山东省潍坊市第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析

山东省潍坊市第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）A.1 B.2C.3 D.42．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（）A. B.C. D.3．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列4．曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.5．函数在区间（0，e）上的极小值为（）A.－e B.1－eC.－1 D.16．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.7．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B.C. D.8．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（）A. B.C. D.9．直线l：的倾斜角为（）A. B.C. D.10．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.11．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为A.或 B.或C.或 D.或12．已知是空间的一个基底，，，，若四点共面．则实数的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程______①圆心在第一象限；②圆C与圆相交的弦的方程为14．已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________15．点到直线的距离为________.16．若函数解析式，则使得成立的的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的方程（2）设直线：交椭圆于M，N两点.①若且的面积为，求的值.②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标18．（12分）已知椭圆C：（）过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由19．（12分）物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.（1）求的值；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？20．（12分）已知圆，是圆上一点，过A作直线l交圆C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且A为的中点.（1）求圆C在点A处的切线方程；（2）求直线l的方程.21．（12分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标22．（10分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到面的距离.（3）求二面角的平面角的正切值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为故选：B2、A【解析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则，得，所以，所以曲线C的方程为，设，则，两方程相减整理得，因为AB中点坐标为M（1，），所以，即，所以，所以，所以直线l的方程为，即，故选：A3、B【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差数列.故选：B.【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.4、D【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.5、D【解析】求导判断函数的单调性即可求解【详解】的定义域为(0，＋∞)，，令，得x＝1，当x∈(0，1)时，，单调递减，当x∈(1，e)时，，单调递增，故在x＝1处取得极小值.故选：D.6、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B7、D【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D8、D【解析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果.【详解】因为点，分别是面对角线与的中点，，，，所以故选:D.9、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,则倾斜角为.故选：D.10、C【解析】取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.故选：C11、B【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.综上所述，双曲线的离心率为或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.12、A【解析】由共面定理列式得，再根据对应系数相等计算.【详解】因为四点共面，设存在有序数对使得，则，即，所以得.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】设所求圆为，由圆心在第一象限可判断出，只需取特殊值，即可得到答案.【详解】可设所求圆为，即只需，解得：，不妨取，则圆的方程为：.故答案为：（答案不唯一）14、【解析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答.【详解】在数列中，，当，时，，则有，而满足上式，因此，，，显然数列是递增数列，且，，又对任意恒成立，则，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达.15、【解析】利用点到直线的距离公式即可得出【详解】利用点到直线的距离可得：故答案为:16、【解析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【详解】，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增.为偶函数，在上单调递减.要使成立，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）①；②证明见解析，定点的坐标为【解析】（1）由所给条件确定基本量即可.（2）①代入消元，韦达定理整体思想，列出关于的方程从而得解；②由已知可知，得到关于、的一次关系式可得证.【小问1详解】由已知椭圆的右焦点坐标为，，所以，椭圆的方程：【小问2详解】①将与椭圆方程联立得.设，，则，解得，∴，，点到直线的距离为，∴，解得（舍去负值），∴.②设，，将与椭圆方程联立，得，当时，∴，，，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的平分线，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直线恒过一定点，该定点的坐标为.18、（1）（2）为定值【解析】（1）由题意可得解方程组求出，从而可得椭圆方程，（2）设直线AB：，，代入椭圆方程，消去，利用根与系数关系，再表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，从而可表示出，然后化简可得结论【小问1详解】由题意得解得故椭圆C的方程为；【小问2详解】设直线AB：，，联立消去y得，设，，得，，因为点C与点B关于x轴对称，所以，所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，令，解得可得，所以，因为，所以，所以为定值【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线AB的方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数关系，结合已知条件表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，考查计算能力，属于中档题19、（1）（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元【解析】（1）将题中数据代入解析式可求；（2）利用基本不等式可求解.【小问1详解】由题意，，当时，，，解得.【小问2详解】设两项费用之和为（单位：万元），则.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，解得.所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.20、（1）（2）或【解析】（1）以直线方程的点斜式去求圆C在点A处的切线方程；（2）以A为的中点为突破口，设点法去求直线l的方程简单快捷.【小问1详解】圆可化为，圆心因为直线的斜率为，所以圆C在A点处切线斜率为2，所以切线方程为即.【小问2详解】由题意设因为是中点，所以将B代入圆C方程得解得或当时，，此时l方程为当时，，此时l方程为所以l方程为或21、（1）；（2）答案见解析，直线过定点.【解析】（1）首先根据顶点为得到，再根据离心率为得到，从而得到椭圆C的方程.（2）设，，，与椭圆联立得到，利用直线BM与直线BN的斜率之积为和根系关系得到，从而得到直线恒过的定点.【详解】（1）一个顶点为，故，又，即，所以故椭圆的方程为（2）若直线l的斜率不存在，设，，此时，与题设矛盾，故直线l斜率必存在设，，，联立得，∴，∵，即∴，化为，解得或（舍去），即直线过定点【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握：（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.22、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以为原点