平面的概念-平面的基本性质

一望无际的草原平静的湖面光滑的桌面、地面一望无垠的大海光滑的桌面、地面平静的湖面一望无垠的大海思考：这些画面给你留下怎样的印象？平面课题：2015年12月1日(平面的概念平面的根本性质〕1.平面的根本概念:平面是一个只描述而不定义的最根本的概念,它是从日常生活中见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型.点评：几何里的平面的特征:1.无限延展2.不计大小3.不计厚薄（没有边界）（无所谓面积）（没有质量）2.平面的画法:(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用其它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等等;铅直平面水平平面：(2)通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。

〔3〕画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。〔4〕在画图时，如果图形的一局部被另一局部遮住，可以把遮住局部画成虚线，也可以不画。MNMN3、平面的表示法ABDC平面AC或平面BD平面ααß平面ß

ABC平面ABC

在立几何体中通常把直线和平面看作是点的集合，你能否借助集合中的符号表示点与线、点与面、线与面的关系呢?思考：五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa⑴点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a⑴点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα1.点与直线的位置关系：2.点与平面的位置关系：⑵直线a经过点A，直线a不过点B⑵平面α经过点A，平面α不过点B3.直线与平面的位置关系：

直线a上的所有点都在平面α内，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：

直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝A

直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。记为：a∩α＝φ或a∥α.αaαAaαa五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaA∈aB∈aA∈αB∈αααaαAbaAABb∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：如图，用符号表示以下各概念：②直线a在平面

内

；点C在平面内

；③点D不在平面内

；直线b不在平面内

．①点A、B在直线a上

；练习例1如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb〔1〕〔2〕解：在（1）中，在（2）中，典例剖析例2.把以下语句用集合符号表示，并画出直观图。〔1〕点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；〔2〕平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.αβmaαABa典例剖析如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？实验：根据这个实验你能得到什么结论？(二)平面的根本性质公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。ABα判断直线是否在平面内，点是否在平面内

。符号语言图形语言文字语言l如图：直尺所在的直线会在桌面所在的平面内吗？思考：直尺

用手指头将一本书平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？实验这些手指需要满足什么条件？根据这个实验你能得到什么结论？公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。αACB一是确定平面，二是证明点、线共面。A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。说明图形是存在的！说明图形是唯一的！“有”“只有一个”至少有一个至多有一个有且只有一个的含义:一扇门用两个合页加一把锁就固定了，这是依据什么原理？思考：1.经过直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。αlABC2.经过两条相交直线有且只有一个平面。3.经过两条平行直线有且只有一个平面。思考：你能证明以下三个命题吗？推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。αlABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB确定平面的方法Pαβa观察下面图片，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ〔二〕平面的根本性质公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。lP一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线，二是判断点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，那么这点在交线上。

把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？思考：DACB证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.αBAabl:如图,a∥b,l∩a=A,l∩b=B求证:a,b,l三线共面证明:∵a∥b,

∴直线a,b确定一个平面α∴a,b,l三线共面于α又A∈a,a

α,∴A∈α,同理B∈α,由公理1有:lα多点共线问题∵E∈AB，H∈AD，∴EH⊂平面ABD.又∵EH∩FG＝P，∴P∈平面ABD.同理，P∈平面BCD.∵BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，∴平面ABD∩平面BCD＝BD.∴P∈BD，即B、D、P三点共线．证明：如图4.思维突破：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明此三点都是某两个平面的公共点，即可证三点在这两个平面的交线上．图4例3：如图

5，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是AA′、AB上一点，且EF∥CD′，求证：平面EFCD′、平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′、FC、AD交于一点．图5证明：∵E、F分别是AA′与AB上一点，∴EF≠CD′.又∵EF∥CD′，∴四边形EFCD′是梯形，直线ED′和FC相交于一点，设此点为P，∵P∈ED′⊂平面AA′D′D，P∈FC⊂平面ABCD，∴P是平面AA′D′D与平面ABCD的公共点．∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝A