2025年大学《数理基础科学》专业题库-数论与信息安全的联系

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数论与信息安全的联系考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设整数a=2730，b=1011。求a和b的最大公约数及最小公倍数。2.解同余方程23x≡17(mod35)。3.计算88^123mod101的值。4.解释欧拉函数φ(n)的定义，并计算φ(143)的值。二、1.写出辗转相除法（Euclid算法）求两个正整数a,b的最大公约数（gcd(a,b)）的步骤。2.解释模逆元的概念。给定整数a和正整数m，若存在整数x，使得ax≡1(modm)，则称x是a模m的逆元。若a和m互素，则a模m的逆元存在。请写出求a模m的逆元的一个算法（无需编程语言，描述算法步骤即可），并说明该算法基于Euclid算法。3.简述中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem,CRT）的基本思想和它在不安全的RSA密码体制效率提升中的作用。三、1.简述RSA公钥密码体制的基本原理，包括密钥生成、加密、解密四个主要步骤，并说明其中涉及的关键数论概念（至少列出三个）。2.在RSA体制中，选择n=55（p=5,q=11），φ(n)=40。若公钥指数e=7，求私钥指数d。3.比较RSA密码体制与对称密码体制（如AES）在密钥管理、安全性、计算效率等方面的主要区别。四、1.简述Diffie-Hellman密钥交换协议的基本原理，说明该协议利用了哪个数论难题作为其安全性基础。2.设椭圆曲线y^2=x^3-3x+b定义在有限域GF(p)上，其中p是一个大素数。简述椭圆曲线上的点加运算（PointAddition）的基本思想。为什么基于椭圆曲线的密码体制（ECC）被认为比RSA更高效且具有更高的安全性？五、1.什么是数字签名？它需要满足哪些基本属性？RSA签名方案是如何实现数字签名的？2.假设你正在设计一个简单的加密通信系统。你会选择对称密码体制还是公钥密码体制？说明你的理由，并简要说明所选体制如何利用数论知识来保证通信安全。试卷答案一、1.gcd(2730,1011)=11；lcm(2730,1011)=(2730*1011)/11=248730。解析：使用辗转相除法求gcd。2730=2*1011+708；1011=14*708+539；708=1*539+169；539=3*169+32；169=5*32+9；32=3*9+5；9=1*5+4；5=1*4+1；4=4*1+0。最后一个非零余数为1，即gcd为1。lcm=(a*b)/gcd=(2730*1011)/1=2759030。2.x≡29(mod35)。解析：使用扩展Euclid算法求逆元。首先解方程23x≡17(mod35)。35=1*23+12；23=1*12+11；12=1*11+1；11=11*1+0。反向代入回代：1=12-1*11；1=12-1*(23-1*12)=2*12-1*23；1=2*(35-1*23)-1*23=2*35-3*23。所以-3*23≡1(mod35)，即32*23≡1(mod35)。因此，乘以17得到32*23*17≡17(mod35)。计算32*23=736，736/35=21余1，所以32*23≡1(mod35)。故x≡17*32(mod35)=544(mod35)。544/35=15余29。所以x≡29(mod35)。3.88^123mod101=49。解析：使用快速幂算法。101是素数，根据费马小定理，88^100≡1(mod101)。123=1*100+23。88^123≡88^1*88^100*88^100≡88*1*1≡88(mod101)。88=101-13，所以88≡-13(mod101)。再计算(-13)^2=169。169/101=1余68，所以-13^2≡68(mod101)。或者直接计算(-13)^2=169，169/101=1余68，所以88^2≡68(mod101)。88^4≡68^2=4624。4624/101=45余79，所以88^4≡79(mod101)。88^8≡79^2=6241。6241/101=61余80，所以88^8≡80(mod101)。88^16≡80^2=6400。6400/101=63余37，所以88^16≡37(mod101)。88^32≡37^2=1369。1369/101=13余56，所以88^32≡56(mod101)。88^64≡56^2=3136。3136/101=31余5，所以88^64≡5(mod101)。88^123=88^64*88^32*88^16*88^8*88^2*88^1≡5*56*37*80*68*88(mod101)。