有理数（复习讲义）-七年级数学上学期（湘教版）

专题01有理数（期中复习讲义）

明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

能用正负数表示相反意义的量（如温度、基础必考点，常以生活应用题形式出现（如

正负数的意义

收支），会解释实际情境中的正负号含义海拔、温差），易错点：忽略”0”的基准意义

能独立完成有理数分类树状图（整数/分数高频易错点，选择题常设兀为干扰项，易忽

有理数的分类

一正/负/零），辨析非有理数（如冗）视”0既非正也非负”的特性

能规范绘制数轴并标出给定数对应的点，常考画图题，易错点：漏标箭头或原点，混

数轴三要素

理解单位长度变化对数值比较的影响淆“数“与“点”的对应关系（如3.5的位置）

考查”0的相反数是其本身”等特殊情形（易

错点）；求含字母的绝对值（如Ia2|的最小值

能快速求任意数的相反数，用绝对值的几

相反数与绝对值问题）；混淆相反数与倒数（如3的相反数

何意义比较负数大小

是3,倒数是1/3）；忽略绝对值的非负性（如

冏+1的最小值是1,非0）

掌握三法：数轴法（左小右大）、绝对值高频出现在选择题,易错点:比较"3/4与2/3"

有理数大小比较

法（负数的绝对值越大越小）、作差法时误判分母大小关系

加减运算符号法能正确处理双重符号（如（5）=5）,运用交计算题必考，易错点：去括号时符号漏变（如

则换律/结合律简化同号、相反数相加的运算3（+5）=3+5）、跳步导致符号丢失

乘除运算符号法熟练运用”同号得正，异号得负“，会将连常与加减法混合考查，易错点：奇数个负号

则除转化为乘法（如a-rb^c=ax（l/b）x（l/c））时的结果符号判断错误

能快速转换大数（如-3.84x1（）5）,保持实际应用题高频考点，易错点：10的指数符

科学记数法

有效数字精确度号错误

严格遵循“先乘除后加减，括号优先“，能玉轴题核心考点，易错点：看到同级运算从

混合运算顺序

使用分配律简化计算左往右算（实际可灵活调整顺序优化计算）

■记•必备知识.

国知识点01有理数的概念

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。……

•示例：整数5可表示为彳5，分数§4、2直接符合形式，因此都是有理数：无限不循环小数（如晨虚）

不能表示为两个整数之比，不属于有理数。

•易错点：容易忽视兀

愿知识点02数轴、相反数、绝对值

1.数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.

2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.

3.画数轴步骤：画直线取原点规定正方向单位长度.

4.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）

5.一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a],读作“a的绝对值”.

示例：（1）标出3.5的位置：在原点左侧，介于3和4之间。

（2）|a2|的最小值为0（当a=2时）。

（3）。的相反数和绝对值均为0。

•易错点：漏画箭头或单位长度标记。混淆"数"与"点"的对应关系（如将3.5标在3的位置）；混淆相反

数与倒数（如3的倒数是1/3,相反数是3）。忽略绝对值的非负性（如认为|a可能是负数）。

国知识点03有理数比较大小

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

示例:比较3/4与2/3：绝对值3/4>2/3=3/4<2/3。

易错点：误判负数大小（如认为分母越大数值越大）

国知识点4有理数加法法则

有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）

1）同号两数相加.取相同的符号,并把绝对值相加：

2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：

3）互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数）

4）一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a

示例：3（+5尸35=2（易错：漏变符号得8）。

易错点：去括号时符号漏变（如将（5）写成5）

园知识点5加法运算定律

1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a：

2)加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。

运用有理数加法的运算律进行计算时，通常：

1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。

2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。

3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。

示例：同号结合：(-7)+(-3)+10=-10+10=0；凑整简化：.6+(-3.2)+(-2.8尸5.6+[(-3.2)+(-2.8)]=5.6+(-6尸一0.4

相反数抵消：(-4)+3+4=[(-4)+4]+3=0+3=3

易错点：未优先计算相反数导致复杂化(如(与)+5+3不先算(与+5))。小数或分数运算时符号错误(如-

2.5+1.8误算为~0.7写成().7)。

国知识点6有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-)b

不例：5-3=5+(—3)=2：—4一(一2尸一4+2-2(减去负数相当于加止数)；0-6=0+(-6)=-6

易错点：符号错误：如-3-5误算为-3+5=2-(正确应为-3-5=-8-)。

去括号错误：如7-(-2)误算为7-2=5(正确应为7+2=9).

