2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学统计学中的假设检验

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学统计学中的假设检验考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.在假设检验中，我们作出拒绝原假设H₀的决策是基于（）。A.样本信息支持备择假设H₁B.样本信息与原假设H₀有显著差异C.总体分布确实符合原假设H₀D.检验统计量的值超出了预期的范围2.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，σ²已知，现要检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，当样本量n较小时，应选择的检验统计量是（）。A.Z=(样本均值-μ₀)/(标准差/√n)B.Z=(样本均值-μ₀)/(标准误)C.t=(样本均值-μ₀)/(样本标准差/√n)D.t=(样本均值-μ₀)/(标准差/√n)3.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则以下说法正确的是（）。A.减小α的同时必然增大βB.减小样本量n，α和β都减小C.增大检验统计量的临界值，α和β都增大D.提高检验的效力（Power=1-β）意味着可以接受原假设的可能性更大4.对于单个正态总体方差的检验（H₀:σ²=σ₀²vsH₁:σ²≠σ₀²），当总体均值μ未知时，应使用的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.F检验D.χ²检验5.已知一批产品的寿命X服从正态分布，现从中随机抽取样本，检验该批产品的平均寿命是否显著高于某个基准值θ。若选择显著性水平α，则此检验的拒绝域位于（）。A.统计量的值大于某个临界值B.统计量的值小于某个临界值C.样本均值的值大于某个常数D.样本均值的值小于某个常数二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.在假设检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ>μ₀中，若检验统计量计算出的p值小于显著性水平α，则应做出的决策是________。7.若要检验两个相互独立的正态总体X和Y的均值是否存在显著差异（X~N(μ₁,σ₁²),Y~N(μ₂,σ₂²),σ₁²和σ₂²已知），应选择________检验，其检验统计量是________。8.假设检验中，犯第一类错误的概率α，也称为检验的________。9.进行总体均值μ的检验时，若样本量n很大，即使总体方差未知，也可以近似使用________检验，其检验统计量近似服从标准正态分布。10.对于总体分布的拟合优度检验，通常使用________分布来确定拒绝域。三、计算题（本大题共4小题，共60分。请写出详细的计算过程。）11.（15分）某种零件的长度X服从正态分布N(μ,2.5²)。现从中随机抽取容量为16的样本，测得样本均值为32.1毫米。问在显著性水平α=0.05下，是否有理由认为这批零件的平均长度大于31毫米？12.（15分）某厂生产的某种产品，其重量X服从正态分布N(μ,σ²)。按规定标准，方差σ²不得超过0.02。现从中抽取25件产品，测得样本方差s²=0.025。问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批产品的方差超标？13.（15分）为了比较两种不同教学方法的效果，随机抽取两组学生进行测试。第一组（A组）采用方法一，共20人，平均分83分，样本标准差8分；第二组（B组）采用方法二，共25人，平均分80分，样本标准差7分。假定两组学生的成绩均服从正态分布，且方差相等。问在显著性水平α=0.05下，两种教学方法的效果是否有显著差异？14.（15分）随机抽取100个新生儿，其中男婴有55个。问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为新生儿的性别比与1:1有显著差异？（提示：可考虑使用χ²检验或Z检验）试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.D5.A二、填空题6.拒绝原假设H₀7.Z检验；(样本均值X̄₁-样本均值X̄₂)/sqrt(σ₁²/n₁+σ₂²/n₂)8.显著性水平9.Z检验10.卡方（χ²）三、计算题11.解析思路：*提出假设：H₀:μ≤31vsH₁:μ>31（单边检验）*选择方法：总体方差已知，使用Z检验。*确定临界值：α=0.05，单边检验，查Z表得临界值Z₀.05=1.645。*计算统计量：Z=(样本均值-μ₀)/(σ/sqrt(n))=(32.1-31)/(2.5/sqrt(16))=1.6。*做出决策：比较统计量与临界值，Z=1.6<1.645。或计算p值，p=P(Z>1.6)≈0.0548>α=0.05。*结论：不拒绝H₀，即没有足够证据认为平均长度大于31毫米。12.解析思路：*提出假设：H₀:σ²≤0.02vsH₁:σ²>0.02（单边检验）*选择方法：总体均值未知，使用χ²检验。*确定临界值：α=0.05，自由度df=n-1=25-1=24。查χ²分布表得临界值χ²₀.05(24)≈36.415。*计算统计量：χ²=(n-1)s²/σ₀²=(25-1)*0.025/0.02=24*1.25=30。*做出决策：比较统计量与临界值，χ²=30<36.415。或计算p值，p=P(χ²(24)>30)<0.05。*结论：不拒绝H₀，即没有足够证据认为方差超标。13.解析思路：*提出假设：H₀:μ₁=μ₂vsH₁:μ₁≠μ₂（双边检验）*选择方法：两正态总体，方差相等但未知，使用t检验。先检验方差齐性（可选，或直接用Satterthwaite近似度）。*检验方差不齐性（补充步骤）：*H₀:σ₁²=σ₂²vsH₁:σ₁²≠σ₂²。使用F检验，F=S₁²/S₂²=8²/7²≈1.324。α=0.05，df₁=19,df₂=24。查F表得F₀.025(19,24)≈2.28，F₀.975(19,24)≈1/2.28≈0.439。拒绝域为F<0.439或F>2.28。1.324在(0.439,2.28)内，不拒绝H₀，认为方差齐性。*计算合并方差估计：s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(19*64+24*49)]/43=(1216+1176)/43≈2392/43≈55.65。s_p≈7.45。*选择方法：t检验。自由度df=n₁+n₂-2=43。*确定临界值：α=0.05，双边检验，df=43。查t分布表得临界值t₀.025(43)≈2.017。*计算统计量：t=(样本均值₁-样本均值₂)/(s_p*sqrt(1/n₁+1/n₂))=(83-80)/(7.45*sqrt(1/20+1/25))=3/(7.45*sqrt(0.05+0.04))=3/(7.45*sqrt(0.09))=3/(7.45*0.3)≈3/2.235≈1.342。*做出决策：比较统计量与临界值，|t|=1.342<2.017。或计算p值，p=2*P(t(43)>1.342)>2*0.10=0.20>α=0.05。*结论：不拒绝H₀，即没有足够证据认为两种教学方法的效果有显著差异。14.解析思路：*提出假设：H₀:p=0.5vsH₁:p≠0.5（双边检验，检验比例是否为0.5）*选择方法1：Z检验（大样本）。*计算样本比例：p̂=x/n=55/100=0.55。*确定临界值：α=0.05，双边检验，查Z表得临界值Z₀.025=1.96。*计算统计量：Z=(p̂-p₀)/sqrt(p₀(1-p₀)/n)=(0.55-0.5)/sqrt(0.5*0.5/100)=0.05/sqrt(0.25/100)=0.05/0.05=1。*做出决策：比较统计量与临界值，|Z|=1<1.96。或计算p值，p=2*P(Z>1)=2*0.1587=0.3174>α=0.05。*结论：不拒绝H₀，即没有足够证据认为新生儿的性别比与1:1有显著差异。*选择方法2：χ²检验（适合分类数据计数）。*计算期望频数：E₁=100*0.5=50，E₂=100*0.5=50。*确定临界值：α=0.05，自由度df=(行数-1)*(列数-1)=(2-1)*(2-1)=1。查χ²分布表得临界值χ²₀.05(1)=3.841。*计算统计量：χ²=Σ((O-E)²/E)=((55-