2025年大学《统计学》专业题库- 统计学专业的实践能力培养与评估

2025年大学《统计学》专业题库——统计学专业的实践能力培养与评估考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述样本统计量与总体参数的区别，并说明在什么情况下样本统计量可以作为总体参数的可靠估计量。二、假设检验中，第一类错误和第二类错误的定义是什么？它们之间是否存在矛盾？为什么？三、某研究人员欲研究广告投入与产品销售额之间的关系，收集了10家同类公司在过去一年中的广告投入额（单位：万元）和销售额（单位：万元）数据。假设广告投入额和销售额均服从正态分布，且方差未知但相等。1.写出检验广告投入额与销售额之间是否存在显著线性关系的假设检验的统计量（用样本数据表示）。2.若样本计算得到该统计量的观测值为2.35，自由度为18，请说明在显著性水平α=0.05下，你如何做出统计决策？并解释你的决策依据。四、在一项关于某城市居民对公共交通满意度的调查中，随机抽取了200名居民，其中120名表示对公共交通满意。请计算在95%的置信水平下，该城市居民对公共交通满意度的置信区间。五、某工厂生产一批零件，其长度服从正态分布。为检验该批零件的长度是否符合规定标准（μ₀=10厘米），随机抽取了25个零件进行测量。测量结果的样本均值为9.8厘米，样本标准差为0.5厘米。1.写出检验该批零件长度均值是否显著低于标准值的假设检验的统计量（用样本数据表示）。2.假设显著性水平α=0.01，请说明在什么情况下你会拒绝原假设？并解释你的决策依据。六、某公司管理人员想要了解员工的上班通勤时间与其工作满意度之间是否存在关系。随机抽取了50名员工，记录了他们的平均每周上班通勤时间（分钟）和工作满意度评分（1-10分）。通过分析得到回归方程为：满意度评分=5+0.1*通勤时间。1.解释回归系数0.1的含义。2.如果某员工每周通勤时间为30分钟，根据该回归方程预测其工作满意度评分是多少？3.简述评价该回归方程拟合优度常用的统计量是什么，并说明其含义。七、在比较两种不同教学方法（方法A和方法B）对学生的考试成绩影响时，随机抽取了60名学生，平均分成两组，每组30人。采用方法A教学的组，其考试成绩的样本均值为85分，样本标准差为10分；采用方法B教学的组，其考试成绩的样本均值为88分，样本标准差为12分。1.写出检验两种教学方法下学生考试成绩是否存在显著差异的假设检验的统计量（用样本数据表示，假设两组方差相等）。2.假设显著性水平α=0.05，请说明在什么情况下你会认为两种教学方法存在显著差异？并解释你的决策依据。八、一家超市想要了解促销活动对某商品销售量的影响。他们在某周内进行了为期3天的促销活动，随机选取了3天作为促销日，另外3天作为非促销日。在这6天内，该商品的销售量（件数）分别为：促销日：45,50,48；非促销日：30,35,32。请计算促销日和非促销日该商品销售量的均值和标准差。然后，通过计算相应的统计量，并在显著性水平α=0.05下，检验促销活动是否显著影响了该商品的销售量。九、某银行想知道客户的月收入（X，单位：千元）与每月在银行的消费额（Y，单位：千元）之间是否存在线性关系。随机抽取了25位客户，得到他们的月收入和消费额数据。通过分析得到回归方程的斜率估计值为0.8，回归系数的标准误为0.15，样本相关系数为0.7。1.请计算检验回归系数是否显著异于0的t统计量的值。2.假设显著性水平α=0.05，请说明在什么情况下你会认为月收入与每月消费额之间存在显著的正线性关系？并解释你的决策依据。3.解释样本相关系数0.7的含义。试卷答案一、样本统计量是描述样本特征的量，如样本均值、样本标准差等；总体参数是描述总体特征的未知参数，如总体均值、总体标准差等。样本统计量可以作为总体参数的可靠估计量，当样本是随机抽取的、样本量足够大（通常n≥30），且样本的抽取方式能够代表总体时，根据大数定律和中心极限定理，样本统计量能较好地估计总体参数。二、第一类错误是指原假设H₀为真，但错误地拒绝了H₀，犯这种错误的概率记为α。第二类错误是指原假设H₀为假，但错误地接受了H₀，犯这种错误的概率记为β。两者之间不存在矛盾，但存在此消彼长的关系。减小α通常会导致β增大，反之亦然。在实际应用中，需要在α和β之间进行权衡。三、1.检验统计量可以使用两样本t检验（假设方差相等）的t统计量公式：t=(¯x₁-¯x₂)/sqrt(s_p²*(1/n₁+1/n₂))其中，¯x₁和¯x₂分别是两组样本均值，n₁和n₂是两组样本量，s_p²是合并方差估计：s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)代入数据：¯x₁,¯x₂未知；n₁=n₂=5；s₁²,s₂²未知，需用样本方差估计。统计量=(¯x₁-¯x₂)/sqrt{[(s₁²/n₁+s₂²/n₂)/2]}(这是更直接的公式形式，但题目要求用样本数据表示，需补充s₁,s₂的样本数据才能完全计算)2.拒绝域为t>t_α/2,df，或t<-t_α/2,df，其中t_α/2,df是自由度为df（本题df=10+10-2=18）的t分布上α/2分位点。α=0.05，所以t_0.025,18≈2.101。观测值t=2.35。比较观测值与临界值：2.35>2.101。决策：拒绝原假设H₀（即认为两者存在显著线性关系）。依据：观测到的统计量值落在了拒绝域内，说明在α=0.05的水平下，样本数据不支持原假设。四、样本量n=200，满意人数x=120，不满意人数n-x=80。样本比例p̂=x/n=120/200=0.6。95%置信水平对应的标准正态分布分位点z_α/2≈1.96。