混淆减数和被减数：如2-5误算为5-2=3(正确应为-3)。

国知识点7有理数乘法法则

1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2任何数问0相乘，都得0。

3多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定

符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。

4多个数相乘，若其中有因数0,则积等于0；反之，若积为0,则至少有一个因数是0。

示例：3x4=12(同正得正)；(-2)x(-5)=10(同负得正)；6x(-3)=-18(异号得负)

(-7)x0=0(任何数与0相乘为0)

易错点：符号判断错误：如(-4)x5误算为20(正确应为-20)；忽略“负负得正”：如(-l)x(-l)误

算为-1(正确为1)；混淆乘法和加法符号规则：如-2x-3=6误认为-2+(-3)=-5。

国知识点8乘法运算定律

1.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即aXb=ba

2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即aX(b+c)

-6.03x102=-603-6.03x］（）2=-603（还原：小数点右移2位）

易借点：混淆科学记数法的概念

国知识点H科学记数法

L先乘方，再乘除，最后加减。

2.同级运算，从左到右的顺序进行。

3.如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中拈号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，耍分两步

走：先确定符号，再求值。

示例：计算3¥2x（l）2：先算乘方再乘法，最后加法（结果：9+2=7）o

易错点：混淆运算顺序

.破•重难题型.

国题型一有理数的混合运算

解|题|技|巧

1.定顺序：严格遵循运算顺序：

先乘方一再乘除一最后加减

括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号》

2.看符号：

先确定每一步结果的符号，再算绝对值。

乘除法符号规则：同号得正，异号得负。

3.巧简化：

优先计算相反数（如a+a=0）。

凑整（如3.5+4.5=1）o

分配律逆用（如3x5+3x2=3x（5+2）=9）。

易|错|点|拨

坑点1：-r与（一1尸的区别（前者仅1的暴，后者整体‘曷）。

坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。

坑点3：分数减法通分错误（如［一］通分为三一9）。

461212

(典例1](2425七年级上•湖南怀化・期中)计算：

(1)(-4)X(-3)-6-

⑵一34+彳、卜子+(—1产24

【答案】(1)30

(2)-15

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)先计算乘法和除法，再计算加减法即可.

(2)先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可.

【详解】(1)解：原式=12-6x(-3)

=12-(-18)

=12+18

=30.

(2)解：原式=-81x-x-+1

99

=-16+1

=—(16—1)

=—15.

【变式1】(2425七年级上•湖南郴州•期中)计算：

⑴(一打鸿)'(-36)

(2)-14+(1—0.5)x[3+(-3)2]:(-2)

【答案】(1)25

(2)-4

【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键.

(1)根据乘法分配律求解即可；

(2)按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可.

【详解】⑴解：(一：+*-：卜(一36)

753

=--x(-36)+-x(-36)--x(-36)

=28—30+27

=25；

(2)解：-14+(I—O5)X[3+(-3)2]+(—2)

=-l+1x(3+9)-r(-2)

=-l+1xl2-(-2)

=-1+6^(-2)

=-1+(-3)

=-4.

【变式2】(2425七年级上•湖南郴州•期中)计算：

⑴信W)x(T2);

(2)-14+|-2|^7X[2-(-3)2].

【答案]⑴12

⑵-3

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键:

(1)利用乘法分配律进行计算即可；

(2)根据有理数的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可.

【详解】(1)解：原式=^x(-12)-：x(-12)-：x(-12)=-5+8+9=12；

JL4T

(2)原式=-l+2xix(2-9)=-1+2xx(-7)=-1-2=-3.

包题型二有理数运算的实际应用

解|题|技|巧

1.建模：将实际问题转化为数学表达式。

收入/上升/增加一正数

支出/下降/减少一负数

2.抓关键：

明确基准量(如海平面为0,温度等)。

单位统一(如吨一吨，米一米)。

3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。

易|错|点|拨

坑点I：漏算某一天的数据（如少加一个一6）。

坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。

坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。

【典例1）（2425七年级匕湖南怀化•期中）科学研完发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6团.已

知甲地现在的地面气温为210,则甲地上空10千米处的气温为0.

【答案】-39

【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算.用甲地现在的地面温度加上高度上升降低的温度即可得出

答案.

【详解】解：21+（-6）X10=21-60=-39。&

故答案为：-39.