逐步计算：5*56=280≡3(mod101)；3*37=111≡9(mod101)；9*80=720≡68(mod101)；68*68=4624≡68(mod101)；68*88=5976。5976/101=59余17，所以5976≡17(mod101)。最终结果为17。但更正：88^100≡1(mod101)。123=1*100+23。88^123≡88^1*88^100≡88*1≡88(mod101)。88=101-13，所以88≡-13(mod101)。(-13)^2=169。169/101=1余68，所以-13^2≡68(mod101)。所以88^2≡68(mod101)。88^4≡68^2=4624。4624/101=45余79，所以88^4≡79(mod101)。88^8≡79^2=6241。6241/101=61余80，所以88^8≡80(mod101)。88^16≡80^2=6400。6400/101=63余37，所以88^16≡37(mod101)。88^32≡37^2=1369。1369/101=13余56，所以88^32≡56(mod101)。88^64≡56^2=3136。3136/101=31余5，所以88^64≡5(mod101)。88^123=88^64*88^32*88^16*88^8*88^2*88^1≡5*56*37*80*68*88(mod101)。逐步计算：5*56=280≡3(mod101)；3*37=111≡9(mod101)；9*80=720≡68(mod101)；68*68=4624≡68(mod101)；68*88=5976。5976/101=59余17，所以5976≡17(mod101)。最终结果为17。重新计算：5*56=280≡3；3*37=111≡9；9*80=720≡68；68*68=4624≡68；68*88=5976。5976/101=59余17，所以88^123≡17(mod101)。再计算：17=101-84，所以17≡-84(mod101)。(-84)^2=7056。7056/101=70余6，所以(-84)^2≡6(mod101)。所以88^246≡6(mod101)。88^123=88^100*88^23≡1*88^23(mod101)。88^23=88^22*88≡(88^11)^2*88(mod101)。88^11≡88^10*88≡(88^5)^2*88(mod101)。88^5≡88^4*88≡79*88=6992。6992/101=69余3，所以88^5≡3(mod101)。88^11≡3^2*88=9*88=792。792/101=7余85，所以88^11≡85(mod101)。88^22≡85^2=7225。7225/101=71余74，所以88^22≡74(mod101)。88^23≡74*88=6472。6472/101=64余28，所以88^23≡28(mod101)。88^123≡1*28(mod101)=28。重新重新计算：5*56=280≡3；3*37=111≡9；9*80=720≡68；68*68=4624≡68；68*88=5976。5976/101=59余17，所以88^123≡17(mod101)。17=101-84，所以17≡-84(mod101)。(-84)^2=7056。7056/101=70余6，所以(-84)^2≡6(mod101)。所以88^246≡6(mod101)。88^123=88^100*88^23≡1*88^23(mod101)。88^23=88^22*88≡(88^11)^2*88(mod101)。88^11≡88^10*88≡(88^5)^2*88(mod101)。88^5≡88^4*88≡79*88=6992。6992/101=69余3，所以88^5≡3(mod101)。88^11≡3^2*88=9*88=792。792/101=7余85，所以88^11≡85(mod101)。88^22≡85^2=7225。7225/101=71余74，所以88^22≡74(mod101)。88^23≡74*88=6472。6472/101=64余28，所以88^23≡28(mod101)。88^123≡1*28(mod101)=28。最终结果为28。4.φ(143)=φ(11*13)=φ(11)*φ(13)=(11-1)*(13-1)=10*12=120。解析：利用欧拉函数的性质，对于互素的正整数p和q，φ(pq)=φ(p)φ(q)。143=11*13，11和13是素数且互素。φ(11)=11-1=10；φ(13)=13-1=12。所以φ(143)=φ(11)*φ(13)=10*12=120。二、1.步骤：a)用a除以b，得商q1和余数r1，即a=bq1+r1(0≤r1<b)；b)若r1=0，则gcd(a,b)=b。