2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的有限元方法

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的有限元方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.有限元方法的基本思想源于变分原理，下列哪个原理是有限元方法中最常用的变分原理？（）A.最小势能原理B.最大功原理C.最小余能原理D.最小曲率原理2.在有限元离散过程中，将求解域划分为有限个单元的主要目的是？（）A.提高计算精度B.简化数学模型C.使求解域有限化，便于构造近似解D.减少计算量3.对于线性有限元方程KU=F，其中K是刚度矩阵，U是节点位移向量，F是节点载荷向量。下列说法正确的是？（）A.刚度矩阵K一定是奇异矩阵。B.刚度矩阵K一定是正定矩阵。C.刚度矩阵K的元素仅与单元的几何形状和材料属性有关。D.如果采用直接法求解，K的带宽与网格划分无关。4.在一维线性有限元分析中，如果采用分段线性插值函数，则每个单元内的场变量（如温度、位移）可以表示为？（）A.场变量的精确值B.场变量的线性组合C.场变量的高次多项式D.场变量的指数函数5.有限元方法的收敛性是指当网格加密（h趋于0）时，有限元的近似解Uh是否收敛于精确解U。收敛性通常要求近似解收敛于精确解的哪个量级？（）A.一阶B.二阶C.三阶D.无穷阶二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在横线上）6.加权余量法是有限元方法的一种思想来源，其基本思想是用加权函数对控制方程（如微分方程）的余量进行某种意义上的______，从而得到代数方程组。7.在有限元分析中，形函数φᵢ(x)用于将节点变量Uᵢ与单元内任意一点x的场变量u(x)联系起来，它满足的性质是：在节点xᵢ处φᵢ(xᵢ)=______，在节点xⱼ处（j≠i）φᵢ(xⱼ)=______。8.对于二维等参数单元，其形函数通常采用______函数构造，单元内的位移场可以表示为节点位移的线性组合。9.在建立有限元方程的过程中，单元方程组装成整体方程的主要依据是______原理和______原理。10.对于大型稀疏线性方程组KU=F，常用的直接求解方法有高斯消元法、LU分解等，而常用的迭代求解方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、______等。三、简答题（每小题5分，共15分）11.简述伽辽金（Galerkin）方法在有限元分析中的基本思想。12.什么是有限元方法的“分片插值”思想？为什么要采用这种思想？13.在有限元分析中，什么是单元的“形函数”？它需要满足哪些基本性质？四、计算题（每小题10分，共20分）14.考虑一根长度为L、截面积为A、杨氏模量为E的均匀杆，在右端受集中力F作用，左端固定。试用一维线性有限元方法（取两个单元，即三个节点）对该杆的轴向位移进行离散分析。要求：a)建立节点位移变量和节点力向量的表示。b)推导单个线性单元的刚度矩阵kᵢⱼ。c)组装整体刚度矩阵K和整体载荷向量F。d)（不要求求解）写出代数方程组KU=F的具体形式。15.已知一个二维三角形常应变单元的节点坐标分别为(0,0),(1,0),(0,1)，材料泊松比为ν，杨氏模量为E。试用形状函数Nᵢ推导该单元的应变矩阵B和刚度矩阵k。（提示：常应变单元的应变矩阵B是常数矩阵）五、证明题（10分）16.证明：对于一维线性单元，如果采用分段线性插值函数（形函数为Nᵢ），则由此推导出的有限元方法能够得到精确解，即当精确解是线性函数时，有限元解与精确解完全一致。试卷答案一、选择题1.A解析思路：有限元方法最常用的是基于能量原理的变分方法，特别是最小势能原理，用于求解弹性力学、热传导等问题。2.C解析思路：有限元的核心思想是将无限域问题离散为有限个子区域（单元）的问题，通过在单元内构造近似函数，将复杂问题简化为在有限区域上求解更容易处理的代数方程组。3.B解析思路：对于线性弹性问题，在线性弹性假设下，刚度矩阵K是对称正定矩阵。即使不满足正定条件（如非结构问题），它也是对称矩阵。直接法求解涉及高斯消元，其带宽与存储结构有关，但理论上矩阵本身不是带宽无关。4.B解析思路：有限元采用形函数（插值函数）对单元内的场变量进行插值，对于线性单元，形函数是线性的，因此场变量在单元内是节点值的线性组合。