置信区间下限=p̂-z_α/2*sqrt[p̂(1-p̂)/n]=0.6-1.96*sqrt[0.6(1-0.6)/200]=0.6-1.96*sqrt(0.24/200)=0.6-1.96*sqrt(0.0012)≈0.6-1.96*0.03464≈0.6-0.068=0.532。置信区间上限=p̂+z_α/2*sqrt[p̂(1-p̂)/n]=0.6+1.96*sqrt[0.6(1-0.6)/200]≈0.6+0.068=0.668。置信区间为(0.532,0.668)。五、1.检验统计量可以使用单样本t检验的t统计量公式：t=(¯x-μ₀)/(s/sqrt(n))其中，¯x=9.8,μ₀=10,s=0.5,n=25。统计量=(9.8-10)/(0.5/sqrt(25))=-0.2/(0.5/5)=-0.2/0.1=-2.0。2.拒绝域为t<t_α,df，其中t_α,df是自由度为df（本题df=n-1=24）的t分布上α分位点。α=0.01，所以t_0.01,24≈-2.492。观测值t=-2.0。比较观测值与临界值：-2.0>-2.492。决策：不拒绝原假设H₀（即认为该批零件长度均值不显著低于标准值10厘米）。依据：观测到的统计量值没有落在了拒绝域内，说明在α=0.01的水平下，样本数据不支持拒绝原假设。六、1.回归系数0.1表示在其他条件不变的情况下，员工的每周上班通勤时间每增加1分钟，其工作满意度评分预计平均增加0.1分。2.根据回归方程：满意度评分=5+0.1*通勤时间。当通勤时间为30分钟时，预测的满意度评分=5+0.1*30=5+3=8分。3.评价回归方程拟合优度常用的统计量是判定系数R²（或调整判定系数R²_adj）。R²表示回归模型所能解释的因变量Y变差的百分比，其取值范围在0到1之间。R²越接近1，说明模型的拟合优度越好，即自变量X对因变量Y的解释能力越强。七、1.检验统计量可以使用两样本t检验（假设方差相等）的t统计量公式：t=(¯x₁-¯x₂)/sqrt[s_p²*(1/n₁+1/n₂)]其中，¯x₁=85,¯x₂=88,n₁=n₂=30。需要先计算合并方差估计s_p²：s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(30-1)10²+(30-1)12²]/(30+30-2)=[29*100+29*144]/58=[2900+4176]/58=7076/58≈121.5862。统计量=(85-88)/sqrt[121.5862*(1/30+1/30)]=-3/sqrt(121.5862*2/30)=-3/sqrt(243.1724/30)=-3/sqrt(8.1057)≈-3/2.831=-1.059。2.拒绝域为t>t_α/2,df，或t<-t_α/2,df，其中df=n₁+n₂-2=58。α=0.05，所以t_0.025,58≈±2.002。观测值t=-1.059。比较观测值与临界值：-1.059>-2.002且-1.059<2.002。决策：不拒绝原假设H₀（即认为两种教学方法下学生考试成绩不存在显著差异）。依据：观测到的统计量值没有落在了拒绝域内，说明在α=0.05的水平下，样本数据不支持拒绝原假设。八、1.计算均值：促销日均值¯x₁=(45+50+48)/3=143/3≈47.67。非促销日均值¯x₂=(30+35+32)/3=97/3≈32.33。计算标准差：促销日标准差s₁=sqrt[(45-47.67)²+(50-47.67)²+(48-47.67)²/(3-1)]=sqrt[(-2.67)²+(2.33)²+(0.33)²/2]=sqrt[7.1289+5.4289+0.1089/2]=sqrt[12.5578+0.05445]=sqrt(12.61225)≈3.55。非促销日标准差s₂=sqrt[(30-32.33)²+(35-32.33)²+(32-32.33)²/(3-1)]=sqrt[(-2.33)²+(2.67)²+(-0.33)²/2]=sqrt[5.4289+7.1289+0.1089/2]=sqrt[12.5578+0.05445]=sqrt(12.61225)≈3.55。（计算结果近似，实际教学时可能使用计算器结果）2.检验销售量差异的统计量同样使用两样本t检验（假设方差相等）的t统计量公式：t=(¯x₁-¯x₂)/sqrt[s_p²*(1/n₁+1/n₂)]需要先计算合并方差估计s_p²：s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(3-1)3.55²+(3-1)3.55²]/(3+3-2)=[2*12.61225+2*12.61225]/4=[25.2245+25.2245]/4=50.449/4=12.61225。统计量=(47.67-32.33)/sqrt[12.61225*(1/3+1/3)]=15.34/sqrt(12.61225*2/3)=15.34/sqrt(8.41265)≈15.34/2.901=5.29。自由度df=n₁+n₂-2=4。拒绝域为t>t_α,df，或t<-t_α/2,df。α=0.05，所以t_0.05,4≈-2.132。观测值t=5.29。比较观测值与临界值：5.29>-2.132且5.29远大于2.132。决策：拒绝原假设H₀（即认为促销活动显著影响了该商品的销售量）。依据：观测到的统计量值落在了拒绝域内（或远大于正临界值），说明在α=0.05的水平下，样本数据支持拒绝原假设。九、1.检验统计量t=b/se(b)，其中b是回归系数估计（题目中给出为0.8），se(b)是回归系数的标准误（题目中给出为0.15）。t=0.8/0.15=16/3≈5.33。2.拒绝域为t>t_α,df，或t<-t_α/2,df。自由度df通常为n-2=25-