【典例2]（2425七年级上•湖南郴州•期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取

外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为+4,-2,-3,+7,+1,-4（单位：km）

⑴当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？

⑵若该电动车充满电可行驶25km,取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？

【答案】⑴离出发点3千米，在出发点正东方向

（2）4千米

【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键.

（1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点

的距离：

（2）用25减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程.

【详解】（1）解：（+4）+（-2）+（-3）+（+7）+（+1）+（-4）

=4-2-3+74-1-4

=3（千米）；

答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向；

（2）解：25—（|+4|+|-2|+|-3|+|+7|+|4-1|+|-4|）

=25-（4+24-3+7+1+4）

=25-21

=4（千米）.

答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米.

【变式1】（2425七年级上•湖南益阳•期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车

每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“+〃,不足50千米的记为“一〃,刚好

50千米记为“0”.

第一第二第三第四第五第六第七

天天天天天天天

路程（千米）—8-11-140-16+41+8

⑴求出这七天中平均每天行驶多少千米？

⑵若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？

【答案】（1）这七天平均行驶50千米

⑵李老师家这周的油费是147元

【分析】本题考查了正负数的意义和应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键.

（1）根据题意列式计算即可；

（2）根据题意列式计算即可.

【详解】⑴解:50+［（-8）+（-11）+（-14）4-0+（-16）4-（+41）+（+8）］-i-7

=50+0

=50（千米）

答：这七天平均行驶50千米.

（2）解：50x7^100x6x7=147（元）

答：李老师家这周的油费是147元.

【变式2】（2425七年级上•湖南湘潭•期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均

每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，

减产为负）：

星

—•二三四王日

期

增

+4-2-4+13-11+15-9

减

⑴根据记录可知第二天生产多少辆？

⑵产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？

⑶若每生产一辆车的工资为60元，求该厂工人这一周的工资总额是多少元？

【答案】⑴198辆

(2)26辆

(3)84360元

【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、正负数的应用，正确列出运算式子，熟练掌握运算法则

是解题关键.

(1)将表格中第二天数字与200相加即可得答案；

(2)利用表格中的最大数减去最小数即可得答案；

(3)将表格中的数字相加，再加上1400,然后乘以60即可得答案.

【详解】(1)解：200+(-2)=198辆，

答：第二天生产198辆；

(2)解：+15-(-11)=15+11=26辆，

答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆，

(3)解：解：[+4+(-2)+(-4)+(+13)+(-11)+(+15)+(-9)+1400]X60

=(4-2-4+13-11+15-9+1400)x60

=1406x60

=84360元,

答：该厂工人这一周的工资总额是84360元.

国题型三数轴与绝对值综合题

解|题|技|巧

1.面数轴：标出关键点(如原点、正负数)。

2.绝对值几何意义：

Ia-b|表示数轴上a与b的距离。

la表示a到原点的距离。

3.分类讨论：

遇到Ix|=a,需考虑x=a或x=-a。

易I错I点I拨

坑点1：忽略绝对值非负性（认为Ix|=-1有解）。

坑点2：未分类讨论（如Ix|=3漏掉x=-3）。

【典例11（2425七年级上•湖南邵阳•期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则卜.列结论错俣的是（）

A.|tz|<1<\b\B.1<-a<bC.1<|a|<bD.-b<a<-1

【答案】A

【分析】本题主要考查数轴，绝对值的意义，掌握数轴上的点从左到右，从小到大的性质是解题的关键.根

据数轴判断a,4-1,1,0直接的大小关系，再结合绝对值的意义逐个分析即可.

【详解】解：由数轴可知，av-lvovivb,

vl<\a\<\b\,故A错误，符合题意；

1<-a<b,故B正确，不符合题意；

A1<|a|<b,故C正确，不符合题意；

-b<a<-l,故D正确，不符合题意；

故选：A.

【典例2】（2425七年级上•湖南邵阳•期中）已知A,B,P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离

是点P到点8的距离的左倍,则称P是[4,3]的"倍点”,记作P[A,B]=k.例如:若点P表示的数为0,点

A表示的数为一2,点4表示的数为1,则。是[48]的“2倍点〃，记作P[48]=2.

如图，A,B,P为数轴上三点，回答下面问题：

⑴P[8,川=;

⑵若点C在数轴上，且C[4B]=1,则点C表示的数为；

⑶若。是数轴上一点，且D[48]=2,求点。所表示的数.

