2025年大学《统计学》专业题库- 排列组合在统计学中的重要性

2025年大学《统计学》专业题库——排列组合在统计学中的重要性考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设集合A={1,2,3,4}，B={a,b}。计算从A到B的所有不同函数的个数。二、从5名男性和4名女性中选出3名代表，要求至少包含1名女性。问共有多少种不同的选法？三、一个小组有10名成员，其中6人会中文，7人会英文，且至少有3人同时会两种语言。问这个小组中恰好有5人同时会两种语言的人数是多少？四、在一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的。现从中随机、不放回地取出4个灯泡。求取出的4个灯泡中恰有1个好灯泡的概率。五、在一个小组中，有12名学生参加篮球或足球至少一项运动。其中7人参加篮球运动，9人参加足球运动。问同时参加篮球和足球运动的学生有多少人？六、用6个不同的字母a,b,c,d,e,f排成一列，要求字母b和c必须相邻。问共有多少种不同的排列方式？七、一个班级有40名学生，其中18名学生喜欢数学，25名学生喜欢英语，15名学生既喜欢数学又喜欢英语。现随机抽取1名学生，求该学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率。八、将5个相同的球放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球。问共有多少种不同的放法？九、一个袋子里有4个红球和6个蓝球。现从中随机、不放回地依次取出3个球。求取出的3个球颜色完全相同的概率。十、在一个有10阶的楼梯中，每次可以走1阶或2阶。问从地面到达第10阶有多少种不同的走法？试卷答案一、解析思路：从集合A到集合B的函数个数等于A中元素个数对B中元素个数的乘积，即|A||B|。这里A有4个元素，B有2个元素，所以共有4*2=8个不同函数。二、解析思路：采用分类相加法。分为三类：选1名女性、2名女性、3名女性。选1名女性的方法有C(4,1)*C(5,2)=4*10=40种。选2名女性的方法有C(4,2)*C(5,1)=6*5=30种。选3名女性的方法有C(4,3)=4种。总计40+30+4=74种。三、解析思路：设同时会两种语言的人数为x。根据容斥原理，会中文或英文的人数是6+7-x=13-x。又因为总人数是10，且至少有3人会两种语言，所以13-x≤10-3，即x≥6。题目要求恰好有5人会两种语言，即x=5。此时会中文或英文的人数是13-5=8。设只会中文的人数为y，只会英文的人数为z。则y+z=10-8=2。因为至少有3人会两种语言，所以y≤2-1=1，z≤2-1=1。考虑x=5时，会中文的人数是6-(5-4)=5，会英文的人数是7-(5-3)=5。此时只会中文的人数y=5-5=0，只会英文的人数z=5-5=0。这不符合y+z=2。重新思考，设只会中文的人数为a，只会英文的人数为b，会两种语言的人数为5。则a+b+5=10，即a+b=5。同时a≤6-5=1，b≤7-5=2。满足a+b=5且a≤1,b≤2的解为(a,b)=(0,5)或(1,4)。当(a,b)=(0,5)时，会两种语言的人数为5，会中文的总人数为6，会英文的总人数为7，满足条件。当(a,b)=(1,4)时，会两种语言的人数为5，会中文的总人数为6，会英文的总人数为7，满足条件。所以恰好有5人同时会两种语言的人数是C(6,1)*C(7,4)+C(6,0)*C(7,5)=6*35+1*21=210+21=231。这里发现计算有误，应重新审视题目。题目问的是“恰好有5人同时会两种语言的人数是多少？”，即问的是这样的组有多少个。从10人中选出5人会两种语言，方法数为C(10,5)。这5人会两种语言，剩下的5人中，会中文的有6-5=1人，会英文的有7-5=2人，这5人只能会其中一种语言。从剩下的5人中选出1人只会中文，方法数为C(5,1)，再从剩下的4人中选出2人只会英文，方法数为C(4,2)。所以总方法数为C(10,5)*C(5,1)*C(4,2)=252*5*6=7560。但题目问的是“人数”，而不是“组的数量”。题目描述“至少有3人同时会两种语言”，且“恰好有5人同时会两种语言”，这意味着其余5人中，会中文的1人和会英文的2人都不在会两种语言的5人中。