【详解】(1)解：团1表示的点和-1表示的点重合，

团折置点对应的数是0,

团-5表示的点与5表示的点重合，

故答案为：5；

(2)解：(36表示的点和Y表示的点重合，

自折叠的点表示的数是一二1,

设A点表示的数是x,则B点表示的数是x+2024,

,x+x+2024

01=---------，

2

解得x=-10H,

回点A表示的数一1011,

故答案为：-1011；

(3)解.：0点C是数轴上最大的负整数点，

回点。表示的数是T,

(3点。是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7,

因点。表示的数是7,

(3折叠纸条使点C和点。重合，点E是点。和点。的“叠点

回点E表示的数是二^^=3；

团存在点尸在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为〃?，|〃?|=2.

团m=2,即点尸表示的数是2,

回点尸到“叠点"E的距离为3—2=1.

等类型五、数轴上的动点问题

1.基本概念与表示方法：数釉上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示

其位置。设动点初始位置表示的数为小运动速度为打运动时间为/,若向右运动，动点位置表示的数

为〃+i〃；向左运动则为vt,这是解决动点问题的基础。

2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需

根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定

位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。

3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建

立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符

合实际运动场景，从而准确解决问题。；

例5.如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A,再向右爬了2个单位

长度到达点从然后乂向左爬了10个单位长度到达点C.

⑴将A,8,C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来；

-7-6-5-4-3-2-10123456

(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？

⑶如果移动点A,8,C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和.

【答案】(I)见解析

(2)向左爬了4个单位长度

(3)见解析

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数形结合是解答本题的关键.

(1)在数轴上表示出点，再写出点表示的数即可；

(2)根据C点与原点的位置关系求解即可；

(3)根据A,B,C在数轴上的位置，分3种情况求解即可..

【详解】（1）解：如图，

CAB

-7-6-5-4-3-2-10I23456

（2）根据点。在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度；

（3）解：共有3种移动方法：

①移动4、3两点到C,

A向左移动8个单位到C,8向左移动10个单位到C,10+8=18；

②移动A、C两点到8,

4向右移动2个单位到从。向右移动10个单位到8,2+10=12：

③移动8、C两点到A,

8向左移动2个单位到4,C向右移动8个单位到4,2+8=10.

【变式51］已如，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点H在数轴上以不变的速度向左运动,

运动规律如下表：

运动时间（$）0149.....

点A表示的数-12——......

点8表示的数—-2—-18......

（I）补全表格中的数据；

⑵当运动时间为2s时，求AB之间的距离.

【答案】⑴11;26；0；-8

⑵9

【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键.

（1）根据路程，速度和时间的关系求解即可；

（2）根据两点之间的距离公式求解即可.

【详解】（1）由表格可知，点A初始时在数字-1处，

点A的移动速度为2-（-1）=3.

・•.4秒时的数字为-1+3x4=11,

9秒时的数字为-1+3x9=26,

点B的移动速度为［-2-(-18)卜(9-1)=2,

,・•点8向左移动，1秒时数字为-2,

・••0秒时数字为-2+2=0,

4秒时的数字为0-2X4=-8,

(2)T点A的移动速度为3,点B的移动速度为2,

当运动时间为2s时，点八表示的数为一"2x3=5,点4表示的数为0-2x2=-4,

所以A8之间的距离为5-(-4)=9.

【变式5-2】已知点M、N在数轴上，点M对应的数是・3,点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度.

-5T—3-2T0I23456

⑴直接写出点N所对应的有理数：

⑵点，足数轴上一动点，请直接写出点〃到点M和点N的距离和的最小值；

⑶若点P到点用、N的距离之和是6个单位长度：

①求点P所对应的有理数是多少？

②如果点。从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点。以每秒3个单位长度的

速度沿数轴正方向运动，，秒后P、。两点相距4个单位长度，求九

【答案】⑴1

(2卜

(3)①2或~4；②g或|•或今

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及用数轴表示有理数：

(1)根据两点间的距离得点N表示的有理数；

(2)点。在-3和I之间时得点P到点M和点N的距离和的最小值；

(3)①利用分类讨论思想：当点。在点M的左侧时和当点P在点N的右侧时，利用两点间的距离公式即

可；②分三种情况：当点P表示的有理数是-4时：点Q未追上点。时和当点。超过点。时及当点。表示

的有理数是2时，利用数量间的关系即可求解；

掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键.

【详解】(1)解：由题意得：

4+(-3)=1,

则点N所对应的有理数为I.

(2)点P到点M和点N的距离和，

即：点P到-3和到1的距离和，

则点尸到点”和点N的距离和的最小值，即点P在-3和1之间时,

即：点2到点M和点N的距离和的最小值为：1-(-3)=4.