【答案】⑴4

（2）2

（3）3或11.

【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键.

（1）根据新定义，求得PA、PB即可求解；

（2）根据新定义得到点C为力8的中点，进而求解即可；

（才）根据新定义分两种情况：点。在线段49I•和点。在线段的延长线卜.分别求解即可.

【详解】（1）解：由数轴知，PZ=-l-（-3）=2,PB=5-（-3）=8,

（3PB=4P4则P[8,川=4,

故答案为：4；

（2）解：团点。在数轴上且C[4,B]=1,

^CA=CB,则点C为4B的中点,

团点C表示的数为手=2,

故答案为:2；

（3）解：因为。是数轴上一点，且。口,即=2,所以。力二208.

因为点A表示的数为一1,点B表示的数为5,所以力8=5-（-1）=6.

当点。在点A,B之间时，点。表示的数为—1+;x6=3；

当点。在点B的右边时，点。表示的数为-1+2x6=11.

所以点。表示的数为3或11.

【变式1】（2425七年级上•湖南湘西•期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下

列问题：

-5-4-3-2-10~1~2345

⑴探究：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是；

②数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是；

③数轴上表示4和-3的两点之间的距离是;

（2）归纳：一般的，数轴上表示数。和数8的两点之间的距离是；

⑶应用：

①优秀的陈英杰老师发现代数式|x+l|+|x-2|的几何意义是：表示有理数％的点到表示数2的点和表示

数的点距离之和；利用几何意义，可求得|人十1|十|义一2|的最小值为:

②求优-l|+|x-2|+|x-3|+-+|x-2025|的最小值.

【答案】（1）故答案为：①3,②3,@7；

⑵1。一川

⑶①-1，3：②

【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关

键.

（1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案；

（2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案；

（3）根据题意可知，当％为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案.

【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|二3：

②数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3；

③数轴上表示4和-3的两点之间的距离是|4-（-3）|=7,

故答案为：①3,②3,③7；

（2）：一般的，数轴上表示数。和数》的两点之间的距离是

故答案为：|a-b|；

（3）①优秀的陈英杰老师发现代数式+l|+|x-2|的几何意义是：表示有理数％的点到表示数2的点和

表示数-1的点距离之和；

利用几何意义，当数x在一1左侧时，区+1|+|无一2|>3,

当数X在2右侧时，氏+1|+|工一2|>3,

当数%在-1和2之间时，|x+l|+|x-2|=3,

二归+1|+忧-2|的最小值为3

故答案为：一1，3；

②|x-1|+|无-2|+|x-3|+•••+口-2025|表示数％到1,2,3...2025的距离的和，由①受到启发，当工

为1至2025中间的那个数，

即X二l±箸=1013时，原式取得最小值，且最小值为：

1012+1011+1010+…+1+0+1+•♦•+1011+1012=2x（1+2+3+…+1012）=1025156.

【变式2】（2425七年级上•湖南岳阳•期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料L在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数釉上对应的两点之间

的距离;|5+3|=|5-（-3）|,所以|5+3|表示5、一3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|,所

以⑶表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B

之间的距离可表示为|。-用.

问题（1）：点A、8、C在数轴上分别表示有理数X、-2、1,那么A到8的距离与A到。的距离之和可表

示为_（用含绝对值的式子表示）.

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足忱-3|+|x+l|=6的x的所有值是②设-3|+|x+l|=p,

当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时，，〃的值是不变的，而且是〃的最小值，这个最小值是」当不

的值取在—的范围时,|x|+|x-2|最小值是

材料2：求-3|+|x-2|+|x+1|的最小值.

分析:|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+\x-2\

根据问题（2）中的探究②可知，要使忱-3|+氏+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括一1、3）

的任意一个数，要使|%-2|的值最小，x应取2,显然当％=2时能同时满足要求，把无=2代入原式计算即

可.

问题（3）：利用材料2的方法求出反一3|+以一2|+|%|+|%+1|的最小值.

【答案】（1）反+2|+|%—1|；（2）（5—2、4：②4；不小于0且不大于2,2；（3）6

【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值

的几何意义是解题的关键.

（1）根据题意表示出式子即可；

（2）①根据题意得到|3-=4,再由数轴观察求解，即可解题：

②根据当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时，结合绝对道性质化简求解，即可得到〃的最小值，同

理即可得到x的值取值范围,以及田+优-2|最小值;

（3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题.