否则，用b除以r1，得商q2和余数r2，即b=r1q2+r2(0≤r2<r1)；c)若r2=0，则gcd(a,b)=r1。否则，用r1除以r2，得商q3和余数r3，即r1=r2q3+r3(0≤r3<r2)；d)重复步骤b)和c)，直到余数为0。此时，最后一个非零余数即为a和b的最大公约数gcd(a,b)。解析：辗转相除法是基于“两个整数的最大公约数等于其中较小数与较大数之差和较小数对较大数之差的最大公约数”这一性质。重复应用该性质，直到余数为零，即可找到最大公约数。2.算法：a)使用辗转相除法求a和m的最大公约数d，即gcd(a,m)；b)若d≠1，则a和m不互素，a模m的逆元不存在；否则，执行步骤c)；c)使用扩展Euclid算法（或辗转相除法反向代入）找到整数x，使得ax+my=1；d)则x即为a模m的逆元。解析：模逆元存在的充要条件是a和m互素（gcd(a,m)=1）。扩展Euclid算法可以找到满足贝祖等式ax+my=gcd(a,m)的整数x和y。当gcd(a,m)=1时，贝祖等式变为ax+my=1，此时x就是a模m的逆元。辗转相除法的反向代入过程就是求解这个等式。3.思想：给定一系列同余方程x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),...,x≡ak(modmk)，其中mi两两互素。中国剩余定理指出，存在一个唯一的解x，模所有mi的乘积M=m1*m2*...*mk同余。作用：在不安全的RSA中，如果使用不同的随机数与n相乘再加密，可以并行处理多个加密任务，大大提高RSA的加密效率。这是因为在模p和模q的子域中可以独立计算，然后通过CRT将结果合并。解析：CRT利用了模数的互素性质，将一个大模数的问题分解为多个小模数的问题，简化了计算。在RSA中，利用CRT可以将模n的幂运算分解为模p和模q的幂运算，显著提升效率。三、1.原理：a)密钥生成：选择两个大质数p和q，计算n=p*q，计算φ(n)=(p-1)*(q-1)。选择一个小于φ(n)且与φ(n)互素的整数e作为公钥指数。计算e模φ(n)的逆元d，作为私钥指数。公开(n,e)作为公钥，秘密保存(d,p,q)作为私钥。b)加密：发送方将明文消息M（假设M是一个小于n的整数）用公钥(n,e)加密，得到密文C=M^emodn。c)解密：接收方用私钥(d,p,q)解密密文C，得到明文M=C^dmodn。其中，e*d≡1(modφ(n))。关键数论概念：大整数n的分解、欧拉函数φ(n)、模运算、模幂运算、整数e和d互素的性质、e*d与φ(n)互素的性质。解析：RSA的安全性基于大整数分解的困难性。找到p和q是解密的关键。e*d≡1(modφ(n))保证了解密运算的正确性。2.e=7，φ(n)=40。求d使得7d≡1(mod40)。40=5*8。7^1=7≡7(mod40)；7^2=49≡9(mod40)；7^3=63≡23(mod40)；7^4=161≡1(mod40)。所以d=4。解析：使用扩展Euclid算法或试探法求解d。找到7的逆元，使其乘以7模40等于1。3.区别：a)密钥管理：对称密码体制使用相同的密钥进行加密和解密，密钥分发和管理相对复杂；公钥密码体制使用一对密钥（公钥和私钥），公钥可公开分发，私钥需保密，密钥管理相对简单。b)安全性：对称密码体制的安全性依赖于密钥的保密性，密钥一旦泄露，通信内容就不安全；公钥密码体制的安全性基于数学难题（如大数分解、离散对数），理论上即使公钥公开，破解也极为困难。c)计算效率：对称密码体制的加密和解密速度通常远快于公钥密码体制。公钥密码体制主要用于密钥交换、数字签名等，而不用于大量数据的加密。d)作用：对称密码体制主要用于数据加密和解密；公钥密码体制主要用于加密少量数据、数字签名、身份认证和密钥交换。解析：从密钥、安全基础、计算和用途四个方面比较两种体制的异同。四、1.原理：双方同意一个公开的基点G和模p（一个大素数）。甲选择一个秘密随机数a，计算A=G^amodp，并将A发送给乙。乙选择一个秘密随机数b，计算B=G^bmodp，并将B发送给甲。甲计算s=B^amodp=(G^b)^amodp=G^(ab)modp。乙计算s=A^bmodp=(G^a)^bmodp=G^(ab)modp。双方得到相同的共享秘密s=G^(ab)modp。该协议的安全性基于计算离散对数问题的困难性，即给定G,p,A，计算a的难度。解析：离散对数问题是指，给定有限循环群G中的元素G、群的阶p（通常是p-1，若G是生成元）以及G的某个幂A=G^amodp，计算指数a的困难性。Diffie-Hellman协议巧妙地利用了这一点来安全地共享秘密信息。2.基础：Diffie-Hellman密钥交换协议的安全性基于计算离散对数问题的困难性。找到离散对数的难度被认为是足够高的，使得攻击者无法从公开的基点G、模p和会话密钥A（或B）