专题25 圆中的范围与最值问题（原卷版）-高考数学第二阶段零基础or艺考生

专题25圆中的范围与最值问题【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一：斜率型题型二：直线型题型三：距离型题型四：周长面积型题型五：数量积型题型六：坐标与角度型题型七：长度型题型八：方程中的参数【典例例题】题型一：斜率型例1．（2022·福建南平·三模）已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________．例2．（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为0C．的最大值为 D．的最大值为例3．（2022·全国·高三专题练习（理））在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（

）A． B． C． D．例4．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型二：直线型例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5例6．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．例7．（2022·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是________．题型三：距离型例8．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________．例9．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．例10．（2022·全国·高三专题练习）若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例11．（2022·陕西安康·二模（文））已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足：，，，则的最大值为______．例13．（2022·河北石家庄·模拟预测）若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（

）A． B．2 C． D．4例14．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（

）A． B． C． D．例15．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（

）A．12 B．18 C．60 D．例16．（2022·江西·宁冈中学高三开学考试（理））已知点在圆上，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．例17．（2022·河北衡水·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（

）A．3 B． C．5 D．4例18．（2022·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为（

）A． B．9 C． D．例19．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．例20．（2022·河南河南·三模（理））已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（

）A． B．C． D．例21．（2022·全国·高三专题练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（

）A．3＋ B．7＋4C．8＋4 D．16＋8例22．（2022·全国·高三专题练习）已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．例23．（2022·全国·高三专题练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．9 D．12例24．（2022·全国·模拟预测（理））过圆C：外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3题型四：周长面积型例25．（2022·全国·高三专题练习）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则面积最大值为（

）A．2 B． C． D．例26．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（

）A．8 B． C． D．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（

）A． B．C． D．例28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（

）A． B． C． D．例29．（2022·北京昌平·二模）已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（

）A． B． C． D．例30．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（

）A． B．C．5 D．10题型五：数量积型例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________．例32．（2022·辽宁大连·二模）已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．例34．（多选题）（2022·福建龙岩·模拟预测）已知圆，直线，点，则（

）A．当时，直线l与圆相切B．若直线l平分圆的周长，则C．若直线l上存在点A，使得，则a的最大值为D．当时，N为直线l上的一个动点，则的最小值为例35．（多选题）（2022·湖北武汉·模拟预测）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（

）A．直线l恒过定点B．的最小值为4C．的取值范围为D．当最小时，其余弦值为例36．（多选题）（2022·湖北·模拟预测）若动直线与圆相交于两点，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．为坐标原点）的最大值为78D．的最大值为18例37．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（

）A．48 B．49 C．50 D．42例38．（2022·全国·高三专题练习）已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（

）A．20 B． C．40 D．例39．（2022·河南开封·二模（文））骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（

）A． B． C． D．题型六：坐标与角度型例40．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．例41．（2022·福建泉州·模拟预测）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（

）A． B． C． D．例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________．例43．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例44．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（

）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段的中点纵坐标最小值是D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是例45．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．例46．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知圆C：和两点，，且圆C上有且只有一个点P满足，则r的最大值为（

）A． B．3 C． D．5例47．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．例48．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知为坐标原点，点，，以为邻边作平行四边形，，则的最大值为（

）A． B． C． D．例49．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（

）A． B． C． D．例50．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知x，y满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：x2＋y2＝4，M、N是直线l：y＝x＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得cos∠APB＝，则线段MN长度的最大值为（

）A．2 B．4 C．4 D．4题型七：长度型例52．（2022·上海·高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________例53．（2022·全国·高三专题练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例54．（2022·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．例55．（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（

）A． B． C． D．例56．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为（

）A．3 B． C． D．2例57．（2022·河南新乡·三模（理））已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10例58．（2022·北京西城·一模）已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（

）A． B． C． D．例59．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．例60．（2022·全国·模拟预测）已知直线l过点，则直线l被圆O：截得的弦长的最小值为（

）A．3 B．6 C． D．例61．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（

）A．3 B． C． D．例62．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．例63．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．例64．（2022·全国·高三专题练习）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（

）A． B．2 C． D．例65．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．