(3)①设点夕所表示的有理数为

由题意得：点。只能在点M的左侧或点N的右侧，

当点户在点M的左侧时：

-3-«+l-a=6，

解得：a=-4,

当点P在点N的右侧时：

a-(-3)+a-1=6,

解得：。一2,

综上所述，点夕所对应的有理数是2或T；

②由①得：点。所对应的有理数是2或T,

当点。表示的有理数是T时，

分两种情况：

点。未追上点P时：

3r-r=i-(-4)-4,

解得：eg;

当点Q超过点P时：

3/T-融(-4)=4,

9

解得：，=5；

当点尸表示的有理数是2时，

3t-1=4-(2-1),

解得：/=|,

综上所述，1二不1或3;或9

/乙4

【变式5-3】【阅读材料】若数轴上点A、点。表示的数分别为。，b(b>a),贝4A、Z?两点间的距离可表

示为b-a,记作A8=〃一a.

【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A,再向右移动10个单位长度

到达点3.

⑴请画出数轴，并在数轴上标出A、8两点的位置；

（2）若动点尸，。分别从点A,B同时出发，沿数轴向左运动.已知点尸的速度是每秒1个单位长度，点。的

速度是每秒2个单位长度，设移动时间为，秒（/>0）.

①用含/的代数式表示：/秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为;

②，为何值时，点。表示的数与点Q表示的数互为相反数？

③f为何值时，P,Q两点之间的距离为4?

【答案】（I）见解析

⑵①（一2一，），（8-2/）；②/=2；③/=6或1=14.

【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键.

（1）根据题意画出数轴，即可解答；

（2）①用含/的代数式表示即可；

②根据相反数的意义列式计算即可求解；

③根据题意列出绝对值方程即可求解.

【详解】（1）解：如图：

AB

1.1■III111|.|».

-3-2-10123456789,

（2）解：①E秒时，点尸表示的数为（-2一），点。表示的数为（8-2,）；

故答案为：（-2-f）,（8-2/）;

②由题意得：（-2-/）+（8-2/）=0,

解得：/=2；

③由题意得：|（一27）-（8-24=4,即"10|=4,

酎-10=4或-10=4

解得：1=14或f=6.

覆类型六、数轴上的规律探究问题

1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差

数列(如2,4,6,8-相邻数差为2)；等比数列则后•项与前•项比值恒定；周期性规律表现为数字

每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。

2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐

标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点

数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。

3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的

变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用

代数式表示一般性规律,解决拓展延伸问题二

例6.在数轴上，点。表示原点，现将点A从0点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长

度到达点A,第二次将点A向右移动2个单位长度到达点4,第三次将点&向左移动3个单位长度到达点儿,

第四次将点A.，向右移动4个单位长度到达点儿,按照这种移动规律移动下去，第〃次移动到点A,,当〃=1(X)2

时，这时点4与原点的距离是个单位.

【答案】501

【分析】本题是一道与数轴有关的规律型试题.观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，

然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答.

【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动；

第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移-1+2=1个单位；

第.次向左平移•:个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移-3+4=1个单位；

即每2次向右平移1个单位；

则第1002次A点距原点距离为：1002+2=501.

即当〃=1002时，点AOO2与原点的距离是501个单位.

故答案为：501.

【变式67］数轴上有A对应的数是-1,一只蚂蚁从点人出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二

次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬

完100次时，停在了点8处.如图，现以点。为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A落在点4的右

边，且43=8,则点C表示的数是.

A

CBCBA,

【答案】53

【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键.

根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的

位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单

位，即可确定点8的对应的数为99,根据数轴得出8C长，即可得出结果.

【详解】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第

四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，

团蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单，立，

团点8的对应的数为：-1+100=99,

回80=(100-8)+2=46

团点。表示的数是99-46=53,

故答案为：53.

【变式6-2］在数轴上，表示+2的点A开始移动，第I次先从点A向左移动1个单位至点A，第2次从A向

右移动2个单位至点&；第3次从点4向左移动3个单位至点人,第4次从点A向右移动4个单位至点4；

按此规律移动，则点4阳在数轴上表示的数是.

【答案】-1001

【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第〃次移动〃个单位.每左移右移各•次后，点A右移1个

单位，故第2002次右移后，点A向右移动1x(2002+2)个单位，第2003次左移2003个单位，即可求解.

【详解】解：第〃次移动八个单位，第2003次左移2003x1个单位，

每左移右移各一次后，点A右移1个单位，

所以从次好表示的数是2+1x(2002+2)-2003=T000.