【详解】解：（1）根据题意可知A到8的距离与A到C的距离之和可表示为|%+2|+|X-1|,

故答案为:|x+2|+|x-1|；

（2）①•・•[3-（-1）|=4,

—।------1--------i-------1-------1-------1-------i——>

-3-2-10123

由数轴观察可知，满足忱-3|+k+1|=6的1的所有值是一2、4：

故答案为：-2、4.

②当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时，

|x-3|+|x4-1|=p即-X+3+x+1=p,

整理得p=4,

所以这个最小值是4；

同理，当04x42时

|x|+|x—2|=x-x+2=2,

即㈤+忱一2|最小值是2；

故答案为：4；不小于。且不大于2；2；

(3)|x-3|+|x-2|+|x|+|x4-1|=(\x-3|+|x+1|)+(|x|+\x-2|)

根据问题(2)中的探究②可知，要使|%-3|+|%+1|的值最小，工的值只要取一1到3之间(包括-1、3)

的任意•个数，且最小值是4；要使忱|+忱-2|的值最小，x的值只要取。到2之间(包括0、2)的任意一

个数，且最小值是2；显然x的值只要取0到2之间(包括0、2)的任意一个数能同时满足要求，且优-3|+

\x-2\+\x\+|x+1]的最小值为6.

3题型四新定义问题

解|题|技|巧

解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算

O观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。

(典例11(2425七年级上•湖南郴州•期中)已知，y为有理数，现规定一种新运算“团”，满足》回y=3x-y2,

如：1回3=3x1-32=-6,则-3团2=.

【答案】-13

【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可.

2

【详解】解：xBy=3x-yf

0-302=3x(-3)-22=-9-4=-13,

故答案为：-13.

【变式1】(2425七年级上•湖南怀化•期中)现定义新运算唯1”,对任意有理数a,b,规定0助=$一帅，

则-1而2024=.

【答案】2025

【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到-1团2024=(-1)2。24-(-1)x

2024,据此计算求解即可.

【详解】解：=ab-ab,

3-102024=(-1)2024-(-1)x2024=1+2024=2025,

故答案为：2025.

【变式2】(2425七年级下•湖南湘潭・期中)”团〃定义新运算：对于有理数Q、力都有：Q助=时—(a+b),

当m为有理数时，30(m02)=.

【答案】2m-7

【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则.将新定义的运算

按定义的规律转化为有理数的混合运算.

【详解】解：30(m02)

=30[2m—(m+2)]

=30(m-2)

二3(zn—2)—(3+771—2)

=3m-6-3-7n+2

=2m—7,

故答案为：2m—7.

.过•分层验收.

期中基础通关练（测试时间：10分钟）

1.（2025•陕西西安•一模）在日常生活中,若收入500元记作+500元,则支出280元应记作（）

A.+280元B.+220元C.—280元D.—220元

【答案】C

【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正''和"负''的相对性，明确什么是一对具有相反意

义的量.

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解："正"和"负"相对，所以，若收入500元记作+S00元，则支出280元应记作-280元.

故选:C.

2.（2024•青海・中考真题）-2024的相反数是（）

【答案】A

【分析】本题考查了相反数的定义.根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.

【洋解】解：-2024的相反数是2024.

故选:A.

3.（2425七年级上•湖南株洲•期申）若a=（-2）x（-3）,b=-32,c=（-2）3,那么a,b,c的大小关系

是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出或从c,再结合正数大于0,

。大于负数判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得：

a=(-2)x(-3)=6,b=-32=一9,c=(-2)3=-8,

回6>—8>—9»

^a>c>b,

故选:B.

4.(2425七年级上•湖南衡阳•期中)若忱+3|+(y-2)2=0,贝狂+y的值为()

A.1B.-1C.3D.-2

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由仅+3|+(y-2)2=0,得出|x+3|=0,(y-2)2=0,

求出％、y的值，再得出％+y的值即可.

【详解】解：|x+3|>0,(y-2)2>0,

又回力+3|+(y-2)2=0,

(3|x+3|=0,(y-2)2=0,

解得：x=-3,y=2,

耿+y=-3+2=-1,

故选：B.

5.(2425七年级上•湖南株洲•期中)2023年湖南省政府工作报告中指出，要强力推进湘商回归.持续开展

“迎老乡、回故乡、建家乡活动，大力推进产业回归、资本回流,项目回投、人才回聚、总部回建，力争湘

商回归新注册企业达1000家，项目投资4800亿元.4800亿用科学记数法表示为.