5.B解析思路：有限元方法的收敛性理论通常要求近似解的误差（如最大误差、能量误差）至少以h²的速度收敛于零，即二阶收敛性。这是线性完全二次有限元保证的基本收敛阶。二、填空题6.最小化解析思路：加权余量法（如伽辽金法）选择加权函数与单元基函数一致，通过最小化加权余量的平方和或某种范数，得到加权余量方程，最终转化为代数方程组。7.1,0解析思路：形函数的一个重要性质是“局部支撑性”和“规范性”，即在第i个节点处，形函数值为1，在其它节点处（包括节点j）值为0。8.位移（或标量、向量）解析思路：二维等参数单元通常使用二次或更高次的插值函数（如双线性、双二次），这些函数需要是定义在二维区域上的函数，最常见的是位移场、温度场或电位场等标量或向量场。9.局部-整体解析思路：单元方程组装成整体方程的过程包括：首先在局部坐标系下建立单元方程（单元刚度矩阵kᵢⱼ和单元载荷向量fᵢ），然后将单元节点与整体节点一一对应，通过节点编号将所有单元方程累加（矩阵块对角占位相加，非对角块按节点连接累加），形成整体刚度矩阵K和整体载荷向量F。10.共轭梯度法（或其他迭代法如SOR）解析思路：雅可比和高斯-赛德尔是两种最基本的迭代法。对于大型稀疏线性方程组，特别是对称正定矩阵，共轭梯度法（CG）是一种高效的迭代求解方法。三、简答题11.伽辽金方法的基本思想是：将求解域内的控制方程（通常是微分方程形式的平衡方程或守恒方程）的余量（即方程不满足的程度）与一个加权函数（通常选择与近似解的基函数相同的函数）在求解域内进行加权积分，使得加权余量的积分（或某种范数）为零。通过这种方式，将微分方程离散化为代数方程组。12.分片插值思想是将求解域划分为有限个子区域（单元），在每个单元内部使用相对简单的插值函数（如线性函数、多项式函数）来近似描述未知场变量。这样做的原因是：①整体域上构造高阶光滑插值函数可能非常复杂甚至不切实际；②分片构造可以在每个小区域上使用简单函数保证稳定性，并且当网格加密时，近似解能够收敛到精确解；③计算上更容易实现。13.单元的形函数（或称基函数、插值函数）是在单元内部将节点处的待求变量（如位移、温度）与单元内任意一点的待求变量联系起来的一种插值函数。它需要满足以下基本性质：①在单元的每一个节点上，形函数的值为1；②在单元内部的任意一点，所有形函数的和为1；③形函数是连续的（至少一阶导数连续，取决于单元类型）；④满足分片插值思想的要求。四、计算题14.a)设节点位移向量为U=[u₁,u₂,u₃]ᵀ，节点力向量为F=[F₁,F₂,F₃]ᵀ，其中u₁是左端（固定端）位移，u₃是右端位移，F₂=F是施加的载荷。b)单元刚度矩阵kᵢⱼ的推导基于虚功原理或最小势能原理。对于线性单元，其贡献与单元的应变能有关。设单元长度为L/2，节点力为F/2。单个单元的刚度矩阵为k=(EA/L)*[1-1;-11]。将其扩展为整体刚度矩阵的块K₁₁,K₁₂,K₂₁,K₂₂。c)组装整体刚度矩阵K和整体载荷向量F：K=(EA/L)*[2-10;-12-1;0-11]F=[0;F;0]d)代数方程组KU=F的具体形式为：(EA/L)*[2-10;-12-1;0-11]*[u₁;u₂;u₃]ᵀ=[0;F;0]ᵀ15.解析思路：常应变单元的应变矩阵B是一个常数矩阵。首先写出节点位移表示的单元内位移插值形式u(x,y)=ΣᵢNᵢ(x,y)uᵢ。然后根据应变定义ε=B*U，对于二维问题，ε=[εₓ,εᵧ,γᵧₓ]ᵀ=B*[uₓ₁,uₓ₂,uₓ₃;uᵧ₁,uᵧ₂,uᵧ₃]ᵀ。由于是常应变单元，B是常数矩阵。根据几何关系，εₓ=∂u/∂x=(uₓ₂-uₓ₁)/Δx，εᵧ=∂u/∂y=(uᵧ₃-uᵧ₁)/Δy，γᵧₓ=∂u/∂y+∂u/∂x=(uₓ₂+uₓ₁+uᵧ₃+uᵧ₁)/Δx。将节点坐标代入计算单元尺寸Δx,Δy。最终得到B矩阵，然后根据刚度矩阵k=t*Bᵀ*E*B计算单元刚度矩阵k。其中t是单元厚度。五、证明题16.证明思路：1.设精确解u(x)是线性函数，u(x)=α+βx。2.采用一维线性单元，形函数为N₁(x)=1-x，N₂(x)=x。单元节点在x=0和x=L处。3.单元内位移场近似为û(x)=N₁(x)u₁+N₂(x)u₂=(1-x)u₁+xu₂。4.若要有限元解与精确解一致，则需û(0)=u(0)且û(L)=u(L)。5.û(0)=(1-0)u₁+0*u₂=u₁。根据精确解u(x)=α+βx，u(0)=α，所以u₁=α。6.û(L)=(1-L)u₁+L*u₂=(1-L)α+Lu₂。根据精确解u(x)=α+βx，u(L)=α+βL，所以