2025年新疆生产建设兵团一师高级中学数学高二上期末教学质量检测模拟试题含解析

2025年新疆生产建设兵团一师高级中学数学高二上期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.4．函数的导函数为（）A. B.C. D.5．直线与直线平行，则两直线间的距离为（）A. B.C. D.6．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第19行从左往右数第5个数是（）A.381 B.361C.329 D.4008．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.9．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.410．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（）A.1 B.2C.3 D.411．已知数列满足，，，前项和（）A. B.C. D.12．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（）A. B.C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设空间向量，且，则___________.14．已知正数满足，则的最小值是__________.15．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，若，则点到平面的距离为___________.16．如图，椭圆左顶点为轴上一点满足，且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形，则椭圆离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.18．（12分）已知圆的方程为（1）求圆的圆心及半径；（2）是否存在直线满足：经过点，且_________________？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：被圆所截得的弦长最长；条件②：被圆所截得的弦长最短；条件③：被圆所截得的弦长为注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）在①，②是与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：已知数列{}的前n项和为，，且满足___（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分21．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.22．（10分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知为数列的前项和，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C2、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.3、B【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.4、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.5、B【解析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离.【详解】由两直线平行，得，故，当时，，，此时，故两直线平行时又之间的距离为，故选：B.6、A【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为“直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A7、C【解析】观察规律可知，从第一行起，每一行最后一个数是连续的完全平方数，据此容易得出答案.【详解】由图中数字排列规律可知：第1行从左往右最后1个数是，第2行从左往右最后1个数是，第3行从左往右最后1个数是，……第18行从左往右最后1个数为，第19行从左往右第5个数是故选：C.8、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.9、B【解析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，则有△与△相似，相似比为，则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为，则直线l与CD所在直线的距离为2故选：B10、D【解析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，因为，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.11、C【解析】根据，利用对数运算得到，再利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】解：因为，所以，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选：C12、B【解析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，设，则，因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】根据，由求解.【详解】因为向量，且，所以，即，解得.故答案为：114、8【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值8.故答案为：8.15、【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，点到平面的距离为.故答案为：.16、##【解析】根据题设条件可得坐标，代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.【详解】因为，故，，且在轴的正半轴上，则在第二象限中，故，代入椭圆方程有：即，故，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【小问1详解】由题意，点椭圆上，有，解得故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，显然不符；当直线l的斜率存在时，设直线l为：联立方程得：由，设，有又由直线AM：，令x=-4得，将代入得：，同理得：.很明显，且，注意到，，而，故所以.【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题18、（1）圆心为，半径为；（2）答案见解析.【解析】（1）写出圆标准方程即得解；（2）选择条件①：直线应过圆心即直线过点和，即得解；选择条件②：直线应与垂直，求出直线的方程即得解；选择条件③：不存在满足条件的直线.【小问1详解】解：由圆的方程整理可得，所以圆心为，半径为.小问2详解】选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为.选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与垂直.又，所以.故直线方程为.选择条件③：经过点的直线被圆所截得的最短弦长，由于，所以不存在满足条件的直线.19、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20、（1）；（2）.【解析】(1)选①，可得数列为等差数列，求出，由，可得数列的通项公式为选②是与的等比中项，可得，由，可得，从而利用累乘法求得数列的通项公式为选③，由，可得，则数列为等差数列，从而求出通项公式(2)由(1)知，求出，利用错位相减求和法求出小问1详解】选①.因为，，所以是首项为1，公差为1的等差数列则，从而当时，，经检验，当时，也符合上式．所以选②.因为是与的等比中项所以，当时，，两式相减得，整理得，所以，经检验，也符合上式，所以选③.由题设，得，两式相减，得，整理，得，因为．所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以【小问2详解】由(1)知，，所以，所以，则两式相减，得，所以21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，由题意可得，又，，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，，由得：，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为联立椭圆方程，得：，整理得：，得：，将代入得，所以的面积.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程