2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 绝对值函数在实际问题中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——绝对值函数在实际问题中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题4分，共20分）1.设集合A={x||x-1|≤2},B={x||x+1|>1},则A∩B=?(A)(-3,-1)∪(3,+∞)(B)(-3,-1)∪(1,3)(C)(-∞,-3)∪(1,+∞)(D)(-1,1)2.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值为？(A)1(B)3(C)-3(D)-13.不等式|2x-1|>x+1的解集为？(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)(-1,1)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)(D)(-1,+∞)4.函数g(x)=|x|+|x-1|的图像关于什么对称？(A)x=0(B)x=1/2(C)x=1(D)y轴5.某城市出租车的计费标准为：起步价3元（含2公里），之后每公里2元。如果某乘客乘坐了x公里（x>2），则他需要支付的车费为？(A)3+2(x-2)(B)3+|x-2|(C)2|x-2|+3(D)|2x-4|+3二、填空题（每小题5分，共25分）1.解不等式|3x+2|≤5的解集为________________。2.函数h(x)=|x+3|-|x-1|的值域为________________。3.若|a|<1,|b|>2,则|a+b|和|a-b|中，一定大于2的是________________。4.已知点A在数轴上的坐标为-2，点B在数轴上的坐标为3，则点A到点B的距离可以表示为________________。5.一根长为10米的木棍，两端分别放在地面上相距6米的两个点处，则木棍与地面形成的锐角的最大值为________________。三、解答题（共55分）1.（10分）解绝对值不等式|x-1|+|x+2|>3。2.（10分）已知函数f(x)=|x-1|-|x+3|。(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)作出函数f(x)的图像。3.（10分）某公司生产的某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品，可变成本为2元。市场价格定为每件10元。如果生产量为x件，则(1)总成本C(x)如何表示？(2)总收入R(x)如何表示？(3)利润L(x)如何表示？求生产多少件产品时，公司开始盈利？4.（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1,2)，点B的坐标为(3,-4)。点P在x轴上，求点P到点A和点B距离之和的最小值。5.（15分）在一条笔直的公路上，有A、B两个加油站，A站在B站的西边20公里处。一辆汽车从A站出发，向东行驶，速度为60公里/小时。同时，另一辆汽车从B站出发，向西行驶，速度为40公里/小时。设两车出发后的时间为t小时。(1)写出两车行驶距离关于时间t的函数表达式；(2)写出两车之间的距离d关于时间t的函数表达式；(3)当t为多少小时时，两车之间的距离最短？最短距离是多少？(4)经过多少小时，两车相遇？试卷答案一、选择题1.B2.B3.A4.B5.A二、填空题1.[-7/3,1]2.[-4,4]3.|a-b|4.|x+2|+|x-3|5.π/3三、解答题1.解析思路：首先去掉绝对值符号，根据x的范围进行分段讨论。分别考虑x<-2,-2≤x≤1,x>1三种情况。解：当x<-2时，|x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1>3，解得x<-2。当-2≤x≤1时，|x-1|+|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3>3，解集为空集。当x>1时，|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1>3，解得x>1。综上，不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)。2.解析思路：首先根据绝对值的定义，将函数f(x)写成分段函数的形式。然后分别求出每一段的定义域和函数值，最后确定整个函数的定义域和值域。作图时，注意分段点的连接方式。解：(1)当x<-3时，f(x)=-(x-1)+(x+3)=4；当-3≤x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2；当x>1时，f(x)=(x-1)-(x+3)=-4。所以f(x)={4,-2x-2,-4}，定义域为R，值域为[-4,4]。(2)图像为：在x<-3时，图像是y=4的水平线段；在-3≤x≤1时，图像是y=-2x-2的直线段；在x>1时，图像是y=-4的水平线段。三条线段在x=-3和x=1处连接。3.解析思路：总成本等于固定成本加上可变成本；总收入等于售价乘以销售量；利润等于总收入减去总成本。解：(1)C(x)=10+2x(2)R(x)=10x(3)L(x)=R(x)-C(x)=10x-(10+2x)=8x-10令L(x)>0，即8x-10>0，解得x>5/4。公司开始盈利时应生产超过5/4件产品。由于产量x应为整数，所以x≥2时公司开始盈利。4.解析思路：点P在x轴上，设P的坐标为(x,0)。利用距离公式表示出AP和BP的距离，然后求和的最小值。可以使用绝对值三角不等式或者几何方法（反射法）。解：方法一：AP+BP=√((x+1)^2+4)+√((x-3)^2+16)。利用绝对值三角不等式，AP+BP≥|(x+1)-(x-3)|+√(4^2+16^2)=4+4√5。等号成立当且仅当x满足(x+1)/√(x^2+5)=(x-3)/√(x^2+25)且x在-1和3之间。解得x=1-2√5/5。最小值为4+4√5。方法二：将点A关于x轴对称到点A'(-1,-2)，则AP+BP=A'P+BP≥A'B。A'B=√((-1-3)^2+(-2+4)^2)=√(16+4)=2√5。等号成立当且仅当P在A'B上。A'B的中点坐标为(1,1)，斜率为-1/2，过点(1,1)的直线方程为y=-1/2(x-1)+1。令y=0，解得x=1-2√5/5。最小值为2√5。5.解析思路：根据速度和时间关系，分别表示出两车行驶的距离。两车之间的距离等于A站到两车行驶距离之和的距离减去两车之间的初始距离（20公里）。解：(1)汽车甲行驶距离s_甲=60t，汽车乙行驶距离s_乙=40t(2)两车之间的距离d=20+s_甲+s_乙=20+60t+40t=100t+20(3)d是关于t的一次函数，且斜率为100，故当t增大时，d增大。所以当t取最小值时，d最小。t从0开始计时，最小值为0。此时d=100(0)+20=20公里。但题目问的是出发后经过多少小时，两