所以我们需要从10人中选出5人组成“会两种语言”的组，这个组的大小必须是5。这个5人组中会中文的有5-1=4人（从剩下的5人中选），会英文的有5-2=3人（从剩下的4人中选）。所以总方法数为C(5,4)*C(5,3)=5*10=50。但这只是计算了“会两种语言”的组，还需要乘以这个组内部的排列方式。因为题目问的是“人数”，所以最终答案是50*5!*4!*3!=50*120*24*6=864000。但这个答案仍然不符合常理。重新审视题目：“至少有3人同时会两种语言。问这个小组中恰好有5人同时会两种语言的人数是多少？”这似乎是在问，在所有满足“至少有3人同时会两种语言”的小组中，有多少个小组恰好有5人同时会两种语言。这应该是一个计数问题。我们可以用补集的思想。首先计算至少有3人同时会两种语言的小组总数。这等于从10人中选出3人、4人或5人会两种语言的方法数之和。即C(10,3)+C(10,4)+C(10,5)=120+210+252=582。然后计算恰好有5人同时会两种语言的小组数。如前所述，为50。所以“恰好有5人同时会两种语言的人数”应该是指这样的小组的数量，即50。但题目问的是“人数”，而不是“小组数”。这可能是一个歧义。如果理解为“在这样的小组中，同时会两种语言的人数是多少”，答案是5。如果理解为“在这样的小组中，总人数是多少”，答案是10。如果理解为“在这样的小组中，有多少个学生”，答案是10。如果理解为“有多少个这样的小组”，答案是50。考虑到题目是关于“人数”，且“恰好有5人同时会两种语言”指的是一个状态，最合理的解释是问“有多少个这样的状态”。即有多少个小组恰好有5人同时会两种语言。这个数量是50。题目问的是“人数”，可能是指这个数量，或者是笔误，本意是问“小组数”。我们按“小组数”来理解，答案为50。但题目问的是“人数”，如果按字面意思，答案应该是5（指每个满足条件的组中，会两种语言的人数是5）。或者是指满足条件的总人数？总人数是10*582/100%=5820。或者是指恰好有5人会两种语言的小组中，会两种语言的总人数？50*5=250。看起来最合理的解释是问“有多少个这样的小组”，答案是50。但题目问的是“人数”。如果理解为“在这样的小组中，有多少个学生同时会两种语言”，答案是5。如果理解为“在这样的小组中，总人数是多少”，答案是10。如果理解为“在这样的小组中，有多少个学生”，答案是10。如果理解为“有多少个这样的状态”，答案是50。题目问的是“人数”，可能是指“在这样的小组中，同时会两种语言的人数是多少”，即5。或者是指“在这样的小组中，有多少个学生”，即10。或者是指“有多少个这样的小组”，即50。考虑到题目背景是组合计数，最可能的是问“有多少个这样的小组”，即50。但题目明确问“人数”。最终决定，答案为5，理解为每个满足条件的组中，会两种语言的人数是5。四、解析思路：样本空间大小为C(10,4)。事件A为取出的4个灯泡中恰有1个好灯泡，即1个好灯泡和3个坏灯泡。好灯泡有7个，坏灯泡有3个。方法数为C(7,1)*C(3,3)=7*1=7。概率P(A)=7/C(10,4)=7/210=1/30。五、解析思路：设同时参加篮球和足球运动的学生人数为x。根据容斥原理，参加篮球或足球运动的人数是7+9-x=16-x。这个人数等于12，所以16-x=12，解得x=4。也可以用补集，12-(7-x)=12-(9-x)，解得x=4。六、解析思路：将b和c视为一个整体，这样就有5个元素（bc,a,d,e,f）进行排列。5个元素的排列数为5!=120。但bc可以内部互换，有2!=2种排列。所以总排列数为120*2=240。七、解析思路：样本空间大小为40。事件A为抽取的学生既不喜欢数学也不喜欢英语，即不喜欢这两项运动。根据容斥原理，不喜欢这两项运动的学生人数为40-(18+25-15)=40-28=12。概率P(A)=12/40=3/10。八、解析思路：这是一个典型的隔板法问题。将5个相同的球排成一列，有4个间隙可以放隔板。从4个间隙中选出2个放隔板，方法数为C(4,2)=6。九、解析思路：样本空间大小为C(10,3)。事件B为取出的3个球颜色完全相同。只有红球或只有蓝球两种情况。红球情况有C(4,3)=4种。蓝球情况有C(6,3)=20种。方法数为4+20=24。概率P(B)=24/C(10,3)=24/120=1/5。十、解析思路：这是一个典型的斐波那契数列