故答案为：-1000.

【点睛】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动后的实际距

离和方向是解答此题的关键.

【变式6-3】一电子跳蚤落在数轴上的某点炀处，第一次从屈向左跳1个单位到内,第二次从内向右跳2

个单位到42,第三次由火2处向左跳3个单位到依，第四次由心向右跳4个单位匕…，按以上规律：

(1)若公处为原点，那第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是多少？第2019次呢？

(2)若跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0,则Ao表示的数是多少？

【答案】(1)第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是5,第2019次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数

是7010；(2)-50

【分析】(1)根据题意，可以写出前几次跳蚤落在数轴上的点表示的数，然后即可得到第10次和第2019

次对应的数；

(2)根据题意，可以鞋出前几次挑蚤落在数轴上的点表示的数，然后再根据跳了100次后，电子跳蚤落在

数轴上的点表示的数是0,即可得到公表示的数.

【详解】解：(1)由题意可得，

第一次跳蚤落在数轴上的点表示的数是-1,

第二次跳蚤落在数轴上的点表示的数是1,

第三次跳蚤落在数轴上的点表示的数是・2,

第四次跳蚤落在数轴上的点表示的数是2,

・・・9

(3第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是5,第2019次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是-(2019+1)

4-2=-1010,

即第10次时，跳圣落在数轴上的点表示的数是5,第2019次时，跳圣落在数轴上的点表示的数是-101()；

(2)由题意可得，

第一次跳蚤落在数轴上的点表示的数是依-1,

第二次跳蚤落在数轴上的点表示的数是公+1,

第三次跳蚤落在数轴上的点表示的数是公・2,

第四次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k)+2,

・・・9

则第100次跳蚤落在数轴上的点表示的数是%+50,

团跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0,

欧()+50=0,

解得ko=-50,

即如表示的数是-50.

【点睛】本题考查数字的变化类规律、数轴，解答本题的关键是明确题意，找出规律，求出相应的数字.

压轴专练

一、单选题

1.在数轴上，点P表示的数是-5,到点。距离4个单位的点表示的数是（）

A.-9B.-9或一1C.9D.-1

【答案】B

【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况・5+4或-5-4,即可求解，掌握相关知

识是解题的关键.

【详解】解：团点尸表示的数是-5,

团到点户距离4个单位的点表示的数是：-5+4=-1或-5-4=-9,

回到点P距离4个单位的点表示的数是-1或-9,

故选：B.

2.在数轴上，表示有理数小〃的点的位置如图所示，把从）个数按照从小到大的顺序排列，正确的是

（）

--1--1---------1-->

a0h

A.-a<0<-bB.0<-a<-bC.-b<0<-aD.0<-a<-b

【答案】C

【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出。，人的正

负性和绝对值大小关系.

先根据数轴判断小〃的正负性与绝对值大小.再根据相反数的怛质得到的正负性，最后比较-4,-儿0

的大小.

【详解】从数轴可知，4<0,〃>0,且

根据相反数的性质，〃的相反数F>0,力的相反数-。<0，

所以一Z?V0<-4,

故选：C.

3.有理数出人在一条隐藏原点的数轴上的对应点4,B的位置如图所示，且K。>0,下列推断正确的是

AB

~a广

A.原点一定在点A左侧B.原点一定在点A右侧

C.原点一定在A4中点左侧D.原点一定在中点右侧

【答案】C

【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用得等>0,则原点一定

在A8中点左侧，即可作答.

【详解】解：^a+b>0,且从数轴得av〃，

回原点一定在A8中点左侧，

故选:C.

4.如图，正方形的边长为1,在正方形的4个顶点处标上字母A,B,C,D,先让正方形上的顶点A与

数轴上的数-2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形

上的哪个字母重合（）

一©B....................................................

II1।।।।1III»

一5一4—3—2—10123456

A.字母AB.字母BC.字母CD.字母。

【答案】C

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚力一周的长度为4,从-2到2024共滚动2026

个单位长度，由2026+4=506......2,即可作出判断.

【洋解】解：团正方形的边长为1,

团正方形的周长为4,

团正方形滚动一周的长度为4,

回正方形的起点在-2处，

02024-(-2)=2026.

[?]2026+4=506......2,

同数轴上的数2020将与正方形上的点C重合,

故选：c.

5.在数轴上有A,B,C三点，其中点A表示的数是2,点B表示的数是T,如果其中一点为另外两点形

成的线段的中点，则点。表示的数是()

A.-10或-1B._1或8或2

C.TO或8或1D.一】0或-1或8

【答案】D

【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离

计算，根据数