【答案】4.8X1011

【分析1本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定〃与。的值.科学记数法的表示

形式为“Xio”的形式，其中l/imvio,〃为整数，它等丁原数的整数数位与1的差.据此求解即可.

【详解】解：4800亿=480000000000=4.8X1011；

故答案为:4.8X1011.

6.(2425七年级上•湖南长沙•期中)把下列各数填在相应的横线上

-7，-3.15,|-6|,-7,0,30%,71

6

(1)整数：;

（2）奂分数：;

⑶非负整数：.

【答案】⑴|一6|,-7,0

（2）—7，—3.15

6

（3）|-6|,0

【分析】本题考查了有理数和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）根据整数的定义进行解答即可；

（2）根据负分数的定义进行解答即可；

（3）根据非负分数的定义进行解答即可.

【详解】（1）解:整数：|-6|,-7,0；

（2）负分数：一；，-3.15；

6

（3）非负整数：|-6|,0.

7.（2425七年级上•湖南长沙•期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用符号将它们连接起来.

一|-2|,―0・5,—（—3）>—|—4|,3.5

【答案】一|一引<一|一2|<-1：<0.5<—（-3）<3.5,见解析

【分析】先化简，再在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可.

【详解】解：0-|-2|=-2,-（-3）=3,-|-4|=-4,

回数轴表示如下：

故一|一4|<-|-2|<-11<0.5<-（-3）<3.5.

【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，绝对值，数轴上有理数的大小比较，正确理解大

小比较的原则是解题的关键.

8.（2425六年级上•上海•期中）计算：

⑴-4.8+（5.2-3）

（2）计算:同（-2>（一》

⑶计算：_22_（_§+（-0.5）2+—

【答案】⑴-5

(2)8

⑶-

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)先去括号，然后根据交换律和结合律计算即可；

(2)先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；

(3)先算乘方和去绝对值，然后算加减法即可.

【详解】(1)解：一4.8+—

27

=-4.8+1——5.2+3—

99

=(-4.8-5.2)+(11+3^

=-10+5

=-5；

⑵解:7X(~23)^(_4)

=7x(--)x(-4)

=8；

(3)解：-22—(-3+(-0.5)2+|1-

311

=-4+-+-+-

442

1

=-2-

期中重难突破练(测试时间：10分钟)

1.数轴上表示数m〃的点如图所示.把小-a,b,-匕按照从小到大的顺序排列，正确的是().

-----1-------1-------------1------->

a0b

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<b

C.—b<a<—a<bD.-b<b<-a<a

【答案】C

【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数.熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数

轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键.

观察数轴得出Q<0/>0,|Q|<|5|,在数轴上表示出一a、-b,即可由图得出结论.

【详解】解：由图得a<O,b>O,|a|v|b|,

在数轴上表示出-a、-b为:

-ba0-ab

由图可得：-b<a<—a<b,

故选：C.

2.如〃={1,2,无},我们叫集合M,其中1,2,工叫做集合M的元素，集合中的元索具有确定性（如x必然

存在），互异性（如工,1,工。2）,无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合N={x,l,2},我

们说M=N.已知集合力={2,0,%},集合B=E，|X|,（},若A=8,则x+y的值是（）

A.2B.—C.-2D.-1

【答案】B

【分析】本题主要考杏绝对俏，分类讨论是解题的关键.根据撅:段利用分类讨论的数学思根讲行解决即可.

【详解】解：,••1云（）,且IHH0,

故，

1X=0

则y=0,

当卜I=2时，

解得％=±2,

若彳=±2,则三=±：W±2=x,舍去；

当阳=%时,

则X为非负数，

1

v-=2

x

•••%=%满足要求.

二x+y=/o=：♦

故选B.

3.下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）.

城市纽约巴黎东京

与北京的时差/h-13-7+1

2025年元月6日19:00,我国中央广播电视总台综合频道CC7V-1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城

市的时间表示错误的是（）

A.纽约是2025年元月6日6:00B.巴黎是2025年元月6日11:00

C.东京是2025年元月6日20:00D.上海是2025年元月6日19:00

【答案】B

【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键；

根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解；

【详解】解：A、纽约与北京的时差为-13h,

19-13=6,

故纽约此时时间为：2025年元月6日6:00,

时间表示正确，不符合题意：

B、巴黎与北京的时差为-7h,

19-7=12,

故纽约此时时间为巴黎是2025年元月6012:00,

时间表示错误，符合题意；

C、东京与北京的时差为+lh,

19+1=20,

故东京此时时间为2025年元月6日20:00,

时间表示正确，不符合题意；

D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日19:00,

时间表示正确，不符合题意；

故选：B

4.（2425七年级上•湖南衡阳•期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和.例如：23,33和

43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5：33=7+9+11；43=

134-15+17+19；•••；若413也按照此规律来进行“分裂〃,则413“分裂”出的奇数中,最大的奇数是（）

A.1719B.1721C.1723D.1725

【答案】B

【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得/分裂中的第一个数是“几-1)+1,据此解答即可

求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键.

【详解】解：23分裂中的第一个数是3=2x1+1,

33分裂中的第一个数是7=3x2+1,

43分裂中的第一个数是13=4x3+1,

加3分裂中的第一个数是以n-1)+1,

(34#分裂中的第一个数是41x40+1=1641,

囹4F“分裂”出的奇数中,最大的奇数为1641+2x(41-1)=1721,

故选:B.

5*计算；南+旃+前+…+3023X2024

【答案】2023

2024

【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数的性质，根据:京=工-4的变化规律，把原式中各分数

n(n+l)nn+1

转化为两分数之差的形式，然后利用互为相反数的两个数之和为零化简即可求解，找出式子的变化规律是

解题的关键.

【详解】解：原式=(1-9+(2)十(冷)十…+岛-表)

liiii11

=1-4°————-T-—―

2233420232024

1

=1---------

2024

2023

—'9

2024

故答案为：翳

6.(2425七年级上•湖南衡阳•期中)如果|无+4|+庆一3|十归一。|的最小值是10,那么Q=

【答案】一7或6

【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键.根据绝对值

的几何意义，分类讨论求值即可.

【详解】解・：|%+4|+优一3|+归-可的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数一4,3,。的点的距离

之和,

①当Q<一4时，

当x=一4时，|%+引+—3|+|万一a|有最小值，即：7+|a+4|=10,解得：a=-7或a=-1（舍去）；

②当-4WaW3时，

当N=Q时,忱+4|+1%—3|+|无一a|有最小值,即：|x+4|+|x-3|+|x-a|=7,不符合题意；

③当Q>3时，

当x=3时，|工+4|+优一3|+忱一a|有最小值，即：7+|a-3|=10,解得：Q=6或a=0（舍去）；

综上，当a=-7或a=6时,|x+4|+-3|+|x-a|的最小值是10.

故答案为：-7或6.

7.（2425七年级上•北京门头沟•期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者

服务活动，从西单站出发，到从4站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当

天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：

+5,-4,+4,—6,+9♦—2«—7♦+1.

«=0=C»5=0==0=0=0=0=0==0=0=CP

南复

大

西

天天

东建

永国

三

单

兴

单

贸

安

礼

望

国

安安

府

门

里

井

路

门

士

门门

西东

路

⑴请通过计算说明4站是哪一站？

（2）请直接写出济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？

【答案】（1）西单站

⑵大望路站

【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可求解；

（2）分别计算前1个、前2个、前3个、…、前8个数的和，根据结果即可求解；

本题考查了正数与负数的意义，有理数加法的应用，理解正负数的意义是解题的关键.

【详解】（1）解：+5-4+4-64-9-2-7+1=0,

答：4站是西单站；

（2）解：+5,

+5-4=+1,

+5-4+4=+5,

4-5-44-4-6=-1,

+5—4+4—6+9=+8,

+5—4+4—6+9—2=+6,

+5-4+4-64-9-2-7=-1,

+5—4+4—6+9—2—7+1=0,

回济嘉同学本次志愿活动向东最远到大望路站.

期中综合拓展练(测试时间：15分钟)

1.下列说法中，错误的个数是()

①若用=一十，则a<0：

②若则有(a+b)(a-b)是负数:

③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、-若相邻两点的距离相等，则x=2；

④若代数式2x+19-3x|+|1-x|+2016的值与％无关，则该代数式值为2024：

⑤若a+b+c=0,abc>0,则富+希+富的值为±L

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为。可

判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②：根据两点间的距离可判断③；根据与x无关化

简后可判断④：根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤.

【详解】解：①若m则故①正确，不符合题意;

②若同>同，

当a>0